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第28章 锐角三角函数 B卷
满分120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 已知一个等腰三角形内角的度数之比为1：4，则它的顶角的度数为( )
A. 20 B. 36 C. 120 D. 20 或120
【答案】 D
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设两内角的度数为x、4x；
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
故答案为：D．
【分析】设两内角的度数为x、4x，由于等腰三角形的顶角可以是锐角，直角，或钝角，故需要分类讨论：
①当等腰三角形的顶角为x时，②当等腰三角形的顶角为4x时，根据等腰三角形的两底角相等及三角形的
内角和等于180°，分别列出方程求解即可。
2. ( 3分 ) cos30°=（ ）
1 √2 √3
A. B. C. D. √3
2 2 2
【答案】 C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解。
√3
【解答】cos30°= ．
2
故选C.
3. ( 3分 ) 在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A. 不变 B. 扩大5倍
C. 缩小5倍
D. 不能确定
学科网（北京）股份有限公司【答案】 A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各
三角函数值没有变化.
故答案为：A.
【分析】根据tanA= 可知，各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化.
1 1
4. ( 3分 ) 若锐角α满足sinα＞ ，且cosα＞ ，则α的范围是（ ）
2 2
A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜60° C. 60°＜α＜90° D. 45°＜α＜90°
【答案】 B
【考点】锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由正弦函数随角的增大而增大，余弦函数随角的增大而减小，得
30°＜α＜60°，
故选：B．
【分析】根据特殊角三角函数值，锐角函数的增减性，可得答案．
5. ( 3分 ) 如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角
3
∠ACB的正弦值为 ，则坡面AC的长度为（ ）m．
5
A. 10 B. 8 C. 6 D. 6 √3
【答案】 A
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
3
【解析】【解答】解：∵天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为 ，
5
AB 3
∴sinC＝ ＝ ，
AC 5
6 3
则 ＝ ，
AC 5
学科网（北京）股份有限公司解得：AC＝10，
则坡面AC的长度为10m．
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABC中，根据∠ACB的正弦值解直角三角形即可得到AC的长度。
6. ( 3分 ) 如图， AC 垂直于 AB ，P为线段 AC 上的动点，F为 PD 的中点， AC=2.8m ，
PD=2.4m ， CF=1.2m ， .若 ， ，则 AP 的长约为
（ ）（参考数据： ， ）
A. 1.2 B. 1.3m C. 1.5m D. 2.0m
【答案】 B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：∠BEP=90°，∠B=65°，
∵AC⊥AB
∴∠A=90°，
∴∠EPA=360°-90°-90°-65°=115°，
∵∠DPE=15°，
∴∠APD=130°，
∴∠CPF=50°，
∵F为PD的中点，
学科网（北京）股份有限公司1
∴DF=PF= PD=1.2，
2
∴CF=PF=1.2，
∴CP=2PG=2×PF•cos50°≈2×1.2×0.64≈1.54，
∴AP=AC-PC=2.8-1.54≈1.3（m）.
故答案为：B.
1
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，先得到∠CPF=50°，由F为PD的中点，得到DF=PF= PD=1.2，最
2
后由CP=2PG就可以得到.
7. ( 3分 ) 已知β为锐角,且tan β=3.387,则β约等于( )
A. 73°33' B. 73°27' C. 16°27' D. 16°21'
【答案】 A
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由计算可得β≈ 73.55° =73°33'
故答案为：A。
【分析】考查计算器的用法；需要用到“arctan”这个键。
8. ( 3分 ) 如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N
的距离必须相等，则发射塔应该建（ ）
A. A处 B. B处
C. C处
D. D处
【答案】 C
【考点】线段垂直平分线的性质
学科网（北京）股份有限公司【解析】【解答】解：如图，可知两个圆弧交点所连直线为线段MN的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，可得发射塔应该在C处，
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质即可判断.
