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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第十七章 因式分解
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题：本题共8 小题，每小题3 分，共24 分。
1.以下因式分解正确的是( )
A. ax2 −a = a(x2 −1)
B. m3 + m = m(m2 + 1)
C. x2 + 2x −3 = x(x + 2) −3
D. x2 + 2x −3 = (x −3)(x + 1)
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的定义与提公因式、十字相乘法，因式分解要求分解彻底，结果为整式乘积形
式。
【详解】
A. ax2 −a = a(x2 −1) = a(x + 1)(x −1)，分解不彻底，错误；
B. m3 + m = m(m2 + 1)，提取公因式后无法继续分解，正确；
C. 右边不是整式乘积形式，不属于因式分解，错误；
D. 十字相乘展开：(x −3)(x + 1) = x2 −2x −3 ≠x2 + 2x −3，分解错误；
故选：B。
2.多项式(1 −a)xy + (a −1)因式分解的结果为 ( )
A. (1 −a)(xy + 1)
B. (1 −a)(xy −1)
C. (a −1)(xy −1)
D. (a −1)(xy + 1)
【答案】B
【分析】本题考查提公因式法因式分解，先统一公因式符号再提取。
【详解】
原式= (1 −a)xy −(1 −a)，公因式为(1 −a)，
提取公因式得：(1 −a)(xy −1)，
故选：B。
3.若a −b = 5，ab = 24，则ab2 −a2b的值为 ( )
A. 19
B. 120
C. 29
D. −120
【答案】D
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【分析】本题考查提公因式整体代入求值，先分解代数式再整体代换已知条件。
【详解】
ab2 −a2b = ab(b −a) = −ab(a −b)，
代入a −b = 5，ab = 24，
原式= −24 × 5 = −120，
故选：D。
4.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a(a + c) −bc −ab = 0，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 无法判断
D. 等腰直角三角形
【答案】A
【分析】本题考查分组分解因式结合三角形三边关系判断三角形形状。
【详解】
a(a + c) −bc −ab = 0，分组得a(a + c) −b(a + c) = 0，
提取公因式：(a + c)(a −b) = 0，
∵三角形边长a + c > 0，∴a −b = 0，即a = b，
两边相等，故△ABC是等腰三角形，
故选：A。
5.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. x2 + x + 1
B. x2 + 2x −1
C. x2 −1
D. x2 −6x + 9
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式因式分解特征：两平方项同号，中间项为两底数积的 2 倍。
【详解】
A. 中间项x不是x · 1的 2 倍，不符合；
B. 常数项为负，不满足两平方项同号，不符合；
C. 是平方差形式，不是完全平方式；
D. x2 −6x + 9 = x2 −2 · x · 3 + 32 = (x −3)2，符合完全平方公式；
故选：D。
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6.下列各数中，不能整除653 −65的是( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】D
【分析】本题考查多次提公因式 + 平方差分解，再判断因数。
【详解】
653 −65 = 65(652 −1) = 65(65 + 1)(65 −1) = 65 × 66 × 64，
65 = 5 × 13，66 = 6 × 11 = 2 × 3 × 11，
式子包含因数3、5、6，不含因数7，故不能被 7 整除，
故选：D。
7.一名密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：a −b，x −1，3，x2 + 1，a，x + 1分别对应下列六个
字：国，爱，我，数，学，祖，现将3a(x2 −1) −3b(x2 −1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A. 爱数学
B. 我爱数学
C. 爱祖国
D. 我爱祖国
【答案】D
【分析】本题综合提公因式 + 平方差分解，匹配对应文字。
【详解】
3a(x2 −1) −3b(x2 −1)
= 3(x2 −1)(a −b)
= 3(x + 1)(x −1)(a −b)，
对应：3 =我，x + 1 =祖，x −1 =爱，a −b =国，组合为 “我爱祖国”，
故选：D。
8.如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形(a > b)，将余下部分拼成一个梯形，根据两个
