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专题1.7 数轴（知识讲解）
【学习目标】
1．理解数轴的概念及三要素；
2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；
3．体会并理解数形结合思想；
4. 初步理解数轴上的动点问题.
【要点梳理】
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
特别说明：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长
度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都
表示有理数，还可以表示其他数，比如 .
特别说明：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用
数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
【典型例题】
【知识点一】数轴三要素及其画法
1．在下列图中，正确画出的数轴是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先熟知数轴的定义，规定了原点，正方向，单位长度的直线是数轴，再对各
选项进行一一排查即可．
解：A. 数轴的单位长度不统一，故选项A不正确；
B. 满足数轴的三要素，有原点，正方向，单位长度，故选项B正确；
C. 数轴标数不全，故选项C不正确；D. 数轴没有正方向，故选项D不正确．
故选择B．
【点拨】本题考查数轴的定义与画法，掌握数轴的三要素是解题关键．
举一反三：
【变式1】下列关于数轴的图示，画法不正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据数轴的定义，逐一判断，即可得到答案．
解：（1）中数轴的单位长度不一致，画法不正确，符合题意；
（2）中数轴没有原点，画法不正确，符合题意；
（3）中数轴画法正确，不符合题意；
（4）中数轴没有正方向，画法不正确，符合题意；
∴画法不正确的有3个，
故选B．
【点拨】本题主要考查数轴的画法，掌握画数轴的三要素：正方向，单位长度，原点，
是解题的关键．
【变式2】下列各语句中，错误的是（ ）
A．数轴上，原点位置的确定是任意的
B．数轴上，正方向是从原点向右
C．数轴上，单位长度1的长度的确定，可根据需要任意选取
D．数轴上，与原点的距离等于36.8的点有两个
【答案】B
【分析】根据数轴的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A. 数轴上，原点位置的确定是任意的，正确，不符合题意；
B. 数轴上，正方向可以是从原点向右，也可以是从原点向左，错误，符合题意；
C. 数轴上，单位长度1的长度的确定，可根据需要任意选取，正确，不符合题意；
D. 数轴上，与原点的距离等于36.8的点有两个，正确，不符合题意；故选B．
【点拨】本题考查了数轴的定义，是基础题，需熟记．
【知识点二】用数轴上的点表示有理数
2.在数轴上，点A表示－2，若从点A出发，沿数轴的正方向移动5个单位长度
到达点B，则点B表示的数是______．
【答案】3
【分析】根据向右加的运算法则，计算-2+5的结果就是点B表示的数．
解：根据题意，得点B表示的数是-2+5=3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握新数的表示方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】从数轴上表示-3的点出发，向右移动4个单位长度到点A，则点A表示的数
是_____．
【答案】1
【分析】根据向数轴右边移动进行有理数加法运算即可得到答案．
解：由题意得点A表示的数为 ，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了用数轴表示有理数，熟知向右移是加运算是解题的关键．
【变式2】数轴上点A表示数﹣1，点B表示数2，该数轴上的点C满足条件CA＝
2CB，则点C表示的数为_____．
【答案】1或5##5或1
【分析】先求出AB的值，再分两种情况：①当点C在线段AB上时，②当点C在点B
右侧时，求解即可．
解：AB＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3，
①当点C在线段AB上时，
∵CA＝2CB，
∴CB＝ AB＝ =1，
∴OC＝OB﹣CB＝2﹣1＝1，∴点C表示的数为1；
②当点C在点B右侧时，
∵CA＝2CB，
∴CB＝AB＝3，
∴OC＝OB+BC＝2+3＝5，
∴点C表示的数为5；
故答案为：1或5．
【点拨】此题考查了数轴的问题，解题的关键是分两种情况根据数轴的性质求解．
【知识点三】利用数轴比较有理数的大小
3.如图数轴．
(1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数；
(2)在数轴上把下列各数分别表示出来： 、 、4.5；
(3)用“>”将（1）、（2）中的六个数由大到小连接起来．
【答案】(1) ， ， ；(2)见解析；(3)
【分析】
(1)直接根据数轴上点对应数大小分布的特点写出即可；
(2)直接在数轴上表示出各数即可；
(3)根据数轴上数的大小特点直接即可写出答案．
解：(1) A，B，C各点分别表示的有理数为： ， ，
（2） 如图所示，
（3）由数轴可得：
．
【点拨】本题考查了数轴的有关知识，熟练掌握数轴上的数的分布特点是解题的关键．
举一反三：【变式1】写出数轴上点A、B表示的数，并且在数轴上画出点C，最后将点A、B、C
所表示的数用“＜”连接． 点C表示的数为 ．
解：点A表示的百分数为 ，点B表示的假分数为 ．
＜ ＜ ．
【答案】 ， ， ， ，
【分析】根据数轴上的点表示的数即可德结果，根据数轴的点表示的数，右边的数总
比左边的数大即可比较大小．
解：在数轴上正确标出点C；
点A表示的百分数为50%；
点B表示的假分数为 ；
排列正确： ．
【点拨】本题考查数轴、数轴上的点与实数是一一对应的关系，解题的关键是要注意
数轴上的点比较大小的方法是右边的数总是大于左边的数，把“数”和“形”结合起来．
【变式2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上表示出－a，－b， ；
（2）把a，b，－a，－b， ，用“＜”连接起来．
【答案】（1）数轴表示见解析；（2）
【分析】
（1）先画出数轴，然后把根据题意表示出对应的有理数即可；
（2）根据数轴上点表示的有理数左边的数小于右边的数进行求解即可．
解：（1）数轴表示如下所示：（2）根据数轴上点的位置可得： ．
【点拨】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，解题的关
键在于能够熟练掌握有理数与数轴的关系．
【知识点四】数轴上两点的距离
4.如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数－1的点与表示
数5的点重合，请你回答以下问题：
(1)表示数－2的点与表示数__________的点重合；表示数7的点与表示数__________
的点重合.
