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一、单选题
1．多项式4a﹣a3分解因式的结果是（ ）
A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a） C．a（a﹣2）（a+2） D．a（2﹣a）2
2．下列各式能利用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．9(m－n)2－25(m＋n)2因式分解的结果是( )
A．(8m＋2n)(－2m－8n) B．－4(4m＋n)(m＋4n)
C．－4(4m＋n)(m－4n) D．4(4m＋n)(m＋4n)
4．将 进行因式分解，正确的是( )
A． B．
C． D．
5．计算：1252-50×125+252=( )
A．100 B．150 C．10000 D．22500
6．将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（
）
A．2x B．﹣4x C．4x4 D．4x
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不能确定
8．若a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定
9．若x、y是有理数，设N=3x2+2y2﹣18x+8y+35，则N（ ）
A．一定是负数 B．一定不是负数 C．一定是正数 D．N的取值与x、y的取值有关
10．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．因式分解：a3b﹣ab3=_____．
12．把a2﹣16分解因式，结果为_____．
13．因式分解： _________.
14．分解因式：a2－4a＋4＝
15．分解因式： _________．16．分解因式：a2b+4ab+4b=______．
17．已知ab=﹣2，a﹣b=3，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为_______．
18．已知 ，则 ________________．
三、解答题
19．分解因式：
（1）5mx2﹣10mxy+5my2
（2）4（a﹣b）2﹣（a+b）2．
20．因式分解：
(1)x2－x－72
(2) (2a＋b)2－8ab
21．因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
22．（1）分解因式：x3﹣x
（2）分解因式：（x﹣2）2﹣2x+4参考答案
1．B
【解析】
【分析】
首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的特点逐一判断以上选项，即可得出答案.
【详解】
（1） 不符合完全平方公式的特点，故本选项错误；（2） = ，故本选项正确；
（3） 不符合完全平方公式的特点，故本选项错误；（4） 不符合完全平方公式的特点，
故本选项错误。因此答案选择B.
【点睛】
本题考查的是利用完全平方公式进行因式分解，重点需要掌握完全平方公式的特点：首尾皆为平方的形式，中间
则是积的两倍.
3．B
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式分解因式进而求出答案．
【详解】
原式=
=[（3m－3n）﹣（5m+5n）][ （3m－3n）+（5m+5n）]
=（－2m－8n）（8m+2n）
=－4（m+4n）(4m+n)．
故选B．
【点睛】
本题考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键．4．C
【解析】
【分析】
多项式 有公因式 ，首先用提公因式法提公因式 ，提公因式后，得到多项式 ，再利用平方
差公式进行分解．
【详解】
，
故选C．
【点睛】
此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，
最后再尝试分组分解；
5．C
【解析】
试题分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000．
故选C．
点睛：本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
分别将四个选项中的式子与多项式4x2+1结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案.
【详解】
A、4x2+1+2x，不是完全平方式，不能利用完全平方公式进行因式分解，故符合题意；
B、4x2+1-4x=(2x-1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
C、4x2+1+4x4=(2x2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
D 、4x2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意，
故选A.
【点睛】
本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键.
7．B
【解析】
【分析】
运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a=b=c，即可解决问题．
【详解】
∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0；∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．
故选B．
【点睛】
本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、
推理活解答．
8．B
【解析】
【分析】
首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
【详解】
解：∵（a－b）2－c2＝（a－b＋c）（a－b－c），a，b，c是三角形的三边，
∴a＋c－b＞0，a－b－c＜0，
∴（a－b）2－c2的值是负数．
故选B．
【点睛】
本题考查的是平方差公式，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键.
9．B
【解析】
【分析】
把N的式子进行化简，得出3（x-3）2+2（y+2）2，是两个非负数的和，所以N仍为非负数．
【详解】
】解：N=3x2+2y2-18x+8y+35，
=3x2-18x+2y2+8y+35
=3（x-3）2-27+2（y+2）2-8+35
=3（x-3）2+2（y+2）2≥0．
故选B．
【点睛】
本题考查了非负数的性质．
在初中阶段,共学习了三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
10．D
【解析】【分析】
首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入
求值即可．
【详解】
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）
当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×
（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x +2013）×2
＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2
＝3．
故选D．
【点睛】
本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．
11．ab（a+b）（a﹣b）
【解析】
【分析】
先提取公因式ab，然后再利用平方差公式分解即可．
【详解】
a3b﹣ab3
=ab（a2﹣b2）
=ab（a+b）（a﹣b），
故答案为ab（a+b）（a﹣b）.