图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式，这个恒等式为( )
A. (a −b)2 = a2 −2ab + b2
B. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
C. a2 −b2 = (a + b)(a −b)
D. a2 + ab = a(a + b)
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【答案】C
【分析】本题考查平方差公式几何意义，分别表示两图形阴影面积建立等式。
【详解】
正方形阴影面积：a2 −b2；
梯形上底2b，下底2a，高a −b，面积
(2a+2b)(a−b)
2
= (a + b)(a −b)；
面积相等：a2 −b2 = (a + b)(a −b)，
故选：C。
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.如图，把R1，R2(单位：Ω)两个电阻串联起来，线路AB上的电流为I(单位：A)，电压为U(单位：V)，则
U = IR1 + IR2.当R1 = 47.3，R2 = 40.7，I = 2.5时，U的值为 ．
【答案】220
【分析】本题提公因式简化计算，物理公式结合因式分解简便运算。
【详解】
U = I(R1 + R2) = 2.5 × (47.3 + 40.7) = 2.5 × 88 = 220。
10.若多项式4x2 −mxy + 9y2能用完全平方公式分解因式，则m的值是 ．
【答案】±12
【分析】本题完全平方公式参数求解，分两种完全平方式讨论。
【详解】
4x2 = (2x)2，9y2 = (3y)2，
完全平方式中间项：±2 · 2x · 3y = ±12xy，
原式中间项为−mxy，故−m = ±12，即m = ±12。
11.如图，根据图形把多项式a2 + 5ab + 4b2分解因式的结果为 ．
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【答案】(a + b)(a + 4b)
【分析】本题几何面积法十字相乘因式分解，大长方形长a + 4b，宽a + b。
【详解】
图形总面积：a2 + 5ab + 4b2，整体长方形长a + 4b，宽a + b，
故a2 + 5ab + 4b2 = (a + b)(a + 4b)。
12.对于任意两个数a，b，定义新数c = a + b −ab，称所得新数c为a，b的“鸿蒙数”.若a = 2，b = x2 −2x + 2，
则b c(填“>”“<”“≥”或“≤”)．
【答案】≥
【分析】本题新定义运算 + 作差法配完全平方比较大小。
【详解】
代入a = 2，c = 2 + b −2b = 2 −b，
作差：b −c = b −(2 −b) = 2b −2，
把b = x2 −2x + 2代入：
2(x2 −2x + 2) −2 = 2x2 −4x + 2 = 2(x −1)2 ≥0，
∴b −c ≥0，即b ≥c。
三、解答题：本题共6 小题，共64 分。
13（10 分）分解因式：
(1)（3 分） −2a3 + 12a2 −18a; (2) （3 分）9a2(x −y) + 4b2(y −x); (3)（4 分） 4x2 + 4x(x −y) + (x −
y)2．
【答案】
(1)解:原式=-2a(a2-6a+9)=-2a(a −3)2.
(2)解:原式=(x-y)(9a2-4b2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b).
(3)解:原式=[2x + (x −y)]2=(3x −y)2.
14.(7 分)
我校数学社团的小亮、小颖两位同学利用分组分解法进行因式分解：
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小亮：m2 −mn + 2m −2n
= (m2 −mn) + (2m −2n)
= m(m −n) + 2(m −n)
= (m −n)(m + 2)．
小颖：4x2 −y2 −z2 + 2yz
= 4x2 −(y2 + z2 −2yz)
= (2x)2 −(y −z)2
= (2x + y −z)(2x −y + z).
请你在他们解法的启发下，解决下面问题：
(1)因式分解：a3 −3a2 + a −3．
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2 −2ac + c2 = ab −bc，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】
(1) 【解】a3-3a2+a-3＝(a3-3a2)+(a-3)＝a2(a-3)+(a-3)×1＝(a2+1)(a-3)．
(2)△ABC 是等腰三角形．
理由如下：
∵a2-2ac+c2＝ab-bc，
∴a2-2ac+c2-ab+bc＝0，
∴(a-c)2-b(a-c)＝0，
∴(a-c)(a-c-b)＝0，
∴a-c＝0 或a-c-b＝0．
∵a，b，c 是△ABC 的三边长，
∴a＝c，
∴△ABC 为等腰三角形．
15.(10 分)
分解因式：x2 + 4xy + 4y2 −16．
解：∵x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)2，∴将x + 2y看成整体，令x + 2y = M，则原式= M2 −16 = (M + 4)(M −4).
