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2022-2023学年人教版七年级数学下册精选压轴题培优卷
专题03 实数
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•嘉定区校级期末）下列四个实数中，一定是无理数的是（ ）
A． B． C．3.1415926 D．0.13133……
解：A选项，﹣ 是无理数，故该选项符合题意；
B选项，原式＝﹣3，属于有理数，故该选项不符合题意；
C选项，3.1415926是有限小数，属于有理数，故该选项不符合题意；
D选项，有可能是0.131 ，就属于有理数，故该选项不符合题意；
故选：A．
2．（2分）（2022春•朝阳区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是 的数是 B．﹣ 的相反数是±
C．1﹣ 的绝对值是 ﹣1 D． 的相反数是﹣2
解：∵绝对值是 的数是 或﹣ ，
∴A选项的结论不正确；
∵﹣ 的相反数是 ，
∴B选项的结论不正确；
∵1﹣ 的绝对值是 ﹣1，
∴C选项的结论正确；
∵ ＝﹣2，
∴ 的相反数为2．
∴D选项的结论不正确；
故选：C．
3．（2分）（2022春•开州区期中）下列数中，无理数的是（ ）
A． B．0.314 C． D．解：A． ＝3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．0.314是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C． 是无理数，故本选项符合题意；
D． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
4．（2分）（2022春•延津县校级月考）正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分
别为1和0，若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与 2022对
应的点是（ ）
A．D B．C C．B D．A
解：∵正方形纸板ABCD在数轴上点A、D对应的数分别为1、0，
∴正方形ABCD的边长为1，
∴转动时点A对应的数依次为1、5、9、……；
B点对应的数依次是2、6、10、……；
C点对应的数依次是3、7、11、……；
D点对应的数依次是4、8、12、……；
2022＝4×505+2，
故对应的是第505次循环后，剩余第二个点，即B点．
故选C．
5．（2分）（2021秋•济宁期末）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；
当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝
，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ．
∴a＜ ，b＞ ．
∵a，b是两个连续的正整数．
∴a＝5，b＝6．
∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4．故选：D．
6．（2分）（2021春•建华区期末）实数m在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数n满足﹣m＜n＜m，
则n的值不可能是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C．﹣ D．﹣3
解：由实数m在数轴上的对应点的位置可知2＜m＜3，因此﹣3＜﹣m＜﹣2，
又因为实数n满足﹣m＜n＜m，
所以﹣3＜n＜3，因此选项B不符合题意；
而﹣2＜﹣ ＜﹣1，因此选项A不符合题意；
﹣3＜﹣ ＜﹣2，因此选项C不符合题意；
故选：D．
7．（2分）（2021春•凤凰县期末）与50的算术平方根最接近的整数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：∵49＜50＜64，
∴ ＜ ＜ ，
即7＜ ＜8，
∵7.52＝56.25，50＜56.25，
∴与 最接近的整数是7．
故选：B．
8．（2分）（2021春•安陆市期末）把无理数 ， ， ，﹣ 表示在数轴上，在这四个无理数中，
被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（ ）
A． B． C． D．﹣
解：设被墨迹覆盖住的无理数为x．
由图可知：3＜x＜4．
∴ ．
∵ ，
∴x＝ ．故选：B．
9．（2分）（2021春•鼓楼区校级期中）一个正方形的面积是11，它的边长为a，则下列判断正确的是（
）
A．2＜a＜3 B．3＜a＜4 C．4＜a＜5 D．5＜a＜6
解：∵正方形的面积是11，
∴a＝ ，
∵ ＜ ＜
∴3＜a＜4，
故选：B．
10．（2 分）（2021 春•福田区校级期中）对于实数 a和b，定义两种新运算：①a*b＝ （|a﹣b|
+a+b），②a⊗b＝a11b，则（5⊗3）*（3⊗5）＝（ ）
A．355 B．533 C．533﹣355 D．533+355
解：（5⊗3）*（3⊗5）＝533*355
＝ （|533﹣355|+533+355）
＝ （355﹣533+533+355）
＝ ×2×355
＝355．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022春•黔西南州期末）如图，面积为4的正方形ABCD的边AB在数轴上，且点B表示的数
为1．将正方形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，点A，B，C，D的对应点
分别为A′，B′，C′，D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为
