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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 10 2026-2027 学年九年级上册数学单元自测（福建专用） 第二十六章 二次函数（参考答案） 一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C A A A B D B 二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分） 11． 12． 13. 或 14. 的值为8 或 15. 4 16. 三、解答题（共6 小题，共64 分） 17．（8 分） 【详解】（1）解：∵ 与 成正比例， 与 成正比例， ∴设 ， ，................2 分 ∵ ， ∴ ，................3 分 将 和 分别代入上式， 得 ， 解得 ，................5 分 ∴ 与 的函数关系式为 ；................6 分 （2）将 代入 ，得 ．................8 分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 10 18．（8 分） 【详解】（1）解：把 ， 代入 ，得： ， 解得 ；................2 分 （2）解： ， ∴此抛物线的对称轴是直线 ， 当 时， ， ， 设直线 的表达式为 ，直线 交直线 于点M， 把 ， 代入 ，得： ， 解得： ， ∴直线 的表达式为 ， 当 时， ， ， ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 10 ， ， ∵ 的面积等于 的面积， ， ， ， 或 ；................8 分 19．（8 分） 【详解】（1）解：当 时， ， ． ， ， ， ， ， 代入到抛物线的表达式得 ， 解得 ， 抛物线的函数表达式为 ， 对称轴为直线 ．................4 分 （2）解：由（1）得，点 ， 由平移的性质得，点 ， ， 将点 代入函数表达式可知： 解得 或 （舍去）．................8 分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 10 20．（8 分） 【详解】（1）解：将 ， ， 代入 ， 可得： ， 解得： ， ；................4 分 （2）解： ， 抛物线顶点坐标为 ，抛物线开口向下， 当 时，函数最大值为 ， 当 时， 有最小值，最小值为 ， ................8 分 21．（8 分） 【详解】（1）解：把 代入 得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 ； 当 时， ，解得 ，则 ， ∵ ， ∴ 点坐标为 ．................4 分 （2）解：存在．理由如下： 设 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 10 ∵ ， ∴ ， 得 ， 当 ，解得 ， 此时P 点坐标为 或 ， 当 时，方程没有实数解． 综上所述，P 点坐标为 或 ．................8 分 22．（10 分） 【详解】（1）解： 抛物线为 ， 对称轴为直线 ． 即抛物线的对称轴为直线 ．................2 分 （2）解： 图象经过点 ，把 代入 ，则 解得： ， 故抛物线解析式 ， ................4 分 是抛物线 与 轴交点的横坐标， ， 解得： ， ， ， ，故 ．................6 分 当 时， ，此时 ；................8 分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 10 当 时， ，此时 ．................10 分 23．（10 分） 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得 ， 答：用时10 分钟，全部学生到达食堂．................2 分 （2）解：①设等待排队有 名学生，则 ． ∵ ，抛物线开口向下， ∴当 （分钟）时， （人）．................6 分 ②可以达到预期效果，理由： ， 可以在13 分钟内完成全部出餐． 等待排队有 名学生，则 ． 当 （分钟）时， （人） ， 每个学生的排队时间不超过5 分钟． 此方案可以满足预期效果．................10 分 24．（12 分） 【详解】（1）把点A 代入抛物线 ，得 ∴ ∴抛物线的表达式为: ................2 分 （2）令 解得: （不符合题意，舍去）， . ∵落地距离在6.4～6.6 得12 分. ∴该同学得分为12 分.................6 分 （3）根据题意知，抛物线的顶点为 . ∴设抛物线的表达式为： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 10 将点A 代入上式，得 解得： . ∴抛物线的表达式为： .................8 分 令 . 解得： （不符合题意，舍去）， ................10 分 ∵ . ∴该同学能得到15 分的满分.................12 分 25．（14 分） 【详解】（1）解：将 代入 得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为： ， ∴顶点坐标 ；.................3 分 （2）解：连接 ，取 的中点F，连接 并延长，交 于点G，连接 并延长，交抛物线于点E， 如图所示： 把 代入 得： ， ∴ ， ∵ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 10 ∴ ， ∵F 为 的中点， ∴ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴此时点E 符合题意， ∵F 为 的中点， ∴ ， 设直线 的解析式为 ，把 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 联立 ， 解得： ， ∴ ， 同理根据 ， 可得直线 的解析式为 ， 联立 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 10 解得： ， ， ∴点E 的坐标为 ；.................8 分 （3）解：过点M 作 于点N，过点B 作 于点G，交y 轴于点H，如图所示： 则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 和 都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点M 在点H 处时， 最小，且最小值为 的长， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 为等腰直角三角形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / ∴当 取得最小值时，点 的坐标为 ，这个最小值为 ．.................14 分
