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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 33 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第十四章 全等三角形·能力提升 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角 形中，和老师的三角形全等的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边 的夹角，所以不能判定其全等； 乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等； 丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等， 所以，和老师的三角形全等的是乙和丙． 2．如图所示，在Rt ABC △ 和Rt BDE △ 中， 90 ABC BDE = = ，点B ，D ，C 在同一条直线上，且AC BE = ， AC BE ⊥ 于点F ，若 6 AB = ， 9 DE = ，则CD = （ ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据同角的余角相等得出 A EBD = ，利用AAS证明ABC BDE ≌ ，得出BD AB = ，BC DE = ， 进而求出CD的长． 【详解】解：∵AC BE ⊥ ， ∴ 90 AFB = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 33 ∴ 90 A ABF + = ， ∵ 90 ABC = ，即 90 EBD ABF + = ， ∴ A EBD = ， 在ABC 和BDE 中， 90 A EBD ABC BDE AC BE = = = = ， ∴ ( ) AAS ABC BDE ≌ ， ∴ 6 BD AB = = ， 9 BC DE = = ， ∴ 9 6 3 CD BC BD = − = − = . 3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块 与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（ ） A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS 【答案】C 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角 形的判定依据是ASA． 4．如图，已知 AOB ，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边OA，OB 于点C，D；以点O 为圆心， 大于OC 长为半径画弧，分别交边OA，OB 于点E，F；连接CF ，DE ，交点为G，作射线OG ．则下列结 论一定正确的是（ ） A．EC EG = B．CF OA ⊥ C．OG EG = D． AOG BOG = 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 33 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（OC OD = ， OE OF = ），进而证明COF DOE ≌ 和ECG FDG ≌ ，最终利用SSS证明OCG ODG ≌ ，从而得出OG 平 分 AOB 的结论． 【详解】∵由作图可知OC OD = ，OE OF = ， ∴CE DF = ， 在COF 和DOE 中， ∵ OC OD COF DOE OF OE = = = ∴COF DOE ≌ （SAS）， ∴ OFC OED = ； 在 ECG △ 和 FDG △ 中， ∵ EGC FGD CEG DFG CE DF = = = ∴ECG FDG ≌ （AAS） ∴CG DG = ； 在OCG 和ODG 中， ∵ OG OG OC OD CG DG = = = ∴OCG ODG ≌ （SSS） ∴COG DOG ， ∴ AOG BOG = ， ∴选项D 正确． 5．如图，BD是ABC 的角平分线，AE BD ⊥ ，垂足为F．若 30 ABC = ， 50 C = ，则 CDE 的度数为 （ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 33 A．45 B．40 C．55 D．50 【答案】D 【分析】由题意易得 180 100 BAC ABC C = − − = ， 1 15 , 90 2 ABD EBD ABC AFB EFB = = = = = ， 然后可得 ( ) ASA ABF EBF ≌ ， ( ) SAS ABD EBD ≌ △ △ ，进而根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵ 30 ABC = ， 50 C = ， ∴ 180 100 BAC ABC C = − − = ， ∵BD是ABC 的角平分线，AE BD ⊥ ， ∴ 1 15 , 90 2 ABD EBD ABC AFB EFB = = = = = ， ∴ 180 65 ADB BAC ABD = − − = ， ∵BF BF = ， ∴ ( ) ASA ABF EBF ≌ ， ∴AB EB = ， ∵BD BD = ， ∴ ( ) SAS ABD EBD ≌ △ △ ， ∴ 65 EDB ADB = = ， ∴ 180 50 CDE ADB EDB = − − = ． 6．如图，在ABC 中，AD平分 BAC ，交BC 于点D，点E G ， 分别在边AB AC ， 上，连接DE DG ， ，过 D 作DF AB ⊥ 于F．已知DE DG = ， 24 ADG S = ， 16 AED S = ，则DEF 的面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点D作DH AC ⊥ ，利用角平分线的性质，证得ADF ADH ≌ 和Rt DEF Rt DGH ≌ ，根据等 量代换进行求解． 