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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第十三章 三角形·基础通关
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（25-26 七年级下·四川内江·期末）下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（ ）
A．2cm ，3cm ，5cm
B．3cm ，3cm ，7cm
C．5cm ，6cm ，7cm
D．2cm ，2cm ，5cm
【答案】C
【详解】解：A、
2
3
5
+
=
Q
，不满足三角形两边之和大于第三边，\不能组成三角形；
B、
3
3
6
7
+
=
<
Q
，不满足三角形两边之和大于第三边，\不能组成三角形；
C、满足三角形任意两边之和大于第三边，\能组成三角形；
D、
2
2
4
5
+
=
<
Q
，不满足三角形两边之和大于第三边，\不能组成三角形．
2．若三角形的两条边的长度分别是4cm 和8cm ，则第三条边的长度不可能是（ ）
A．12cm
B．8cm
C．6cm
D．5cm
【答案】A
【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答．
【详解】解：设三角形第三条边的长度为cm
x
，
根据三角形三边关系可得：8
4
8
4
x
-
<
<
+
，即4
12
x
<
<
，
∵12cm 不在4
12
x
<
<
的范围内，
\第三条边的长度不可能是12cm ．
3．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理
是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．两点之间，线段最短
C．三角形的两边之和大于第三边
D．直角三角形的两个锐角互余
【答案】A
【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，构造三角形支架比较牢固稳定.
4．（25-26 七年级下·福建厦门·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若
1
55
Ð =
° ，则
2
Ð 的
度数是（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】D
【详解】解：如图，
∵直尺的两边互相平行，
∴
3
1
55
Ð
Ð
=
=
°，
∴
4
180
90
55
35
Ð =
°-
°-
° =
°，
∴
2
4
35
Ð = Ð =
°．
5．如图，四个图形中，线段BE 是ABC
V
的高的图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据高的画法知，过点B 作AC 边上的高，垂足为E，其中线段BE 是△ABC 的高．
【详解】解：由图可得，线段BE 是△ABC 的高的图是D 选项．
6．（25-26 七年级下·山东聊城·期末）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条高线的交点一定在三角形的内部
B．三角形的外角等于两个内角之和
C．在ABC
V
中，
:
:
1:3: 4
A
B
C
Ð
Ð
Ð
=
， 则ABC
V
为钝角三角形
D．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心
【答案】D
【分析】结合三角形高线，外角，内角和，重心的相关概念逐一判断选项正误．
【详解】A 项：因为钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶
点上，所以不是所有三角形高线交点都在三角形内部，A 错误；
B 项：因为三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以选项缺少限制条件，B 错误；
C 项：因为三角形内角和为180°，
:
:
1:3: 4
A
B
C
Ð
Ð
Ð
=
，所以最大角为
4
180
90
1 3
4
°´
=
°
+ +
，ABC
V
是直角
三角形，不是钝角三角形，C 错误；
D 项：由三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，D 正确．