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．分解因式的步骤一般为：
一提（公因式），二套（公式），三彻底.
12．（a+4）（a﹣4）．
【解析】
【分析】
直接用平方差公式进行分解因式即可.
【详解】
解：a2﹣16=（a+4）（a﹣4）.
【点睛】
本题主要考查用平方差公式进行分解因式，牢记公式是解题的关键.13．
【解析】
【分析】
利用提取公因式a和完全平方公式进行因式分解．
【详解】
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，正确应用完全平方公式是解题关键．
14．（a-2）2．
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．
【详解】
解：a2-4a+4=（a-2）2．
故答案为：（a-2）2．
15．
【解析】
【分析】
先利用提取公因式法，再利用平方差公式进行分解，即可得出答案．
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查了主要分解因式，分解因式的方法有：提公因式法、公式法等，分解因式一定要分解彻底，提取公因式
后不要漏掉“1”．
16．b（a+2）2
【解析】
【分析】
根据公式法和提公因式法综合运算即可
【详解】
a2b+4ab+4b= .故本题正确答案为 .
【点睛】
本题主要考查因式分解.
17．﹣18
【解析】
【分析】
要求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值，而代数式a3b﹣2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab，（a﹣b）的乘积，因此
可以运用整体的数学思想来解答．
【详解】
a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）
=ab（a﹣b）2，
当a﹣b=3，ab=﹣2时，原式=﹣2×32=﹣18，
故答案为：﹣18.
【点睛】
本题考查了因式分解在代数式求值中的应用，熟练掌握因式分解的方法以及运用整体的数学思想是解题的关键.
18．4
【解析】
【分析】
分析：把 变形为 ，代入 后，再变形为 即可求得最后结果．
【详解】
∵ ，
∴ ，
，
，
，
，
=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式及其灵活变形．19．（1）5m（x﹣y）2；（2）（3a﹣b）（a﹣3b）．
【解析】
【分析】
（1）先提公因式5m，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）应用整体思想，运用平方差公式进行因式分解即可.
【详解】
（1）原式=5m（x2﹣2xy+y2）=5m（x﹣y）2；
（2）原式=[2（a﹣b）]2﹣（a+b）2
=[2（a﹣b）+（a+b）][2（a﹣b）﹣（a+b）]
=（3a﹣b）（a﹣3b）．
【点睛】
本题考查了综合提公因式法与公式法因式分解，熟练掌握因式分解的一般步骤以及因式分解的方法是解题的关键.
注意整体思想的运用.
20．(1) （x-9）(x+8)； (2) (2a-b)2
【解析】
【分析】
（1）利用十字相乘法进行因式分解即可；
（2）首先把第一项展开再合并同类项，利用公式法可得到正确的结论.
【详解】
解: （1）x2－x－72= x2－x－8 9=（x-9）(x+8)，
（2）(2a＋b)2－8ab=4a2+4ab+b2-8ab=4a2-4ab+b2= (2a-b)2
故答案：(1) （x-9）(x+8)； (2) (2a-b)2
【点睛】
本题主要考查因式分解的方法：十字相乘法与公式法. 十字相乘法的口诀为“拆两头、凑中间”；能运用完全平
方公式分解因式的多项式必须是三项式, 其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式, 另一项是这两个数(或式)
的积的2倍.
21．（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【解析】
【分析】
（1）先运用加法交换律，然后再运用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式3a，然后运用完全平方公式因式分解即可；
（3）先运用平方差公式因式分解，再化简即可；
（4）先利用十字相乘法因式分解，再运用平方差公式分解即可.
【详解】解：（1）
=
=（7b+8a）（7b-8a）
（2）
=
=
（3）
=[4(x-1)+3(x+2)] [4(x-1)-3(x+2)]
= [4(x-1)+3(x+2)] [4(x-1)-3(x+2)]
=(7x+2)(x-10)
（4）
=
=
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握提公因式法、公式法和十字相乘法是解答本题的关键．
22．（1）x（x+1）（x﹣1）；（2）（x﹣2）（x﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）先提公因式x，再用公式法因式分解可得答案；
（2）直接提取公因式x﹣2，进行因式分解可得答案.
.
【详解】
解：（1）原式＝x（x2﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）
＝（x﹣2）（x﹣4）．
【点睛】
本题考查因式分解,因式分解的步骤为:一提公因式;二看公式.要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,一般来
说,如果可以提取公因式的要先提取公因式.
