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第二十八章 锐角三角函数
28.2.1 解直角三角形
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在 ABC中，∠C=90°，若sinA= ，AB=2，则AC长是
A． B．
C． D．2
【答案】A
【解析】∵∠C=90°，sinA= ，AB=2，
∴BC=AB×sinA=2× = ，
由勾股定理得：AC= ．
故选A．
2．等腰三角形的顶角 ，底边 的长为 ，那么它的腰长是
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】如图，
∵△ABC是等腰三角形，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，AD⊥BC，∵BC=12，∴BD=6，设AD为
x，则AB=2x，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2 ，即（2x） 2=62+x2 ，解得：x=2 ，∴2x=4 ，∴它
的腰长是4 ．故选：B．
【名师点睛】考查了解直角三角形，关键是根据题意画出图形，根据在直角三角形中30°所对的直角边等于
斜边的一半得出AB与AD的关系．
3．如图，已知在 中， ， 是 边上一点， ， ，且
，则 的长为
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
4．在 ABC中，∠C=90°，当 ABC沿折痕BE翻折时，点C恰好落在AB的中点D上，若BE=6，则AC的长是
A．6 B．8
C．9 D．10
【答案】C
【解析】∵∠BDE＝∠C＝90°，
∴ED⊥AB，
∵AD＝DB，
∴EA＝EB＝6，
∴∠EAB＝∠EBA＝∠EBC，
∵∠C＝90°，
∴∠EAB＝∠EBA＝∠EBC＝30°，
∴EC＝ EB＝3，
∴AC＝AE＋EC＝6＋3＝9，
故选：C．
【名师点睛】本题考查翻折变换、解直角三角形、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
5． ABC中，∠C=90°，∠B=58°，BC=3，则AB的长为
A． B．
C．3sin58° D．3cos58°
【答案】B
【解析】∵cosB= ，
∴AB= = ，
故选B．
6．如图，在 中， ， ，D是AC上一点，若 ，则AD的长为A．2 B．4
C． D．
【答案】A
7．如图，已知梯形 中， ， ， ， ， ，则 的长是
A．8 B．(4+3 )
C．10 D．6
【答案】C
【解析】作DE∥AB交BC于点E，
∵AD∥BC，∴BE=AD=4，ED=AB=3 ，∠DEC=30°，
∵∠C=60°，
∴∠EDC=90°，
∵sin60°= ，
∴EC=3 ÷sin60°=6，
BC=EC+BE=10，
故选：C．
8．如图， 中， ， ， 平分 ， 于 ，若 ， ，则
的面积是
A．27 B．18
C．18 D．9
【答案】D
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
9．在 ABC中,∠C=90°,若AB=4,sinA = ，则斜边AB边上的高CD的长为________.
【答案】【解析】如图，∵在 ABC中，∠C=90°，AB=4，sinA= ，
∴BC= ，
∴AC= ，
∵CD是AB边上的高，
∴CD=AC·sinA= .
故答案为： .
10．在 中， ， ， ，则 ________．
【答案】 或
【解析】分两种情况考虑，
(i)当 ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC，如图1所示，
∵在 ABD中,AB=16,∠ABC= ，
∴
利用勾股定理得：
在 ADC中，AD=8，AC=10，根据勾股定理得：
则
(ii)当 ABC为钝角三角形，过A作AD⊥BC，如图2所示，
∵在 ABD中,AB=16,∠ABC= ，
∴ 利用勾股定理得：
在 ADC中，AD=8，AC=10，
根据勾股定理得：
则
综上,BC的长为 或 .
故答案为： 或 .
11．在 ABC中，∠A=90°，BC=10，cosB= ，AC=__________．
【答案】8
【解析】∵在 ABC中，∠A=90°，BC=10，cosB= ，cosB= ，
∴AB=6．
∴AC= = =8．
故答案为：8．
12．如图，已知AD是等腰三角形ABC底边上的高，且tanB＝ ，AC上有一点E，满足AE∶CE＝2∶3，则
tan∠ADE的值是__________．【答案】
【解析】作EF⊥AD于F，如图，
∵ ABC为等腰三角形，AD为高，
∴∠B=∠C，
∴tanC= = ，
设AD=4t，DC=3t，
∴AC= =5t，
而AE:CE=2:3，
∴AE=2t，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴ = = ,即 = = ，
∴AF= t，EF= t，
∴FD=AD−AF= t，
在 DEF中,tan∠FDE= = ，
∴tan∠ADE= .
故答案为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．如图，AD是 ABC的角平分线，且AD= ，∠C=90°，AC=8 ，求BC及AB．
14．已知：如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长.
【解析】∵CD⊥AB ，CD＝8cm，AC＝10cm，
∴根据勾股定理得：AD=6，
∴sinA = = ，cosA = = ，
∴在Rt ABC中，AB= = ，
BD=AB-AD= .
15．如图，在 ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,CD= ，BD= ,求AB及∠B．【答案】30°
【解析】过D点作DE⊥AB于E点，设AC=x，则AE=x.
在 BED中，得到BE=3,又由AB2=AC2+BC2，得（3+x）2=x2+27,解得x=3,AB=6,
sinB= ,∴∠B=30°.
