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… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第一章 勾股定理·能力提升
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（25-26 八年级下·安徽合肥·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数
学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．12，13，14
B．24，25，26
C．9，30，31
D．9，40，41
2．在直角三角形中，斜边长为13，一直角边长为5，则另一直角边长为（ ）
A．6
B．7
C．10
D．12
3．在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，若
4
AB =
，则
2
2
2
AB
BC
AC
+
+
等于（ ）
A．32
B．16
C．20
D．25
4．（25-26 八年级下·广东惠州·期末）如图，强台风时一棵大树在距离地面5 m 的点C 处折断，大树顶端的
着地点A与大树底端B 的距离为12 m ，则这棵树折断前的高度为（ ）
A．17 米
B．18米
C．25 米
D．30米
5．下列命题：
①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13；
②如果a、b、c 为一组勾股数，那么3a 、3b 、3c 仍是勾股数；
③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a
b
c
=
），那么
2
2
2
:
:
2:1:1
a
b
c =
．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
6．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以Rt
ABC
△
的直角边AB ，BC 为边向外作正方形，其面
积分别为
1S ，
2
S ，以斜边AC 为直径向外画半圆，其面积为
3
S ．若
1
5
S =
，
2
3
S = ，则
3
S 等于（ ）
A．
B．2
C．4
D．8
7．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的
长为30 步，宽与对角线的和为50 步，不知田有几亩．设长方形田的宽为x 步，则可列方程为（ ）
A．30
50
x
x
+
=
−
B．
(
)
2
2
2
30
50
x
x
+
−
=
C．
(
)
2
2
2
30
50
x
x
+
=
−
D．
(
)
2
2
2
50
30
x
x
+
−
=
8．如图，在4 4
的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，则下列结论错误的是
（ ）
A．
2
20
AB =
B．
90
BAC
=
C．ABC
的面积为10
D．点A 到直线BC 的距离是2
9．如图，Rt
ABC
△
中，
8
AB =
，
6
BC =
，
90
B
=
，M ，N 分别是边AC ，AB 上的两个动点．将ABC
沿直线MN 折叠，使得点A的对应点D 落在边BC 的三等分点处，则线段BN 的长为（ ）
A．3
B．15
4
C．3 或15
4
D．3 或5
3
10．
（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（Rt
ADE
△
，Rt
DCH
△
，
Rt
CBG
△
，Rt
BAF
△
）与一个小正方形EFGH 组成的一个大正方形ABCD，连接DF 交CH 于点M ，已知
正方形ABCD的面积为25 ，
2
DE
AE
=
，下列结论正确的是（ ）
A．正方形EFGH 的面积为4
B．
2
20
DF =
C．M 是DF 的中点
D．
15
BG CG
=
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此
卷
只
装
订
不
密
封
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．（25-26 七年级下·山东济南·期末）若6 ，a ，10是勾股数，则a 的值是________．
12．
（25-26 八年级下·安徽阜阳·期末）在Rt
ABC
△
中，
90 ,
:
5:12
C
a b
=
=
，
39
c =
，则 a
b
+
=__________
13．
（25-26 八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，
C，通过道路BA，CA 可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道CA ，为方便游客观景，分散人流，决
定新修道路AD（点D 在BC 上）．经测量：
1.5km
AB =
，
1.2km
AD =
，
0.9km
BD =
．则AD是否为从A
到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）．
14．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
6
AC =
，
8
BC = ，P 是AB 上一动点，
则PC 的最小值为________．
15．如图，是一个长、宽、高分别是5、3、4 的长方体，现有一只蚂蚁在长方体的表面上从N 点向M 点
处爬行，那么蚂蚁爬行的最短距离的平方是 _______．
16．已知点A，B，C 分别在从上往下相互平行的直线1l ，2l ，3l 上，1l 与2l 之间的距离是1，2l 与3l 之间的
距离是2．若ABC
是等腰直角三角形，则它的面积是________．
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分）
17．ABC
中，
90
C
=
，CD
AB
⊥
于D，
3,
5
CD
AC
=
= ，
(1)求AD长；
(2)求AB 长．
18．（25-26 八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某
校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为16 米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为34 米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7 米．
