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第二十八章 锐角三角函数(学霸加练卷)
(时间：60分钟，满分：100分)
一．选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分。)
1．(2022·江苏镇江·中考真题)如图，在等腰 中， ，BC= ， 同时与边 的延长
线、射线 相切， 的半径为3．将 绕点 按顺时针方向旋转 ， 、 的对应点
分别为 、 ，在旋转的过程中边 所在直线与 相切的次数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：如图：作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆
∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ
∴AO平分∠PAQ
∵∠CAB=120°
∴∠PAO=30°
∵OP=3
∴AO= =6
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠ACB=30°，CD= BC=
∴AD= =3
∴⊙A的半径为3,
∴⊙O与⊙A的半径和为6
∵AO=6
∴⊙O与⊙A相切
∵AD⊥BC
∴BC所在的直线是⊙A的切线
∴BC所在的直线与⊙O相切∴当 =360°时，BC所在的直线与⊙O相切
同理可证明当 =180°时， 所在的直线与⊙O相切．
当 ⊥AO时，即 =90°时， 所在的直线与⊙O相切．
∴当 为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切
故答案选C．
2．(2022·四川泸州·中考真题)如图，在边长为3的正方形 中，点 是边 上的点，且 ，
过点 作 的垂线交正方形外角 的平分线于点 ，交边 于点 ，连接 交边 于点 ，
则 的长为( )
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】解：如图所示：在AD上截取 连接GE，延长BA至H，使 连接EN，为正方形外角 的平分线，
在 和 中，
在 和 中，
在 和 中，设 则
在 中，
故选：B．
3．(2022·四川眉山·中考真题)如图，四边形 为正方形，将 绕点 逆时针旋转 至 ，点
， ， 在同一直线上， 与 交于点 ，延长 与 的延长线交于点 ， ， ．
以下结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数为( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵ 旋转得到 ，
∴ ，
∵ 为正方形， ， ， 在同一直线上，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 旋转得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
设正方形边长为a，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
过点E作 交FD于点M，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故④正确
综上所述：正确结论有4个，故选：D
4．(2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题)如图①，在矩形 中，H为 边上的一点，点M从点A出发沿
折线 运动到点B停止，点N从点A出发沿 运动到点B停止，它们的运动速度都是 ，
若点M、N同时开始运动，设运动时间为 ， 的面积为 ，已知S与t之间函数图象如图②
所示，则下列结论正确的是( )
①当 时， 是等边三角形．
②在运动过程中，使得 为等腰三角形的点M一共有3个．
③当 时， ．
④当 时， ．
⑤当 时， ．
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤
【答案】A
【详解】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止
不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，
∴AH=AB=6cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6cm．
∵当t=6s时，S= cm2，
∴ ×AB×BC= ．
∴BC= ．
∵当6≤t≤9时，S= 且保持不变，
∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为(9-6)秒，
∴HC=3cm，即点H为CD的中点．
∴BH= ．
∴AB=AH=BH=6，
∴△ABM为等边三角形．
∴∠HAB=60°．
∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，
∴AM=AN，
∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．
故①正确；
②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：
此时有两个符合条件的点；
当AD=AM时，△ADM为等腰三角形，如图：当DA=DM时，△ADM为等腰三角形，如图：
综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．
∴②不正确；
③过点M作ME⊥AB于点E，如图，
由题意：AM=AN=t，
由①知：∠HAB=60°．
在Rt△AME中，
∵sin∠MAE= ，
∴ME=AM•sin60°= t，
∴S= AN×ME= ．∴③正确；
④当t=9+ 时，CM= ，如图，
由①知：BC= ，
∴MB=BC-CM= ．
∵AB=6，
∴tan∠MAB= ，
∴∠MAB=30°．
∵∠HAB=60°，
∴∠DAH=90°-60°=30°．
∴∠DAH=∠BAM．
∵∠D=∠B=90°，
∴△ADH∽△ABM．
∴④正确；
⑤当9＜t＜9+ 时，此时点M在边BC上，如图，
此时MB=9+ -t，∴S= ．
∴⑤不正确；
综上，结论正确的有：①③④．
故选：A．
5．(2021·内蒙古·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在
y轴的正半轴上，点B的坐标为(4，2)，反比例函数 的图象与BC交于点D，与对角线OB交于
点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：① ；② ；③