7．如图，AD 是ABC
V
的角平分线．若
34 ,
66
B
BAC
Ð
=
° Ð
=
° ，则
ADC
Ð
的度数为（ ）
A．54°
B．57°
C．64°
D．67°
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义可得
BAD
Ð
的大小，再由三角形外角定理可得
ADC
Ð
的大小．
【详解】解：
AD
Q
平分
BAC
Ð
，
1
33
2
BAD
BAC
\Ð
=
Ð
=
°，
34
33
67
ADC
B
BAD
\Ð
= Ð + Ð
=
°+
° =
° ．
8．（25-26 七年级下·河南周口·期末）一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1 所示的地锁，图
2 为其示意图．若
3
105
Ð =
° ，则
2
1
Ð -Ð 的值为（ ）
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质可得
3
1
4
105
=
+
=
°
∠
∠
∠
，根据邻补角的定义可得
2
4
180
Ð + Ð =
°，进而即
可求解．
【详解】解：如图，
∵
3
1
4
105
=
+
=
°
∠
∠
∠
，
2
4
180
Ð + Ð =
°
∴
2
1
2
4
1
4
180
105
75
Ð - Ð = Ð + Ð
- Ð + Ð
=
°-
° =
°
9．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）如图，在
ABC
V
中，AD 平分
BAC
Ð
，点F 在线段AD 上，过点F 作
EF
AD
^
，垂足为F，EF 与BC 的延长线交于点E．若
30
B
Ð
=
° ，
25
E
Ð
=
°，则
ACB
Ð
的度数是（ ）
A．55°
B．65°
C．70°
D．80°
【答案】D
【分析】先观察EFD
V
，因为EF
AD
^
，所以
90
EFD
Ð
=
°，结合已知
E
Ð
的度数，可求出
EDF
Ð
的度
数．结合已知
B
Ð
的度数，可求出
BAD
Ð
的度数．因为AD 平分
BAC
Ð
，所以
2
BAC
BAD
Ð
Ð
=
，可得到
BAC
Ð
的度数．最后在ABC
V
中，利用三角形内角和为180°，可求出
ACB
Ð
的度数．
【详解】解：
EF
AD
^
Q
，
90
DFE
Ð
\
=
°，
在DFE
V
中，
90
90
25
65
ADE
E
Ð
Ð
=
°-
=
°-
° =
°．
180
ADE
ADB
B
BAD
Ð
Ð
Ð
=
°- Ð
=
+
Q
，
代入已知得：
65
30
35
BAD
ADE
B
Ð
Ð
Ð
=
-
=
°-
° =
° ．
AD
Q
平分
BAC
Ð
，
2
70
BAC
BAD
Ð
Ð
\
=
=
°．
在ABC
V
中，
180
180
30
70
80
ACB
B
BAC
Ð
Ð
Ð
=
°-
-
=
°-
°-
° =
°．
10．如图，已知
,
64
AM
BN
A
Ð =
°
∥
，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），
,
BC BD 分别平分
ABP
Ð
和
PBN
Ð
，分别交射线AM 于点
,
C D ．①
ACB
CBN
Ð
= Ð
；②
64
CBD
Ð
=
° ；③当
ACB
ABD
Ð
= Ð
时，
29
ABC
Ð
=
° ；④当点P 运动时，
:
2:1
APB
ADB
Ð
Ð
=
的数量关系不变．其中正确的有（ ）
A．①②③④
B．①③④
C．①②
D．①③
【答案】B
【分析】根据AM
BN
P
，可以得到
ACB
CBN
Ð
= Ð
（可以判断①），
PDB
DBN
Ð
= Ð
，根据角平分线的性质
得到
1
= 2
CBP
CBA
ABP
=
∠
∠
∠
，
1
= 2
DBP
DBN
NBP
=
∠
∠
∠
，从而得到
PBD
PDB
Ð
= Ð
，
1
1
=
=
=
2
2
CBD
CBP
DBP
ABP
PBN
ABN
Ð
= Ð
+ Ð
+
∠
∠
∠
58°，可以判断②，根据
ACB
ABD
Ð
Ð
=
，
180
A
ABC
ACB
Ð
Ð
Ð
+
+
=
° ，可以得到
180
A
ABC
ABD
Ð + Ð
+ Ð
=
° ，即可得到
2
180
A
ABC
CBD
Ð + Ð
+ Ð
=
° ，从而可以判断③， 根据
APB
ADB
PBD
Ð
= Ð
+ Ð
，得到
2
APB
ADB
Ð
= Ð
，可
以判断④.
