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… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(福建专用)
第二十六章 二次函数
建议用时：120 分钟，满分：150 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若二次函数
的图象经过原点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
3．关于二次函数
，下列结论中正确的是（ ）
A．其图象的对称轴是直线
B．当
时，y 随x 的增大而减小
C．若点
是抛物线上的点，则点
也是抛物线上的点
D．把该函数的图象先向上平移2 个单位长度，再向左平移3 个单位长度后，图象经过点
4．若函数
是关于
的二次函数，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，
两点都在抛物线
（
）上，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知二次函数
，点
在其第一象限的图象上，点
在其第二象限的图象上，则关于
的一元二次方程
的两根
，判断正确的是（ ）
A．
1
2
1
2
1,
0
x
x
x x
+
B．
1
2
1
2
0
x
x
x x
+
＜0，
＞
C．
1
2
1
2
0
0
1
x
x
x x
+
＜，
＞
D．
与
的符号都不确定
7．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为
，当水面离桥顶的高度为
米时，水面的
宽度为（ ）
A．米
B．米
C．
米
D．
米
8．某二次函数图象如图所示，下面各式判断正确的是（ ）
A．
B．
C．方程
无解
D．
9．如图，已知点
，O 为坐标原点，P 是线段
上任意一点（不含端点O、A），过P、O 两点的二
次函数
和过P、A 两点的二次函数
的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线
与
相交
于点D．当
时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．5
B．
C．8
D．12
10．已知整式
，其中
，
，
为互不相等的正整数且不大于
，下列说法：
①存在唯一的一组
，
，
的值，使得
为整式；
②若
，则满足条件的所有式子中，当
取任意实数时，其值为非负数的整式
的和为
；
③若
，则满足条件的
共有
个．
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此
卷
只
装
订
不
密
封
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其中正确的个数是（ ）．
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．用配方法将函数
写成
的形式是__________
12．将二次函数
的图象向左平移2 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，则平移后的函
数解析式为_______________.
13．若点
和点
在抛物线
上，且
，则
的取值范围是______________．
14．已知二次函数
，当
时，二次函数
的最大值为6，则
的值为____________．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线
与y 轴正半轴有交点，当
时，
；
当
时，
，则m 的值等于______．
16．如图所示，是一个长
、宽
的矩形花园，根据需要将它的长缩短
、宽增加
，要想使修改
后的花园面积达到最大，则
__________
．
三、解答题（本大题共9 小题，共86 分）
17．（8 分）若
，且
与
成正比例，
与
成正比例，当
时，
；当
时，
；
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)
时，函数的值为多少？
18．（8 分）如图，抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于
点．
(1)填空：
__________，
__________；
(2)设
为此抛物线的对称轴上一点，当
的面积等于
的面积时，求
点坐标；
19．（8 分）如图，抛物线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，已知
．
(1)求该抛物线的函数表达式和对称轴．
(2)将点
向上平移
个单位得到点
，将
向左平移
个单位得到
，将
向右平移
个单位得到
，
已知
和
均在抛物线上，求
和
的值．
20．
（8 分）已知二次函数
，它与x 轴的交点坐标为
，
，与y 轴的交点坐标为
．
(1)求出
，
，的值，并写出此二次函数的解析式；
(2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当
时函数的最大值和最小值．
21．（8 分）如图，二次函数
的图象与x 轴交于
两点（点
在点
的左边），点
是该函数图象的顶点．
(1)求点
的坐标；
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使
，若存在，求出
点的坐标；若不存在，请说明理
由．
22．（10 分）已知抛物线
．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若抛物线图象经过点
是抛物线
与
轴交点的横坐标，记
，比较
与
的大小．
23．（10 分）某中学有500 名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发
现放学后累计到达食堂的人数
（人）随时间（分）的变化情况满足函数：
．
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(1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？
(2)食堂计划调整方案，预期13 分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5 分钟．原方案和
调整后方案如下表．
目前实施方案
调整方案
点餐
窗口
单个窗口
点餐
窗口
单个窗口
形式
数量
出菜速度
形式
数量
出菜速度
自由点菜
4 个
5 份/分钟
套餐选择
5 个
8 份/分钟
①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？
②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到
预期效果．
24．（12 分）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1 是某同学在某次试投中实心球所经过的路
线呈抛物线形状，图2 是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线
（
是常数）的
一部分，出手处
点距地面的高度
米．
分值（分）
11
12
13
14
15
落地距离（m）
（注：落地距离包含最小值，不包含最大值）
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据：
）
(3)为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出
手角度与力量，使球在距出手处
的水平距离2 米处达到最高，最高点距地面2 米，请判断该同学能否得
到15 分的满分？
25．（14 分）已知抛物线
经过点
两点，与
轴交于点
，顶点为
．
(1)求
的值及顶点
的坐标；
(2)点
为直线
下方抛物线上的一点，当
时，求点
的坐标；
(3)点
为
轴上的一动点，连接
，当
取得最小值时，求点
的坐标，并求出这个最小值．
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