(2)若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法
折叠后重合，则点A表示的数是_______；点B表示的数是________；
(3)已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2020，求点M表示的数
是多少？
【答案】(1)6，－3；(2)－4、8；(3)M点表示的数为－1008或1012
【分析】
（1）先判断出表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称，即可得出答案；
（2）先判断出点A和点B到表示数2的点的距离为6，即可得出结论；
（3）分点M在点A的左边和在点B的右侧，用距离之和为2020建立方程求解即可得
出结论．
解：（1）由折叠知，表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称，
∴表示数－2的点与表示数6的点关于数2的点对称，
表示数7的点与表示数－3的点关于数2的点对称，
故答案为：6，－3；
(2) ∵折叠后点A与点B重合，
∴点A与点B关于表示数2的点对称，
∵A，B两点之间距离为12，∴点A和点B到表示数2的点的距离都为6，
∴点A表示的数为2－6=－4，点B表示的数为2＋6=8，
故答案为：－4，8；
(3) 设M表示的数为x，
当M点在A点左侧时 ，解得 ；
当M点在B点右侧时： ，解得 ，
所以M点表示的数为－1008或1012．
【点拨】本题考查折叠问题，一元一次方程的解法，用分类讨论的思想解决问题是解
题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在数轴上有三个点A，B，C，回答下列问题：
(1)若将点B向右移动5个单位长度后，三个点所表示的数中最小的数是多少？
(2)在数轴上找一点D，使点D到A，C两点的距离相等，写出点D表示的数；
(3)在数轴上找出点E，使点E到点A的距离等于点E到点B的距离的2倍，写出点E
表示的数．
【答案】(1) ；(2)0.5；(3) 或
【分析】
（1）根据移动的方向和距离结合数轴即可回答；
（2）根据题意可知点 是线段 的中点；
（3）点 可能在 、 之间，也可能在点 的左侧．
解：（1）点 向右移动5个单位长度后，点 表示的数为1；
三个点所表示的数中最小的数是点 ，为 ．
（2）点 到 ， 两点的距离相等；故点 为 的中点． 表示的数为：0.5．
（3）当点 在 、 之间时， ，从图上可以看出点 为 ，
点 表示的数为 ；
当点 在点 的左侧时，根据题意可知点 是 的中点，
点 表示的数是 ．
综上：点 表示的数为 或 ．
【点拨】本题主要考查的是数轴的认识，解题的关键是找出各点在数轴上的位置．【变式2】如图，数轴上点A，B，M，N表示的数分别为－1，5，m，n，且AM＝
AB，点N是线段BM的中点，求m，n的值．
【答案】m＝3，n＝4或m＝－5，n＝0
【分析】根据题意得：AB＝6．再由AM＝ AB，可得AM＝4．然后分两种情况讨论，
即可求解．
解：∵数轴上，点A，B表示的数分别为－1，5，
∴AB＝6．
∵AM＝ AB，
∴AM＝4．
①当点M在点A右侧时，
∵点A表示的数为－1，AM＝4，
∴点M表示的数为3，即m＝3．
∵点B表示的数为5，点N是线段BM的中点，
∴点N表示的数为4，即n＝4．
② 当点M在点A左侧时，
∵点A表示的数为－1，AM＝4，
∴点M表示的数为－5，即m＝－5．
∵点B表示的数为5，点N是线段BM的中点，
∴点N表示的数为0，即n＝0．
综上，m＝3，n＝4，或m＝－5，n＝0．
【点拨】本题主要考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离，并利
用分类讨论思想解答是解题的关键．
【知识点五】数轴上的动点问题
5.如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的
距离表示为AB）．（1）AB= ，BC= ，AC= ．
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个
单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变
化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值．
（3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个
单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之
间的数量关系．
【答案】（1）3，5，8；（2）会，理由见解析；（3）当t<1时，AB+BC=AC；当t大
于或等于1，且t小于或等于2时，BC+AC=AB；当t>2时，AB+AC=BC
【分析】
（1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出AB、BC、AC的长度；
（2）求出BC和AB的值，然后求出2BC−AB的值，判断即可；
（3）分别表示出AB、BC、AC的长度，然后分情况讨论得出之间的关系．
解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，
故答案为：3，5，8；
（2）2BC−AB的值会随着时间t的变化而改变．
设运动时间为t秒，
则2BC−AB
＝2[6＋5t−（1＋2t）]−[1＋2t−（−2−t）]
＝12＋10t−2−4t−1−2t−2−t
