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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 9 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第十三章 三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D A C D D D B 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．40 12．稳定性 13．30 14．36/36 度 15．4 7 16．75或15或105 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17． 【详解】（1）解：∵a，b，c 是ABC 的三边长 且 2 a = ， 5 b = ， ∴5 2 5 2 c − + ，即3 7 c ， ∵c 是奇数， ∴ 5 c = ， ∴b c = ∴ABC 是等腰三角形；..................3 分 （2）解：∵a，b，c 是ABC 的三边长 ∴a b c − ，b c a − ，c a b − ， ∴ 0 0 0 a b c b c a c a b −− −− −− ， ， ， ∴原式 ( ) ( ) a b c b c a c a b = −+ + + − + + + − + + a b c = + + ．..................6 分 18． 【详解】（1）解： AE 是ABC 的中线， 5 BE = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 9 2 2 5 10 BC BE = = = ， ABC 的面积为20，AD是ABC 的高， 1 5 20 2 ABC S BC AD AD = = = ， 4 AD = ．..................3 分 （2）解： BFE BAE ABF = + ，且 45 BFE = ， 30 BAE = ． 15 ABF = ， BF 是ABE 的角平分线， 2 30 ABE ABF = = ， 60 AED ABE BAE = + = ， AD 是ABC 的高， 90 ADE = ， 90 AED EAD + = ， 90 90 60 30 EAD AED = − = − = ． AD 平分 CAE ， 30 CAD EAD = = ， 90 60 C CAD = − = ．..................6 分 19． 【详解】（1）解： CD 是 ACB 的平分线， 1 1 56 28 2 2 ACD ACB = = = ． BE AC ⊥ ，则 90 CEF = ． 在Rt CEF 中， 90 90 28 62 EFC ACD − − = = = ， 62 DFB EFC = = ；..................3 分 （2）解：∵ CD 是 ACB 的平分线， 1 1 56 28 2 2 ECF ACB = = = ． ∵BE CD ⊥ ， ∴ 90 CFE = ， 90 62 CEB ECF − = = ， 62 50 12 ABE CEB A − − = = = ．..................6 分 20． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 9 【详解】（1）解： 25 A = ， 40 B = ， 25 40 65 ACF A B = += + = ； DF AC ⊥ ， 90 CEF = ， 180 180 90 65 25 F CEF FCE = − − = − − = ，..................2 分 （2） A B F ++ 是定值，定值为90． ACF 是ABC 的外角， ACF A B = +； DF AC ⊥ ， 90 CEF = ， 180 F CEF FCE + + = ， 90 180 F FCE + + = ， 90 F FCE + = ． 90 A B F ++ = ， 即 A B F ++ 是定值，定值为90．..................6 分 21． 【详解】（1）解：∵AE 是边BC 上的高， ∴ 90 AEB = ， ∴ 180 60 BAE B AEB − − = = ， ∵ 20 DAE = ， ∴ 40 BAD BAE DAE − = = ， ∵AD是 BAC 的平分线， ∴ 2 80 BAC BAD = = ， ∴ 180 70 C B BAC − − = = ．..................4 分 (2) 2 C B F − = ，理由如下： ∵AE 是边BC 上的高， ∴AE BC ⊥ ， 90 AEB = ， ∴ 180 90 BAE B AEB B − − − = = ， ∴ 90 BAD BAE DAE B DAE − − − = = ， ∵AD是 ABC 的平分线， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 9 ∴ 2 180 2 2 BAC BAD B DAE − − = = ， ∴ 180 2 C B BAC B DAE − − = = + ， ∵FG BC ⊥ ，AE BC ⊥ ， ∴FG AE ∥ ， ∴ F DAE = ， ∴ 2 C B F = + ，即 2 C B F − = ．..................8 分 22． 