【详解】解：如图所示，过点D 作DH AC ⊥ 交AC 于点H ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 33 ∵AD平分 BAC ，DF AB ⊥ ，DH AC ⊥ ， ∴ , 90 FAD HAD AFD AHD = = = ， 在ADF 和ADH 中， AFD AHD FAD HAD AD AD = = = ， ∴ ( ) ADF ADH AAS ≌ ， ∴ ADF ADH S S = ， ∵AD平分 BAC ，DF AB ⊥ ，DH AC ⊥ ， ∴DF DH = ， 在Rt DEF △ 和Rt DHG 中， DE DG DF DH = = ， ∴ ( ) Rt DEF Rt DGH HL ≌ ， ∴ DEF DHG S S = ，， ∵ 16, 24 AED ADF DEF ADG ADH DGH S S S S S S = − = = + = ， ∴ 16, 24 ADF DEF ADG ADF DEF S S S S S − = = + = ， 解得 4 DEF S = ． 7．如图，在四边形ABCD中，BD是 ADC 的角平分线，F 为AD上一点，连接CF ，E 为CF 上一点，BE BA = ， 且AD CD CE = + ，若 CBD = ，则 AFC 一定等于（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 33 A．180 2 − B．2 C． 60 2 + D．45 + 【答案】A 【分析】在AD上截取DK CD = ，连接BK ，证明 ( ) SAS CDB KDB ≌ ， ( ) SSS ABK EBC ≌ ，从而得出 2 ABE CBK = = ，利用导角结合三角形外角的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质和多边形内角 和定理即可得出结果． 【详解】解：如图，在AD上截取DK CD = ，连接BK ， ∵BD是 ADC 的角平分线， ∴ CDB KDB = ， 在CDB 和KDB 中， CD KD CDB KDB BD BD = = = ， ∴ ( ) SAS CDB KDB ≌ ， ∴BC BK = ， CBD KBD = = ， ∵AD CD CE = + ， ∴CD CE DK CE DK AK AD + = + = + = ， ∴CE AK = ， 在ABK 和EBC 中， AB BE BK BC AK CE = = = ， ∴ ( ) SSS ABK EBC ≌ ， ∴ ABK EBC = ， ∴ 2 ABE CBK = = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 33 设 CDB KDB = = ， ∴ AKB ECB = = + ， 在BKD 中， 180 180 BKD KBD KDB = − − = − − ， ∴ 360 AFC BKD BCE KBC = − − − ( ) ( ) 360 180 2 180 2 = − − − − + − = − ． 8．在数学活动课上，小明先以ABC 的顶点C 为圆心任意长为半径作弧与 , AC BC 分别相交于点E，F，再 分别以E，F 为圆心，以大于1 2 EF 的长度为半径作弧，两弧在 ACB 内相交于点D，作射线CD，BP CD ⊥ 于点P，连接AP ，如图所示．小明探究发现：当AB 的长，且BC 与AC（BC AC ）的差都确定时，ABP 的面积存在最大值，则当 12 AB = ， 4 BC AC − = 时， ABP S 的最大值为（ ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】根据尺规作图痕迹可知CD平分 ACB ，延长BP交CA 的延长线于点M ，证明 ( ) , , BPC MPC A S A ≌ ，可得CB CM = ，P 为BM 中点，进而求出AM 的长；根据三角形中线性质可知 1 2 ABP ABM S S = ，当AB AM ⊥ 时ABM 面积最大，从而求解． 【详解】解：由作图可知CD平分 ACB ，延长BP交CA 的延长线于点M ， CD 平分 ACB ，BP CD ⊥ ， ∴ , 90 BCP MCP BPC MPC = = = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 33 ∵CP CP = ， ∴ ( ) , , BPC MPC A S A ≌ ， CB CM = ，P 为BM 的中点， 4 BC AC − = ， 4 CM AC − = ，即 4 AM = ， P 为BM 的中点， 1 2 ABP ABM S S = ， 在ABM 中， 4 AM = ， 12 AB = ， 当AB AM ⊥ 时，ABM 的面积最大，最大值为1 4 12 24 2 = ， ABP S 的最大值为1 24 12 2 = ． 9．如图，AD是ABC 的边BC 上的中线，点E 在线段AD上，且 2 DE AE = ，F 是AD延长线上一点，ED DF = ， 连接BE、CF 、CE ，G 是EC 的中点，连接BG ．则下列结论错误 ．．的是（ ） A．CF BE = B． 2 ABC BEC S S = C． ECF BEC S S = D． 180 BEC ECF + = 【答案】B 【分析】根据三角形中线可得BD DC = ，再根据全等三角形判定定理及性质可判断A；根据全等三角形性 质可得 EBC FCB = ，根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断D；根据三角形面积之间的关系 及全等三角形性质可判断C；根据三角形中线求三角形面积，结合三角形面积公式，即可判断B． 