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专题1.4 有理数（知识讲解）
【学习目标】
1．理解有理数的概念；
2. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想；
3. 理解并识记一些特殊的数。
【要点梳理】
有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：
特别说明：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，
但无限不循环小数不是分数，例如 ．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
【知识点一】有理数的概念
1．在 ， ， ，0四个数中，有理数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据有理数的定义进行判断即可．
解： 在 ， ， ，0四个数中， ， ，0是有理数，
有理数的个数为3，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了有理数的识别，熟练掌握有理数的定义是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】下列各数：－π，－ ，－（－1），－1.010010001（每两个1之间依次增加一个0），－32中，负数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据负数分为负有理数和负无理数解答即可．
解：－π，－ =-2，－1.010010001（每两个1之间依次增加一个0），－32=-9是负
数；
－（－1）=1，是正数；
故选C．
【点拨】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为
正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．
【变式2】下列说法错误的是（ ）
A．正分数一定是有理数 B．整数和分数统称为有理数
C．整数包括正整数、0、负整数 D．正数和负数统称为有理数
【答案】D
【分析】利用整数、分数及有理数定义判断即可
解：A、正分数一定是有理数，原说法正确，选项不符合题意；
B、整数和分数统称为有理数，原说法正确，选项不符合题意；
C、整数包括正整数、0、负整数，原说法正确，选项不符合题意；
D、整数和分数统称为有理数，原说法错误，选项符合题意.
故选D
【点拨】此题考查了有理数，熟练掌握有理数及其相关的定义是解题的关键.
【知识点二】0的意义
2.“不是正数的数一定是负数，不是负教的数一定是正数”的说法对吗？为什么？
【答案】不对，因为0既不是正数也不是负数．
【分析】举反例进行说明即可．
解：不对．因为0既不是正数也不是负数．
【点拨】本题主要考查了0的意义，掌握“0既不是正数也不是负数”是解题的关键．
举一反三：
【变式1】请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．
例句除外）【答案】见分析
【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决．
解：①零既不是正数也不是负数；
②零小于正数，大于负数；
③零不能做分母；
④零是最小的非负数；
⑤零的相反数是零;
⑥任何不为零的数的零次幂为1；
⑦零乘以任何数都是零等．
【点拨】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的
数学特性．
【变式2】在表中符合条件的空格里画上“√”.
【答案】
【分析】根据有理数的分类，分别对：-8，-2.25， ，0进行分类判断即可.解：-8属于有理数、整数；-2.25属于有理数、分数、负分数； 属于有理数、分数；
0属于有理数、整数、自然数.
【点拨】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.
【知识点三】有理数的分类
3.把下列各数填在相应的集合中：
．
正数集合{ …}；
分数集合{ …}；
负整数集合{ …}．
【答案】 ； ；-3，-4
【分析】根据“正数是大于0的数；分数包括正分数和负分数；负整数是小于0整数：
进行判断即可．
解：正数集合{ …}；
分数集合{ …}；
负整数集合{-3，-4…}
故答案为： ； ；-3，-4
【点拨】本题考查有理数的分类，解题的关键是正确理解有理数的分类．
举一反三：
【变式1】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ， ，0，
12，-6.4； ， ．
（1）整数集合：
（2）分数集合：
（3）正数集合：
（4）负数集合【答案】（1）0，12， ；（2） ， ，-6.4； ；（3） ，12；
（4） ，-6.4； ， ．
【分析】根据有理数的分类解答即可．
解：（1）整数集合：0，12， ；
（2）分数集合： ， ，-6.4； ；
（3）正数集合： ，12；
（4）负数集合： ，-6.4； ， ．
【点拨】本题考查有理数的分类，掌握有理数的两种分类方法是解决问题的关键．
【变式2】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．
1，0.0708，-700，-3.88，0，3.14159265， ， ．
正整数集合：{ …}， 负整数集合：{ …}，
整数集合：{ …}， 正分数集合：{ …}，
负分数集合：{ …}，分数集合：{ …}，
非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}．
【分析】根据有理数的分类填写即可．
解：正整数集合：{1…}；
负整数集合：{-700…}；
整数集合：{1，-700，0…}；
正分数集合：{0.0708，3.14159265， ；…}；
负分数集合：{ -3.88， …}；
分数集合：{0.0708，3.14159265， ，-3.88， …}；
非负数集合：{1，0.0708，3.14159265，0， …}；
非正数集合：{-700，-3.88，0， …}．【点拨】本题考查了有理数的知识，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、
负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
【知识点四】带非的有理数
4.把下列各数填在相应的表示集合的括号内
（1）整数：
（2）非负整数：
（3）非正数：
（4）有理数：
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】根据有理数的分类标准解答即可．
解：（1）整数： ；
（2）非负整数： ；
（3）非正数： ；
（4）有理数： ．
【点拨】本题考查了有理数的分类，掌握非负整数和非正数是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】将下列各数填入适当的括号内
-7， ，-0.96，2019，0， ，3.14，-50
（1）负分数集合：{ ……}（2）整数集合：{ ……}
（3）非负整数集合：{ ……}
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】分数和正数统称有理数,整数包括正整数,0,负整数;分数包括有限小数和无限循
环小数;非负整数是指正整数和0.
解：（1）负分数集合:
（2）整数集合:
（3）非负整数集合:
【点拨】本题主要考查有理数的分类,解决本题的关键是要熟练掌握有理数的分类.
【变式2】把下列各数分别填人相应的集合里．﹣4，﹣ ，0， ，﹣3.14，
2006，﹣（+5），+1.88．
（1）正有理数集合：{_____…}；
（2）负有理数集合：{_____…}；
（3）非负整数集合：{_____…}；
（4）正分数集合：{_____…}．
【分析】根据正有理数的定义，负有理数的定义，非负整数的定义，正分数的定义即
可求解．
解：（1）正有理数集合：{ ，2006，+1.88…}；
（2）负有理数集合：{﹣4，﹣ ，﹣3.14，﹣（+5）…}；
（3）非负整数集合：{ 0，2006…}；
（4）正分数集合：{ ，+1.88…}．
【点拨】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、
负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