【详解】(1)∵ 180 A D AED + = − ， 180 B C BEC + = − ， 又 AED BEC = ， ∴ A D B C + = + ；..................2 分 (2)设 ABF = ，设BF 与CD交于点G ， ∵AF BF ⊥ ， ∴ 180 90 90 FAB = − − = − ， ∵AE 平分 DAF ， ∴ 90 DAB FAB = = − ， ∵AD BC ∥ ， ∴ 90 ABC DAB = = − ， ∴ 90 2 CBF ABC ABF = − = − ， ∵AF CD ∥ ， ∴ 90 BGE F = = ， ∴ 180 90 BGC BGE = − = ， ∴ 180 90 2 C CBF = − − = ，即 2 C ABF = ；..................5 分 (3) 2 180 M N + = ，理由如下： 设 1 DAN = ， 2 DCN = ， ∵AN 平分 BAD ，CN 平分 BCD ， ∴ 2 1 DAE = ， 2 2 BCE = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 9 ∵AD BC ∥ ， ∴ 2 2 ADE BCE = = ， 由（1）的结论得 DAN ADC DCN N + = + ，即1 2 2 2 N + = + ， ∴ 1 2 N = +， 在AED 中， ( ) ( ) 180 180 2 1 2 AED EAD EDA = − + = − + ， ∵DM AB ⊥ ，BM CD ⊥ ， 由四边形内角和定理知 360 90 90 180 M AEC AEC AED = − − − = − = ， ∴ ( ) 180 2 1 2 M = − + ， ∴ 180 2 M N = − ， ∴ 2 180 M N + = ．.................8 分 23． 【详解】（1）解：∵AB OM ⊥ ， ∴ 90 OAB = ， ∵ 60 MON = ，即 60 AOB = ， ∴ 180 90 60 30 ABC = − − = ， ∵ 3 OAB ABC = ， ∴AOB 是“梦想三角形”； ∵ 80 ACB = ， ∴ 180 80 100 ACO = − = ， ∴ 180 100 60 20 OAC = − − = ， ∵ 3 AOB OAC = ， ∴AOC 是“梦想三角形”；..................2 分 （2）解：∵DE 平分 ADC ， ∴ ADE FDE = ， ∵EF AB ， ∴ ADE DEF = ， ∴ ADE FDE DEF = = ， ∴ 180 180 2 BDC ADE FDE DEF = − − = − ， ∵ B DEF = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 9 ∴ 180 2 BDC B = −， ∴ ( ) 180 180 2 BCD B B B = −− − = ， ∵BCD 是“梦想三角形”， 当3 B BDC = ，即3 180 2 B B = − ，解得 36 B = ， 此时BCD 中 36 B BCD = = ， 108 BDC = ，满足条件； 当3 BDC B = ，即( ) 3 180 2 B B − = ，解得 540 7 B = ， 此时BCD 中 540 7 B BCD = = ， 180 7 BDC = ，满足条件； 综上， B 的度数为36或540 7 ；..................5 分 （3）解：如果一个“梦想三角形”有一个角为72， 设该“梦想三角形”的另外两个内角为,x y， 则有 180 72 108 x y + = − = ， 当3 72 x = 时，解得 24 x = ， 此时 84 y = ，故最小内角的度数为24； 当3 72 x = 时，解得 216 180 x = ，不满足题意； 当3x y = 时，则有 3 108 x x + = ，解得 27 x = ， 此时 81 y = ，故最小内角的度数为27 ； 综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为24或27．..................8 分 24． 【详解】（1）解：①BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ， 1 2 PBC ABC = ， 1 2 PCB ACB = ， 1 1 180 ( ) 180 ( 18 1 1 1 ) 90 2 0 (180 ) 18 2 0 ( 80 ) 2 2 PBC PCB A C B ACB BP C A + = + = = − − − − = − + − = ， 当 70 = 时， 1 90 70 125 2 BPC + = = ； ②由①可知， 1 90 2 BPC = + ．..................4 分 （2）解： MBC A ACB = + ， = + NCB A ABC ， 2 180 MBC NCB A ABC ACB + = + + = + ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 9 点Q 是ABC 的外角 MBC ， NCB 的角平分线的交点， 1 2 QBC MBC = ， 1 2 QCB NCB = ， 1 1 1 (180 ) 90 2 2 2 ( ) QBC QCB MBC NCB + = + = + = + ， 1 1 180 180 90 ( ) 90 2 2 BQC QBC QCB = − + = − + = − ．..................8 分 （3）解： 180 A ABC ACB + + = ， 180 180 ABC ACB A + = −= − ． ABC n PBC = ， ACB n PCB = ， 1 1 ( ) 80 PBC PCB ABC ACB n n − + = + = ， ( ) 1 180 18 ( ) 0 n BPC PBC PCB n − + = − + = ． 由（2）可知， =180 MBC NCB + + ． MBC n QBC = ， NCB n QCB = ， ( ) 1 180 QBC QCB MBC NCB n n + + = + = ， ( ) 1 180 18 ( ) 0 n BQC QBC QCB n − − = − + = ．..................12 分 25． 【详解】（1）解： AD 是三角形ABC 的中线， BD CD = ， ABD 和ACD 的底边分别是BD和CD，它们共用同一个顶点A， 它们的高相等，设为h ， 1 1 2 2 ABD ACD S BD h DC h S = = = ．..................3 分 (2) EC BFG G S S = △ △ ，理由如下： 点G 是ABC 的重心， 1 1 , 2 2 BF AF AB AE EC AC = = = = ， BCF 和ABC 同高，设高为H ， 1 1 1 1 2 2 2 2 BCF ABC S BF H AB H S = = = ， 同理得 1 2 BCE ABC S S = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 9 ∴ 1 2 BCE ABC BCF S S S = = ， BCF BGC BCE BGC S S S S − = − ， ∴ EC BFG G S S = △ △ ；..................6 分 （3）解：点G 是ABC 的重心， 1 2 BD DC BC = = ， ADC 和ABC 同高，设高为a ， 1 1 1 1 2 2 2 2 ADC ABC S CD a BC a S = = = ， 1 2 ADC ABC BCE S S S = = ， ∴ BDG AEG S S = ， 同理： , BDG GDC 等底同高， , CGE AEG 等底同高， BDG GDC S S = ， EG CGE A S S = △ △ ， ∴ 2 GDC AGC S S = △ △ ， ∴ 1 2 DG AG = ．..................9 分 （4）解：如图，连接AG 交BC 于点M ， G 是ABC 的重心， 由（3）可得出， 1 2 DG GM BG AG = = ，AE BE = ，AD DC = ， 设DG x = ， 2 BG x = ， ∴ 2 2 2 3 BG BG x BD BG GD x x = = = + + ， 同理得 2 3 CG AG CE AM = = ， 1 3 GM AM AG AM AM − = = ， ∵ 6 BD = ， 4 CE = ， ∴ 8 4 3 BG CG = = ， ， ∵BD CE ⊥ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 9 ∴ 1 1 8 16 4 2 2 3 3 BGC S BG CG = = = ， , AGE ABG 同高， 设它们的高为b ， 1 2 AEG S AE b = ， 1 2 ABG S AB b = ，且 1 2 AE BE AB = = ， 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ABG AEG S AB b AE b AE b S = = = = ， ABG 、BGM 和ABM 同高，设高为c ， 1 2 ABG S AG c = ， 1 2 BGM S GM c = ， 1 2 ABM S AM c = ， 2 3 AG AM = ， 1 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 3 ABG ABM S AG c AM c AM c S = = = = ， 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 BGM ABG ABM ABM S GM c AG c S S S = = = = = ， 2 ABG AEG S S = ， 1 1 2 1 2 2 3 3 AEG ABG ABM ABM BGM S S S S S = = = = ， 同理可得， ADG CGM S S = ， ∴ 16 3 AEG ADG BGM CGM BGC AEGD S S S S S S = + = + = = 四边形 ．..................12 分