【详解】解：∵AD是ABC 的中线， ∴BD DC = ， 在BED 和CFD 中， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 33 BD CD BDE CDF ED DF = = = ， ∴ ( ) SAS BED CFD ≌ ， ∴CF BE = ，故A 正确，不符合题意， ∵ BED CFD △ △ ≌ ， ∴ EBC FCB = ， ∴ BEC ECF + BEC ECB FCB = + + BEC ECB EBC = + + 180 = ，故D 正确，不符合题意； , ECF CFD EDC BEC BED EDC S S S S S S = + = + ， ∵ BED CFD △ △ ≌ ， ∴ BED CFD S S = △ △ ， ∴ ECF BEC S S = ，故C 正确，不符合题意； ∵AD是ABC 的中线， ∴ 1 2 ABD ACD ABC S S S = = ， ∵ 2 DE AE = ， ∴ 2 3 DE AD = ， ∴ 2 2 1 1 3 3 2 3 BDE ABD ABC ABC S S S S = = = ， 2 2 1 1 3 3 2 3 CDE ACD ABC ABC S S S S = = = ， ∴ 2 3 BEC BDE CDE ABC S S S S = + = ， ∴ 3 2 ABC BEC S S = ，故B 错误，符合题意． 10．如图，在ABC 中，AB AC = ， 45 B ACB = = ，D 、E 是斜边BC 上两点，且 45 DAE = ，过点A 作AF AD ⊥ ，垂足是A，过点C 作CF BC ⊥ ，垂足是C ，交AF 于点F ，连接EF ，下列结论：①ABD ACF ≌ ； ②DE EF = ；③若 15 ADE S = ， 6 CEF S = △ ，则 36 ABC S = △ ；④BD CE DE + = ，其中正确的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由ASA证明 ABD ACF △ ≌△ 可判断①正确；证明ADE AFE ≌ 可判断②正确；由①②结论得到 ADE AFE S S = ， ABD ACF S S = ，由 ABC ABD ADE AEC S S S S = + + ADE AEF CEF S S S = + + 求解可判断③正确；根据 三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在ABC 中，AB AC = ， 45 B ACB = = ， ∴ 90 BAC = ， ∴ 90 BAD DAC + = ， ∵AF AD ⊥ ， ∴ 90 CAF DAC + = ， ∴ BAD CAF = ， ∵CF BC ⊥ ， ∴ 45 ACF ACB ABC = = = ， 在ABD 和 ACF △ 中， BAD CAF AB AC ABD ACF = = = ， ∴ ( ) ASA ABD ACF ≌ ，故①正确； ∴AD AF = ， ∵ 45 DAE = ， ∴ 45 BAD EAC + = ， ∴ 45 FAE CAF EAC BAD EAC = + = + = ， ∴ DAE FAE = ， 在ADE 和 AFE △ 中， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / AD AF DAE FAE AE AE = = = ， ∴ ( ) SAS ADE AFE △ ≌△ ， ∴DE EF = ，故②正确； ∵ ABD ACF △ ≌△ ，ADE AFE ≌ ， ∴ ADE AFE S S = ， ABD ACF S S = ，BD CF = ，DE EF = ， ∴ 2 ABC ABD ADE AEC ADE AFE CEF ADE CEF S S S S S S S S S = + + = + + = + ， ∵ 15 ADE S = ， 6 CEF S = △ ， ∴ 36 ABC S = △ ，故③正确； ∵在CEF 中，CF CE EF + ， ∴BD CE DE + ，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．如图，已知 90 ACB BDA = = ，AC BD = ，即可证明 ACB BDA △ ≌△ ，全等的依据是________．（用 字母表示） 【答案】HL 【分析】利用HL即可证明 ACB BDA △ ≌△ ． 【详解】解：∵ 90 ACB BDA = = ， ∴ACB 和BDA 为直角三角形， 在Rt ACB △ 和Rt BDA 中， AC BD AB BA = = ， ∴ ( ) HL ACB BDA ≌ △ △ ， 则全等的依据是HL． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 12．如图，Rt Rt ABC EBD ≌ ，点E 在线段BC 上， 4 AB = ， 6 BD = ，则CE = ________． 【答案】2 【分析】根据全等三角形的性质得出 6 BC BD = = ， 4 BE AB = = ，即可求出 2 CE = ． 【详解】解：∵Rt Rt ABC EBD ≌ ， 4 AB = ， 6 BD = ， ∴ 6 BC BD = = ， 4 BE AB = = ， ∴ 6 4 2 CE BC BE = − = − = ． 13．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B 的距离，可以在池塘外的点B 处沿着与AB 垂直的方向向东走20 米，到C 处立一根标杆，然后方向不变继续向东走20 米到D 处，在D 处沿着与BF 垂直的方向再向南走27 米，到达E 处，使E 与A，C 在同一直线上，则可得A，B 的距离为________米． 【答案】27 【详解】解：由题意知： 20m, , 90 BC DC ACB ECD B CDE = = = = = ， ( ) Rt Rt ASA ABC EDC ≌ ， 27 AB ED = = 米． 14．如图，ABC 的面积为 2 16 cm ，BP平分 ABC ，过点A作AP BP ⊥ 于点P ，连接PC ，则 PBC △ 的面 积为___________ 2 cm ． 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / 8 【分析】延长AP 交BC 于点D ，根据角平分线的定义和垂直的定义，利用ASA证明ABP DBP ≌ ，从而得 到AP DP = ，即P 为AD的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得PBC 的面积 等于ABC 面积的一半； 【详解】解：延长AP 交BC 于点D ， ∵BP平分 ABC ， ∴ ABP DBP = ， ∵AP BP ⊥ ， ∴ 90 APB DPB = = ， 在ABP 和DBP 中， ABP DBP BP BP APB DPB = = = ， ∴ ( ) ASA ABP DBP ≌ ， ∴AP DP = ， ∴ 1 2 PBD ABD S S = ， 1 2 PCD ACD S S = ， ∴ 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 PBC PBD PCD ABD ACD ABD ACD ABC S S S S S S S S = + = + = + = ， ∵ 2 16cm ABC S = ， ∴ 2 1 16 8cm 2 PBC S = = ． 