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2026-2027学年七年级上学期数学周周测04
2.2.2～2.3有理数的除法+有理数的乘方
时间：45分钟 分值：70分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）
1．
3
(− 2) 下列说法中不正确的是（ ）
A．表示3个2相乘
B．底数是− 2
C．指数是3
D．幂为− 8
【答案】A
【详解】解：A．
3
(− 2) 表示的是3个(− 2)相乘，即选项A错误，符合题意；
B．
3
(− 2) 的底数是− 2，故选项B正确，不符合题意；
C．
3
(− 2) 的指数是3，故选项C正确，不符合题意；
D．
3
(− 2) =− 8，故选项D正确，不符合题意．
2．下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．
2
(− 6) 和−
2
6
B．
5
(− 7) 和−
5
7
C．−|8|和− 8
D．−(− 9)和|− 9|
【答案】A
【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可．
【详解】解：
2
(− 6) + (−
26 ) = 36 + (− 36) = 0，故
2
(− 6) 和−
2
6 互为相反数，A选项符合题意；
5
(− 7) + (−
57 ) =−
5
7 −
5
7 =− 2 ×
5
7 ≠ 0，故
5
(− 7) 和−
5
7 不互为相反数，B选项不合题意；
−|8| + (− 8) =− 8 − 8 =− 16 ≠ 0，故−|8|和− 8不互为相反数，C选项不合题意；
−(− 9) + |− 9| = 9 + 9 = 18 ≠ 0，故−(− 9)和|− 9|不互为相反数，D选项不合题意．
3．计算：−
1
2 × 2 ÷ (−
1
2) × 2 =（ ）
A．2
B．− 1
C．1
D．4
【答案】D
【详解】解：−
1
2 × 2 ÷ (−
1
2) × 2 =−
1
2 × 2 × (− 2) × 2 =− 1 × (− 2) × 2 = 2 × 2 = 4．
4．有理数ᵄ，ᵄ在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（ ）
ᵄ − ᵄ>0； |ᵄ| >ᵄ；
ᵄᵄ<0；
ᵄ
ᵄ>1．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【分析】根据数轴上点的位置确定ᵄ、ᵄ的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即
可．
【详解】解：由数轴可知：ᵄ<0<ᵄ，且|ᵄ| > |ᵄ|，
ᵄ − ᵄ>0，故
正确；
|ᵄ| >ᵄ
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，故
正确；
ᵄᵄ<0，故
正确；
ᵄ
ᵄ<0<1，故
错误．
综上所述，一定成立的有
，共3个．
5．若
2
(ᵆ − 1) +∣ ᵆ + 3 ∣= 0，则ᵆ − ᵆ =（ ）
A．4
B．− 4
C．2
D．− 2
【答案】A
【详解】解：
任意有理数的平方和绝对值都是非负数，且
2
(ᵆ − 1) + |ᵆ + 3| = 0
2
(ᵆ − 1) = 0，|ᵆ + 3| = 0
解得ᵆ = 1，ᵆ =− 3
将ᵆ = 1，ᵆ =− 3代入ᵆ − ᵆ，得ᵆ − ᵆ = 1 −(− 3) = 4．
6．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，
如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得
运费87元，请问快递公司损坏（ ）只玻璃杯．
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】D
【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量．
【详解】解：2角= 0 . 2元，8角= 0 . 8元，
假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：500 × 0 . 2 = 100（元），
100 − 87 = 13（元），
每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：0 . 2 + 0 . 8 = 1（元），
损坏的玻璃杯数量：13 ÷ 1 = 13（只），
故快递公司损坏13只玻璃杯．
7．从ᵅ个元素中取出ᵅ个元素的所有不同组合的个数，叫做从ᵅ个不同元素中取出ᵅ个元素的组合数，用符
号
ᵅ
ᵅ
ᵃ表示．已知“！”是一种数学运算符号，且1! = 1;2! = 2 × 1 = 2;3! = 3 × 2 × 1 = 6;4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
；……；若公式
ᵅ
ᵅ
ᵃ
=
ᵅ!
ᵅ! (ᵅ − ᵅ) !（ᵅ ≥ ᵅ , ᵅ , ᵅ为正整数），则
6
8
ᵃ为（ ）
A．56
B．42
C．34
D．28
【答案】D
【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，需根据题目给出的组合数公式和阶乘的运算规则，代
入数值计算求解即可．
【详解】解：
ᵅ
ᵅ
ᵃ
=
ᵅ!