(1)求风筝的垂直高度CE ；
(2)如果小明想要风筝沿CD方向下降18 米，则他应该往回收线多少米？
19．综合与实践．
【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．
【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺．
【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由
摆动，OA表示小球静止时的位置；
步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从OA摆到OB 位置；
步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到OC 位置，使得OB
OC
⊥
．
【实验记录】如图2，在笔记本上记录点B 和点C 的位置（图中的A，B ，O，C 在同一平面上），并过点
B 作BD
OA
⊥
于点D ，过点C 作CE
OA
⊥
于点E ，测得
17cm
OB =
，
8cm
BD =
．
【实践探索】
(1)求证：OE
BD
=
；
(2)求DE 的长．
20．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数a ，b ，c 若满足
1
3
a
b
c
ab
+
+
=
，则称c 为a ，b 的
“调和数”．
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……………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
(1)若
3
a = ，
4
b =
，则a ，b 的“调和数”c = _______．
(2)若
1
2
ab =
，
2
2
8
a
b
+
=
，求a ，b 的“调和数”c ；
(3)若a ，b 的“调和数”c 满足
2
2
2
c
a
b
=
+
且a ，b ，c 均为正整数，求c 的值．
21．【问题情境】如图①，在ABC
中，AD为BC 边上的高．
【特例研究】
(1)若
1
CD = ，
2
AD =
，
4
BD =
，求证：AB
AC
⊥
；
【问题解决】
(2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁BD
AC
⊥
，斜
梁
4.2m
AC =
，
2.4m
BD =
，横梁
4m
BC =
．若横梁BC 与竖梁AB 不垂直则为不安全房梁，请判断小华设
计的房梁是否安全？并说明理由．
22．探究实践：如图，在ABC
中，
15
AB =
，
14
BC =
，
13
AC =
，求ABC
的面积．某学习小组经过合作
交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
(1)作AD
BC
⊥
于点D，设BD
x
=
，用含x 的代数式表示CD = _____；
(2)根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x 的值；
(3)利用勾股定理求出AD的长，再计算ABC
的面积．
23．综合与实践
【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1 是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，
3dm ，2dm，A和B 是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则
蚂蚁沿着台阶面爬行到B 点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB ，经过计算得到AB
长度即为最短路程，则AB = dm．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48 厘米，高是7 厘米，一只蚂蚁从点A出发
沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B 处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程
是多少厘米？（杯壁厚度不计）
24．如图，在ABC
中，
6cm
AB =
，
8cm
BC =
，
10cm
AC =
，动点P 从点B 出发，沿着ABC
的三条边逆
时针走一圈，回到点B 后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t 秒．
(1)证明：ABC
是直角三角形；
(2)若ABP
是以AB 为腰的等腰三角形，求t 的值；
(3)另有一动点Q ，从点B 开始，按顺时针方向走一圈回到点B ，且速度为1cm/s ．若P 、Q 两点同时出发，
当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出
．．．．当t 为何值时，直线PQ 把ABC
的周长分成
相等的两部分．
25．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1 可以得到(
)
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
+
=
+
+
，请解答下列问题：
(1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ；
(2)小明同学用图3 中x 张边长为a 的正方形，y 张宽、长分别为a、b 的长方形，9 张边长为b 的正方形纸
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装
订
不
密
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片，拼成一个面积最小的正方形，则x
y
+
的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b 的式子表示)
(3)如图4，是4 个边长分别为a、b、c 的直角三角形和1 个边长为c 的正方形拼成的大正方形．请根据图4
中的图形关系可推导出a、b、c 的数量关系式为____；
(4)如图5，直角ABC
中，
90
ACB
=
，
8
AC = ，
6
BC =
，点D 是AB 边上的一动点．请利用（3）的结论，
求线段CD的最小值．