【详解】解：
AM
BN
Q
P
，
64
A
Ð
=
°
ACB
CBN
\Ð
= Ð
，故①正确，
180
A
ABN
Ð + Ð
=
° ，
116
ABN
\Ð
=
° ，
BC
Q
、BD 分别平分
ABP
Ð
和
PBN
Ð
，
\
1
= 2
CBP
CBA
ABP
=
∠
∠
∠
，
1
= 2
DBP
DBN
NBP
=
∠
∠
∠
，
\
1
1
2
2
CBD
CBP
DBP
ABP
PBN
ABN
Ð
= Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
Ð
= 58°，故②错误
∵
ACB
ABD
Ð
Ð
=
，
180
A
ABC
ACB
Ð
Ð
Ð
+
+
=
° ，
∴
180
A
ABC
ABD
Ð + Ð
+ Ð
=
° ，
∵
ABD
ABC
CBD
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
2
180
A
ABC
CBD
Ð + Ð
+ Ð
=
° ，
即64
2
58
180
ABC
°+ Ð
+
° =
° ，
解得
29
ABC
Ð
=
o ，故③正确，
AM
BN
Q
P
，
PDB
DBN
\Ð
= Ð
，
又Q
DBP
DBN
=
∠
∠
PBD
PDB
\Ð
= Ð
，
APB
ADB
PBD
Ð
= Ð
+ Ð
Q
，
2
APB
ADB
\Ð
= Ð
，
:
2:1
APB
ADB
\Ð
Ð
=
，故④正确
综上所述，正确的结论有①③④．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．（25-26 七年级下·山东聊城·期末）若三角形的三边长分别是2，4，x，写出一个x 可以取的整数值
_____．（写出一个即可）
【答案】
3（答案不唯一，3，4，5 都正确）
【分析】根据三角形三边关系求出x 的取值范围，再在范围内找出符合要求的整数值即可．
【详解】根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得4
2
4
2
x
-
<
<
+
，
化简得2
6
x
<
<
，
x
Q 为整数，
x
\ 可取的值为3，4，5（答案不唯一）．
12．（25-26 七年级下·上海金山·期末）在ABC
V
中，若
1 2 6
A
B
C
Ð
Ð
Ð
=
∶
∶
∶
∶，则
C
B
Ð
- Ð
= ________°．
【答案】80
【分析】本题利用三角形内角和定理，根据三个角的比例关系设未知数，求解出各角度数后计算角度差即
可．
【详解】解：由题意设
A
x
Ð
=
，则
2
B
x
Ð
=
，
6
C
x
Ð
=
根据三角形内角和定理，得
2
6
180
x
x
x
+
+
=
°
解得
20
x =
°
因此
6 20
120
C
Ð
=
´
° =
° ，
2 20
40
B
Ð
=
´
° =
°
则
120
40
80
C
B
Ð
- Ð
=
°-
° =
°．
13．如图，ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，
3
AC =
，
4
BC =
，
5
AB =
，P 为直线AB 上一动点，连接PC ，则线段
PC 的最小值是_______．
【答案】12
5
【分析】根据当PC
AB
^
时，PC 的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：
3
AC =
Q
，
4
BC =
，
5
AB =
，
90
ACB
Ð
=
°，
当PC
AB
^
时，PC 的值最小，
此时：ABC
V
的面积
1
1
2
2
AB PC
AC BC
=
×
×
=
×
×
，
1
1
5
4 3
2
2
PC
\
´ ×
=
´ ´ ，
12
5
PC
\
=
．
∴线段PC 的最小值是12
5 ．
14．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）如图，AD 是ABC
V
的中线，E ，F 是AD 的三等分点，连接BE ，
CE ，BF ，CF ．如果ABC
V
的面积是24，那么图中阴影部分的面积和为_______．
【答案】16
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，以及等高三角形的面积比等于底边比的性质，
分别求出各部分阴影三角形的面积，最后求和即可．
【详解】解：
AD
Q
是ABC
V
的中线，ABC
V
的面积是24 ，
1
1
24
12
2
2
ABD
ACD
ABC
S
S
S
\
=
=
=
´
=
V
V
V
，
E
F
Q ，
是AD 的三等分点 ，
1
3
AF
FE
ED
AD
\
=
=
=
，
1
1 12
4
3
3
ABF
BDE
ABD
S
S
S
\
=
=
´
=
=
V
V
V
，
1
1 12
4
3
3
CEF
CDE
ACD
S
S
S
=
=
´
=
=
V
V
V
，
∴图中阴影部分的面积和为