9. ( 3分 ) 若 ， 则a，b的值分别为（ ）
1 1 1 1 1 1 1 1
A. ﹣ ， B. ， C. ﹣ ， ﹣ D. ， -
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】 A
【考点】完全平方公式及运用，偶次幂的非负性
【解析】【分析】将原式配成两个完全平方式，从而根据完全平方的非负性即可得出答案．
1 1
【解答】原式可化为：(a2+2ab+b2)+(b2-b+ )=（a+b)2+（b﹣ )2=0，
4 2
1 1 1
由平方的非负性可得：a+b=0,b- =0,解得a=- ， b= ．
2 2 2
故选A．
【点评】本题考查完全平方式的知识，比较简单，关键是将式子配方后运用非负性解答．
10. ( 3分 ) 如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上的动点， 于点 D ，连接 AP ，
设 ，则下列函数图象能反映
y
与
x
之间关系的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】 C
【考点】圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，二次函数的实际应用-几
何问题
【解析】【解答】解：设圆的半径为 R ，连接 PB ，
则 ，
，即
AC
是圆的切线，则 ，
则
则
图象为开口向下的抛物线。
故答案为： C 。
【分析】设圆的半径为 R ，连接 PB ，根据直径所对的圆周角是直角得出∠APB=90°，根据正弦函数
学科网（北京）股份有限公司的定义得 ，根据同角的余角相等得出 ， 根据等角的同名三角
函数值相等及正弦函数的定义得出 ， 从而即可建立出y与x的函数关系式，
根据所得函数的图象即可解决问题。
二、填空题
11. ( 4分 ) 在以 O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点 A(4,3) ，如果 AO 与 y 轴正半轴的夹角为
，那么 ________.
伪
3
【答案】
5
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图：过点A作AB⊥y轴于点B，
∵A（4，3），
∴OB=3，AB=4，
∴由勾股定理可知：OA=5，
OB 3
∴cosα= = ，
OA 5
3
故答案为：
5
【分析】根据点A的坐标，可知，OB=3,AB=4,OA=5，由锐角的余弦三角函数的定义，即可求解.
12. ( 4分 ) 计算：（ √2 +1）0﹣2﹣1+ √27 ﹣6sin60°=________．
1
【答案】
2
【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值
学科网（北京）股份有限公司1 √3 1 1 1
【解析】【解答】解：原式=1﹣ +3 √3 ﹣6× =1﹣ +3 √3 ﹣3 √3= ．故答案为 ．【分
2 2 2 2 2
1 √3
析】根据特殊角的三角形函数值、负整数指数幂和零指数幂得到原式=1﹣ +3 √3 ﹣6× ，再进行
2 2
乘法运算后合并即可．
4
13. ( 4分 ) 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，BC=8，sinB= ，那么
5
=________.
【答案】 10
【考点】平行四边形的性质，解直角三角形
AE 4
【解析】【解答】在△ABE中，AE⊥BC，AB=5，sinB= = ，
AB 5
∴AE=4，
∴BE= =3，
√AB2−AE2
∴CE=BC-BE=8-3=5，
1 1
∴S = CE•AE= ×5×4=10；
△CDE
2 2
故答案为：10．
【分析】首先由已知条件和勾股定理计算CE=5，所以CD=AB，进而得到∠CDE=∠CED=∠ADE，所以
tan∠CDE=tan∠ADE，于是得到结论．
14. ( 4分 ) 如图，在长方形纸片 ABCD 中， AB=12 ， BC=5 ，点 E 在 AB 上，将 沿
DE
折叠，使点
A
落在对角线
BD
上的点 处，则
AE
的长为________.
学科网（北京）股份有限公司10
【答案】
3
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∵四边形ABCD是矩形，且AB=12，BC=5，
∴AD=5，∠A=90°，
∴BD= =13，
√122+52
根据折叠可得：AD=A′D=5，∠DA'E=90°，
∴A′B=13-5=8，
设AE=x，则A′E=x，BE=12-x，
在Rt△A′EB中：（12-x）2=x2+82 ，
10
解得：x= .
3
10
故答案为： .
3
【分析】在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值，由折叠的性质可得AD=A′D，根据
A′B=BD-A′D得出A'B的长，设AE=x，则A′E=x，BE=12-x，在Rt△A′EB中，用勾股定理可得关于x的方
程，解方程可求解.
15. ( 4分 ) 如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动.点P运动时，
线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是
________.
【答案】 12
【考点】勾股定理，通过函数图象获取信息并解决问题
学科网（北京）股份有限公司【解析】【解答】解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，
由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为5，即AB=5，
点P从B向C运动时，AP的最小值为4，即当AP⊥BC时，AP=4，即BC边上的高为4，
∴当AP⊥BC，AP=4，
此时，由勾股定理可知：BP=3，
由图象可以得到曲线部分是轴对称图形，∴PC=3，∴BC=6，
1
∴△ABC的面积为： 脳4脳6=12 ，
2
故答案为：12.
【分析】当P点在AB上时，AP长度逐渐增大，结合图象可得AB=5，当P点从B到C运动时，AP长度先
逐渐减小，当AP⊥BC时，AP最短，而后AP逐渐增大，从图象可得当AP⊥BC时，此时AP=4，AC=5.则
等腰△ABC面积可求.