S．当S＝1时，数轴上点B'表示的数是 2. 5 或﹣ 0. 5 ．
解：∵正方形ABCD的面积为4，∴边长AD＝AB＝2，
∴点A表示的数为3，
当正方形沿数轴向右移动时，
当S＝1时，AD×AB′＝1，
∴AB′＝ ，
∴点B'表示的数为2.5；
当正方形沿数轴向左移动时，
当S＝1时，BC×A′B＝1，
∴A′B＝ ，
∴BB′＝1.5，
∴点B'表示的数为1﹣1.5＝﹣0.5；
故答案为：2.5或﹣0.5．
12．（2分）（2022春•泸县期末）我们规定，对于任意实数m，符号[m]表示小于或等于m的最大整数，
例如：[2，1]＝2，[2]＝2，[﹣2，1]＝﹣3，若对于整数x有[ ]＝﹣5，则符合题意的x的值是
﹣ 3 ．
解：由x有[ ]＝﹣5，
得： ，
解得：﹣3≤x＜﹣ ，
符合题意的x是﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（2分）（2022春•海丰县期末）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则|a﹣b|﹣|b+a|＝2b ．
解：根据数轴得：
a﹣b＜0，a+b＜0，
∴原式＝b﹣a+b+a
＝2b．
故答案为：2b．
14．（2分）（2022春•牡丹江期中）已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，则（﹣a）3+（b+2）2
＝ 0 ．
解：∵4＜8＜9，∴2＜ ＜3，
∴ 的整数部分a＝2，小数部分b＝ ﹣2，
则原式＝﹣8+8＝0．
故答案为：0
15．（2分）（2022春•滨州期末）m，n分别是 ﹣1的整数部分和小数部分，则2m﹣n＝ 1 ﹣ ．
解：∵1＜2＜4，
∴1＜ ＜2，
∴0＜ ﹣1＜1．
∴m＝0，n＝ ﹣1．
∴2m﹣n＝0﹣（ ﹣1）＝1﹣ ．
故答案为：1﹣ ．
16．（2分）（2022春•溧阳市期末）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[
]＝1．现对72进行如下操作：72 [ ]＝8 [ ]＝2 [ ]＝1，类似地，只需
进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 25 5 ．
解：∵[ ]＝1，[ ]＝3，[ ]＝15；
所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．
故答案为：255．
17．（2分）（2022秋•朝阳区校级月考）点A在数轴上表示的数为3 ，点B在数轴上表示的数为﹣
则A，B两点的距离为 4 ．
解：由题意，得
AB＝|3 ﹣（﹣ ）|＝4 ，
故答案为：4 ．18．（2分）（2022春•樊城区期末）如图，数轴上表示1、 的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的
中点，则点C表示的数为 2 ﹣ ．
解：设点C表示的数是x，
∵数轴上表示1、 的对应点分别为点A、点B，点A是BC的中点，
∴ ＝1，解得x＝2﹣ ．
故答案为2﹣ ．
19．（2分）（2022春•长葛市期中）下列各数：①3.141、②0.33333…、③ ﹣ 、④π、⑤±
、⑥﹣ 、⑦0.3030030003…（相邻两个3之间0的各数逐次增加 1），其中是无理数的有
③④⑦ ．（填序号）
解：③ ﹣ 、④π、⑦0.3030030003…（相邻两个3之间0的各数逐次增加1）是无理数，
故答案为：③④⑦．
20．（2分）（2021春•枣阳市期末）把无理数 ， ， ， 表示在数轴上，在这四个无理数
中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
解：∵墨迹覆盖的数在3～4，
即 ～ ，
∴符合条件的数是 ．
故答案为： ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•朝阳区校级期末）用⊗定义一种新运算：对于任意实数 a和b，规定a⊗b＝a2﹣
ab+1．
（1）求 的值．
（2） ＝ 9 ﹣ 4 ．
解：（1）∵a⊗b＝a2﹣ab+1，∴原式＝ ﹣ +1
＝2﹣2 +1
＝3﹣2 ；
（2）原式＝ ⊗[ ﹣ +1]
＝ ⊗（3﹣3 +1）
＝ ⊗（4﹣3 ）
＝ ﹣ （4﹣3 ）+1
＝2﹣4 +6+1
＝9﹣4 ．
故答案为：9﹣4 ．
22．（6分）（2022春•海淀区校级月考）如图所示的程序框图：
（1）若a＝1，b＝2，输入x的值为3，则输出的结果为 5 ；
（2）若输入x的值为2，则输出的结果为 ；若输入x的值为3，则输出的结果为0．
①求a，b的值；
②输入m和m，输出的结果分别为n和n，若m＞m，则n ＜ n；（填“＞”“＜”或“＝”）
1 2 1 2 1 2 1 2
③若输入x的值后，无法输出结果，请写出一个符合条件的x的值： ﹣ 5 （答案不唯一） ．
解：（1）因为a＝1，b＝2，输入x的值为3，
所以ax+b＝1×3+2＝5；
故答案为：5；
（2）①因为输入x的值为2，输出的结果为 ；输入x的值为3，输出的结果为0．
所以 ，
解得 ；
即a，b的值分别为﹣ 和3 ；
②根据题意得：＝n， ＝n，
1 2
因为m＞m，
1 2
所以﹣ m＜﹣ m，
1 2
所以﹣ m+3 ＜﹣ m+3 ，
1 2
＜ ，
所以n＜n；
1 2
故答案为：＜；
③当输入x的值是﹣5时，输出的数是 ＝ ，
因为被开方数为负数，
所以无法输出结果，
所以符合条件的x的值为：﹣5（答案不唯一）．
故答案为：﹣5（答案不唯一）．
23．（6分）（2022春•林州市校级期末）计算
（1） +| ﹣3|+ ﹣（﹣ ）；
（2）（﹣2）2× +| + |+ ．
解：（1）原式＝﹣2+3﹣ +3+
＝4；
（2）原式＝4× +2﹣ +
＝1+2
＝3．
24．（8分）（2022春•罗定市期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是 的整