4
4
4
4
16
ABF
BDE
CEF
CDE
S
S
S
S
+
+
+
=
+
+
+
=
V
V
V
V
．
15．（25-26 八年级下·广东河源·期末）在ABC
V
中，AB
AC
=
，O 为BC 上任意一点，OM
AB
^
，
ON
AC
^
，CH
AB
^
，垂足分别为M 、N 、H ，连接AO ．已知
2
OM =
，
5
CH =
，则ON 的长为__________．
【答案】3
【分析】根据
ABC
AOB
AOC
S
S
S
=
+
△
△
△
，结合三角形面积公式可得1
1
1
2
2
2
AB CH
AB OM
AC ON
×
=
×
+
×
，进而得
到CH
OM
ON
=
+
，据此可得答案．
【详解】解：∵OM
AB
^
，ON
AC
^
，CH
AB
^
，
∴
1
1
,
2
2
AOB
AOC
S
AB OM S
AC ON
=
×
=
×
△
△
，
1
2
ABC
S
AB CH
=
×
V
，
∵
ABC
AOB
AOC
S
S
S
=
+
△
△
△
，
∴1
1
1
2
2
2
AB CH
AB OM
AC ON
×
=
×
+
×
，
∵AB
AC
=
，
∴CH
OM
ON
=
+
，
∵
2
OM =
，
5
CH =
，
∴
3
ON =
．
16．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）如图，BD 是ABC
V
的角平分线，CE 是ABC
V
的高，
50
ABC
Ð
=
°，
80
ACB
Ð
=
° ，点F 为边AB 上一点，当ADF
V
为直角三角形时，
BDF
Ð
的度数为__________________．
【答案】15°或65°
【分析】分
90
AFD
Ð
=
° 和
90
ADF
Ð
=
° 两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和
定理求解即可．
【详解】解：Q BD 是ABC
V
的角平分线，
50
ABC
Ð
=
°，
\
1
25
2
ABD
CBD
ABC
Ð
= Ð
=
Ð
=
°，
当
90
AFD
Ð
=
° 时，
90
BFD
Ð
=
° ，
\
90
90
25
65
BDF
ABD
Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
° ；
当
90
ADF
Ð
=
° 时，
90
CDF
Ð
=
°，
Q
25
CBD
Ð
=
° ，
80
ACB
Ð
=
° ，
\
180
180
25
80
75
BDC
CBD
ACB
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
° ，
\
90
75
15
BDF
CDF
BDC
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
°
综上，
BDF
Ð
的度数为15°或65°．
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分）
17．如图，在ABC
V
中，AE
BC
^
，点E 是垂足，点D 是边BC 上的一点，连接AD ．
(1)写出ABE
V
的三个内角；
(2)在ABD
V
中，
B
Ð 的对边是__________；在ABC
V
中，
B
Ð 的对边是__________．
(3)图中共有________个三角形，
ADC
Ð
是哪几个三角形的公共角？
【答案】(1) ABE
V
的三个内角是：
BAE
Ð
，
B
Ð ，
AEB
Ð
(2) AD ；AC
(3)6，
ADC
Ð
是ADE
V
，ADC
V
的公共角
【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结
合图形明确三角形的组成元素及相互关系．
（1）根据三角形内角的定义，直接从ABE
V
中找出三个内角．
（2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在ABD
V
、△ABC 中确定
B
Ð 的对边．
（3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含
ADC
Ð
的三角形．
【详解】（1）ABE
V
的三个内角是：
BAE
Ð
，
B
Ð ，
AEB
Ð
；
（2）在ABD
V
中，
B
Ð 的对边是AD ；在ABC
V
中，
B
Ð 的对边是AC ．
故答案为：AD ；AC ；
（3）图中共有6 个三角形，分别是：ABD
V
，ABE
V
，ABC
V
，ADE
V
，ADC
V
，
AEC
△
．
故答案为：6；
ADC
Ð
是ADE
V
，ADC
V
的公共角；
18．已知ABC
V
的三边长分别为a，b，c．
(1)若
9
a =
，
5
b =
，且c 为整数，求ABC
V
周长的最大值．
(2)化简：b
c
a
c
a
b
a
b
c
+ -
-
-
-
-
-
+
．
【答案】(1)27