ᵅ! (ᵅ − ᵅ) !（ᵅ ≥ ᵅ , ᵅ , ᵅ为正整数），
6
8
ᵃ=
8!
6! (8 − 6 ) !
=
8!
6! × 2!
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1
= 28，
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故选：D．
8．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．
如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进
一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）
A．64
B．90
C．132
D．210
【答案】B
【分析】由题可知，孩子出生的天数的八进制数为132，化为十进制数即可．
【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的八进制数为132，
化为十进制数为：132 = 1 ×
2
8 + 3 ×
1
8 + 2 ×
0
8 = 90．
9．下列结论：
一个数和它的倒数相等，则这个数是± 1和0；
若− 1<ᵅ<0，则ᵅ<
2
ᵅ<
1
ᵅ；
若ᵄ + ᵄ<0
，且
ᵄ
ᵄ>0，则|5ᵄ + 2ᵄ| =− 5ᵄ − 2ᵄ；
若ᵅ是有理数，则|ᵅ| + ᵅ是非负数；
若ᵅ<0<ᵄ<ᵄ，则(ᵄ − ᵄ) (ᵄ − ᵅ) (ᵅ − ᵄ)
；其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【详解】解：
一个数和它的倒数相等，则这个数是± 1，
错误；
− 1<ᵅ<0，
1
ᵅ<ᵅ<
2
ᵅ，
错误；
ᵄ + ᵄ<0，且
ᵄ
ᵄ>0，
ᵄ，ᵄ同号，且都为负数，即ᵄ<0，ᵄ<0，
5ᵄ + 2ᵄ<0，
|5ᵄ + 2ᵄ| =− 5ᵄ − 2ᵄ，
正确；
当ᵅ<0时，|ᵅ| + ᵅ =− ᵅ + ᵅ = 0，
当ᵅ ≥ 0时，|ᵅ| + ᵅ = ᵅ + ᵅ = 2ᵅ ≥ 0，
|ᵅ| + ᵅ一定是非负数，
正确；
ᵅ<0<ᵄ<ᵄ，
ᵄ − ᵄ<0，ᵄ − ᵅ>0，ᵅ − ᵄ<0，
(ᵄ − ᵄ)(ᵄ − ᵅ)(ᵅ − ᵄ)>0，
正确；
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综上，正确的结论共有3个．
10．阅读材料：求1 + 2 +
2
2 +
3
2 +
4
2 +⋅⋅⋅+
2013
2
的值．
解：设ᵄ = 1 + 2 +
2
2 +
3
2 +
4
2 +⋅⋅⋅+
2012
2
+
2013
2
，记为
式，将
式两边同时乘以2得：
2ᵄ = 2 +
2
2 +
3
2 +
4
2 +
5
2 +⋅⋅⋅+
2013
2
+
2014
2
，记为
式，
将
式减去
式，得2ᵄ − ᵄ =
2014
2
− 1即ᵄ =
2014
2
− 1
即1 + 2 +
2
2 +
3
2 +
4
2 +⋅⋅⋅+
2013
2
=
2014
2
− 1
仿照此法计算1 + 3 +
2
3 +
3
3 +
4
3 +⋅⋅⋅+
ᵅ
3 （其中ᵅ为正整数）的结果为（ ）
A．
ᵅ + 1
3
− 1
B．
ᵅ + 1
3
− 1
2
C．
ᵅ
3
− 1
2
D．
ᵅ + 1
3
− 1
4
【答案】B
【分析】本题考查了有理数乘方的应用，读懂材料是解题的关键．仿照所给的解答方式进行求解即可.
