文档内容
《第二十八章 锐角三角函数》测试卷（A 卷）
（测试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在 中，如果各边长度都扩大 倍，那么锐角 的正切值（ ）
A． 不变化 B． 扩大2倍 C． 缩小2倍 D． 不能确定
2．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那
么tan∠BAD′等于( )
A． 1 B． C． D．
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3．已知α为锐角，如果sinα= ， 那么α等于（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 不确定
4．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12 m
到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于( )
A． 6（ ＋1）m B． 6 ( -1) m C． 12 ( ＋1) m D． 12（ －1）m
5．如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度
AC=4500米，tanα= ， 则飞机到目标B的水平距离BC为（ ）
A． 5400 米 B． 5400 米 C． 5600 米 D． 5600 米
6．Rt ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinB的值为（ ）
△A． B． C． D．
7．在△ABC中，若|sinA﹣ |+（ ﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A． 45° B． 75° C． 105° D． 120°
8．因为sin30°= ，sin210°= ，所以sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°；因为sin45°= ，sin225°= ，所以
sin225°=sin（180°+45°）=﹣sin45°，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin（180°+α）=﹣sinα，由此可知：
sin240°=（ ）
A． B． C． D．
9．如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得∠BAD=30°，在 C 点测得∠BCD=60°，又
测得 AC=60米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ）
A． 30 米 B． 30 米 C． 40 米 D． （30+ ）米
10．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③
中， ，则 ；④ 中， ，则 ．其中正确的命
题有（ ）
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．
那么该船继续航行 海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
12．某人沿着坡度i= ： 的山坡走了50米，则他离地面 米高．
1 3
1
13．在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D为AC上一点，若tanDBC ，则AD＝______。
314．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 ，则CB的长为 ．
3
15．如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A
重合，折痕为EF，则tan∠CAE= ．
16．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat
point），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费
马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为 的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF= ．
2
3
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AM是BC边上的中线，sinCAM ，则tanB的值为 ．
5
18．在等腰△ABC中，AB=AC，cos∠ABC ，点P是直线BC上一点，且PC PB=1：3，则tan∠APB= ．
3
19．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5 5cm， 且tan∠EFC＝ ，
4
那么矩形ABCD的周长_____________cm．20．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为 海里（结果取整数）（参考
数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．
三、解答题（共60分）
21．（本题5分）计算：（sin30°﹣1）2﹣ ×sin45°+tan60°×cos30°．
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22．（本题6分）如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，
由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°
方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果精确到1m，参考数据： 2 1.414， 3 1.732 ）
23．（本题7分）为了弘扬南开精神，我校将“允公允能，日新月异”的校调印在旗帜上，放置在教学楼的顶部（如图所示），小华在教学楼前空地上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得旗帜的底部B的仰角为
37°，然后向教学楼正方向走了4.8米到达点F处，又从点E测得旗帜的顶部A的仰角为45°．若教学楼高
BM=19米，且点A、B、M在同一直线上，求旗帜AB的高度（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，
tan37°≈0.75）．
24．（本题7分）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路
上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方
向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不
取近似值）．
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25．（本题8分）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线
交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；
4
（2）若sinA= ，求AD的长．
5
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
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10
26．（本题9分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B=45°，tan∠ACB=3，AC= ，求：
（1）△ABC的面积；
（2）sin∠ACD的值．
27．（本题9分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规
划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长；
[来源:Z|xx|k.Com]（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，
tan37°≈0.75）
28．（本题9分）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活
动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得
AC⊥l，∠BAC=60℃，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千
米/时，测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒。
(1)、求CD的长。（结果保留根号）
(2)、问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据： =1.41， =1.73（测试时间：120分钟 满分：120分）
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一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在 中，如果各边长度都扩大 倍，那么锐角 的正切值（ ）
A． 不变化 B． 扩大2倍 C． 缩小2倍 D． 不能确定
【答案】A
【解析】
∵锐角 的正切值为对边和邻边的比值，
∴各边长度都扩大 倍，锐角 的正切值不变.
故选A.
