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2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(福建专用)
第二十六章 二次函数
建议用时：120 分钟，满分：150 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A．
，
的最高次数为1，不是二次函数，故A 不符合题意；
B．
，即
，
的指数为
，不是二次函数，故B 不符合题意；
C．
，
的最高次数为1，不是二次函数，故C 不符合题意；
D．
，
的最高次数为2，且
，是二次函数，故D 符合题意．
故选：D．
2．若二次函数
的图象经过原点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【详解】解：把
代入
得
，
解得
或
，
，
．
故选：
．
3．关于二次函数
，下列结论中正确的是（ ）
A．其图象的对称轴是直线
B．当
时，y 随x 的增大而减小
C．若点
是抛物线上的点，则点
也是抛物线上的点
D．把该函数的图象先向上平移2 个单位长度，再向左平移3 个单位长度后，图象经过点
【答案】C
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【详解】解：由二次函数
得对称轴为
，故A 选项错误，不合题意；
∵
，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴
右侧，y 随x 的增大而增大，
∴当
时，y 随x 的增大而增大，故B 选项错误，不合题意；
∵点
是抛物线上的点，
∴
，
当
时，
，
∴点
也在抛物线上，故C 选项正确，符合题意；
二次函数
先向上平移2 个单位长度，再向左平移3 个单位长度后得
，
当
时，
∴点
不在
图象上，故D 选项错误，不合题意．
故选：C
4．若函数
是关于
的二次函数，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：
函数
是关于
的二次函数，
，且
，
解方程
，即
，
解得
或
，
又∵
，
，
．
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5．已知
，
两点都在抛物线
（
）上，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
所以抛物线对称轴为直线
，
点
到对称轴
的距离为
；
点
到对称轴
的距离为
，
因为
，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧
随
的增大而增大，
点
到对称轴的距离大于点
到对称轴的距离，所以
，
故选：A．
6．已知二次函数
，点
在其第一象限的图象上，点
在其第二象限的图象上，则关于
的一元二次方程
的两根
，判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的符号都不确定
【答案】A
【详解】解：
点
在二次函数
第一象限的图象上
在二次函数
第二象限的图象上
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异号，
，
设
，即
，
即
，则
，
故
，
，则
，
由
得，
，
故选：A．
7．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为
，当水面离桥顶的高度为
米时，水面的
宽度为（ ）
A．米
B．米
C．
米
D．
米
【答案】A
【详解】解：根据题意，当
时，得：
，
解得：
或
．
∴水面宽度为：
（米）．
故选：A．
8．某二次函数图象如图所示，下面各式判断正确的是（ ）
A．
B．
C．方程
无解 D．
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【答案】B
【详解】解：A、
图象与
轴的一个交点在
和
之间，对称轴为直线
，
图象与
轴的另一个交点在
和
之间，
当
时，
，即
，故选项A 不符合题意；
B、
抛物线的对称轴为直线
，
，
由图象可知，当
时，
，
，故选项B 符合题意；
C、由图象可知顶点坐标为
，
，
方程
的解为
，选项C 不符合题意；
D、
时函数值
为最大值，
，即
，选项D 不符合题意．
故选：B．
9．如图，已知点
，O 为坐标原点，P 是线段
上任意一点（不含端点O、A），过P、O 两点的二
次函数
和过P、A 两点的二次函数
的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线
与
相交于
点D．当
时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．5
B．
C．8
D．12
【答案】D
【详解】
解：分别过点B、D、C 作
于点F，
于点E，
于点M，
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∵
，
∴
，
∴
，
设
，根据抛物线的对称性，得
，
∵
，即
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
即
①，
同理
②，
①+②得：
，
∴
，
即这两个二次函数的最大值之和等于12，
故选：D．
10．已知整式
，其中
，
，
为互不相等的正整数且不大于
，下列说法：
①存在唯一的一组
，
，
的值，使得
为整式；
②若
，则满足条件的所有式子中，当
取任意实数时，其值为非负数的整式
的和为
；
③若
，则满足条件的
共有
个．
其中正确的个数是（ ）．
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【详解】解：关于①，
∵
为整式，
，
∴设
，整理得：
，
∴
，
，
∴
，整理得：
，
∵
，
，
为互不相等的正整数且不大于
，
∴
∴矛盾，
∴①不正确，不符合题意；
关于②，
若
，则
，
∵
，
，
为互不相等的正整数且不大于6，
∴
，
，
∵当
取任意实数时，整式
的值为非负数，
∴
，则
，
∴
，则
，
当
，解得：
，∴
符合条件的值为：
，
∴
或
或
或
，
当
，解得：
，∴
符合条件的值为：
，
∴
或
或
，
当
，解得：
，∴
符合条件的值为：
，
∴
或
，
当
，解得：
，∴
没有符合条件的值，
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当
，解得：
，∴
没有符合条件的值，
∴将所有满足条件的
相加：
的系数：
；
的系数：
；
常数项：
；
∴值为非负数的整式
的和为
，
∵
，
∴②不正确，不符合题意
关于③，
∵
，
，
，
为互不相等的正整数且不大于6，
∴
，
∴当
，
可取
，对应
的选法分别为
种，满足条件的
共有
种，
∴当
，
可取
，对应
的选法分别为
种，满足条件的
共有
种，
∴当
，
可取
，对应
的选法分别为
种，满足条件的
共有
种，
∴当
，
可取
，对应
的选法分别为种，满足条件的
共有种，
∴综上，满足条件的
共有
种，
∴③是正确的，符合题意；
∴符合题意的只有③，个数为．
故选：B．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．用配方法将函数
写成
的形式是__________
【答案】
【详解】解：依题意，
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，
故答案为：
．
12．将二次函数
的图象向左平移2 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，则平移后的函数
解析式为_______________.