【详解】设ᵄ = 1 + 3 +
2
3 +
3
3 +
4
3 +⋅⋅⋅+
ᵅ
3 ，将等式两边同时乘以3得：
3ᵄ = 3 +
2
3 +
3
3 +
4
3 +⋅⋅⋅+
ᵅ
3 +
ᵅ + 1
3
，
将下式减去上式得3ᵄ − ᵄ =
ᵅ + 1
3
− 1，
即ᵄ =
ᵅ + 1
3
− 1
2
，
即1 + 3 +
2
3 +
3
3 +
4
3 +⋅⋅⋅+
ᵅ
3 =
ᵅ + 1
3
− 1
2
，
故选：B.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在
1，2，
3，5这四个数中，任意取两个数相除，其中最小的商是 ．
【答案】
5．
【分析】两个数相除，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，即可解答．
【详解】解：5÷（
1）＝
5．
故答案为：
5．
【点睛】本题考查了有理数的除法，解决本题的根据是熟记两个数相除，同号得正，异号得负．
12．下列各数：−
2
3 ，
4
(−
1
3)
，−
2
2
5 ，−
2023
(− 1)
，−|− 3|中，负数的个数是_____．
【答案】3
【分析】先利用有理数的乘方运算、绝对值的性质化简各数，再根据负数的定义判断其中负数的个数．
【详解】解：−
2
3 =− 9，是负数；
4
(−
1
3) =
1
81 ，是正数；
−
2
2
5 =−
4
5，是负数；
−
2023
(− 1)
=−(− 1) = 1，是正数；
−|− 3| =− 3，是负数．
综上，负数共有3个．
13．近似数2 . 60万精确到____________位．
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【答案】百
【分析】先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看最后一个有效数字所在的数位，即可得到精确位数
．
【详解】解：2 . 60万= 26000，近似数2 . 60万的末位有效数字0，对应原数26000中的百位，因此近似数2 . 60
万精确到百位．
14．“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添
加括号，使其运算结果等于24．现有3，− 3，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可）
【答案】(9 − 5) × [3 −(− 3)]（答案不唯一）
【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关
键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答．
【详解】解：通过观察数字，发现9 − 5 = 4，3 − ( − 3) = 6，则4 × 6 = 24，
因此可列算式(9 − 5) × [3 −(− 3)] = 24．
故答案为：(9 − 5) × [3 −(− 3)]（答案不唯一）．
15．已知ᵄᵄᵅ<0，ᵄ + ᵄ + ᵅ>0，且ᵆ =
ᵄ
|ᵄ| +
ᵄ
|ᵄ| +
ᵅ
|ᵅ| +
ᵄᵄ
|ᵄᵄ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ|
，则ᵆ的值为 ．
【答案】0．
【分析】本题主要考查代数式求值问题，利用绝对值的基本性质，以及正数与负数的性质，便得所求结果
．可由已知，三个数中有两个正数，一个负数，故可得
ᵄ
|ᵄ| +
ᵄ
|ᵄ| +
ᵅ
|ᵅ| = 1，
ᵄᵄ
|ᵄᵄ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| =− 1，进而可得答
案．
【详解】解：
ᵄᵄᵅ<0，ᵄ + ᵄ + ᵅ>0，
得三个数中有两个正数，一个负数，
ᵄ
|ᵄ| +
ᵄ
|ᵄ| +
ᵅ
|ᵅ| = 1，且
ᵄᵄ
|ᵄᵄ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| =− 1，
故得ᵆ =
ᵄ
|ᵄ| +
ᵄ
|ᵄ| +
ᵅ
|ᵅ| +
ᵄᵄ
|ᵄᵄ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| = 1 − 1 = 0．
故答案为：0．
16．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，
当输入ᵆ的值是− 1时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是− 2,…，这样计算下
去，第7次计算输出的结果是_____．
【答案】1
【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案．
【详解】解：当输入− 1时，第1次输出的结果是
2
ᵆ=
2
( − 1) = 1；
第2次输出的结果是ᵆ − 3 = 1 − 3 =− 2；
第3次输出的结果是
2
ᵆ=
2
( − 2) = 4；
第4次输出的结果是ᵆ − 3 = 4 − 3 = 1；
第5次输出的结果是ᵆ − 3 = 1 − 3 =− 2；
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第6次输出的结果是
2
ᵆ=
2
( − 2) = 4；
第7次输出的结果是ᵆ − 3 = 4 − 3 = 1．
