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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 24 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第十三章 三角形·能力提升 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．（25-26 七年级下·山西临汾·期末）若三角形的两条边长分别为5 和7，则第三边的边长可能是（ ） A．1 B．2 C．12 D．7 【答案】D 【分析】本题利用三角形三边关系定理，根据三角形三边关系：三角形两边之差小于第三边，两边之和大 于第三边，先求出第三边的取值范围，再判断符合范围的选项即可． 【详解】解：设第三边的边长为x ， ∵三角形已知两边长为5 和7， ∴7 5 7 5 x − + ，即2 12 x ， 观察选项，只有选项D 的7 满足2 7 12 ，故选D． 2．（25-26 七年级下·山西长治·期末）下列各组线段中，不能组成三角形的是（ ） A． ( ) ( ) 2 , 2 , 3 ( 0) cm a cm a cm a + + B．3cm,8cm,10cm C．6cm,6cm,6cm D．三条线段之比为1:2:3 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边之和是否大于最长边，逐项 判断即可． 【详解】解：选项A： 0 a ，较小两边为2 和 2 a+ ，和为 ( ) 2 2 4 a a + + = + ，最长边为 3 a + ， 4 3 a a + + ， 满足三边关系，能组成三角形，不符合题意． 选项B：较小两边为3cm 和8cm ，和为3 8 11cm + = ，最长边为10cm，11 10 ，满足三边关系，能组成三 角形，不符合题意． 选项C：三边均为6cm，较小两边和为6 6 12cm + = ，12 6 ，满足三边关系，能组成等边三角形，不符合 题意． 选项D：设三条线段长分别为,2 ,3 ( 0) x x x x ，较小两边和为 2 3 x x x + = ，等于最长边3x ，不满足两边之和 大于第三边，不能组成三角形，符合题意． 3．如图，在Rt BAC 中， 90 A = ， 3 AB = ， 4 AC = ， 5 BC = ，则点A到BC 边的距离是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 24 A．6 B．8 C．12 5 D．24 5 【答案】C 【分析】作AD BC ⊥ ，根据1 1 2 2 BC AD AB AC = 即可求出点A到BC 边的距离． 【详解】解：作AD BC ⊥ ，如图， 1 1 2 2 BC AD AB AC = ， 5 12 AD = ， 12 5 AD = ． 4．在ABC 中，AD平分 , BAC CE AD ⊥ 于E， 30 , 80 B ACB = = ，则 DCE 的度数为（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】先求出 70 BAC = ，根据角平分线的定义求出 35 BAD = ，根据三角形外角的定义求出 65 CDE = ，即可求解． 【详解】解：∵ 30 , 80 B ACB = = ， ∴ 180 180 30 80 70 BAC B ACB = −− = − − = ， ∵AD平分 BAC ， ∴ 1 1 70 35 2 2 BAD BAC = = = ， ∴ 30 35 65 CDA B BAD = + = + = ，即 65 CDE = ， ∵CE AD ⊥ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 24 ∴ 90 CED = ， ∴ 90 90 65 25 DCE CDE = − = − = ． 5． （2026·江苏扬州·中考真题）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，EF BC ∥ ， 120 AGE = ， 70 DCB = ，则 BDC =（ ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】A 【分析】利用平行线的性质求得 70 DFE DCB = = ，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵EF BC ∥ ， 70 DCB = ， ∴ 70 DFE DCB = = ， ∵ AGE BDC DFE = + ， ∴ 120 70 50 BDC − = = ． 6．（25-26 七年级下·四川乐山·期末）如图，AD为ABC 的中线，E 为AD的中点，若ABC 的面积为24， 则ABE 的面积为（ ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵AD为ABC 的中线， ∴BD CD = ∵ABC 的面积为24， ∴ 1 12 2 ACD ABD ABC S S S = = = △ △ △ ， ∵E 为AD的中点， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 24 ∴AE ED = ∴ 1 6 2 ABE DBE ABD S S S = = = △ △ △ ． 7．