15．如图，有两个同样大小的正方形纸片ABCD，EFGH ，将正方形纸片EFGH 沿着CB 方向滑动，CB 和 HE 始终在同一直线上．连接DH 并延长交GF 于点M ，连接AM ，AH ．若正方形的边长为4，则 AHM △ 的面积为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / 【答案】8 【分析】根据正方形的性质证明 ( ) ASA CDH GHM ≌ ，得到DH HM = ，最后根据等底等高可得 8 AHM AHD S S = = △ △ ． 【详解】解：∵两个同样大小的正方形纸片ABCD，EFGH ，正方形的边长为4， ∴ 4 AD CD HG = = = ， 90 C G EHG CHG = = = = ， ∴ 1 1 4 4 8 2 2 AHD S CD AD = = = △ ，CD GH ∥ ， ∴ CDH GHM = ， ∴ ( ) ASA CDH GHM ≌ ， ∴DH HM = ， ∴根据等底等高可得 8 AHM AHD S S = = △ △ ． 16．如图，在ABC 中 90 A = ， 12cm AB = ， 5cm AC = ，过点B 作BM AB ⊥ ．动点E 从A 点出发以3cm/s 的速度沿射线AB 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点的运动而运动，始终保持ED CB = ．若点E 的运 动时间为t 秒（ 0 t ），则当以B，E，D 为顶点的三角形与ABC 全等时，t 的值为________秒． 【答案】7 3 、17 3 、8 【分析】分当E 在线段AB 上，或当E 在线段AB 延长线上，由HL证明这两个三角形全等，再结合对应边 相等进行列式计算即可． 【详解】解：∵CA AB ⊥ ，BM AB ⊥ ， ∴ 90 CAB DBE = = ， ①当E 在线段AB 上时， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / 如图：若 5 BE AC = = ， ∵ED CB = ， ∴ ( ) Rt Rt HL DEB BCA ≌ ， ∵ 3 cm AE t = ， ∴ ( ) 12 3 cm BE AB AE t = − = − ， ∴12 3 5 t − = ，解得： 7 3 t = ； 若 12 BE AB = = ，此时点E 和点A 重合，不符合题意； ②当E 在线段AB 延长线上时， 如图：若 5 BE AC = = ， ∴ ( ) Rt Rt HL DEB BCA ≌ ， ∵ 3 12 5 17cm AE t AB BE = = + = + = ， ∴ 17 3 t = ； 如图：若 12 BE AB = = ， ∵ED CB = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / ∴ ( ) Rt Rt HL DEB CBA ≌ ， ∵ 3 12 12 24cm AE t AB BE = = + = + = ， ∴ 8 t = ． ∴当 7 3 t = 或17 3 或8 秒时，DEB 与BCA 全等． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17．如图，CB AB ⊥ ，CD AD ⊥ ，垂足分别为B，D，且BC CD = ． (1)求证：ABC ADC ≌ ； (2)若 4 AB = ， 3 CD = ，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)证明：∵CB AB ⊥ ，CD AD ⊥ ， ∴ 90 B D = = ， ∵在Rt ABC △ 和Rt ADC △ 中， AC AC BC DC = = ， ∴ ( ) Rt Rt HL ABC ADC ≌ △ △ ． (2)12 【分析】（1）根据“HL”证明ABC ADC ≌ 即可； （2）根据全等三角形的性质求出BC ，求出ABC 和ADC 的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ( ) Rt Rt HL ABC ADC ≌ △ △ ， ∴ 3 BC DC = = ， ∵ 90 B = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / ∴ Rt 1 1 4 3 6 2 2 ABC S AB BC = = = ， ∴ Rt Rt 6 ADC ABC S S = = ， ∴ 6 6 12 ABC ADC ABCD S S S = + = + = 四边形 ． 18．如图，乐童游乐场有一个两层型滑梯，小辰想知道滑梯EF 的长度，工作人员说滑梯EF 的长度没有测 量过，但告诉了小辰以下信息：在该滑梯中，AC BF ⊥ ，ED BF ⊥ ，AC HD EH DF = = = ， 2 AB DH = ， 滑梯BC 的长度为13m ． (1)请你根据工作人员给出的信息，帮小辰求出滑梯EF 的长度； (2)两个滑梯BC 和EF 互相垂直吗，为什么？ 【答案】(1)13m (2)解：BC EF ⊥ ． 理由：延长BC 交EF 于点M ， ∵ 90 EDF = ， ∴ 90 DFE DEF + = ， ∵ ( ) SAS ABC DEF ≌ ， ∴ B DEF = ， ∴ 90 B DFE + = ， ∴ 90 BMF = ， ∴EF BM ⊥ ． 【分析】（1）证明 ( ) SAS ABC DEF ≌ ，由全等三角形的性质得出BC EF = ； （2）延长BC 交EF 于点M ，由全等三角形的性质得出 90 BMF = ，则可得出结论． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / 【详解】（1）∵ , 2 EH DF AB DH = = ，则 2 DE EH DF DH = + = ∴AB DE = 在ABC 和DEF 中， 90 AB DE CAB FDE AC DF = = = = ， ∴ ( ) ABC DEF SAS ≌ ， ∴ 13m EF BC = = ， （2）略 19．【综合与探究】 在AOB 和 COD △ 中，OA OB = ，OC OD = ， AOB COD = ，连接AC ，BD． (1)【模型呈现】如图1，A，O，D 三点共线，试判断AC 与BD的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设AC ，BD相交于点P ，AC ，OB 相交于点Q ，若 50 AOB = ，求 APD 的度 数． 【答案】(1) AC BD = ，理由如下： ∵ AOB COD = ， ∴ AOB COB COD COB + = + ，∴ AOC BOD = ， 在AOC 和BOD 中， OA OB AOC BOD OC OD = = = ， ∴ ( ) AOC BOD SAS ≌ ， ∴AC BD = ． (2)130 【分析】（1）利用SAS 证明三角形全等，即可得到AC 与BD的数量关系； （2）由全等三角形的性质，可得 OAC OBD = ，根据三角形的内角和，求出 50 BPQ AOQ = = ，根据 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / 平角的定义，即可求出 APD ． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得， ( ) AOC BOD SAS ≌ ， ∴ OAC OBD = ， 在AOQ 和BPQ 中， BQP AQO = ， OAQ QBP = ， ∴ 50 BPQ AOQ = = ∴ 180 180 50 130 APD BPQ = − = − = ． 20．如图，在长方形ABCD中， 12cm AB CD = = ， 20cm BC = ，点P 从点B 出发，以2cm / s的速度沿BC 向 点C 运动（到点C 停止运动），设点P 的运动时间为t 秒： (1) BP = cm；PC = cm．（用含有t 的代数式表示） (2)当t 为何值时，ABP DCP ≌ ？ (3)当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发（到点D 停止运动），以cm / s x 的速度沿CD向点D 运动， 是否存在这样x 的值，使得ABP 与 PQC △ 全等？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t ，( ) 20 2t − (2) 5 t = (3)存在， 2 x = 或 2.4 x = 【分析】（1）利用路程= 速度时间得到BP，再用等量关系求出PC ； （2）长方形中 90 ABP DCP = = 、AB DC = ，依据SAS全等条件令BP PC = 列式求出t； （3）因为 90 ABP DCP = = ，分AB PC = 和BP PC = 两种全等对应情况分别列方程算出t，再由CQ xt = 求出x． 【详解】（1）解：由题意得运动t 秒，点P 运动2 cm t ， 2 cm BP t = ， ( ) 20 2 cm PC BC BP t = − = − ； （2）解：四边形ABCD是长方形， 90 ABP DCP = = ，AB DC = ， 要使ABP DCP ≌ ，则有BP CP = ，即2 20 2 t t = − ，解得 5 t = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / 在ABP 和DCP 中， AB DC ABP DCP BP CP = = = ， 当 5 t = 时， ( ) ABP DCP SAS ≌ ； （3）解：分以下两种情况： ①当 12 AB PC = = 时，20 2 12 t − = ，解得 4 t = ， 8 BP = ， 12 PC = ， 要使ABP 与 PQC △ 全等，则有 8 BP CQ = = ， 2 CQ x t = = ， 在ABP 和PCQ 中， AB PC ABP PCQ BP CQ = = = ， 当 2 x = 时， ( ) SAS ABP PCQ ≌ ； ②当BP PC = 时，2 20 2 t t = − ，解得 5 t = ， 10 BP PC = = ， 要使ABP 与 PQC △ 全等，则有 12 AB CQ = = ， 2.4 CQ x t = = ， 在ABP 和QCP 中， AB QC ABP QCP BP CP = = = ， 当 2.4 x = 时， ( ) SAS ABP QCP ≌ ． 21．综合与实践： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / (1)【基础巩固】如图①，已知AB 与EF 相交于点G ，A B =．G 是AB 的中点，求证： AEG BFG △ ≌△ ． (2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点E ，F 分别作ED AG ⊥ 于点D ，FC BG ⊥ 于点C ，若AD DE = ．当 5 cm, 2 cm ED CG = = 时，求AB 的长． (3)【拓展探究】如图③，要测量河流AH 的长，因为无法测河流附近的点A，可以在AH 外任取一点G ， 在AH 的延长线上任取一点E ，连结 , EG HG ，并且延长HG 到点C ，使GC HG = ；延长EG 到点F ，使 GF EG = ，连结FC 并延长到点B ，使 , . B G A三点在同一条直线上．若测量出 50m BC = ，则河流 50m AH = ， 请说明理由． 【答案】(1)证明：∵G 是AB 的中点， ∴AG BG = , 在AEG 和BFG 中， A B AG BG AGE BGF = = = ， ∴ ( ) ASA AEG BFG ≌ △ △ ； (2)14 cm (3)若测量出 50m BC = ，则河流 50m AH = ，理由如下： ∵GC HG = ，GF EG = ， HGE CGF = ， ∴ ( ) SAS HGE CGF ≌ ， ∴ E F = ，HE CF = ， ∵ E F = ，GF EG = ， AGE BGF = ， ∴ ( ) ASA AGE BGF ≌ ， ∴AE BF = ， ∴AE HE BF CF − = − ， ∴BC AH = , 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22 / ∴若测量出 50m BC = ，则河流 50m AH = ． 