；④ ．其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【详解】解：∵OABC为矩形，点B的坐标为(4，2)，
∴A点坐标为(4，0)，C点坐标为(0，2)，
根据反比例函数 ，
当 时， ，即D点坐标为(1，2)，
当 时， ，即F点坐标为(4， )，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
，
∴ ，
故结论①正确；
设直线OB的函数解析式为： ，
点B代入则有： ，
解得： ，
故直线OB的函数解析式为： ，
当 时， (舍)
即 时， ，
∴点E的坐标为(2，1)，
∴点E为OB的中点，
∴ ，
故结论②正确；
∵ ，
∴ ，
由②得： ，
，
∴ ，
故结论③正确；
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
故结论④正确，
综上：①②③④均正确，
故选：A．
6．(2020·辽宁朝阳·中考真题)如图，在正方形 中，对角线 相交于点O，点E在BC边上，且
，连接AE交BD于点G，过点B作 于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作
交DC于占N， ，现给出下列结论：① ；② ；③
；④ ；其中正确的结论有( )
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【详解】∵ ，
∴ ,
又∵
∴ ,，
，故①正确；
如图，过点O作 交AE于点H，过点O作 交BC于点Q，过点B作 交OM的延长
线于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
∴ ，
，．
，
即 ，
∴ ，
，故②错误；
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
，，
，故③正确；
，
，
．
，
，
，故④正确；
∴正确的有①③④，
故选：D．
7．(2020·重庆·中考真题)如图，在△ABC中，AC= ，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻
折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接
BE，则线段BE的长为( )
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【详解】解：在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=15°，
∴∠ACB=120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，得△ACD，
∴∠ACE=∠ACB=120°，∠DAE=∠DAC=∠BAC=15°，即∠CAE=30°，
在△ACE中，∠CEA=180°-∠ACE-∠CAE=30°，
∴AC=EC，
又∵∠ECB=360°-∠ACE-∠ACB=120°，在△EBC和△ABC中，
∴△EBC≌△ABC，
∴BE=BA.
如下图，延长BC交AE于F，
∵CE=CA，BE=BA，
∴BC是线段AE的垂直平分线，即∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，AC= ，
∴AF=AC·cos∠CAF= .
在Rt△AFB中，∠ABC=45°，
∴AB= AF= ，
∴BE=AB= .
故选：C.
8．(2019·湖南长沙·中考真题)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的
一个动点，则 的最小值是( )A． B． C． D．10
【答案】B
【详解】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵tanA= =2，设AE=a，BE=2a，
则有：100=a2+4a2，
∴a2=20，
∴a=2 或-2 (舍弃)，
∴BE=2a=4 ，
∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM=BE=4 (等腰三角形两腰上的高相等))
∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，
∴ ，
∴DH= BD，
∴CD+ BD=CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+ BD≥4 ，∴CD+ BD的最小值为4 ．
故选B．
9．(2019·四川·中考真题)如图，已知 两点的坐标分别为 ，点 分别是直线 和x
轴上的动点， ,点 是线段 的中点，连接 交 轴于点 ；当⊿ 面积取得最小值时，
的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，设直线x=-5交x轴于K．由题意KD= CF=5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时， ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，△
∴AD⊥KD，
∵AK=13，DK=5，
∴AD=12，
∵tan∠EAO= ，∴ ，
∴OE= ，
∴AE= ，
作EH⊥AB于H．
∵S = •AB•EH=S -S ，
ABE AOB AOE
△ △ △
∴EH= ，
∴ ，
∴ ，
故选B.
10．(2019·重庆·中考真题)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活
动．如图，在一个坡度(或坡比) =1:2.4的山坡AB上发现有一棵占树CD．测得古树底端C到山脚点A的距
离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB
的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为( )(参考数据：
°≈0.73，cos8°≈0.67，tan48°≈1.11)
A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米
【答案】C【详解】
解：如图，∵ =1：2.4=
∴设CF=5k，AF=12k，
∴.AC= =13k=26，解得.k=2，
∴AF=10，CF=24，
∵AE=6，
∴EF=6+24=30，
∴∠DEF=48°
∴tan48°= =1.11
∴DF=33.3，
∴CD=33.3-10=23.3，答：古树CD的高度约为23.3米，故选C.