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB 与操作台BC 的夹角 120 ABC = ，支撑臂BD为 ABC 的平分线．物体被吊起后，机械臂AB 的位置不变，支撑臂绕点B 旋转 一定的角度并伸长，此时 2 ABD CBD = ，BDC 减小了10，则DBC 的外角 DCE 的变化情况为（ ） A．增大10 B．减小10 C．增大30 D．减小30 【答案】D 【分析】计算出起吊物体前后 DBC 的度数，可知 DBC 减少了20，已知 BDC 减少了10，根据三角形 的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可知 DCE 减少了30. 【详解】解：起吊物体前： 120 ABC = ，BD为 ABC 的平分线， 1 60 2 DBC ABC = = ， 60 DCE DBC BDC DBC = + = + ， 物体被吊起后： 120 ABC = ， 2 ABD CBD = ， 1 40 3 CBD ABC = = ， CBD 减少了60 40 20 − = ， 又 BDC 减小了10， DCE 减少了20 10 30 + = ． 8．（25-26 七年级下·重庆北碚·期末）已知x ，y ，z 为三角形的三边长，且满足 2 2 3( 3) 2 2 ( ) x y y x y z x y z − + − + = − − + + − ，则以x ，y 为边长的等腰三角形的周长为（ ） A．5 B．7 C．8 D．7 或8 【答案】D 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出x ，y 的值，最后分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 24 情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解： x ，y ，z 是三角形的三边长， y z x + ，x y z + ， 0 x y z − − ， 0 x y z + − ， 等式右侧为： ( ) ( ) 2 ( ) 2 x y z x y z y z x x y z y − − + + − = + − + + − = ， 可得： 2 3( 3) 2 2 2 x y y y − + − + = ， 整理得： 2 3( 3) 2 0 x y − + − = ， 2 ( 3) 0 x − ， 2 0 y − ， 3 0 x −= ， 2 0 y − = ， 解得： 3 x = ， 2 y = ， ①当腰长为2 ，底边长为3时， 2 2 3 + ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为2 2 3 7 + + = ， ②当腰长为3，底边长为2 时， 3 2 3 + ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为3 3 2 8 + + = ， 综上，等腰三角形的周长为7 或8． 9．如图，已知在ABC 中， 50 A = ，现将一块直角三角板放在ABC 上，使三角板的两条直角边分别经 过点B C ， ，直角顶点D落在ABC 的内部，则 ABD ACD + =（ ） A．100 B．60 C．50 D．40 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理可得 180 ABC ACB A + += ，即 180 130 ABC ACB A + = −= ，再说明 90 DBC DCB + = ，进而完成解答． 【详解】解：∵在ABC 中， 50 A = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 24 ∴ 180 130 ABC ACB A + = −= ， ∵在DBC 中， 90 BDC = ， ∴ 180 90 90 DBC DCB + = − = ， ∴ ( ) ( ) 130 90 40 ABD ACD ABC ACB DBC DCB + = + − + = − = ． 10．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）如图，C 为线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在线段AB 同侧作 ACD 和BCE ，且 2 2 D E DAC EBC = = = ．若 DAC 的平分线与 ECB 的平分线交于点F ，则 DCE 与 F 的数量关系为（ ） A． DCE F = B． 3 90 DCE F + = C． 4 180 DCE F + = D． 6 360 DCE F + = 【答案】B 【分析】设 2 2 2 D E DAC EBC = = = = ，根据三角形内角和定理表示出 180 3 DCA ECB = = − ， 根据平角的定义表示出 DCE ，进而根据角平分线的性质以及三角形的外角的性质表示出 F ，结合选项， 即可求解． 