【分析】（1）利用ASA证明 AEG BFG △ ≌△ 即可； （2）在（1）的条件下，AG BG = ， ( ) ASA AEG BFG ≌ △ △ ，得到 AEG BFG S S = ，利用面积相等得到高相 等，即DE CF = ，再证明 ( ) AAS EDG FCG ≌ ，得到 5 cm, 2 cm AD DE DG CG = = = = ，最后根据 ( ) 2 2 AB AG AD DG = = + 计算即可； （3）先证明 ( ) SAS HGE CGF ≌ ，得到 E F = ，HE CF = ，再证明 ( ) ASA AGE BGF ≌ ，得到AE BF = ， 则AE HE BF CF − = − ，即可得到BC AH = ． 【详解】（1）略 （2）解：在（1）的条件下，AG BG = ， ( ) ASA AEG BFG ≌ △ △ ， ∴ AEG BFG S S = ， ∵ED AG ⊥ ，FC BG ⊥ ， ∴ 1 1 2 2 AEG BFG S ED AG S CF BG = = = ， ∴DE CF = ， ∵ AGE BGF = ， 90 EDG FCG = = ， ∴ ( ) AAS EDG FCG ≌ ， ∴DG CG = ， ∵AD DE = ， 5 cm, 2 cm ED CG = = ， ∴ 5 cm, 2 cm AD DE DG CG = = = = ， ∴ ( ) ( ) 2 2 2 5 2 14 cm AB AG AD DG = = + = + = ； （3）略 22．如图，ABC 的外角 ACD 的角平分线CE 与内角 ABC 的角平分线BE交于点E，点F 在边BA的延长 线上，AE 的延长线交边BC 的延长线于点D，过点E 作EH BD ⊥ 于点H． (1)求证：AE 平分 CAF ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23 / (2)若 30 BAC = ，求 BEC 的度数； (3)若 6 AB = ， 5 AC = ， 8 CD = ，且 12 ABE S = △ ，求ACD 的面积． 【答案】(1) 证明：如图，过点E 作EM BF ⊥ 于点M ，作EN AC ⊥ 于点N ， BE 平分 ABC ，EM BF ⊥ ，EH BD ⊥ ， EM EH = ， CE 平分 ACD ，EN AC ⊥ ，EH BD ⊥ ， EN EH = ， EM EN = ， 又点E 在 CAF 的内部， AE 平分 CAF ； (2)15 (3)26 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）过点E 作EM BF ⊥ 于点M ，作EN AC ⊥ 于点N ，先根据角平分线的性质可得EM EH = ，EN EH = ， 从而可得EM EN = ，再根据角平分线的判定即可得证； （2）由BE为 ABC 的角平分线，CE 为 ACD 的角平分线，可得 1 2 EBC ABC = ， 1 2 ECD ACD = ， 再由 ECD EBC BEC = + ， ACD ABC BAC = + ，可得 1 ( ) 2 BEC ECD EBC ACD ABC = − = − ， BAC ACD ABC = − ，再求解即可； （3）设EM EH EN x = = = ，再根据 12 ABE S = △ 求得 4 x = ，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）略 （2）解： ACD 是ABC 的一个外角，BE为 ABC 的角平分线，CE 为 ACD 的角平分线， 1 2 EBC ABC = ， 1 2 ECD ACD = ， ECD EBC BEC = + ， ACD ABC BAC = + ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 24 / 1 ( ) 2 BEC ECD EBC ACD ABC = − = − ， BAC ACD ABC = − ， 1 1 30 15 2 2 BEC BAC = = = ． （3）解：由（1）已得：EM EH EN = = ， 设EM EH EN x = = = ， 12 ABE S = △ ， 1 6 12 2 x = ， 4 x = ， 4 EM EH EN = = = ， 1 1 1 1 · · 5 4 8 4 26 2 2 2 2 ACD ACE ECD S S S AC EN CD EH = + = + = + = ． 23．如图，在Rt ABC △ 中， 90 A = ，AB AC = ．D 是直线AB 上任意一点，连接CD，过点C 作CE CD ⊥ ， 且CE CD = ，过点E 作EF AC ⊥ ，垂足为F，连接BE，分别交AC ，CD于点M，N． (1)如图1，当点D 在线段AB 上时，AD与CF 相等吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，若 6 AB = ， 2 AD = ． ①AM 的长度为________； ②设 BNC △ 的面积为 1S ，四边形ADNM 的面积为 2 S ，则 1 2 S S − 的值为________； (3)如图2，当点D 在线段BA的延长线上时，点M 是线段BE的中点吗？说明理由． 