1−3m
16. ( 4分 ) 反比例函数y＝ ，当x＜0时，y随x的增大而增大.那么m的取值范围是________.
x
1
【答案】 m＞
3
【考点】反比例函数的性质
1−3m
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝ ，当x＜0时，y随x的增大而增大，
x
∴1﹣3m＜0，
1
∴m＞ .
3
1
故答案为：m＞ .
3
k
【分析】由题意根据反比例函数y＝ （k≠0）的性质可得到1﹣3m＜0，然后解不等式即可.
x
17. ( 4分 ) 如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AC的中点，则DE
的长为________．
学科网（北京）股份有限公司【答案】 2
【考点】等边三角形的性质，直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，
∴AB＝AC＝4，BC⊥AD，
∵E为AC的中点，
1 1
∴DE＝ AC＝ ×4＝2，
2 2
故答案是：2．
【分析】由等边三角形的性质证得BD＝DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．
18. ( 4分 ) 如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，点N为BC边上一点，连接AN，交BD于点L，点R
为CD边上一点，连接AR、LR，若tan∠BLN=2，∠ARL=45°，AR=10 √2 ，CR=10，则AL=________ 。
5√17
【答案】
2
【考点】菱形的性质，圆周角定理，解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AC，CL，过点A作AG⊥RL于点G，连接CG，AG
学科网（北京）股份有限公司∵∠ARG=45°，∠AGR=90°，
∴∠AGR=∠RAG=45°
∴AG=RG，
√2
AG=ARsin∠ARG=ARsin45°=10√2脳 =10
2
∴AG=RG=CR=10;
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠AOD=∠AGL=90°，AO=CO
∴A、O、G、L四点共圆，
∴∠AGO=∠ALE=∠BLN
取AR，AG的中点F和点K，连接KF，KO，OG，FO，延长FK，GO，交于点H，
∴KF是△ARG的中位线，
1 1 1
∴KF= RG= ×10=5，FG= AG=5，FK∥RG，
2 2 2
∵AG⊥RG，
∴∠HFG=90°
∵点O是AC的中点，点K时AR的中点，
∴KO是△ARC的中位线，
1 1
∴KO= RC= ×10=5=KF，
2 2
学科网（北京）股份有限公司FH FH
在Rt△HFG中，tan∠FGH= = =2
FG 5
解之：FH=10，
∴KH=OK=KF
∴△HFO是直角三角形，∠HOF=90°，
∴∠FOG=90°
FO
tan∠FGO= =2
OG
在Rt△FOG中，设FO=2x，则OG=x，FG=5
∴4x2+x2=25
解之：OG=x=√5 ， 则FO=2x=2√5 ，
∵点F是AG的中点，点O是AC的中点，
∴OF是△ACL的中位线，
∴∴CG=2OF=4√5 ， OF∥CL
在Rt△CGO中
CO2=GO2+CG2
∴
AO=CO=√(√5) 2+(4√5) 2=√85
在Rt△AOL中
AO √85
tan∠ALD= = =2 ，
LO LO
√85
解之：LO=
2
∴ AL=√AO2+LO2= √ (√85) 2+ (√85) 2 = 5√17
2 2
5√17
故答案为： .