【详解】解：∵ 2 2 D E DAC EBC = = = ， 180 DCA D DAC = − − ， 180 ECB E EBC = −− 设 2 2 2 D E DAC EBC = = = = ∴ 180 180 3 DCA ECB D DAC = = − − = − 又∵ 180 180 2 3 6 180 DCE DCA ECB = − − = − = − ∵ DAC 的平分线与 ECB 的平分线交于点F ， ∴ 1 1 2 2 FAC DAC = = ， ( ) 1 1 3 180 3 90 2 2 2 FCB ECB = = − = − ∴ 3 1 90 90 2 2 2 F FCB FAC = − = − − = − ∴ 3 6 180 270 6 90 DCE F + = − + − = 即 3 90 DCE F + = ． 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．在ABC 中，已知 100 A B += ， 2 C A = ，则 A =________． 【答案】40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 24 【详解】解：在ABC 中， 180 A B C ++ = ， ( ) 180 180 100 80 C A B = −+ = − = ， 又 2 C A = ， 1 1 80 40 2 2 A C = = = ． 12．（25-26 七年级下·山西长治·期末）如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三 角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【详解】解：在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的稳定性． 13．（25-26 七年级下·江苏泰州·期末）如图， ACD 是ABC 的外角，若 A B =， 60 ACD = ，则 A = _______ 【答案】30 【详解】解：∵ ACD 是ABC 的外角， A B =， 60 ACD = ， ∴ 2 60 ACD A B A = += = ， ∴ 30 A = . 14． （25-26 七年级下·福建漳州·期末）如图，在ABC 中， B ABC AC = ∠ ，点D 在射线BC 上，ABC 和 ACD 的角平分线相交于点E ，若 3 ECD E = ，则 A 的度数为______． 【答案】36/36 度 【分析】利用角平分线将角进行等分，结合三角形外角性质推导 E 与 A 的数量关系，再结合已知倍数关 系列方程求解． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 24 【详解】解：∵ CE 平分 ACD ， ∴ 2 ACD ECD = , ∵ 3 ECD E = ， ∴ 6 ACD E = , ∵BE平分 ABC ， ∴ 2 ABC EBC = ． 由三角形外角性质可知， ACD A ABC = + ， = + ECD E EBC, ∴ ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 E ECD EBC ACD ABC ACD ABC A = − = − = − = , ∴ 2 A E = , ∵ 6 ACD E = ， ∴ 3 ACD A = , 又∵ ACD A ABC = + , ∴3 A A ABC = + ，即 2 ABC A = , ∵ B ABC AC = ∠ ， ∴ 2 ACB A = , 在 ABC 中，∵ 180 A ABC ACB + + = ， ∴ 2 2 180 A A A + + = ， ∴ 36 A = ． 15．（25-26 七年级下·山西长治·期末）如图，在ABC 中，点D 在BC 上，且 3 DC DB = ，连接AD，E 为AD 边上的中点，连接CE 并延长交AB 于点F ，G 为CE 上一点，且 4 EC GC = ，已知GDC 的面积为1，则AEF 的面积为__________． 【答案】4 7 【分析】设AEF 的面积为x ，连接DF ，由 4 EC GC = ，结合等高三角形的面积比与底边的比有关可得 4 4 EDC GDC S S = = ，E 为AD边上的中点，求得 AEF DEF S S x = = ， 4 AEC EDC S S = = ，得到 8 2 3 FBD S x = − ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 24 4 CFD S x = + ，根据 3 CFD FBD S S = ，列式计算即可求解． 【详解】解：设AEF 的面积为x ，连接DF ， ∵ 4 EC GC = ， 1 GDC S = ， ∴ 4 4 EDC GDC S S = = ， ∵E 为AD边上的中点， ∴ AEF DEF S S x = = ， 4 AEC EDC S S = = ，即 8 ADC S = △ ， ∵ 3 DC DB = ， ∴ 1 8 3 3 ABD ADC S S = = ， ∴ 8 2 3 FBD ABD AFD S S S x = − = − ， 4 CFD EDC DEF S S S x = − = + ， ∵ 3 DC DB = ， ∴ 3 CFD FBD S S = ， ∴ 8 4 3 2 3 x x + = − ，解得 4 7 x = ， 即AEF 的面积为4 7 ． 16．（25-26 七年级下·江苏南京·期末）折叠ABC 纸片，使点B ，C 均与点A重合，折痕交直线BC 于点D ， E ．若 30 DAE = ，则 BAC = ______． 