【答案】(1)解：AD CF = ，理由如下： ∵ 90 A = ， ∴ 90 ADC ACD + = ； ∵CE CD ⊥ ， ∴ 90 DCE = ， ∴ 90 ACD FCE + = ∠ ∠ ， ∴ ADC FCE = ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 25 / ∵EF AC ⊥ ， ∴ 90 EFC A = = ， 又∵CE CD = ， ∴ ( ) AAS ADC FCE ≌ △ △ ， ∴AD CF = ； (2)①2；②6 (3)解：点M 是线段BE的中点，理由如下： ∵ 90 BAC = ， ∴ 180 90 CAD BAC = − = ， ∴ 90 ADC ACD + = ∵CE CD ⊥ ， ∴ 90 DCE = ， ∴ 90 ACD FCE + = ∠ ∠ ， ∴ ADC FCE = ， ∵EF AC ⊥ ， ∴ 90 EFC A = = ， 又∵CE CD = ， ∴ ( ) AAS ADC FCE ≌ △ △ ， ∴EF AC = ， 又∵AC AB = ， ∴AB EF = ， 又∵ 90 , BAM EFM AMB FME = = = ∠ ∠ ∠ ∠ ， ∴ ( ) AAS AMB FME △ ≌△ ， ∴BM EM = ， ∴点M 是线段BE的中点． 【分析】（1）证明 ( ) AAS ADC FCE ≌ ，即可得到AD CF = ； （2）①由全等三角形的性质得到FE AC = ，则可得到 4 AF AC CF = − = ，FE AB = ，证明 AMB FME ≌ ， 即可得到 1 2 2 AM FM AF = = = ；②证明 ( ) SAS ABM ACD ≌ ，得到 ABM ACD S S = △ △ ，则可证明 BDN CMN S S = △ △ ， 小学 初中 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 26 / 进而得到 1 2 BCM ABM S S S S − = − △ △ ，据此根据三角形的面积公式求解即可； （3）先证明ADC FCE ≌ ，得到EF AC = ，再证明 AMB FME ≌ ，即可得到BM EM = ． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）得ADC FCE ≌ ， 2 CF AD = = ， ∴FE AC = ； ∵ 6 AC AB = = ， ∴ 4 AF AC CF = − = ，FE AB = ， ∵EF AC ⊥ ， ∴ 90 EFM A = = ， 又∵ AMB FME = ∠ ∠ ， ∴ ( ) AAS AMB FME ≌ ， ∴ 1 2 2 AM FM AF = = = ； ②由（2）①得 2 AM AD = = ， 又∵ , A A AB AC = = ∠ ∠ ， ∴ ( ) SAS ABM ACD ≌ ， ∴ ABM ACD S S = △ △ ， ∴ ABM ACD ADNM ADNM S S S S − = − △ △ 四边形 四边形 ， ∴ BDN CMN S S = △ △ ， ∴ 1 2 S S − ( ) ( ) 1 2 CMN BDN S S S S = + − + BCM ABM S S = − △ △ ( ) 1 1 6 6 2 6 2 2 2 = − − 6 = ； （3）略 24．综合探究 【初步探索】 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27 / (1)如图1，在四边形ABCD中，AB AD = ， 90 B ADC = = ，E ，F 分别是BC ，CD上的点，且EF BE FD = + ， 探究图1 中 BAE ， FAD ， EAF 之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长FD到点G ， 使DG BE = ．再连接AG ，先说明ABE ADG ≌ ，再说明AEF AGF ≌ ，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB AD = ， 180 B D + = ，E ，F 分别是BC ，CD上的点，且EF BE FD = + ， 上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形ABCD中， 180 ABC ADC + = ，AB AD = ，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD的延 长线上，如图3 所示，仍然满足EF BE FD = + ，若 62 C = ，求 EAF 的度数． 【答案】(1) EAF BAE FAD = + (2)仍然成立，理由如下： 延长FD到点H ，使得DH BE = ，如图所示： ∵ 180 B ADC + = ， 180 ADH ADC + = ， ∴ B ADH = ， ∵AB AD = ， ∴ ( ) ABE ADH SAS ≌ ， ∴ , BAE DAH AE AH = = ， ∵EF BE FD DH FD HF = + = + = ，AF AF = ， ∴ ( ) SSS AEF AHF ≌ ， ∴ EAF HAF DAH DAF BAE DAF = = + = + ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 28 / (3)121 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长FD到点H ，使得DH BE = ，由题意易得 ( ) ABE ADH SAS ≌ ，则有 , BAE DAH AE AH = = ， 然后可得 ( ) SSS AEF AHF ≌ ，进而问题可求解； （3）在DC 的延长线上取一点G ，使得DG BE = ，连接AG ，由题意易得 ( ) SAS ADG ABE ≌ ，则有AG AE = ， DAG BAE = ，然后可得 ( ) AEF AGF SSS ≌ ，进而可得 1 180 2 FAE DAB = − ，最后问题可求解． 【详解】（1）解：延长FD到点G ，使DG BE = ．