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2026-2027 学年八年级上册数学单元自测
第十三章 三角形·能力提升
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（25-26 七年级下·山西临汾·期末）若三角形的两条边长分别为5 和7，则第三边的边长可能是（ ）
A．1
B．2
C．12
D．7
2．（25-26 七年级下·山西长治·期末）下列各组线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．
2
,
2
,
3
(
0)
cm a
cm a
cm a
+
+
>
B．3cm,8cm,10cm
C．6cm,6cm,6cm
D．三条线段之比为1: 2:3
3．如图，在Rt BAC
V
中，
90
A
Ð
=
°，
3
AB =
，
4
AC =
，
5
BC =
，则点A 到BC 边的距离是（ ）
A．6
B．8
C．12
5
D．24
5
4．在ABC
V
中，AD 平分
,
BAC CE
AD
Ð
^
于E，
30 ,
80
B
ACB
Ð
=
° Ð
=
° ，则
DCE
Ð
的度数为（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
5．（2026·江苏扬州·中考真题）图1 是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2 所示，EF
BC
∥
，
120
AGE
Ð
=
°，
70
DCB
Ð
=
° ，则
BDC
Ð
= （ ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
6．（25-26 七年级下·四川乐山·期末）如图，AD 为ABC
V
的中线，E 为AD 的中点，若ABC
V
的面积为24，
则ABE
V
的面积为（ ）
A．12
B．8
C．6
D．4
7．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB 与操作台BC 的夹角
120
ABC
Ð
=
° ，支撑臂BD 为
ABC
Ð
的平分线．物体被吊起后，机械臂AB 的位置不变，支撑臂绕点B 旋转
一定的角度并伸长，此时
2
ABD
CBD
Ð
= Ð
，
BDC
Ð
减小了10°，则DBC
V
的外角
DCE
Ð
的变化情况为（ ）
A．增大10°
B．减小10°
C．增大30°
D．减小30°
8．（25-26 七年级下·重庆北碚·期末）已知x ，y ，z 为三角形的三边长，且满足
2
2
3(
3)
2
2
(
)
x
y
y
x
y
z
x
y
z
-
+
-
+
=
-
-
+
+
-
，则以x ，y 为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．5
B．7
C．8
D．7 或8
9．如图，已知在ABC
V
中，
50
A
Ð
=
°，现将一块直角三角板放在ABC
V
上，使三角板的两条直角边分别经
过点B
C
，
，直角顶点D 落在ABC
V
的内部，则
ABD
ACD
Ð
+ Ð
= （ ）
A．100°
B．60°
C．50°
D．40°
10．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）如图，C 为线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在线段AB 同侧作
ACD
V
和BCE
V
，且
2
2
D
E
DAC
EBC
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
．若
DAC
Ð
的平分线与
ECB
Ð
的平分线交于点F ，则
DCE
Ð
与
F
Ð
的数量关系为（ ）
A．
DCE
F
Ð
= Ð
B．
3
90
DCE
F
Ð
+ Ð
=
°
C．
4
180
DCE
F
Ð
+ Ð
=
°
D．
6
360
DCE
F
Ð
+ Ð
=
°
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11．在ABC
V
中，已知
100
A
B
Ð + Ð
=
° ，
2
C
A
Ð
= Ð ，则
A
Ð
= ________．
12．（25-26 七年级下·山西长治·期末）如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三
角形钢架结构，这是利用了三角形的________．
13．（25-26 七年级下·江苏泰州·期末）如图，
ACD
Ð
是ABC
V
的外角，若
A
B
Ð = Ð ，
60
ACD
Ð
=
° ，则
A
Ð
= _______°
14．
（25-26 七年级下·福建漳州·期末）如图，在ABC
V
中，
B
ABC
AC
= Ð
∠
，点D 在射线BC 上，ABC
Ð
和
ACD
Ð
的角平分线相交于点E ，若
3
ECD
E
Ð
= Ð
，则
A
Ð 的度数为______．
15．（25-26 七年级下·山西长治·期末）如图，在ABC
V
中，点D 在BC 上，且
3
DC
DB
=
，连接AD ，E 为AD
边上的中点，连接CE 并延长交AB 于点F ，G 为CE 上一点，且
4
EC
GC
=
，已知GDC
V
的面积为1，则AEF
V
的面积为__________．
16．（25-26 七年级下·江苏南京·期末）折叠ABC
V
纸片，使点B ，C 均与点A 重合，折痕交直线BC 于点D ，
E ．若
30
DAE
Ð
=
°，则
BAC
Ð
= ______°．
三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分；
共9 小题，共72 分）
17．已知a，b，c 是ABC
V
的三边长，且a，b，c 都是整数．