将M还原，则原式= (x + 2y + 4)(x + 2y −4).上述解题过程用到的是“整体思想”．
请用“整体思想”解决以下问题：
(1)【数学理解】分解因式：(a −2b)2 −6(a −2b) + 9．
(2)【拓展探索】求证：无论a，b取何值，(a2b2 −4a)(a2b2 −4a −2) + 1的值一定是非负数．
【答案】(1)解:令a-2b=M
则原式=M2-6M+9=(M −3)2
将M 还原,则原式=(a −2b −3)2
(2)证明:令a2b2-4a=N,
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则原式=N(N-2)+1=N2-2N+1=(N −1)2,
将N 还原,则原式=(a2b2 −4a −1)2 ≥0.
∴无论a,b 取何值,(a2b2-4a)(a2b2-4a-2)+1 的值一定是非负数.
16.(12 分)
让我们来规定一种运算：|a
b
c
d| = ad −bc，例如：|2
4
3
1| = 2 × 1 −4 × 3 = −10，再如：|x
6
y
2| = 2x −6y.按
照这种运算规定，请解答下列问题：
(1) |−2
−5
4
3 | = ;
(2)当|x
1 −x
1
2
| = 0时，求x的值;
(3)将下面的式子进行因式分解：|x2 −2x
8
−3
x2 −2x −11|．
【答案】
(1)14
(2)由题意得2×x-(1-x)×1=0,解得x=
1
3.
(3)原式=(x2-2x)(x2-2x-11)-(-3)×8
=(x2 −2x)2-11(x2-2x)+24
=(x2-2x-3)(x2-2x-8)
=(x+1)(x-3)(x+2)(x-4).
17.(12 分)
阅读材料：
例题：已知二次三项式x2 −4x + m有一个因式是(x + 3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x + n).
根据题意，得x2 −4x + m = (x + 3)(x + n)，
则x2 −4x + m = x2 + (n + 3)x + 3n
∴{n + 3 = −4,
m = 3n,
解得{m = −21,
n = −7.
∴另一个因式为(x −7)，m的值为−21．
请根据上述材料回答下列问题：
(1)若二次三项式x2 −5x + 6可分解为(x −2)(x + a)，则a = ；
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(2)若二次三项式2x2 + bx −5可分解为(2x −1)(x + 5)，则b = ；
(3)若二次三项式2x2 + 3x −k有一个因式是(2x −5)，求另一个因式以及k的值．
【答案】
(1) -3
(2)9
(3)设另一个因式为(x+n)．
根据题意，得2x2+3x-k＝(2x-5)(x+n)＝2x2+(2n-5)x-5n，
则2n-5＝3，k＝5n，
解得n＝4，k＝20，
∴另一个因式为(x+4)，k 的值为20．
18.(13 分)
特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出
最终答案的一种方法.综合与实践课上，田老师展示了如下例题：
例：已知多项式2x3 −2x2 + m有一个因式是x + 2，求m的值．
解：由题意，设2x3 −2x2 + m = A ⋅(x + 2)(A为整式)，
由于上式为恒等式，为了方便计算，取x = −2，
则2 × (−2)3 −2 × (−2)2 + m = 0，解得m =◼．
(1) 【数学思考】“◼”处m的值为 ;
(2) 【方法应用】已知多项式2x3 −x2 −x + b有一个因式是2x −3，求b的值;
(3) 【深入探究】若多项式x4 + ax3 + bx −4有因式(x + 1)和(x −2)，求a，b的值．
【答案】
(1)24
(2)由题意,设2x3-x2-x+b=A⋅(2x-3)(A 为整式).
令2x-3=0,即x=
3
2,代入式子,
得2× (
3
2)3-(
3
2)2-
3
2+b=0,
解得b=-3;
(3)依题意,设x4+ax3+bx-4=A⋅(x+1)(x-2).
由于上式是恒等式,为方便计算,取x=-1,
得(−1)4+a× (−1)3+b×(-1)-4=0,
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即a+b=-3,
取x=2,得24+a× 23+b×2-4=0,
即4a+b=-6,
解方程组{ a + b = −3,
4a + b = −6,
解得{a = −1,
b = −2,
∴a=-1,b=-2.