解答题：本题共2小题，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）定义一种新运算“ ”
：对于任意两个有理数a和b，满足ᵄ ᵄ =
2
ᵄ− ᵄ + ᵄᵄ．例如：
(1)求(− 1) 2的值；
(2)求[2
(− 4)] 3的值；
(3)若|ᵆ + 3| +
2
(ᵆ − 1) = 0，求(2ᵆ)
[(− ᵆ)
(4ᵆ)]的值．
【答案】(1)− 3
(2)− 3
(3)− 83
【分析】本题考查新运算“ ”
的定义，涉及有理数的混合运算、绝对值和平方的非负性，准确计算是解题
的关键．
（1）直接代入计算；
（2）小题先计算内层运算，再计算外层运算；
（3）小题先根据非负性求出x和y的值，再代入运算；
【详解】（1）∵
=
2
ᵄ− ᵄ + ᵄᵄ，
∴(− 1) 2 =
2
(− 1) − 2 + (− 1) × 2
= 1 − 2 − 2
=− 3；
（2）先计算2
(− 4)
=
2
2 −(− 4) + 2 × (− 4)
= 4 + 4 − 8
= 0；
再计算[2
(− 4)] = 0 3，
0 3
=
2
0 − 3 + 0 × 3
= 0 − 3 + 0
=− 3；
（3）∵|ᵆ + 3| +
2
(ᵆ − 1) = 0，且|ᵆ + 3| ≥ 0，
2
(ᵆ − 1) ≥ 0，
∴ ᵆ + 3 = 0，ᵆ − 1 = 0，
∴ ᵆ =− 3，ᵆ = 1，
计算(− ᵆ)
(4ᵆ) = 3 4 =
2
3 − 4 + 3 × 4 = 9 − 4 + 12 = 17．
再计算(2ᵆ)
[(− ᵆ)
(4ᵆ)] = (− 6) 17 =
2
(− 6) − 17 + (− 6) × 17
= 36 − 17 − 102
=− 83．
18．（12分）我们把从1开始的几个连续自然数的立方和记为
ᵅ
ᵄ，那么有：
1
ᵄ=
3
1 =
2
1 =
2
[
1 × (1 + 1 )
2
] ；
2
ᵄ=
3
1 +
3
2 =
2
(1 + 2) =
2
[
2 × (1 + 2 )
2
] ；
3
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 =
2
(1 + 2 + 3) =
2
[
3 × (1 + 3 )
2
]
小学
初中
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；
4
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 +
3
4 =
2
(1 + 2 + 3 + 4) =
2
[
4 × (1 + 4 )
2
] ；
…
观察上面的规律，完成下面各题：
(1)写出
5
ᵄ，
6
ᵄ的表达式；
(2)探索写出
ᵅ
ᵄ的表达式；
(3)求
3
11 +
3
12 + … +
3
20 的值．
【答案】(1)
5
ᵄ=
2
[
5 × (1 + 5 )
2
] ，
6
ᵄ=
2
[
6 × (1 + 6 )
2
] ；
(2)
ᵅ
ᵄ=
2
[
ᵅ(1 + ᵅ)
2
]
(3)41075
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，数字规律，掌握理解已知规律，将所求式子正确转化为有
理数的乘方运算式子是解题关键．
（1）根据材料提示得到规律即可求解；
（2）结合（1）中的规律，归纳总结即可；
（3）根据题意，将
3
11 +
3
12 + … +
3
20 变形为
3
11 +
3
12 + … +
3
20 =
20
ᵄ
−
10
ᵄ，结合（2）中计算即可求
解．
【详解】（1）解：
1
ᵄ=
3
1 =
2
1 =
2
[
1 × (1 + 1 )
2
] ；
2
ᵄ=
3
1 +
3
2 =
2
(1 + 2) =
2
[
2 × (1 + 2 )
2
] ；
3
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 =
2
(1 + 2 + 3) =
2
[
3 × (1 + 3 )
2
] ；
4
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 +
3
4 =
2
(1 + 2 + 3 + 4) =
2
[
4 × (1 + 4 )
2
] ；
5
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 +
3
4 +
3
5 =
2
(1 + 2 + 3 + 4 + 5) =
2
[
5 × (1 + 5 )
2
] ；
6
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 +
3
4 +
3
5 +
3
6 =
2
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) =
2
[
6 × (1 + 6 )
2
] ；
（2）解：由（1）得
ᵅ
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 +⋯⋯+
3
ᵅ=
2
(1 + 2 + 3 +⋯⋯+ ᵅ) =
2
[
ᵅ(1 + ᵅ)
2
] ；
（3）解：
3
11 +
3
12 + … +
3
20 =
20
ᵄ
−
10
ᵄ
=
2
[
20 × (1 + 20)
2
] −
2
[
10 × (1 + 10)
2
]
=
2
210 −
2
55
= 44100 − 3025
= 41075．