再连接AG ，如图1， ∵ 90 B ADC = = ， ∴ 90 ADG B = = ， ∵AB AD = ， ∴ ( ) ABE ADG SAS ≌ ， ∴ , BAE DAG AE AG = = ， ∵EF BE FD DG FD GF = + = + = ，AF AF = ， ∴ ( ) AEF AGF SSS ≌ ， ∴ EAF GAF DAG DAF BAE DAF = = + = + ； （2）略 （3）解：在DC 的延长线上取一点G ，使得DG BE = ，连接AG ，如图所示： ∵ 180 ABC ADC + = ， 180 ABC ABE + = ， ∴ ADC ABE = ， ∵AB AD = ， ∴ ( ) SAS ADG ABE ≌ ， ∴AG AE = ， DAG BAE = ， ∵EF BE FD DG FD GF = + = + = ，AF AF = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 29 / ∴ ( ) AEF AGF SSS ≌ ， ∴ FAE FAG = ， ∵ 360 FAE FAG GAE + + = ， ∴ ( ) 2 360 FAE GAB BAE + + = ， ∴ ( ) 2 360 FAE GAB DAG + + = ，即2 360 FAE DAB + = ， ∴ 1 180 2 FAE DAB = − ， ∵ 180 ABC ADC + = ， 360 ABC ADC DAB BCD + + + = ， 62 C = ， ∴ 180 118 DAB C = − = ， ∴ 1 180 118 121 2 FAE = − = ． 25．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，ABC （AB AC ）中，D、E 在BC 上，且DE EC = ，过D 作DF BA ∥ 交AE 于 点F，DF AC = ．求证：AE 平分 BAC ． 结合此题，DE EC = ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转 移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE ，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在ABC 中，AD是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形， 90 BAE CAF = = ，AE AB = ，AC AF = ，证明： ⊥ AD EF ； (3) ABC 与AEF 面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长FE至点G ，使GE FE = ，连接CG ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 30 / 在 DFE △ 和CGE 中， DE CE DEF CEG EF EG = = = ， ( ) SAS DFE CGE ≌ ， DF CG = ， DFE G = ， DF AC = ， CG AC = ， CAG G = ， DF AB ∥ ， BAE DFE = ， BAE CAG = ， AE 平分 BAC ； 方法②：证明：如图，延长AE 至点G ，使GE AE = ，连接DG ， 在 ACE △ 和 GDE △ 中， AE GE AEC GED CE DE = = = ， ( ) SAS ACE GDE ≌ ， AC DG = ， CAE G = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 31 / DF AC = ， DG DF = ， DFG G = ， DF AB ∥ ， DFG BAE = ， BAE CAE = ， AE 平分 BAC ； (2)如图，延长AD至点G ，使GD AD = ，连接BG ， AD 是BC 边上的中线， BD CD = ， 在ACD 和GBD 中， CD BD ADC GDB AD GD = = = ， ( ) SAS ACD GBD ≌ ， BG AC = ， ACD GBD = ， ∴BG AC ∥ ， ∴ 180 ABG BAC + = ， AC AF = ， BG AF = ， 90 BAE CAF = = ， 360 180 EAF BAE CAF BAC BAC = − − − = − ， 180 ABG ABC GBD ABC ACD BAC = + = + = − ， EAF ABG = ， 在AEF 和 BAG △ 中， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 32 / AE AB EAF ABG AF BG = = = ， ( ) SAS AEF BAG ≌ ， ∴ AEF BAG = ， 设AD与EF 交于点H， ∵ 90 BAE = ， ∴ 90 BAG EAH + = ， 又∵ AEF BAG = ， ∴ 90 AEF EAH + = ， ∴ 90 AHE = ， 即 ⊥ AD EF ． (3) ABC 与AEF 面积相等，理由如下； 由（2）可知ACD GBD ≌ ， ∴ ACD GBD S S = ， ∵ ABC ABD ACD S S S = + ， ABG ABD GBD S S S = + ， ∴ ABC ABG S S = △ △ ， 由（2）可知AEF BAG ≌ ， ∴ AEF ABG S S = ， ∴ AEF ABC S S = ． 【分析】（1）方法①：延长FE至点G ，使GE FE = ，连接CG ，证明 ( ) SAS DFE CGE ≌ ，得到DF CG = ， DFE G = ，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出 BAE CAG = ，即可证明；方法②：延长 AE 至点G ，使GE AE = ，连接DG ，证明 ( ) SAS ACE GDE ≌ ，得到AC DG = ， CAE G = ，再根据等 边对等角的性质和平行线的性质，得出 BAE CAG = ，即可证明； （2）延长AD至点G ，使GD AD = ，连接BG ，证明 ( ) SAS ACD GBD ≌ ，得到BG AC = ，ACD GBD = ， 进而推出BG AF = ，EAF ABG = ，再证明 ( ) SAS AEF BAG ≌ ，即可得出 AEF BAG = ，设AD与EF 交于点H，由 90 BAE = ，即可得出 90 BAG EAH + = ，等量代换可得出 90 AEF EAH + = ，由三角 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 33 / 形内角和定理即可得出 90 AHE = ． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略；