2．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那
么tan∠BAD′等于( )
A． 1 B． C． D．
【答案】C
3．已知α为锐角，如果sinα= ， 那么α等于（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 不确定
【答案】B【解析】
∵α为锐角，sinα= ，
∴α=45°．
故选：B．
4．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12 m
到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于( )
A． 6（ ＋1）m B． 6 ( -1) m C． 12 ( ＋1) m D． 12（ －1）m
【答案】A
5．如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度
AC=4500米，tanα= ， 则飞机到目标B的水平距离BC为（ ）
A． 5400 米 B． 5400 米 C． 5600 米 D． 5600 米
【答案】A
【解析】
由题知，在 ABC中，∠C=90°，∠ABC=α ，AC=4500 ，
△∵tanα= = ∴BC=5400 .
6．Rt ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinB的值为（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】A
7．在△ABC中，若|sinA﹣ |+（ ﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A． 45° B． 75° C． 105° D． 120°
【答案】C
【解析】
由题意得，sinA- =0， -cosB=0，
即sinA= ， =cosB，
解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，
故选：C．
8．因为sin30°= ，sin210°= ，所以sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°；因为sin45°= ，sin225°= ，所以
sin225°=sin（180°+45°）=﹣sin45°，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin（180°+α）=﹣sinα，由此可知：
sin240°=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵当α为锐角时有sin（180°+α）=﹣sinα，∴sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣ ．
故选C．
9．如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得∠BAD=30°，在 C 点测得∠BCD=60°，又
测得 AC=60米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ）
A． 30 米 B． 30 米 C． 40 米 D． （30+ ）
米
【答案】B
10．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③
中， ，则 ；④ 中， ，则 ．其中正确的命
题有（ ）
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
【答案】C
【解析】
①根据锐角三角函数的定义知所有的锐角三角函数值都是正数，故正确；②两个元素中，至少得有一条边，故错误；
③根据锐角三角函数的概念，以及勾股定理，得则 = =1，故正确；
④根据锐角三角函数的概念，得tanC= ，sinC= ，cosC= ，则tanCcosC=sinC，故错误．
故选C． ⋅
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．
那么该船继续航行 海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
【答案】 .
50 3
故该船继续航行 海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
50 3
12．某人沿着坡度i= ： 的山坡走了50米，则他离地面 米高．
1 3
【答案】25
【解析】
[来源:学§科§网]
利用相应的坡度求得坡角为30°，然后运用三角函数求他离地面的高度=50×sin30°=25（米）．1
13．在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D为AC上一点，若tanDBC ，则AD＝______。
3
【答案】4
【解析】
1
根据题意可得BC=6，根据tan∠DBC= 可得CD=2，即AD=AC－CD=6－2=4.
3
14．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 ，则CB的长为 ．
3 [来源:学科网ZXXK]
【答案】
6
故答案为：
6
15．如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A
重合，折痕为EF，则tan∠CAE= ．7
【答案】 .
24
【解析】
7
设CE=x，则BE=AE=8﹣x，因∠C=90°，AC=6，由勾股定理可得62+x2=（8﹣x）2，解得x= ，所以tan∠CAE=
4
7
CE 4 7 .
AC 6 24
16．已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat po
int），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马
点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为 的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF= ．
2
【答案】 ．
313
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AM是BC边上的中线，sinCAM ，则tanB的值为 ．
5
2
【答案】 .
3
【解析】
MC 3 5 4 AC AC 2
由题意可得 ,故AM MC,AC MC ,因此tanB= .
