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1.5 有理数的乘方
乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有： .在 中， 叫做底数， n叫做指数.
注意：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
题型1：认识乘方
3
1.(- )3的底数是 ，指数是 ，幂是 .
2
¿ ¿
【变式1-1】计算 2+2+⋯+2+3×3×⋯×3= ( )
A．2m+3n B．m2+3n C．2m+n3 D．2m+3n
【变式1-2】对乘积 (−3)×(−3)×(−3)×(−3) 记法正确的是( )
A．-34 B．(-3)4 C．-(+3)4 D．-(-3)4
乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正
整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
注意：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对
值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
题型2：乘方的运算法则与计算
2.（﹣2）4与﹣24（ ）
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．它们的和是正数
【变式2-1】计算：（﹣1）2021＝ ．
【变式2-2】下列各数|﹣2|，﹣（﹣2），（﹣2）2，（﹣2）3，﹣22中，负数的个数为个 .
有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括
号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
注意：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方
和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
题型3：有理数的混合运算
9
3.计算：（1）(−1) 10×2+(−2) 3÷4．（2）（﹣3）2÷ ×|﹣2|+（﹣1）4.
5
3 2
【变式3-1】计算：（1）−12022−6÷(− ) ×|−3| （2）－ 22 ÷ (−1) 3 +︱0.8－1︱×5
2
1 3
【变式3-2】（1）计算： −33+8÷(−2) 2−(−6)×|−4| . （2）−22+(− ) ÷(−2)×16
2
题型4：有理数乘方的巧算
3 2
4.计算（- ）2018×（ ）2019的结果为（ ）
2 3
2 3 2 3
A． B． C．- D．-
3 2 3 2
【变式4-1】(−8) 2021 ⋅(−0.125) 2020= ．【变式4-2】（-4）2020×（-0.25）2021
题型5：利用非负性求值计算
5.若 |x−1|+(y+2) 2=0 ，求 x−y 的值．
【变式5-1】若 |a+3|+(b−2) 2=0 ，求 (a+b) 2011 的值．
1
【变式5-2】x是 的倒数的相反数，绝对值为3的数是y ,且 |m−2|+(n−1) 2=0 ， 求：
2
x2−2mn+ y 的值.
科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式（其中 是整数数位只有一位的数，l≤| |＜10， 是正整
数），这种记数法叫做科学记数法，如 ＝ .
注意：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“ ”照写，其它与正数一样，如 = ；
（2）把一个数写成 形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
题型6：用科学计数法表示数
6.2021年是伟大的中国共产党百年华诞，从南陈北李相约建党历经百年沧桑发展到今天已有近
9200万党员，其中9200万用科学记数法表示为（ ）
A．9.2×103 B．92×106 C．9.2×107 D．0.92×108
【变式6-1】地球距离太阳约为150000000千米， 这个距离用科学记数法表示为( )
A．1.5×107 千米 B．1.5×108 千米
C．0.15×109 千米 D．15×107 千米
【变式6-2】火星围绕太阳公转的轨道半长径为230000000km．将230000000用科学记数法表示为（
）
A．23×107 B．2.3×108 C．2.3×109 D．0.23×109
题型7：比较科学计数法表示的数的大小
7.（1）1.5×102020与9.8×102019；
（2）-3.6×105与-1.2×106．
【变式7-1】（1）1.5×102016与9.8×102015；
（2）-3.6×105与-1.2×106．【变式7-2】比较大小．（填“＞”、“=”或“＜”）
（1）3.14×107 3.14×108
（2）8.999×1012 7.201×1013；
（3）5.266×108 4.01×108；
（4）-2.25×106 -8.25×105．
近似数及精确度
1. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300
㎞，这里的6300㎞就是近似数.
注意：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
2. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数
的精确度.
注意：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，
例如精确到 米，说明结果与实际数相差不超过 米.
题型8：科学计数法与近似数
8.嫦娥五号”在距地球约384400千米之外完成了中国航天史上“最复杂的任务”，中国成为了人
类第三个获取月球样本的国家.将近似数384400精确到万位，并用科学记数法表示为（ ）
A．3.84×106 B．3.8×105
C．3.844×105 D．3.8×106
【变式8-1】将4.34059精确到千分位是（ ）
A．4.341 B．4.34 C．4.3406 D．4.340
【变式8-2】近似数3.70所表示的准确值x的取值范围是（ ）
A．3.695≤x<3.705 B．3.60<x<3.80
C．3.695<x≤3.705 D．3.700<x≤3.705
题型9：有理数乘方与新定义运算
9.现定义一种新运算“*”，规定a∗b=b2−a，如3∗1=12−3=−2，则(−2)∗(−3)等于（ ）
A．11 B．－11 C．7 D．－7
【变式9-1】规定一种新运算： a∗b=a−ab ，如 4∗2=4−42=−12 .则 (−2)∗3 的值是
（ ）.
A．−10 B．−6 C．6 D．8【变式9-2】定义a※b=a2-b，则（1※2）※3= .
题型10：有理数乘方与规律问题
10.观察下列算式：31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729…通过观察，用你所发现的规
律得出32016的末位数是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【变式10-1】如图是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个苹果，第三行有4个苹果，
第四行有8个苹果，…，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有 个苹果，第十行
有 个苹果.(可用乘方的形式表示)
【变式10-2】如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图②的图案，其中完整
的圆一共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图④的图案，
其中完整的圆一共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆一共有 个.
一、单选题
1．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区
覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．4.4×108 B．44×108 C．4.4×109 D．0.44×1010
2．下列个组数中，数值相等的是（ ）.
A．32 和 23 B．−23 和 (−2) 3
C．−32 和 (−3) 2 D．−(3×2) 2 和 −3×223．若a2=4，b3=27且ab＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
4．下列等式正确的是（ ）
A．-32=9 B．5a+2b=7ab
C．-（x+2y）=-x-2y D．4x2y-y=4x2
5．已知 (a−1) 2+|b+2|=0 ，则 (a+b) 2022 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
二、填空题
3 3
6．不超过 (− ) 的最大整数是 .
2
7．某种芯片的每个探针单元的面积为 0.000 001 44cm2，将 0.000 001 44 用科学记数法表示 为
．
8．用科学记数法表示的数5.002×104，则原数是 ．
9．计算：0.22017×52018= ．
10．近似数1.50×105精确到 位.
x−m x−n
11．若 |m+1|+(n+2) 2=0 ，则关于 x 的方程 = 的解为 x= .
2 3
三、计算题
1 2
12．计算：|-9|÷3+( − )×12+32
2 3
13．计算：（1）12−(−18)+(−7)−15
（2）(−7)×(−5)−90÷(−15)
1 1 1
（3）( + − )×(−12)
4 6 2
（4）(−1) 3×4÷[−32+(−2) 2 ]
四、解答题
2 3
14．计算： −32+2÷ × ．
3 2
小虎同学的计算过程如下：原式 =−6+2÷1=−6+2=−4
请你判断小虎的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
1
15．地球上的植物每年能生产1.65×1017克即6.6×1017大卡的有机物质，但实际上人类只能利用 ，即
10
6.6×1016大卡，若每人每天消耗2200大卡植物能量，试问地球上最多可以养活多少亿人口？