【答案】75或15或105 【分析】根据折叠的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理，外角的性质，分三种情况讨论：当 BAC 为锐角时，若点D，E 在BC 边上；若点E 在BC 边的延长线上；当 BAC 为钝角时；即可求出 BAC 的度 数． 【详解】设 BAC = ． 分三种情况讨论： 当 BAC 为锐角时， 若点D，E 在BC 边上， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 根据折叠的性质，可得 BAD B = ， CAE C = ， ∴ BAD CAE B C + = + ， ∵ 30 BAD CAE BAC DAE + = + = + ， ∴ 30 B C + = + ， 由三角形内角和定理得 180 180 B C BAC + = − = − ， ∴180 30 − = + ， 解得 75 = ； 若点E 在BC 边的延长线上， 根据折叠的性质，可得 BAD ABD = ， ACE CAE = ， ∴ CAD BAC BAD BAC ABD ABD = − = − = − ， ( ) 30 CAD DAE CAE DAE ACE DAE BAC ABD ABD = − = − = − + = − − ， ∴ 30 ABD ABD − = − − ， 解得 15 = ； 当 BAC 为钝角时， 根据折叠的性质，可得 BAD B = ， C CAE = ， ∴ 180 180 BAD CAE B C BAC + = + = − = − ， ∵ 30 BAD CAE BAC DAE + = − = − ， ∴180 30 − = − ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 解得 105 = ． 综上所述， BAC 的度数为75或15或105． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17．已知a，b，c 是ABC 的三边长，且a，b，c 都是整数． (1)若 2 a = ， 5 b = ，且c 是奇数，试判断ABC 的形状； (2)化简：a b c b c a c a b − − + −− + − − ． 【答案】(1)等腰三角形 (2)a b c + + 【分析】(1) 根据三角形三边关系确定c 的取值范围为3 7 c ，结合c 为奇数得 5 c = ，从而b c = ，判定ABC 为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得 a b c + + ． 【详解】（1）解：∵a，b，c 是ABC 的三边长 且 2 a = ， 5 b = ， ∴5 2 5 2 c − + ，即3 7 c ， ∵c 是奇数， ∴ 5 c = ， ∴b c = ∴ABC 是等腰三角形； （2）解：∵a，b，c 是ABC 的三边长 ∴a b c − ，b c a − ，c a b − ， ∴ 0 0 0 a b c b c a c a b −− −− −− ， ， ， ∴原式 ( ) ( ) a b c b c a c a b = −+ + + − + + + − + + a b c = + + ． 18．如图，在ABC 中，AE ，AD分别是ABC 的中线和高，BF 是ABE 的角平分线． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / (1)若ABC 的面积为20 ， 5 BE = ，求AD的长； (2)若AD平分 CAE ， 45 BFE = ， 30 BAE = ，求 C 的度数． 【答案】(1) 4 AD = (2)60 【分析】（1）根据三角形中线的定义可得 2 2 5 10 BC BE = = = ，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）根据三角形外角的性质可得 15 ABF = ，再结合角平分线的定义可得 60 AED ABE BAE = + = ， 根据AD是ABC 的高，可得 90 AED EAD + = ，从而得到 30 EAD = ∠ °，再由角平分线的定义可得 30 CAD EAD = = ，即可解答． 【详解】（1）解： AE 是ABC 的中线， 5 BE = ， 2 2 5 10 BC BE = = = ， ABC 的面积为20，AD是ABC 的高， 1 5 20 2 ABC S BC AD AD = = = ， 4 AD = ． （2）解： BFE BAE ABF = + ，且 45 BFE = ， 30 BAE = ． 15 ABF = ， BF 是ABE 的角平分线， 2 30 ABE ABF = = ， 60 AED ABE BAE = + = ， AD 是ABC 的高， 90 ADE = ， 90 AED EAD + = ， 90 90 60 30 EAD AED = − = − = ． AD 平分 CAE ， 30 CAD EAD = = ， 90 60 C CAD = − = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / 19．如图，CD是ABC 的角平分线，点E 在AC 上，BE交CD于点F， 56 ACB = ． (1)若BE AC ⊥ ，求 DFB 的度数； (2)若BE CD ⊥ ， 50 A = ，求 ABE 的度数． 【答案】(1) 62 DFB = ； (2) 12 ABE = ． 