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1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题24 等腰三角形中的分类讨论 （题型突破·举一反三） ▌题型01 顶角或底角不明 【典例1】D． 【变式1-1】50． 【变式1-2】D． 【变式1-3】A． ▌题型02 腰与底边不明 【典例1】29． 【变式1-1】D． 【变式1-2】 【解答】解：根据题意，分三种情况讨论如下： ∴①当7＝3x﹣2 时，解得：x＝3， ∴等腰三角形的三边分别为7，7，4，此时能组成三角形； ②当x+1＝3x﹣2 时，解得：𝑥= 3 2， ∴等腰三角形的三边分别为7，5 2 ，5 2，此时不能组成三角形； ③当x+1＝7 时，解得：x＝6， ∴等腰三角形的三边分别为7，16，7，此时不能组成三角形； 综上所述，x＝3，三角形三边长为7，7，4． 【变式1-3】 【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长是3xcm， x+3x+3x＝35， 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得：x＝5， 所以3x＝15（cm）， 故各边长为：5cm，15cm，15cm； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论： ①若底边长为 7 cm，设腰长为ycm， 则：7+2y＝35，y＝14， 所以三边长分别为：7cm，14cm，14cm， ②若腰长为 7 cm，设底边长为acm，则：7+7+a＝35，得a＝21， 又因为7+7＝14＜21，故舍去， 综上所述，三边长分别为：7cm，14cm，14cm． ▌题型03 图形未知 【典例1】20°或80°． 【变式1-1】C． 【变式1-2】D． 【变式1-3】75°或15°． ▌题型04 新定义中的分类讨论 【典例1】3． 【变式1-1】D． 【变式1-2】108°或126°或132°． 【变式1-3】 【解答】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当腰是底的2 倍时，底边为6÷2＝3， ∵3+6＞6，6﹣3＜6， ∴可以构成三角形； ②当底是腰的2 倍时，底边为6×2＝12， 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵6+6＝12， ∴不能构成三角形． ∴△ABC 的周长＝6+6+3＝15． ▌题型05 高与腰的夹角 【典例1】D． 【变式1-1】C． 【变式1-2】120． 【变式1-3】124°或56°． ▌题型06 一腰上的中线 【典例1】8 或10． 【变式1-1】 8 3． 【变式1-2】B． 【变式1-3】A． ▌题型07 一（两）腰上的垂直平分线 【典例1】D． 【变式1-1】D． 【变式1-2】50°或130°． 【变式1-3】40°或140°． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型08 两圆一线 【典例1】C． 【变式1-1】C． 【变式1-2】C． 【变式1-3】6． ▌题型09 等腰三角形的存在性 【典例1】40°、70°或100°． 【变式1-1】 （1）105°； （2）45°或90°． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC 是△ADC 的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD 是△CBF 的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF 时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF 时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD 时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF 是等腰三角形，∠A 的度数为45°或36°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， （2）①当点Q 在边BC 上运动，△PQB 为等腰三角形时， 即16﹣t＝2t，解得𝑡= 16 3 ， ∴出发 16 3 秒后； ②当Q 在BC 上，0≤t≤6，如图， 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 而AP＝t，BQ＝2t， ∴BP＝16﹣t，CQ＝12﹣2t， ∵PQ 把△ABC 的周长平分， ∴16﹣t+2t＝t+12﹣2t+20， 解得：t＝8，不符合题意舍去， ∴点Q 在边BC 上运动时．PQ 不能把△ABC 的周长平分． （3）①当△BCQ 是以BC 为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1 所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10（cm）， ∴BC+CQ＝22（cm）， ∴t＝22÷2＝11； ②当△BCQ 是以BQ 为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2 所示， 则BC+CQ＝24（cm）， ∴t＝24÷2＝12， 综上所述：当t 为11 秒或12 秒时，△BCQ 是以BC 或BQ 为底边的等腰三角形． 故答案为：11 或12．