【答案】
【详解】解：
的图象向左平移2 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到
，
即
．
故答案为：
13．若点
和点
在抛物线
上，且
，则
的取值范围是______________．
【答案】
或
【详解】解：∵
，
∴该抛物线的对称轴直线为
，且二次项系数
，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，
设点
关于对称轴直线
的对称点为
，
∴根据对称轴公式
2，解得
，
∵
，抛物线开口向上：
∴当
在对称轴右侧时，
满足
，
∴当
在对称轴左侧时，
满足
，
∴m 的取值范围是
或
．
14．已知二次函数
，当
时，二次函数
的最大值为6，则
的
值为____________．
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10 /
【答案】
的值为8 或
【详解】解：
，
抛物线开口向下，对称轴为直线
，
①当
时，即
时，
，在对称轴右侧，
随
的增大而减小，
当
时，
有最大值为6，
，
解得：
；
②当
时，即
时，
当
时，
有最大值为6，
，
解得：
，
，
（不合题意，舍去），
③当
时，即
时，
，在对称轴左侧，
随
的增大而增大，
当
时，
有最大值为6，
，
解得：
，
综上所述，
的值为8 或
．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线
与y 轴正半轴有交点，当
时，
；
当
时，
，则m 的值等于______．
【答案】4
【详解】解：∵抛物线的解析式为
，
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11 /
∴
，
∵
时，
，
∴当
时，
，
又当
时，
，
∴当
时，
，
即
，
解得：
，
故答案为：
．
16．如图所示，是一个长
、宽
的矩形花园，根据需要将它的长缩短
、宽增加
，要想使修改后
的花园面积达到最大，则
__________
．
【答案】
【详解】解：由题意得修改后的花园面积
，
∵
，
∴当
时，修改后的花园面积达到最大．
三、解答题（本大题共9 小题，共86 分）
17．（8 分）若
，且
与
成正比例，
与
成正比例，当
时，
；当
时，
；
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)
时，函数的值为多少？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵
与
成正比例，
与
成正比例，
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12 /
∴设
，
，
∵
，
∴
，
将
和
分别代入上式，
得
，
解得
，
∴
与
的函数关系式为
；
（2）将
代入
，得
．
18．（8 分）如图，抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于
点．
(1)填空：
__________，
__________；
(2)设
为此抛物线的对称轴上一点，当
的面积等于
的面积时，求
点坐标；
【答案】(1)
，
(2)
或
(3)
或
【详解】（1）解：把
，
代入
，得：
，
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13 /
解得
；
（2）解：
，
∴此抛物线的对称轴是直线
，
当
时，
，
，
设直线
的表达式为
，直线
交直线
于点M，
把
，
代入
，得：
，
解得：
，
∴直线
的表达式为
，
当
时，
，
，
，
，
，
，
，
∵
的面积等于
的面积，
，
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14 /
，
，
或
；
19．（8 分）如图，抛物线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，已知
．
(1)求该抛物线的函数表达式和对称轴．
(2)将点
向上平移
个单位得到点
，将
向左平移
个单位得到
，将
向右平移
个单位得到
，已
知
和
均在抛物线上，求
和
的值．
【答案】(1)
；直线
(2)
，
【详解】（1）解：当
时，
，
．
，
，
，
，
，
代入到抛物线的表达式得
，
解得
，
抛物线的函数表达式为
，
对称轴为直线
．
（2）解：由（1）得，点
，
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15 /
由平移的性质得，点
，
，
将点
代入函数表达式可知：
解得
或
（舍去）．
20．
（8 分）已知二次函数
，它与x 轴的交点坐标为
，
，与y 轴的交点坐标为
．
(1)求出
，
，的值，并写出此二次函数的解析式；
(2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当
时函数的最大值和最小值．
【答案】(1)
，
(2)顶点坐标为
当
时，函数最大值为
，最小值为
【详解】（1）解：将
，
，
代入
，
可得：
，
解得：
，
；
（2）解：
，
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16 /
抛物线顶点坐标为
，抛物线开口向下，
当
时，函数最大值为
，
当
时，
有最小值，最小值为
，
图略．
21．（8 分）如图，二次函数
的图象与x 轴交于
两点（点
在点
的左边），点
是
该函数图象的顶点．
(1)求点
的坐标；
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使
，若存在，求出
点的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
，
点坐标为
(2)
点坐标为
或
【详解】（1）解：把
代入
得
，解得
，
∴抛物线解析式为
；
当
时，
，解得
，则
，
∵
，
∴
点坐标为
．
（2）解：存在．理由如下：
设
，
∵
，
∴
，
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17 /
得
，
当
，解得
，
此时P 点坐标为
或
，
当
时，方程没有实数解．
综上所述，P 点坐标为
或
．