【分析】（1）先根据角平分线的定义得 1 28 2 ACD ACB = = ，再根据直角三角形两锐角互余求解； （2）根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余求出 CEB ，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解： CD 是 ACB 的平分线， 1 1 56 28 2 2 ACD ACB = = = ． BE AC ⊥ ，则 90 CEF = ． 在Rt CEF 中， 90 90 28 62 EFC ACD − − = = = ， 62 DFB EFC = = ； （2）解：∵ CD 是 ACB 的平分线， 1 1 56 28 2 2 ECF ACB = = = ． ∵BE CD ⊥ ， ∴ 90 CFE = ， 90 62 CEB ECF − = = ， 62 50 12 ABE CEB A − − = = = ． 20．（25-26 七年级下·江苏连云港·期末）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的动点，过点D 作DF AC ⊥ 交AC 于E ，交BC 的延长线于点F ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / (1)若 25 A = ， 40 B = ，则 FCE = ， F = ； (2)在D点运动的过程中，探究 A B F ++ 是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)65，25 (2)是定值，定值为90 【分析】（1）根据三角形的外角的性质求得 FCE ，进而根据三角形内角和定理求得 F ； （2）根据三角形的外角的性质可得 ACF A B = +；根据DF AC ⊥ 得出 90 F FCE + = ．即可得出 90 A B F ++ = ． 【详解】（1）解： 25 A = ， 40 B = ， 25 40 65 ACF A B = += + = ； DF AC ⊥ ， 90 CEF = ， 180 180 90 65 25 F CEF FCE = − − = − − = ， （2） A B F ++ 是定值，定值为90． ACF 是ABC 的外角， ACF A B = +； DF AC ⊥ ， 90 CEF = ， 180 F CEF FCE + + = ， 90 180 F FCE + + = ， 90 F FCE + = ． 90 A B F ++ = ， 即 A B F ++ 是定值，定值为90． 21．在ABC 中， C B ，AE 是边BC 上的高，AD是 BAC 的平分线． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / (1)如图①，若 20 DAE = ， 30 B = ，求 C 的度数； (2)如图②，若F 是AD的延长线上一点，FG BC ⊥ 于点G ，试探究 F 与 C ，B 之间的数量关系，并说 明理由． 【答案】(1)70 (2) 2 C B F − = ，理由如下： ∵AE 是边BC 上的高， ∴AE BC ⊥ ， 90 AEB = ， ∴ 180 90 BAE B AEB B − − − = = ， ∴ 90 BAD BAE DAE B DAE − − − = = ， ∵AD是 ABC 的平分线， ∴ 2 180 2 2 BAC BAD B DAE − − = = ， ∴ 180 2 C B BAC B DAE − − = = + ， ∵FG BC ⊥ ，AE BC ⊥ ， ∴FG AE ∥ ， ∴ F DAE = ， ∴ 2 C B F = + ，即 2 C B F − = ． 【分析】 （1）由AE BC ⊥ 可得 90 AEB = ，利用三角形内角和定理可得 60 BAE = ，从而得到 40 BAD = ， 由角平分线的定义可得 2 80 BAC BAD = = ，最后使用三角形的内角和定理计算出 C ； （2）仿照（1）的解法可得出 2 C B DAE = + ，容易判断FG AE ∥ ，则 F DAE = ，因此 2 C B F − = ． 【详解】（1）解：∵AE 是边BC 上的高， ∴ 90 AEB = ， ∴ 180 60 BAE B AEB − − = = ， ∵ 20 DAE = ， ∴ 40 BAD BAE DAE − = = ， ∵AD是 BAC 的平分线， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / ∴ 2 80 BAC BAD = = ， ∴ 180 70 C B BAC − − = = ． （2）略 22．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图1，AB 与CD交于点E ， (1)求证： A D B C + = + ； (2)如图2 ，AD BC ∥ ，AF CD ∥ ，AE 平分 DAF ，AF BF ⊥ ，求证： 2 C ABF = ； (3)如图3，AD BC ∥ ，AN 平分 BAD ，CN 平分 BCD ，AN 与CN 交于点N ，DM AB ⊥ ，BM CD ⊥ ， DM 与BM 交于点M ，试探究 M 与 N 的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)∵ 180 A D AED + = − ， 180 B C BEC + = − ， 又 AED BEC = ， ∴ A D B C + = + ； (2)设 ABF = ，设BF 与CD交于点G ， ∵AF BF ⊥ ， ∴ 180 90 90 FAB = − − = − ， ∵AE 平分 DAF ， ∴ 90 DAB FAB = = − ， ∵AD BC ∥ ， ∴ 90 ABC DAB = = − ， ∴ 90 2 CBF ABC ABF = − = − ， ∵AF CD ∥ ， ∴ 90 BGE F = = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / ∴ 180 90 BGC BGE = − = ， ∴ 180 90 2 C CBF = − − = ，即 2 C ABF = ； (3) 2 180 M N + = ，理由如下： 设 1 DAN = ， 2 DCN = ， ∵AN 平分 BAD ，CN 平分 BCD ， ∴ 2 1 DAE = ， 2 2 BCE = ， ∵AD BC ∥ ， ∴ 2 2 ADE BCE = = ， 由（1）的结论得 DAN ADC DCN N + = + ，即1 2 2 2 N + = + ， ∴ 1 2 N = +， 在AED 中， ( ) ( ) 180 180 2 1 2 AED EAD EDA = − + = − + ， ∵DM AB ⊥ ，BM CD ⊥ ， 由四边形内角和定理知 360 90 90 180 M AEC AEC AED = − − − = − = ， ∴ ( ) 180 2 1 2 M = − + ， ∴ 180 2 M N = − ， ∴ 2 180 M N + = ． 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合对顶角相等即可证明； （2）设 ABF = ，设BF 与CD交于点G ，求得 90 ABC DAB = = − ， 90 2 CBF = − ，根据平行线 的性质结合三角形内角和定理求得 2 C = ，据此计算即可证明； （3）设 1 DAN = ， 2 DCN = ，利用（1）的结论得到 1 2 N = +，在AED 中，求得 ( ) 180 2 1 2 AED = − + ，利用四边形内角和定理求得 M AED = ，据此计算即可得到 2 180 M N + = ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3 倍，那么这 样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是120，40，20，这个三角 形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个 内角的度数是另一个内角度数的3 倍． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / (1)如图1，已知 60 MON = ，在射线OM 上取一点A，作AB OM ⊥ 交ON 于点B ，以A为端点作射线AD， 交线段OB 于点C（点C 不与点O，B 重合）．若 80 ACB = ，则AOB _____“梦想三角形”，AOC _____“梦 想三角形”（均填“是”或“不是”）； (2)如图2，点D 在ABC 的边AB 上，连接CD，DE 平分 ADC 交AC 于点E ，作EF AB 交DC 于点F ， B DEF = ．若BCD 是“梦想三角形”，求 B 的度数； (3)如果一个“梦想三角形”有一个角为72，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______． 【答案】(1)是，是 (2) B 的度数为36或540 7 (3)24或27 【分析】（1）根据三角形内角和为180分别求解出AOB 与AOC 中每个角度，判断是否存在“某个内角的 度数是另一个内角度数的3 倍”即可； （2）先由平行线的性质以及角平分线的性质得到 ADE FDE DEF = = ，再由平角的性质可得 BDC ， 根据三角形内角和为180以及“梦想三角形”的定义列式求解即可； （3）先设出其余两个内角为,x y，再由三角形内角和为180以及“梦想三角形”的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵AB OM ⊥ ， ∴ 90 OAB = ， ∵ 60 MON = ，即 60 AOB = ， ∴ 180 90 60 30 ABC = − − = ， ∵ 3 OAB ABC = ， ∴AOB 是“梦想三角形”； ∵ 80 ACB = ， ∴ 180 80 100 ACO = − = ， ∴ 180 100 60 20 OAC = − − = ， ∵ 3 AOB OAC = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / ∴AOC 是“梦想三角形”； （2）解：∵DE 平分 ADC ， ∴ ADE FDE = ， ∵EF AB ， ∴ ADE DEF = ， ∴ ADE FDE DEF = = ， ∴ 180 180 2 BDC ADE FDE DEF = − − = − ， ∵ B DEF = ， ∴ 180 2 BDC B = −， ∴ ( ) 180 180 2 BCD B B B = −− − = ， ∵BCD 是“梦想三角形”， 当3 B BDC = ，即3 180 2 B B = − ，解得 36 B = ， 此时BCD 中 36 B BCD = = ， 108 BDC = ，满足条件； 当3 BDC B = ，即( ) 3 180 2 B B − = ，解得 540 7 B = ， 此时BCD 中 540 7 B BCD = = ， 180 7 BDC = ，满足条件； 综上， B 的度数为36或540 7 ； （3）解：如果一个“梦想三角形”有一个角为72， 设该“梦想三角形”的另外两个内角为,x y， 则有 180 72 108 x y + = − = ， 当3 72 x = 时，解得 24 x = ， 此时 84 y = ，故最小内角的度数为24； 当3 72 x = 时，解得 216 180 x = ，不满足题意； 当3x y = 时，则有 3 108 x x + = ，解得 27 x = ， 此时 81 y = ，故最小内角的度数为27 ； 综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为24或27． 24．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）数学探究 在ABC 中，已知 A = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / (1)如图1， ABC ， ACB 的平分线相交于点P ． ①当 70 = 时， BPC = ________；（直接写出结果） ② BPC 的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，ABC ，ACB 的平分线相交于点P ，作ABC 外角 MBC ，NCB 的角平分线交于点Q ．求 BQC 的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点M ，N 分别为AB ，AC 延长线上的一点，点P ，Q 分别在ABC 内部和外部，且满足 ABC n PBC = ，ACB n PCB = ，MBC n QBC = ，NCB n QCB = ．分别求 BPC ，BQC 的度数． （用 含、n 的代数式表示） 【答案】(1)①125；② 1 90 2 + (2) 1 90 2 − (3) ( )1 180 n BPC n − + = ； ( ) 1 180 n BQC n − − = 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （2）根据外角的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （3）根据外角的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】（1）解：①BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ， 1 2 PBC ABC = ， 1 2 PCB ACB = ， 1 1 180 ( ) 180 ( 18 1 1 1 ) 90 2 0 (180 ) 18 2 0 ( 80 ) 2 2 PBC PCB A C B ACB BP C A + = + = = − − − − = − + − = ， 当 70 = 时， 1 90 70 125 2 BPC + = = ； ②由①可知， 1 90 2 BPC = + ． （2）解： MBC A ACB = + ， = + NCB A ABC ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / 2 180 MBC NCB A ABC ACB + = + + = + ． 点Q 是ABC 的外角 MBC ， NCB 的角平分线的交点， 1 2 QBC MBC = ， 1 2 QCB NCB = ， 1 1 1 (180 ) 90 2 2 2 ( ) QBC QCB MBC NCB + = + = + = + ， 1 1 180 180 90 ( ) 90 2 2 BQC QBC QCB = − + = − + = − ． （3）解： 180 A ABC ACB + + = ， 180 180 ABC ACB A + = −= − ． ABC n PBC = ， ACB n PCB = ， 1 1 ( ) 80 PBC PCB ABC ACB n n − + = + = ， ( ) 1 180 18 ( ) 0 n BPC PBC PCB n − + = − + = ． 由（2）可知， =180 MBC NCB + + ． MBC n QBC = ， NCB n QCB = ， ( ) 1 180 QBC QCB MBC NCB n n + + = + = ， ( ) 1 180 18 ( ) 0 n BQC QBC QCB n − − = − + = ． 25．（25-26 七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处悬吊起来，发现纸板处于水平状 态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，AD是ABC 的中线，则ABD 与ACD 的面积关系为： ABD S _______ ACD S （填>、<或=）； (2)如图③，点G 是ABC 的重心，猜想BFG 与CEG 的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点G 是ABC 的重心，三条中线AD、BE、CF 分别交BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，求DG AG 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22 / 的值； (4)如图④，点G 是ABC 的重心，且BD CE ⊥ ，若 6 BD = ， 4 CE = ，求四边形AEGD 的面积． 