二．填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分。)
11．(2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题)如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为
D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
【答案】4
【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝ ，
∴PA+2PB＝2 ＝ ＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4 ，
∴(PA+2PB) ＝2BF＝ ，
最大
故答案为： ．
12．(2022·江苏南通·中考真题)如图，点O是正方形 的中心， ． 中，
过点D， 分别交 于点G，M，连接 ．若
，则 的周长为___________．【答案】
【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形 的中心点O，作FH⊥CD于点H，
∵ ， ，
∴
∴AG＝ AB＝ ，
∴BG＝ ，
∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，
∴∠EGD＝∠HDF
∵∠AGB＝∠EGD，
∴∠AGB＝∠HDF，
在 ABG和 HFD中， ，
△ △
∴ ABG≌ HFD(AAS)，
∴△AG＝DH△，AB＝HF，
∵在正方形 中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，
∴DH＝AG＝ AB＝ CD，BC＝HF，
在 BCM和 FHM中， ，
△ △∴ BCM≌ FHM(AAS)，
△ △
∴MH＝MC＝ CD，BM＝FM，
∴DH＝MH，
∵FH⊥CD，
∴DF＝FM，
∴BG＝DF＝FM＝BM＝ ，
∴BF＝ ，
∵M是BF中点，O是BD中点， BEF是直角三角形，
△
∴OM＝ ，EM＝ ，
∵BD＝ ， BED是直角三角形，
△
∴EO＝ ，
∴ 的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋ ＋ ，
故答案为： ．
13．(2022·黑龙江大庆·中考真题)如图，正方形 中，点E，F分别是边 上的两个动点，且正方
形 的周长是 周长的2倍，连接 分别与对角线 交于点M，N．给出如下几个结论：
①若 ，则 ；② ；③若 ，则 ；④若，则 ．其中正确结论的序号为____________．
【答案】②
【详解】解：∵正方形 的周长是 周长的2倍，
∴ ，
，
①若 ，则 ，故①不正确；
如图，在 的延长线上取点 ，使得 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
， ， ，
， ，，
， ， ，
，
，
，
，
即 ，故②正确；
如图，作 于点 ，连接 ，
则 ，
， ，
，
同理可得 ，
，
关于 对称轴， 关于 对称，
，
，
，
是直角三角形，
③若 ，
，
，故③不正确，
，若 ，
即 ，
，
， ，
又 ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
故④不正确．
故答案为：②．
14．(2022·浙江绍兴·中考真题)如图， ，点 在射线 上的动点，连接 ，作 ，
，动点 在 延长线上， ，连接 ， ，当 ， 时， 的长是
______．
【答案】5或
【详解】解：如图，过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN=BN•tan∠CBN=3x，
∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，
∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，则∠CAN=∠DCM，
在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，
∴△ACN≌△CDM(AAS)，
∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x，
∵∠CMD=∠CED=90°，
∴点C、M、D、E四点共圆，
∴∠CME=∠CDE=45°，
∵∠ENM=90°，
∴△NME是等腰直角三角形，
∴NE=NM=CM-CN=10-2x，
Rt△ANC中，AC= ，
Rt△ECD中，CD=AC，CE= CD，
Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2，
∴ ，
，
，
x=5或x= ，
∵BE=BN+NE=x+10-2x=10-x，∴BE=5或BE= ；
故答案为：5或 ；
15．(2022·四川南充·中考真题)如图，正方形 边长为1，点E在边 上(不与A，B重合)，将
沿直线 折叠，点A落在点 处，连接 ，将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连接 ．
给出下列四个结论：① ；② ；③点P是直线 上动点，则
的最小值为 ；④当 时， 的面积 ．其中正确的结论是
_______________．(填写序号)
【答案】①②③
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
由旋转知，∠ABA=90°，AB=AB，
1 2 1 2
∴∠ABA=∠CBA，
1 2
∴ ABA≌ CBA，
1 2
故△①正确；△
过D作DM⊥CA 于M，如图所示，
1由折叠知AD=AD=CD，∠ADE=∠ADE，
1 1
∴DM平分∠CDA ，
1
∴∠ADE+∠CDM=45°，
又∠BCA+∠DCM=∠CDM+∠DCM=90°，
1
∴∠BCA=∠CDM，
1
∴∠ADE+∠BCA=45°，
1
故②正确；
连接AP、PC、AC，由对称性知，PA=PA，
1
即PA+PC=PA+PC，当P、A、C共线时取最小值，最小值为AC的长度，即为 ，
1
故③正确；
过点A 作AH⊥AB于H，如图所示，
1 1
∵∠ADE=30°，
∴AE=tan30°·AD= ，DE= ，
∴BE=AB-AE=1- ，
由折叠知∠DEA=∠DEA =60°，AE=AE= ，
1 1∴∠AEH=60°，
1
∴AH=AE·sin60°= ，
1 1
∴ ABE的面积= ，
1
△
故④错误，
故答案为：①②③．
16．(2021·四川绵阳·中考真题)在直角 中， ， ， 的角平分线交 于点
，且 ，斜边 的值是______．
【答案】
【详解】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF， ，
又 ，
∴四边形CEDF为正方形，
， ，
在 中， ，
∵ ，
，
， ， ，
，
即 ，
又 ，，
∵在 中， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
，
，
，
即 (舍负)，
故答案为： ．
三．解答题(本题共6小题，共36分。)
17．(2022·江苏淮安·中考真题)在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图(1)，在