22．（10 分）已知抛物线
．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若抛物线图象经过点
是抛物线
与
轴交点的横坐标，记
，比较
与
的大小．
【答案】(1)
(2)当
时，
；当
时，
【详解】（1）解：
抛物线为
，
对称轴为直线
．
即抛物线的对称轴为直线
．
（2）解：
图象经过点
，把
代入
，则
解得：
，
故抛物线解析式
，
是抛物线
与
轴交点的横坐标，
，
解得：
，
，
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18 /
，
，故
．
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
．
23．（10 分）某中学有500 名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现
放学后累计到达食堂的人数
（人）随时间（分）的变化情况满足函数：
．
(1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？
(2)食堂计划调整方案，预期13 分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5 分钟．原方案和调
整后方案如下表．
目前实施方案
调整方案
点餐
窗口
单个窗口
点餐
窗口
单个窗口
形式
数量
出菜速度
形式
数量
出菜速度
自由点菜
4 个
5 份/分钟
套餐选择
5 个
8 份/分钟
①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？
②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到
预期效果．
【答案】(1)10 分钟
(2)①320 人
②可以达到预期效果
理由：
，
可以在13 分钟内完成全部出餐．
等待排队有
名学生，则
．
当
（分钟）时，
（人）
，
每个学生的排队时间不超过5 分钟．
此方案可以满足预期效果．
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19 /
【详解】（1）解：由题意得
，
解得
，
答：用时10 分钟，全部学生到达食堂．
（2）解：①设等待排队有
名学生，则
．
∵
，抛物线开口向下，
∴当
（分钟）时，
（人）．
②略
24．（12 分）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1 是某同学在某次试投中实心球所经过的路线
呈抛物线形状，图2 是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线
（
是常数）的一部
分，出手处
点距地面的高度
米．
分值（分）
11
12
13
14
15
落地距离（m）
（注：落地距离包含最小值，不包含最大值）
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据：
）
(3)为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出
手角度与力量，使球在距出手处
的水平距离2 米处达到最高，最高点距地面2 米，请判断该同学能否得
到15 分的满分？
【答案】(1)
(2)12 分
(3)该同学能得到15 分的满分
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20 /
【详解】（1）把点A
代入抛物线
，得
∴
∴抛物线的表达式为:
（2）令
解得:
（不符合题意，舍去），
.
∵落地距离在6.4～6.6 得12 分.
∴该同学得分为12 分.
（3）根据题意知，抛物线的顶点为
.
∴设抛物线的表达式为：
将点A
代入上式，得
解得：
.
∴抛物线的表达式为：
.
令
.
解得：
（不符合题意，舍去），
∵
.
∴该同学能得到15 分的满分.
25．（14 分）已知抛物线
经过点
两点，与
轴交于点
，顶点为
．
(1)求
的值及顶点
的坐标；
(2)点
为直线
下方抛物线上的一点，当
时，求点
的坐标；
(3)点
为
轴上的一动点，连接
，当
取得最小值时，求点
的坐标，并求出这个最小值．
【答案】(1)
，
，
(2)
(3)点
的坐标为
，这个最小值为
【详解】（1）解：将
代入
得：
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21 /
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为：
，
∴顶点坐标
；
（2）解：连接
，取
的中点F，连接
并延长，交
于点G，连接
并延长，交抛物线于点
E，如图所示：
把
代入
得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵F 为
的中点，
∴
，
∴
垂直平分
，
∴
，
∴
，
∴此时点E 符合题意，
∵F 为
的中点，
∴
，
设直线
的解析式为
，把
代入得：
，
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22 /
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
设直线
的解析式为
，把
，
代入得：
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
，
联立
，
解得：
，
∴
，
同理根据
，
可得直线
的解析式为
，
联立
，
解得：
，
，
∴点E 的坐标为
；
（3）解：过点M 作
于点N，过点B 作
于点G，交y 轴于点H，如图所示：
则
，
∵
，
，
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23 /
∴
，
∴
和
都是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当点M 在点H 处时，
最小，且最小值为
的长，
∵
，
，
∴
，
∵
为等腰直角三角形，
∴
，
，
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴当
取得最小值时，点
的坐标为
，这个最小值为
．
小学
初中