(2) 3a
b
c
-
+
+
【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c 的取值范围，进而求得c 的最大值，最后求周长即可；
（2）先根据三角形的三边关系确定b
c
a
+
-
、c
a
b
-
- 、a
b
c
- +
的正负，再化简绝对值，然后再合并同类
项即可解答．
【详解】（1）解：∵
9
a =
，
5
b =
，
9
5
9
5
c
\ -
<
<
+
，即4
14
c
<
<
，
∵c 为整数，
∴当
13
c =
，ABC
V
周长的最大值为
9
5 13
27
a
b
c
+
+
=
+ +
=
；
（2）解：
ABC
QV
的三边长为a，b，c，
0
b
c
a
\ + -
>
，
0
c
a
b
-
-
<
，
0
a
b
c
-
+
>
，
∴b
c
a
c
a
b
a
b
c
-
-
-
-
+
-
-
+
b
c
a
a
b
c
a
b
c
-
-
-
-
=
+
+
-
+
b
c
a
a
b
c
a
b
c
=
+ -
-
-
+ -
+
-
3a
b
c
= -
+
+ ．
19．如图在方格纸中，ABC
V
的顶点都在方格纸的格点上．
(1)画出ABC
V
向上平移6 格后的图形
A B C
¢ ¢ ¢
△
；
(2)画出
A B C
¢ ¢ ¢
△
的高C H
¢
；
(3)直接写出BB¢和CC¢ 的关系：_____．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)平行且相等
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据三角形的高的定义作图即可；
（3）根据平移的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：画出
A B C
¢ ¢ ¢
△
如图所示：
（2）解：画出
A B C
¢ ¢ ¢
△
的高C H
¢
如图所示；
（3）解：由平移的性质可得：BB¢和CC¢ 的关系平行且相等．
20．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图，ABC
V
中，D 为AC 边上一点，过D 作DE
AB
∥
，交BC 于
E ，F 为AB 边上一点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于G ，且
DFA
A
Ð
= Ð ．
(1) DE 平分
CDF
Ð
吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；
(2)若
80
C
Ð
=
° ，
60
ABC
Ð
=
° ，求
G
Ð
的度数．
【答案】(1)是，
证明：∵DE
AB
P
，
∴
CDE
A
Ð
= Ð ，
DFA
FDE
=
∠
∠
，
∵
DFA
A
Ð
= Ð ，
∴
CDE
FDE
Ð
= Ð
，
∴DE 平分
CDF
Ð
；
(2)20°
【分析】（1）根据DE
AB
P
得到
CDE
A
Ð
= Ð ，
DFA
FDE
=
∠
∠
，结合
DFA
A
Ð
= Ð ，得到
CDE
FDE
Ð
= Ð
即
可．
（2）先求得
180
40
A
ABC
C
=
° -
-
=
°
∠
∠
∠
，结合
BFG
DFA
A
Ð
= Ð
= Ð ，三角形外角性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵
80
C
Ð
=
° ，
60
ABC
Ð
=
° ，
∴
180
40
A
ABC
C
=
° -
-
=
°
∠
∠
∠
，
∵
BFG
DFA
A
Ð
= Ð
= Ð ，
∴
40
BFG
Ð
=
°，
∵
BFG
G
ABC
Ð
+ Ð
= Ð
，
∴
60
40
20
G
ABC
BFG
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
°．
21．（25-26 七年级下·山西临汾·期末）如图，CD、CE 分别是ABC
V
的高和中线，若
5cm
AC =
，
12
BC
cm
=
，
13cm
AB =
，
90
ACB
Ð
=
°
(1)求CD的长
(2)求BCE
V
与
ACE
△
的周长差
【答案】(1) 60 cm
13
(2)7cm
【分析】
1 根据三角形的面积公式解答即可；
2 利用三角形中线的定义可得AE
BE
=
，即得BCE
V
的周长
ACE
-V
的周长
BC
AC
=
-
，代入已知数据即可
求解．
【详解】（1）解：∵CD是ABC
V
的高，
90
ACB
Ð
=
°，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AB CD
AC BC
=
=
V
g
g
，
∵
5cm
AC =
，
12
BC
cm
=
，
13cm
AB =
，
∴1
1
13
5 12
2
2
CD
´
´
=
´ ´
，
∴
60 cm
13
CD =
；