2
学科网（北京）股份有限公司【分析】连接AC，CL，过点A作AG⊥RL于点G，连接CG，AG，利用等腰直角三角形的性质及解直角
三角形，可证得AG=RG=CR=10，利用菱形的性质，可得到AC⊥BD，∠AOD=∠AGL=90°，AO=CO，由
此可证得A、O、G、L四点共圆，利用圆周角定理可证得∠AGO=∠ALE=∠BLN；取AR，AG的中点F和
点K，连接KF，KO，OG，FO，延长FK，GO，交于点H，易证KF是△ARG的中位线，KO是△ARC的
中位线，可证得FK∥RG，同时可以求出KF，FG，KO，KF的长，在Rt△HFG中，利用解直角三角形求出
FH的长，再利用三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形，可证得△HFO是直
角三角形，利用解直角三角形可得到FO与OG的比值，在Rt△FOG中，设FO=2x，则OG=x，FG=5 ，利
用勾股定理求出OG，FO的长，再利用三角形中位线定理求出CG的长，在Rt△CGO中，利用解直角三角
形求出LO的长，然后在Rt△ALO中，利用勾股定理求出AL的长。
三、解答题
19. ( 6分 ) 周末，小强在文化广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为
58°，已知风筝线BC的长为10米，小强的身高AB为1.55米．请你帮小强画出测量示意图，并计算出风
筝离地面的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
]
【答案】 解：如图，过点C作地面的垂线CD，垂足为D，过点B作BE⊥CD于E．
CE
在Rt△CEB中，∵sin∠CBE= ，
BC
∴CE=BC•sin58°=10×0.85≈8.5m，
∴CD=CE+ED=8.5+1.55=10.05≈10.1m，
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
CE
【解析】【分析】根据题意画出图形，根据sin58°= 可求出CE的长，再根据CD=CE+ED即可得出
BC
20. ( 6分 ) 2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往
灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2
米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据
学科网（北京）股份有限公司√2 ≈1.41， √3 ≈1.73）
【答案】 解：过C作CD⊥AB，
设CD=x米，
∵∠ABE=45°，
∴∠CBD=45°，
∴DB=CD=x米，
∵∠CAD=30°，
∴AD= √3 CD= √3 x米，
∵AB相距2米，
∴ √3 x﹣x=2，
解得：x= ．
答：命所在点C与探测面的距离是 米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】首先过C作CD⊥AB，设CD=x米，则DB=CD=x米，AD= √3 CD= √3 x米，再根据
AB相距2米可得方程 √3 x﹣x=2，再解即可．
21. ( 6分 ) 在一次“数学实践”活动中，小明沿一条南北公路向北行走，在A处，他测得左边建筑物C在
北偏西30°方向，右边建筑物D在北偏东30°方向；从A处向北40米行至B处，他又测得左边建筑物C在
北偏西60°方向，右边建筑物D在北偏东45°方向.请根据以上数据求两建筑物C、D到这条南北公路的距离.
学科网（北京）股份有限公司（参考数据： ， .结果精确到0.1米）
【答案】 解：设C、D距公路的距离为a、b米.
由题意， ， .
解得 ， .
答：C、D距公路的距离为34.6米、54.6米.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，分别求出AE、AF的长度，继而根
据AB=40米，可得出方程，解出即可.
22. ( 6分 ) 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为1，求a+b+x2﹣cdx．
【答案】 解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∵c，d互为倒数，
∴cd=1，
∵|x|=1，∴x=±1，
当x=1时，
a+b+x2﹣cdx=0+（±1）2﹣1×1=0；
当x=﹣1时，
a+b+x2+cdx=0+（±1）2﹣1×（﹣1）=2．
【考点】有理数的倒数
【解析】【分析】根据相反数，绝对值，倒数的概念和性质求得a与b，c与d及x的关系或值后，代入代
学科网（北京）股份有限公司数式求值．
23. ( 10分 ) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B坐标分别为（4，2）、（0，2），线段CD在于x
3
轴上，CD＝ ， 点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速
2
同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G，连结CE交OA于点F．设运动时间
为t，当E点到达A点时，停止所有运动．
（1）求线段CE的长；
（2）记S为RtΔCDE与ΔABO的重叠部分面积，试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围；
（3）连结DF，
①当t取何值时，有DF=CD?
②直接写出ΔCDF的外接圆与OA相切时t的值.
3
【答案】 解：（1）∵在Rt△CDE中，CD= ， DE=2，
2
5
∴CE=√CD2+DE2= ；
2
（2）如图1，作FH⊥CD于H．
学科网（北京）股份有限公司∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，
∴四边形ODEB是矩形，
∴BE=OD，
∵OC=t，
3
∴BE=OD=OC+CD=t+ ，
2
3 5
∴AE=AB﹣BE=4﹣（t+ ）= ﹣t，
2 2
∵AB∥OD，
∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，
∴ ， ,
又∵CF+EF=5，DG+EG=4，
EF+CF 5
=
∴ CF 2t ， ，
5−2t
∴CF=t，EG= ，
4
∴EF=CE﹣CF=5﹣t，
∵FH∥ED，
HD EF EF 3 5
∴ = ， 即HD= •CD= （ ﹣t），
CD CE CE 5 2
