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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用)
第十七章 因式分解
建议用时：90 分钟，满分：100 分
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1.以下因式分解正确的是( )
A. ax2−a = a(x2−1)
B. m3 +m = m(m2 +1)
C. x2 +2x−3 = x(x + 2)−3
D. x2 +2x−3 = (x−3)(x + 1)
2.多项式(1−a)xy + (a−1)因式分解的结果为 ( )
A. (1−a)(xy + 1)
B. (1−a)(xy−1)
C. (a−1)(xy−1)
D. (a−1)(xy + 1)
3.若a−b = 5，ab = 24，则ab2−a2b的值为 ( )
A. 19
B. 120
C. 29
D. −120
4.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a(a + c)−bc−ab = 0，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 无法判断
D. 等腰直角三角形
5.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. x2 +x + 1
B. x2 +2x−1
C. x2−1
D. x2−6x + 9
6.下列各数中，不能整除653−65的是( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
7.一名密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：a−b，x−1，3，x2 +1，a，x + 1分别对应下列六个字：
国，爱，我，数，学，祖，现将3a(x2−1)−3b(x2−1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A. 爱数学
B. 我爱数学
C. 爱祖国
D. 我爱祖国
8.如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形(a > b)，将余下部分拼成一个梯形，根据两
个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式，这个恒等式为( )
A. (a−b)2 = a2−2ab + b2
B. (a + b)2 = a2 +2ab + b2
C. a2−b2 = (a + b)(a−b)
D. a2 +ab = a(a + b)
二、填空题：本题共4 小题，每小题3 分，共12 分。
9.如图，把R1，R2(单位：Ω)两个电阻串联起来，线路AB上的电流为I(单位：A)，电压为U(单位：V)，则
U = IR1 +IR2.当R1 = 47.3，R2 = 40.7，I = 2.5时，U的值为
．
10.若多项式4x2−mxy + 9y2能用完全平方公式分解因式，则m的值是
．
11.如图，根据图形把多项式a2 +5ab + 4b2分解因式的结果为
．
12.对于任意两个数a，b，定义新数c = a + b−ab，称所得新数c为a，b的“鸿蒙数”.若a = 2，b = x2−2x + 2，
则b
c(填“ > ”“ < ”“ ≥”或“ ≤”)．
三、解答题：本题共6 小题，共64 分。
13（10 分）分解因式：
(1)（3分） −2a3 +12a2−18a; (2) （3分）9a2(x−y) + 4b2(y−x); (3)（4分） 4x2 +4x(x−y) + (x−y)2．
14.(7 分)我校数学社团的小亮、小颖两位同学利用分组分解法进行因式分解：
小亮：m2−mn + 2m−2n
= (m2−mn) + (2m−2n)
= m(m−n) + 2(m−n)
= (m−n)(m + 2)．
小颖：4x2−y2−z2 +2yz
= 4x2−(y2 + z2−2yz)
= (2x)2−(y−z)2
= (2x + y−z)(2x−y + z).
请你在他们解法的启发下，解决下面问题：
(1)因式分解：a3−3a2 +a−3．
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2−2ac + c2 = ab−bc，判断△ABC的形状并说明理由．
15.(10 分)分解因式：x2 +4xy + 4y2−16．
解：∵x2 +4xy + 4y2 = (x + 2y)2，∴将x + 2y看成整体，令x + 2y = M，则原式= M2−16 = (M + 4)(M−4).
将M还原，则原式= (x + 2y + 4)(x + 2y−4).上述解题过程用到的是“整体思想”．
请用“整体思想”解决以下问题：
(1)【数学理解】分解因式：(a−2b)2−6(a−2b) + 9．
(2)【拓展探索】求证：无论a，b取何值，(a2b2−4a)(a2b2−4a−2) + 1的值一定是非负数．
16.(12 分)
让我们来规定一种运算：|a
b
c
d| = ad−bc，例如：|2
4
3
1| = 2 × 1−4 × 3 = −10，再如：|x
6
y
2| = 2x−6y.按照
这种运算规定，请解答下列问题：
(1)|−2
−5
4
3 | = ;
(2)当|x
1−x
1
2 | = 0时，求x的值;
(3)将下面的式子进行因式分解：|x2−2x
8
−3
x2−2x−11|．
17.(12 分)阅读材料：
例题：已知二次三项式x2−4x + m有一个因式是(x + 3)，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为(x + n).
根据题意，得x2−4x + m = (x + 3)(x + n)，
则x2−4x + m = x2 +(n + 3)x + 3n
∴n + 3 = −4,
m = 3n,
解得m = −21,
n = −7.
∴另一个因式为(x−7)，m的值为−21．
请根据上述材料回答下列问题：
(1)若二次三项式x2−5x + 6可分解为(x−2)(x + a)，则a = ；
(2)若二次三项式2x2 +bx−5可分解为(2x−1)(x + 5)，则b = ；
(3)若二次三项式2x2 +3x−k有一个因式是(2x−5)，求另一个因式以及k的值．
18.(13 分)特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运
算，得出最终答案的一种方法.综合与实践课上，田老师展示了如下例题：
例：已知多项式2x3−2x2 +m有一个因式是x + 2，求m的值．
解：由题意，设2x3−2x2 +m = A ⋅(x + 2)(A为整式)，
由于上式为恒等式，为了方便计算，取x = −2，
则2 × (−2)3−2 × (−2)2 +m = 0，解得m = ◼．
(1) 【数学思考】“◼”处m的值为 ;
(2) 【方法应用】已知多项式2x3−x2−x + b有一个因式是2x−3，求b的值;
(3) 【深入探究】若多项式x4 +ax3 +bx−4有因式(x + 1)和(x−2)，求a，b的值．