（2）解：∵CE 是ABC
V
的中线，
∴AE
BE
=
，
∴BCE
V
的周长
ACE
-V
的周长
BC
CE
BE
AC
CE
AE
=
+
+
-
+
+
BC
AC
=
-
12
5
=
-
7cm
=
．
22．如图，AD 平分ABC
V
的外角
CAE
Ð
交BC 的延长线于点D．
(1)若
100
ACD
Ð
=
°，
30
D
Ð
=
°，求
B
Ð 的度数是 ；
(2)若
ACB
B
a
Ð
- Ð
=
，求
D
Ð
的度数(用含a 的式子表示)．
【答案】(1) 20
(2) 2
a
【分析】（1）根据
100
ACD
Ð
=
°，
30
D
Ð
=
°，得到
50
CAD
Ð
=
° ，
80
ACB
Ð
=
° ，根据三角形外角性质，求解
即可；
（2）根据三角形外角性质，三角形内角和求解即可；
【详解】（1）解：
100
Ð
=
°
Q
ACD
，
30
D
Ð
=
°，
180
50
CAD
ACD
D
\Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° ，
180
80
ACB
ACD
Ð
=
°- Ð
=
°，
AD
Q
平分ABC
V
的外角
CAE
Ð
，
2
100
CAE
CAD
\Ð
= Ð
=
° ，
20
B
CAE
ACB
\Ð
= Ð
- Ð
=
° ；
（2）解：
AD
Q
平分ABC
V
的外角
CAE
Ð
，
1
2
CAD
CAE
\Ð
=
Ð
，
CAE
B
ACB
Ð
= Ð + Ð
Q
，
2 CAD
B
ACB
\ Ð
= Ð + Ð
，
2
B
ACB
CAD
Ð + Ð
\Ð
=
，
ACB
CAD
D
Ð
= Ð
+ Ð
Q
，
D
ACB
CAD
\Ð
= Ð
- Ð
2
2
ACB
B
ACB
B
ACB
Ð
+ Ð
Ð
- Ð
= Ð
-
=
，
ACB
B
a
Ð
- Ð
=
Q
，
2
D
a
\Ð
=
．
23．规定：当三角形中有一个内角a 是另一个内角b 的两倍，则称该三角形为“2 倍角三角形”，其中a 称为
“倍角”．
(1)判断等腰直角三角形是否为“2 倍角三角形”．
(2)已知ABC
V
为“2 倍角三角形”，且ABC
V
为锐角三角形，
B
Ð 为“倍角”，求
B
Ð 的取值范围．
【答案】(1)是“2 倍角三角形”
(2)60
90
B
° < Ð
<
°
【分析】（1）根据定义计算即可；
（2）设
2
B
x
Ð
=
（x 为另一个内角），则第三个内角为180
2
180
3
x
x
x
°-
-
=
°-
，根据定义，结合三角形内角
和定理计算即可．
【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的内角为90°、45°、45°，
∴90
2
45
° =
´
°，
∴符合“2 倍角三角形”的定义，
∴等腰直角三角形是“2 倍角三角形”；
（2）解：设
2
B
x
Ð
=
（x 为另一个内角），则第三个内角为180
2
180
3
x
x
x
°-
-
=
°-
，
∵ABC
V
是锐角三角形，三个内角均小于90°，
∴
90
x <
°且2
90
x <
°且180
3
90
x
°-
<
°，
∴
90
x <
°且
45
x <
°且
30
x >
°，
∴30
45
x
° <
<
° ，
∵
2
B
x
Ð
=
，
∴60
90
B
° < Ð
<
°．
24．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，CD是ABC
V
的高，AE 是ABC
V
的角平分线，AE 、CD
相交于点F ，且
ACD
B
Ð
= Ð
．
(1)试判断ABC
V
的形状，并说明理由；
(2)若
32
B =
°
∠
，求
AEB
Ð
的度数；
(3)求证：
CFE
CEF
Ð
= Ð
．
【答案】(1)解：ABC
V
是直角三角形，理由如下：
∵在ABC
V
中，CD是高，
∴
90
CDB
Ð
=
°，
∴
90
B
BCD
Ð + Ð
=
° ，
又∵
ACD
B
Ð
= Ð
，
∴
90
ACD
BCD
Ð
+ Ð
=
°，
∴
90
ACB
Ð
=
°，
∴ABC
V
是直角三角形；
(2)119°；
(3)证明：∵AE 是ABC
V
的角平分线，
∴
BAE
CAE
Ð
= Ð
，
又
ACD
B
Ð
= Ð
，
∴
BAE
B
CAE
ACD
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
∵
CEF
BAE
B
Ð
= Ð
+ Ð
，
CFE
CAE
ACD
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
CFE
CEF
Ð
= Ð
．
【分析】
1 根据题意可以求得
90
BCD
ACD
Ð
+ Ð
=
°，从而得到ABC
V
是直角三角形；
2 由直角三角形的性质可得
58
BAC
Ð
=
°，又AE 是ABC
V
的角平分线，所以
1
29
2
CAE
BAE
BAC
Ð
= Ð
=
Ð