数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，∵c是 的整数部分，
∴c＝3；
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
25．（8分）（2021秋•藤县期末）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，
以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿
数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝ 5 ﹣ t ，AQ＝ 1 0 ﹣ 2t ；
（2）当t＝2时，求PQ的值；
（3）当PQ＝AB时，求t的值．
解：（1）∵当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，
∴BP＝15﹣（10+t）＝5﹣t，AQ＝10﹣2t．
（2）当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，
所以PQ＝12﹣4＝8；
（3）∵t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，
∴PQ＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，
∵PQ＝AB，
∴|t﹣10|＝5，
解得t＝15或5．
故t的值是15或5．
故答案为：5﹣t，10﹣2t．
26．（8分）（2022春•普兰店区期中）观察例题：∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，
∴ 的整数部分为2，小数部分为（ ﹣2）．
请你观察上述的规律后试解下面的问题：
如果 的整数部分为a， 的小数部分为b，求a+b的值．
解：∵1 ，1 ，∴a＝1，b＝ ﹣1，
∴a+b＝1+ ﹣1＝ ．
27．（8分）（2022秋•长安区校级期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数
是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小
数部分，因为 的整数部分是1，于是用 来表示 的小数部分．
又例如：
∵ ，即 ，
∴ 的整数部分是2，小数部分为 ．
（1） 的整数部分是 4 ，小数部分是 ﹣ 4 ；
（2）点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列对
于m，n的说法正确的是 ②④ （填序号即可）；
①m，n均为有理数；② ；③3＜m﹣n＜4；④3＜m+n＜4
（3）若m，n分别是 的整数部分和小数部分，求3m﹣n2的值．
解：（1）∵ ＜ ＜ ，即4＜ ＜5，
∴ 的整数部分为4，小数部分为 ﹣4，
故答案为：4， ﹣4；
（2）设点A所表示的无理数为a，由点A在数轴上的位置可知，3＜a＜4，
所以点A所表示的无理数a的整数部分m＝3，小数部分n＝a﹣3，
因此①m，n均为有理数，不正确；
②由于1＜ ＜2，即 ，
因此②正确；
③∵3＜a＜4，而m﹣n＝3﹣a+3＝6﹣a，
∴2＜m﹣n＜3，
因此③不正确；
④∵3＜a＜4，而m+n＝3+a﹣3＝a，
∴3＜m+n＜4，
因此④正确；综上所述，正确的有②④，
故答案为：②④；
（3）∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，
∴﹣3＜﹣ ＜﹣2，
∴3＜6﹣ ＜4，
∴6﹣ 的整数部分m＝3，小数部分n＝6﹣ ﹣3＝3﹣ ，
∴3m﹣n2＝9﹣（3﹣ ）2
＝9﹣（9﹣6 +5）
＝6 ﹣5．
28．（10分）（2022秋•阜宁县期中）折叠纸面，若在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下
问题：
（1）数轴上8表示的点与 ﹣ 4 表示的点重合．
（2）若数轴上M、N两点之间的距离为800（M在N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点
表示的数各是多少？
（3）如图，边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示﹣1的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑
动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动 2022次后，落在数轴上一边的右端点表
示的数与折叠后的哪个数重合？
解：（1）∵在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合，
∴ ＝2，
∴在数轴上﹣1表示的点与5表示的点的中点是2表示的点，
∴数轴上8表示的点与﹣4表示的点重合．
故答案为：﹣4．
（2）∵数轴上M、N两点之间的距离为800（M在N的左侧），
∴ MN＝ ×800＝400，
∴2+400＝402，2﹣400＝﹣398，
∴M点表示的数是﹣398，N点表示的数是402．
答：M、N两点表示的数分别是﹣398，402；（3）∵边长为2的正方形有一顶点落在数轴上表示﹣1的点处，
∴正方形在数轴上向右滚动一次后落在数轴上一边的右端点表示的数是3；
正方形在数轴上向右滚动2次后落在数轴上一边的右端点表示的数是5；
正方形在数轴上向右滚动3次后落在数轴上一边的右端点表示的数是7．
∴正方形在数轴上向右滚动2022次后落在数轴上一边的右端点表示的数是2×2022+1＝4045．
∵4﹣4045＝﹣4041，
∴正方形滚动2022次后，落在数轴上一边的右端点表示的数与折叠后的﹣4041重合
