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第28章 锐角三角函数 培优卷
满分120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则tanα的值是（ ）
3 4 3 4
A. B. C. D.
5 5 4 3
2. ( 3分 ) 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则
BC的长为（ ）
4√3
A. 2 B. C. 2 √3 D. 4 √3
3
3. ( 3分 ) 如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）
12 5 5 12
A. B. C. D.
5 12 13 13
4. ( 3分 ) 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作
∠EAF=45°，边 AF 交 CD 于点 F ，连接 EF ，则下列说法中：① ∠EAB=30° ；②
BE+DF=EF ；③tan∠AFE=3；④ S =6 正确的有( )
ΔCEF
学科网（北京）股份有限公司A. ①②③ B. ②④ C. ①④ D. ②③④
5. ( 3分 ) 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD= √2 ；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
6. ( 3分 ) 如图，在 △ABC 中， ∠BAC=45° ， D 为 AC 上一点，连接 BD ，将 △BDC 沿
7√2 1
BD 翻折，点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处，连 CE .若 AD= ， tan∠ABD= ，则 CD 的
2 3
长度为（ ）
5√2 6√2 3√2 7√2
A. B. C. D.
2 5 2 3
7. ( 3分 ) 如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足
为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ α ，则MN可用 α 表示为（ ）
α α
A. rsinα B. 2rsin C. rcosα D. 2rcos
2 2
学科网（北京）股份有限公司8. ( 3分 ) 如图， Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=2√3 ， BC=3 .点 P 为 ΔABC 内一点，
且满足 PA2+PC2 =AC2 .当 PB 的长度最小时， ΔACP 的面积是（ ）
3√3 3√3
A. 3 B. 3√3 C. D.
4 2
9. ( 3分 ) 如图，一块含有 30° 的直角三角板的直角顶点和坐标原点 O 重合， 30° 角的顶点 A 在反
k 4
比例函数 y= 的图象上，顶点 B 在反比例函数 y= 的图象上，则 k 的值为（ ）
x x
A. 12 B. -12 C. 3 D. -3
10. ( 3分 ) 在边长为1的正方形组成的网格中，线段AB，CD的端点都在格点上，AB，CD交于点E，则
tan∠AED的值为( )
A. 1 B. √2 C. 2 D. √5
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图，折线 AB−BC 中， AB=3 ， BC=5 ，将折线 AB−BC 绕点A按逆时针方向旋
转，得到折线 AD−DE ，点B的对应点落在线段 BC 上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接
CE ，若 CE⊥BC ，则 tan∠EDC= ________°.
学科网（北京）股份有限公司12. ( 4分 ) 如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．连结CE交边AD于点F ． 如果
DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于________．
13. ( 4分 ) 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝2，长度为1的线段PQ在边
AC上运动，则线段DP的最小值为________，四边形DPQB面积的最大值为________．
15. ( 4分 ) 如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将 △DAE 按逆时针
AE 2
方向旋转得 △DCF ，连接EF，分別交BD，CD于点M，N.若 = ，则 sin∠EDM= ________.
DN 5
16. ( 4分 ) 将一副三角板如图放置在一起，使得等腰直角 △ABD 与直角 △ACD 的斜边重合，其中
AD=4,∠B=∠C=90°,∠CAD=30° ，则点B到边 AC 的距离为________.
学科网（北京）股份有限公司17. ( 4分 ) 如图，在平面直角坐标系中，有一个 Rt△OAB ， ∠ABO=90° ， ∠AOB=30° ，直角
边 OB 在y轴正半轴上，点A在第一象限，且 OA=1 ，将 Rt△OAB 绕原点O逆时针旋转 30° ，同
时把各边长扩大为原来的2倍（即 OA =2OA ），得到 Rt△OA B ，同理，将 Rt△OA B 绕原点
1 1 1 1 1
O逆时针旋转 30° ，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到 Rt△OA B ，…，依此规律，得到
2 2
Rt△OA B ，则点 B 的纵坐标为________．
2021 2021 2021
18. ( 4分 ) 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B(2√3,2) ，点A在x轴上，点C
在y轴上，P是对角线 OB 上一动点（不与原点重合），连接 PC ，过点P作 PD⊥PC ，交x轴于点
D.则下列结论正确的是________.（写出所有正确结论的序号）
① OA=BC=2√3 ；
②当点D运动到 OA 的中点处时， PC2+PD2=7 ；
√3
③当 OD=PD 时，点D的坐标为 ( ,0) ；
3
④在运动过程中， ∠CDP 是一个定值.
三、解答题
19. ( 7分 ) 某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西
学科网（北京）股份有限公司两端A、B间的距离.于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一
点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向.请你根据以
上提供的信息，计算“东州湖”东西两端之间AB的长.（结果精确到1米）（参考数据：sin73°≈0.9563，
cos73≈0.2924，tan73°≈3.2709， √2 ≈1.414.）
20. ( 7分 ) 在棚户区改造时，要拆除废旧烟囱 AB （如图），在烟囱正西方向的楼房 CD 的顶端C处，
测得烟囱的顶端A的仰角为 45° ，底端B的俯角为 30° 已量得 DB=24m .拆除时若让烟囱向正东方
向倒下，试问：距离烟囱正东方向 35m 远的一棵大树是否会被歪倒的烟囱砸到？请说明理由.（参考数据：
√3≈1.732 ）
21. ( 7分 ) 如图正方形OABC的边长等于2，且AO边与x轴正半轴的夹角为60º，O为原点坐标，求点B
的坐标.
22. ( 5分 ) 如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断
学科网（北京）股份有限公司面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B=54.5°，外口宽
AD=180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE=26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：
sin54.5°≈0.81 ， cos54.5°≈0.58 ， tan54.5°≈1.40 ， sin26.5°≈0.45 ， cos26.5°≈0.89 ，
tan26.5°≈0.50 ）
23. ( 7分 ) 如图，在 ▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2 √3 ，在AB边的下方作射线
AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，
连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，求 AF长。
四、综合题
24. ( 12分 ) 如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F ， 使CF＝GC
， 以DC ， CF为邻边作菱形DCFE ， 连接CE ．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
（2）连接DF ， 若BC＝ √3 ，求DF的长．
学科网（北京）股份有限公司25. ( 13分 ) 如图，在⊙ O 中， AB 是直径， AB⊥CD ，垂足为P，过点 D 的 ⊙O 的切线与
AB 的延长线交于点 E , 连接 CE .
（1）求证： CE 为⊙ O 的切线；
（ 2 ） 若 ⊙ O 半 径 为 3 ， CE=4 ， 求 sin∠DEC .
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