学科网（北京）股份有限公司1 1 5−2t 3 5 3 5
∴S= EG•HD= × × （ ﹣t）= （ ﹣t）2 ，
2 2 4 5 2 20 2
5
t的取值范围为：0≤t≤ ；
2
（3）①由（2）知CF=t，
如图2，当DF=CD时，如图作DK⊥CF于K，
1 1
则CK= CF= t，
2 2
∵CK=CDcos∠DCE，
1 3
∴ t=3× ，
2 5
18
解得：t= ；
5
18
∴当t= 时，DF=CD；
5
②∵点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），
∴AB=8，OB=4，
∴OA= ，
√AB2+OB2=4√5
3
∵由（2）知HD= （5﹣t），
5
学科网（北京）股份有限公司3 8
∴OH=t+3﹣ （5﹣t）= t ，
5 5
∵∠A+∠AOB=∠AOD+∠AOB=90°，
∴∠A=∠AOD，
∴Rt△AOB∽Rt△OFH，
OH OF
∴ = ，
AB OA
4√5
解得OF= t ，
5
∵当△CDF的外接圆与OA相切时，则OF为切线，OD为割线，
4√5 15
∴OF2=OC•OD，即（ t）2=t（t+3），得t= ．
5 11
【考点】勾股定理，矩形的判定与性质，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）直接根据勾股定理求出CE的长即可；
（2）作FH⊥CD于H．，由AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD可知四边形ODEB是矩形，故可用t表示出AE
及BE的长，由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，由相似三角形的性质可用t
表示出CF及EG的长，FH∥ED可求出HD的长，由三角形的面积公式可求出S与t的关系式；
1 1
（3）①由（2）知CF=t，当DF=CD时，作DK⊥CF于K，则CK= CF= t，CK=CDcos∠DCE，由此可得
2 2
出t的值；
3
②先根据勾股定理求出OA的长，由（2）知HD= （5﹣t），由相似三角形的判定定理得出
5
Rt△AOB∽Rt△OFH，可用t表示出OF的长，因为当△CDF的外接圆与OA相切时，则OF为切线，OD为
割线，由切割线定理可知OF2=OC•OD，故可得出结论．
四、综合题
24. ( 12分 ) 如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D ， 过点D作DE∥AB交
CA的延长线于点E ， 连接AD ， BD ．
学科网（北京）股份有限公司（1）由AB ， BD ， 围成的曲边三角形的面积是________；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）求线段DE的长．
25 25蟺
【答案】 （1） +
2 4
（2）证明：由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB．
∵DE∥AB，∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：∵AB=10、AC=6，∴BC= =8． 过点A作AF⊥DE于点F，
则四边形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，
∴tan∠EAF=tan∠CBA，
EF AC EF 6 15
∴ = ，即 = ， ∴EF= ，
AF BC 5 8 4
15 35
∴DE=DF+EF= +5= ．
4 4
学科网（北京）股份有限公司【考点】勾股定理，切线的判定，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）如图，连接OD ．
∵AB是直径，且AB=10，
∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5．
1
∵CD平分∠ACB ， ∴∠ABD=∠ACD= ∠ACB=45°，
2
∴∠AOD=90°，则曲边三角形的面积是
90蟺脳52 1 25 25蟺
S AOD+S BOD= + ×5×5= + ．
扇形 △ 360 2 2 4
25 25蟺
故答案为 + ；
2 4
【分析】（1）连接OD ， 由AB是直径知∠ACB=90°，结合CD平分∠ACB知∠ABD=∠ACD=45°，从而
知∠AOD=90°，根据曲边三角形的面积=S AOD+S BOD可得答案；
扇形 △
（2）由∠AOD=90°，即OD⊥AB ， 根据DE∥AB可得OD⊥DE ， 即可得证；
（3）勾股定理求得BC=8，作AF⊥DE知四边形AODF是正方形，即可得DF=5，由∠EAF=90°﹣
EF AC
∠CAB=∠ABC知tan∠EAF=tan∠CBA ， 即 = ，求得EF的长即可得．
AF BC
25. ( 12分 ) 如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿
AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动
时间为t（s），
则：
（1）BP = ________cm，BQ = ________cm．（用含t的代数式表示）
学科网（北京）股份有限公司（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【答案】 （1）3-t；t
（2）解：①若点P为直角顶点，因为 ，所以
所以 BQ=2BP 即t=2(3-t), 解得t=2
②若点Q是直角顶点，∵ ，∴
∴ BP=2BQ 即3-t=2t, 解得t=1
答：当t=1s或t=2s时，△PBQ是直角三角形
【考点】等边三角形的性质，含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1） cm, BQ=t cm
在 △PBQ中，
若△PBQ是直角三角形，则点P或点Q
为直角顶点
【分析】（1）根据路程=速度×时间填空即可。（2）由题意分两种情况：① 若点P为直角顶点，因为
，所以 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得t=2(3-t), 解得t=2.②若点
Q是直角顶点，由 ，可得 ， 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得3-
t=2t, 解得t=1.从而得出答案。
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