菱形 中， 为锐角， 为 中点，连接 ，将菱形 沿 折叠，得到四边形 ，
点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ．(1)【观察发现】 与 的位置关系是______；
(2)【思考表达】连接 ，判断 与 是否相等，并说明理由；
(3)如图(2)，延长 交 于点 ，连接 ，请探究 的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图(3)，当 时，连接 ，延长 交 于点 ，连接 ，请写出 、 、
之间的数量关系，并说明理由．
【详解】(1)解：∵在菱形 中， ，
∴由翻折的性质可知， ，
故答案为： ；
(2)解： ，
理由：如图，连接 ， ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∴点B、 、C在以 为直径,E为圆心的圆上，
∴ ，
∴ ，
由翻折变换的性质可知 ，
∴ ，
∴ ；
(3)解：结论： ；
理由：如图，连接 ， ， ，延长 至点H，由翻折的性质可知 ，
设 ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点B、 、C在以 为直径,E为圆心的圆上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
(4)解：结论： ，
理由：如图，延长 交 的延长线于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中，则有 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
18．(2022·江苏镇江·中考真题)如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是 ，
高为 ．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下
底面圆的直径 、 以及 、 组成的轴对称图形，直线 为对称轴，点 、 分别是 、 的
中点，如图2，他又画出了 所在的扇形并度量出扇形的圆心角 ，发现并证明了点 在
上．请你继续完成 长的计算．
参考数据： ， ， ， ， ， ．
【详解】解：连接 ，交 于点 ．设直线 交 于点 ．
∵ 是 的中点，点 在 上，
∴ ．
在 中，∵ ， ，∴ ， ．
∵直线 是对称轴，
∴ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ， ．
在 中， ，
即 ，
则 ．
∵ ，
即 ，
则 ．
∴ ．
∵该图形为轴对称图形，张圆凳的上、下底面圆的直径都是 ，
,
∴ ．
∴ ．
19．(2022·山东聊城·中考真题)我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”(如图①)．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位
于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐
CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°(点B，H，D三点在同一直线上)．已知塔高为39米，塔基B与树底
D的水平距离为20米，求古槐的高度(结果精确到1米)．(参考数据： ， ，
， ， ， )
【详解】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，
由题意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，
在 中，∠EAM=26.6°，
∴ ，
∴ 米，
∴BH=AM=12米，
∵BD=20，
∴DH=BD BH=8米，∴CN=8米，
在 中，∠ECN=76°，
∴ ，
∴ 米，
∴ (米)，
即古槐的高度约为13米．
20．(2022·海南·中考真题)无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，
无人机在空中P处，测得楼 楼顶D处的俯角为 ，测得楼 楼顶A处的俯角为 ．已知楼 和楼
之间的距离 为100米，楼 的高度为10米，从楼 的A处测得楼 的D处的仰角为 (点A、
B、C、D、P在同一平面内)．
(1)填空： ___________度， ___________度；
(2)求楼 的高度(结果保留根号)；
(3)求此时无人机距离地面 的高度．
【详解】(1)
过点A作 于点E，由题意得：
∴
(2)
由题意得： 米， ．
在 中， ，
∴ ，
∴
∴楼 的高度为 米．
(3)
作 于点G，交 于点F，则
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ (AAS)．
∴ ．
∴
∴无人机距离地面 的高度为110米．
21．(2022·江苏扬州·中考真题)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘 在 轴
上，且 dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为 轴，高度 dm．现计划将此余料进行切
割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘 上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘 上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若切割成圆，判断能否切得半径为 dm的圆，请说明理由．
【详解】(1)
由题目可知A(-4，0)，B(4，0)，C(0，8)
设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
∵对称轴为y轴，
∴b=0，将A、C代入得，a= ，c=8
则二次函数解析式为 ，
如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m，
则P点坐标可以表示为(m，2m)
代入二次函数解析式得，
，解得 (舍去)，
∴2m= ，
则正方形的面积为 ；(2)
如下如所示矩形DEFG，设DE=2n，则E(n，0)
将x=n代入二次函数解析式，得
，
则EF= ，
矩形DEFG的周长为：2(DE+EF)=2(2n+ )= ，
当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；
(3)
若能切成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图，N为 上一点，也是抛物线上一点，过点N作 的切线交y轴于点Q，连接MN，过点N作
NP⊥y轴于P，设 ，
由勾股定理得： ，
∴
解得： ， (舍去)，
∴ ，
∴
∵
∴
∴
设QN的解析式为：
∴
∴∴QN的解析式为：
与抛物线联立为：
所以此时N为 与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
所以若切割成圆，能够切成半径为3dm的圆．