＝3t+7，
故2BC−AB的值会随着时间t的变化而改变；
（3）由题意得，AB＝t＋3，
BC＝5−5t（t＜1时）或BC＝5t−5（t≥1时），
AC＝8−4t（t≤2时）或AC＝4t−8（t＞2时），
当t＜1时，AB＋BC＝（t＋3）＋（5−5t）＝8−4t＝AC；
当1≤t≤2时，BC＋AC＝（5t−5）＋（8−4t）＝t＋3＝AB；
当t＞2时，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t−8）＝5t−5＝BC．
【点拨】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是能求出两点间的距离．举一反三：
【变式1】“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做
A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．
（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点
C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，
点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，
秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．
【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案
不唯一）；（3）当经过 秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【分析】
（1）根据幸福点的定义即可求解；
（2）根据幸福中心的定义即可求解；
（3）根据幸福中心的定义即可求解．
解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；
故答案为：-4或2；
（2）∵4-（-2）=6，
∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心．
故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）经过 秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：8-2 -4+（8-2 +1）=6，
故当经过 秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【点拨】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的
数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义．
【变式2】已知数轴上有三点 ， ， 分别表示有理数 ， ， ，动点 从点
出发，以 个单位长度 的速度向终点 移动，设点 移动时间为 ．
（1）用含 的代数式表示点 分别到点 和点 的距离： ______， ______．
（2）当点 运动到点 时，点 从点 出发，以 个单位长度 的速度向点 运动，
点 到达点 后，再立即以同样的速度返回，当点 运动到点 时，两点运动停止．当点
， 运动停止时，求点 ， 间的距离．
【答案】（1） ， ；（2）24
【分析】
（1）根据数轴上两点的距离即可求得答案；
（2）先求得点 从 点到 点的时间，进而求得点 运动 的路程，根据题意确定
的位置，进而求得 的距离
解：（1） ，
故答案为： ， ；
（2）解：点 从 点到 点的时间为
点 运动 的路程为
点 ， 距离为
答：点 ， 距离为
【点拨】本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键．
【知识点六】根据点在数轴的位置判断式子的正负
6.若实数m、n在数轴上的位置如图所示，则（m+n）（m-n）________ 0，（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＞
【分析】根据数轴可以确定m、n的大小关系，根据加法以及减法的法则确定m＋n以
及m−n的符号，可得结果．
解：根据题意得：m＜0＜n，且|m|＞|n|，
∴m＋n＜0，m−n＜0，
∴（m＋n）（m−n）＞0．
故答案为＞．
【点拨】本题考查了整式的加减和数轴，熟练掌握运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知a、b、c在数轴上的位置如图，用“＜”或“＞”连接，则a－
b________0，a＋c_____0．
【答案】
【分析】根据a、b、c在数轴上的位置确定 的符号可确定 的符号，比较
与 的大小，可确定 的符号．
解：由图可知，
，
根据有理数的加法法则可得，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，有理数的加法法则，绝对值的意义，
数形结合是解题的关键．
【变式2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式：① ，② ，③ ，④ ，正确的有________个.
【答案】2
【分析】由数轴上的点表示的数，即可判断各个不等式.
解：∵ ，∴①正确，
∵ ，∴②错误，
∵ ，∴③错误，
∵ ，∴④正确.
故答案是：2.
【点拨】本题主要考查数轴上的数以及算式结果的正负性的判断，理解数轴上的点表
示的数，是解题的关键.