(1)若
2
a =
，
5
b =
，且c 是奇数，试判断ABC
V
的形状；
(2)化简：a
b
c
b
c
a
c
a
b
-
-
+
- -
+
-
-
．
18．如图，在ABC
V
中，AE ，AD 分别是ABC
V
的中线和高，BF 是ABE
V
的角平分线．
(1)若ABC
V
的面积为20 ，
5
BE =
，求AD 的长；
(2)若AD 平分
CAE
Ð
，
45
BFE
Ð
=
°，
30
BAE
Ð
=
° ，求
C
Ð
的度数．
19．如图，CD是ABC
V
的角平分线，点E 在AC 上，BE 交CD于点F，
56
ACB
Ð
=
°．
(1)若BE
AC
^
，求
DFB
Ð
的度数；
(2)若BE
CD
^
，
50
A
Ð
=
° ，求
ABE
Ð
的度数．
20．（25-26 七年级下·江苏连云港·期末）如图，在ABC
V
中，D 是AB 边上的动点，过点D 作DF
AC
^
交AC
于E ，交BC 的延长线于点F ．
(1)若
25
A
Ð
=
° ，
40
B
Ð
=
°，则
FCE
Ð
= °，
F
Ð
= °；
(2)在D 点运动的过程中，探究
A
B
F
Ð + Ð
+ Ð
是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
21．在ABC
V
中，
C
B
Ð
> Ð ，AE 是边BC 上的高，AD 是
BAC
Ð
的平分线．
(1)如图①，若
20
DAE
Ð
=
° ，
30
B
Ð
=
° ，求
C
Ð
的度数；
(2)如图②，若F 是AD 的延长线上一点，FG
BC
^
于点G ，试探究
F
Ð
与
C
Ð
，
B
Ð 之间的数量关系，并说
明理由．
22．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图1，AB 与CD交于点E ，
(1)求证：
A
D
B
C
Ð + Ð
= Ð + Ð
；
(2)如图2 ，AD
BC
∥
，AF
CD
∥
，AE 平分
DAF
Ð
，AF
BF
^
，求证：
2
C
ABF
Ð
= Ð
；
(3)如图3，AD
BC
∥
，AN 平分
BAD
Ð
，CN 平分
BCD
Ð
，AN 与CN 交于点N ，DM
AB
^
，BM
CD
^
，
DM 与BM 交于点M ，试探究
M
Ð
与
N
Ð
的数量关系，并证明你的结论．
23．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3 倍，那么这
样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角
形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个
内角的度数是另一个内角度数的3 倍．
(1)如图1，已知
60
MON
Ð
=
°，在射线OM 上取一点A ，作AB
OM
^
交ON 于点B ，以A 为端点作射线
AD ，交线段OB 于点C （点C 不与点O ，B 重合）．若
80
ACB
Ð
=
° ，则AOB
V
_____“梦想三角形”，AOC
V
_____“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）；
(2)如图2，点D 在ABC
V
的边AB 上，连接CD，DE 平分
ADC
Ð
交AC 于点E ，作EF
AB
P
交DC 于点F ，
B
DEF
Ð
= Ð
．若BCD
V
是“梦想三角形”，求
B
Ð 的度数；
(3)如果一个“梦想三角形”有一个角为72°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______．
24．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）数学探究
在ABC
V
中，已知
A
a
Ð
=
．
(1)如图1，
ABC
Ð
，
ACB
Ð
的平分线相交于点P ．
①当
70
a =
°时，
BPC
Ð
= ________°；（直接写出结果）
②
BPC
Ð
的度数为________；（用含a 的代数式表示）
(2)如图2，ABC
Ð
，ACB
Ð
的平分线相交于点P ，作ABC
V
外角
MBC
Ð
，NCB
Ð
的角平分线交于点Q ．求
BQC
Ð
的度数．（用含a 的代数式表示）
(3)如图3，点M ，N 分别为AB ，AC 延长线上的一点，点P ，Q 分别在ABC
V
内部和外部，且满足
ABC
n PBC
Ð
= Ð
，
ACB
n PCB
Ð
= Ð
，
MBC
n QBC
Ð
= Ð
，
NCB
n QCB
Ð
= Ð
．分别求
BPC
Ð
，
BQC
Ð
的度
数．（用含a 、n 的代数式表示）
25．（25-26 七年级下·四川资阳·期末）综合实践：
定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．
发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O 处悬吊起来，发现纸板处于水平状
态．
探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？
(1)如图②，AD 是ABC
V
的中线，则ABD
V
与ACD
V
的面积关系为：
ABD
SV
_______
ACD
SV
（填>、<或=）；
(2)如图③，点G 是ABC
V
的重心，猜想BFG
V
与CEG
V
的面积之间的关系，并说明理由；
(3)如图③，点G 是ABC
V
的重心，三条中线AD 、BE 、CF 分别交BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，求DG
AG
的值；
(4)如图④，点G 是ABC
V
的重心，且BD
CE
^
，若
6
BD =
，
4
CE =
，求四边形AEGD 的面积．