【答案】(1) = (2) EC BFG G S S = △ △ ，理由如下： 点G 是ABC 的重心， 1 1 , 2 2 BF AF AB AE EC AC = = = = ， BCF 和ABC 同高，设高为H ， 1 1 1 1 2 2 2 2 BCF ABC S BF H AB H S = = = ， 同理得 1 2 BCE ABC S S = ， ∴ 1 2 BCE ABC BCF S S S = = ， BCF BGC BCE BGC S S S S − = − ， ∴ EC BFG G S S = △ △ ； (3) 1 2 DG AG = (4) 16 3 AEGD S = 四边形 【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据ABC 的中线得到BD CD = ，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得 1 1 , 2 2 BF AB EC AC = = ，由于ABC 和BCF 同高，ABC 和BCE 同高， 得出 1 2 BCF BCE ABC S S S = = ，去掉公共三角形BGC ，即可得到BFG 与CEG 的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得 1 2 BD DC BC = = ，利用三角形面积公式得 1 2 ADC ABC BCE S S S = = ，去掉 公共部分，得 BDG AEG S S = ，利用三角形等底同高得 BDG GDC S S = ， EG CGE A S S = △ △ ，即可得出结论； （4）连接AG 交BC 于点M ，先求出 BGC S ，通过各三角形底边之间的关系，得到 AEG BGM S S = 、 ADG CGM S S = ， 进而求出四边形AEGD的面积． 【详解】（1）解： AD 是三角形ABC 的中线， BD CD = ， ABD 和ACD 的底边分别是BD和CD，它们共用同一个顶点A， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23 / 它们的高相等，设为h ， 1 1 2 2 ABD ACD S BD h DC h S = = = ． （2）解： EC BFG G S S = △ △ ，理由略． （3）解：点G 是ABC 的重心， 1 2 BD DC BC = = ， ADC 和ABC 同高，设高为a ， 1 1 1 1 2 2 2 2 ADC ABC S CD a BC a S = = = ， 1 2 ADC ABC BCE S S S = = ， ∴ BDG AEG S S = ， 同理： , BDG GDC 等底同高， , CGE AEG 等底同高， BDG GDC S S = ， EG CGE A S S = △ △ ， ∴ 2 GDC AGC S S = △ △ ， ∴ 1 2 DG AG = ． （4）解：如图，连接AG 交BC 于点M ， G 是ABC 的重心， 由（3）可得出， 1 2 DG GM BG AG = = ，AE BE = ，AD DC = ， 设DG x = ， 2 BG x = ， ∴ 2 2 2 3 BG BG x BD BG GD x x = = = + + ， 同理得 2 3 CG AG CE AM = = ， 1 3 GM AM AG AM AM − = = ， ∵ 6 BD = ， 4 CE = ， ∴ 8 4 3 BG CG = = ， ， ∵BD CE ⊥ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 24 / ∴ 1 1 8 16 4 2 2 3 3 BGC S BG CG = = = ， , AGE ABG 同高， 设它们的高为b ， 1 2 AEG S AE b = ， 1 2 ABG S AB b = ，且 1 2 AE BE AB = = ， 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ABG AEG S AB b AE b AE b S = = = = ， ABG 、BGM 和ABM 同高，设高为c ， 1 2 ABG S AG c = ， 1 2 BGM S GM c = ， 1 2 ABM S AM c = ， 2 3 AG AM = ， 1 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 3 ABG ABM S AG c AM c AM c S = = = = ， 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 BGM ABG ABM ABM S GM c AG c S S S = = = = = ， 2 ABG AEG S S = ， 1 1 2 1 2 2 3 3 AEG ABG ABM ABM BGM S S S S S = = = = ， 同理可得， ADG CGM S S = ， ∴ 16 3 AEG ADG BGM CGM BGC AEGD S S S S S S = + = + = = 四边形 ． 小学 初中