AM 5 3 3 BC 2MC 3
18．在等腰△ABC中，AB=AC，cos∠ABC ，点P是直线BC上一点，且PC PB=1：3，则tan∠APB= ．
【答案】 或 ．
∴BC=8x，
∵PC：PB=1：3，
∴PB=6x，
∴PD=2x，
∴tan∠APB= = ；如图2，∵PC：PB=1：3，
∴PB=12x，
∴PD=8x，
∴tan∠APB= = ；
综上所述：tan∠APB= 或 ．
故答案为： 或 ．
3
19．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5 5cm， 且tan∠EFC＝ ，
4
那么矩形ABCD的周长_____________cm．
【答案】36.20．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为 海里（结果取整数）（参考
数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．
【答案】11．
【解析】
1 1
如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，PA=18，∠A=30°，可得PC= PA= ×18=9；在Rt△PBC中，PC=9，
2 2
PC 9
∠B=55°，求得PB= ≈11，即此时渔船与灯塔P的距离约为11海里．
sinB 0.8
三、解答题（共60分）
21．（本题5分）计算：（sin30°﹣1）2﹣ ×sin45°+tan60°×cos30°．3
【答案】
2
22．（本题6分）如图，在昆明市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建一段地铁，点B在点A的正东方向，
由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得古树C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°
方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度．（结果精确到1m，参考数据： 2 1.414， 3 1.732 ）
【答案】这段地铁AB的长度为546m
【解析】
过点C作CD⊥AB于D，由题意知：∠CAB=45°，∠CBA=30°，
1
∴CD= BC=200（m），
2
BD=CBcos（90°﹣60°）=400× 3 =200 （m），
3
2
AD=CD=200（m），
∴AB=AD+BD=200+200 ≈546（m），
3
答：这段地铁AB的长度为546m．
23．（本题7分）为了弘扬南开精神，我校将“允公允能，日新月异”的校调印在旗帜上，放置在教学楼的顶部
（如图所示），小华在教学楼前空地上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得旗帜的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4.8米到达点F处，又从点E测得旗帜的顶部A的仰角为45°．若教学楼高
BM=19米，且点A、B、M在同一直线上，求旗帜AB的高度（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，
tan37°≈0.75）．
【答案】宣传牌AB的高度约为1.2m
【解析】
过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，
设AB=x米，则AN=x+（19﹣1）=x+18（米），
在Rt△AEN中，∠AEN=45°，
∴EN=AN=x+18，
在Rt△BCN中，∠BCN=37°，BM=19m，
BN
∴tan∠BCN═ =0.75，
CN
18 3
∴ = ，
x184.8 4
解得：x=1.2．
经检验：x=1.2是原分式方程的解．
答：宣传牌AB的高度约为1.2m．
24．（本题7分）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路
上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方
向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果
不取近似值）．【答案】拦截点D处到公路的距离是（500+500 ）米．
2
在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米，
∴CF= 2 CD=500 米，
2
2
∴DA=BE+CF=（500+500 ）米，
2
故拦截点D处到公路的距离是（500+500 ）米．
2
25．（本题8分）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线
交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；
4
（2）若sinA= ，求AD的长．
5
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
14
【答案】（1）6 3﹣8；（2） ．
3
4 BE
（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA= = ，
5 AE
∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，
∴BE=8，AE=10，
AB 6 CD 4
∴tanE= = = = ，
BE 8 DE DE
16
解得，DE= ，
3
16 14
∴AD=AE﹣DE=10﹣ = ，
3 3
14
即AD的长是 ．
3
10
26．（本题9分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B=45°，tan∠ACB=3，AC= ，求：（1）△ABC的面积；
（2）sin∠ACD的值．
【答案】（1）6;（2）6 85 ．
85
【解析】
（1）如图，
（1）作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，
∵tan∠ACB=3，AC= ，
10
设CH=x，AH=3x，
根据勾股定理得AC= x，
10
∴CH=1，AH=3，
在Rt△ABH中，∠B=45°，
∴BH=AH=3，
1
∴S = ×4×3=6；
△ABC
2在Rt△CDF中，CD= 3 5 34 ，
DF2 FC2 ( )2 ( )2
2 2 2
∴在Rt△CDE中，sin∠ACD= DE =6 85 ．
CD 85
27．（本题9分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规
划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，
tan37°≈0.75）
【答案】(1)、14.7千米；(2)、2.3千米.
【解析】
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(1)、作CH⊥AB于H． 在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2（千米），
[来源:Zxxk.Com]
AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.91=9.1（千米），
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）． 故改直的公路AB的长14.7千米；
(2)、在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），
则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）． 答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．28．（本题9分）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活
动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得
AC⊥l，∠BAC=60℃，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千
米/时，测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒。
(1)、求CD的长。（结果保留根号）
(2)、问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据： =1.41， =1.73
【答案】(1)、20 ；(2)、没有超速.
3
∴速度=40 3+60 ≈12.92（米/秒）。 ∵12.92米/秒=46.512千米/小时＜50千米/时，∴该车没有超速。
10