=
°，
最后通过三角形内角和定理即可求解；
3 根据AE 是ABC
V
的角平分线，则
BAE
CAE
Ð
= Ð
，然后通过
ACD
B
Ð
= Ð
，三角形的外角性质即可得出
结论成立．
【详解】（1）略；
（2）解：在Rt
ABC
△
中，
32
B =
°
∠
，
∴
90
32
58
BAC
Ð
=
°-
° =
° ，
∵AE 是ABC
V
的角平分线，
∴
1
29
2
CAE
BAE
BAC
Ð
= Ð
=
Ð
=
°，
在ABE
V
中，
180
AEB
BAE
B
Ð
=
°- Ð
- Ð
180
29
32
=
°-
°-
°
119
=
°；
（3）略．
25．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）结合图形，解决问题．
(1)已知：如图1，在ABC
V
中，
60
A
Ð
=
°，BP ，CP 分别平分
ABC
Ð
和
ACB
Ð
，
BPC
Ð
的度数是_________．
(2)已知：如图2，DBC
Ð
与
ECB
Ð
分别是ABC
V
的两个外角，且
210
DBC
ECB
Ð
+ Ð
=
° ．则
A
Ð
= _________．
(3)如图3，在四边形ABCD 中，F
Ð
为四边形ABCD 的
ABC
Ð
的平分线及外角
DCE
Ð
的平分线所在的直线构
成的锐角，若设
A
a
Ð
=
，
D
b
Ð
=
，求
F
Ð
的度数．（用含a ，b 的式子表示）
【答案】(1)120°
(2)30°
(3)
1
90
2 a
b
+
-
°
【分析】（1）在ABC
V
中，根据三角形内角和定理可求得
ABC
ACB
Ð
+ Ð
，结合角平分线的含义可得
PBC
PCB
Ð
+ Ð
，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）先求解
ABC
ACB
Ð
+ Ð
，再进一步利用内角和定理可得答案；
（3）延长BA ，CD交于点Q ，同（2）可得
180
Q
a
b
Ð
=
+
-
° ，证明
1
2
FBE
QBC
Ð
=
Ð
，
1
2
FCE
DCE
Ð
=
Ð
，
结合外角的性质可得
Q
DCE
QBC
Ð
= Ð
- Ð
，2
2
2
F
FCE
FBC
DCE
QBC
Ð
= Ð
- Ð
= Ð
- Ð
，可得
2
Q
F
Ð
= Ð
，
进一步求解即可；
【详解】（1）解：在ABC
V
中，
60
A
Ð
=
°，
∴
180
60
120
ABC
ACB
-
Ð
+ Ð
=
°
° =
° ，
∵BP ，CP 分别平分
ABC
Ð
和
ACB
Ð
，
∴
1
2
PBC
ABC
Ð
=
Ð
，
1
2
PCB
ACB
Ð
=
Ð
，
∴
1
60
2
PBC
PCB
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
120
BPC
PBC
PCB
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
° ；
（2）解：∵
DBC
Ð
与
ECB
Ð
分别是ABC
V
的两个外角，且
210
DBC
ECB
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
180
180
360
210
150
ABC
ACB
DBC
ECB
Ð
+ Ð
=
°+
°- Ð
+ Ð
=
°-
° =
°，
∴
180
180
150
30
A
ABC
ACB
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
° =
° ；
（3）解：延长BA ，CD交于点Q ，如图，
∵
BAD
a
Ð
=
，
ADC
b
Ð
=
，
∴
180
180
360
360
QAD
QDA
BAD
ADC
BAD
ADC
a
b
Ð
+ Ð
=
°- Ð
+
°- Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
+
，
∴
180
180
360
180
Q
QAD
QDA
a
b
a
b
é
ù
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
°-
+
=
+
-
°
ë
û
，
∵
F
Ð
为四边形ABCD 的
ABC
Ð
的平分线及外角
DCE
Ð
的平分线所在的直线构成的锐角，
∴
1
2
FBC
QBC
Ð
=
Ð
，
1
2
FCE
DCE
Ð
=
Ð
，
∵
DCE
QBC
Q
Ð
= Ð
+ Ð
，
FCE
FBC
F
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
Q
DCE
QBC
Ð
= Ð
- Ð
，2
2
2
F
FCE
FBC
DCE
QBC
Ð
= Ð
- Ð
= Ð
- Ð
，
∴
2
Q
F
Ð
= Ð
，
∴
1
1
1
180
90
2
2
2
F
Q
a
b
a
b
Ð
=
Ð
=
+
-
° =
+
-
°．
