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专题1.30有理数的乘方（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、有理数的幂的概念的理解
1．下列计算：① ；② ；③ ；④ ；⑤
．其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2． 表示（ ）
A． 个 相乘 B． 个 相乘的相反数
C． 个 相乘 D． 个 相乘的相反数
3．在0，|﹣3|，﹣（﹣2），﹣22各数中，负数的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
类型二、有理数乘方的运算
4．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．比较－ ， ， 的大小，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．计算 (m个9）=（ ）
A．81 B．9m C． D．
类型三、有理数乘方运算的符号规律
7．观察下列三组数的运算： ， ； ， ；， ．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母 表示的式
子：①当 时， ；②当 时， ．其中表示的规律正确的是
（ ）
A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确
8．对于代数式 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，最大值是2 B．当 时，最小值是2
C．当 时，最大值是2 D．当 时，最小值是2
9．下列各组数：① 和 ；② 和 ； ③ 和 ；④ 和 ，
其中相等的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
类型四、有理数乘方的应用
10．小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设
计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本
word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少
为（ ）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
11．蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁
殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始
祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（
）
A． B． C． D．
12．为了求 的值，可令 ，则
，因此 ，所以 ，仿照以上推理计算出
的值是（ ）A． B． C． D．
类型五、程序流程与有理数的运算
13．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为36，我们发现第1次输出的结果为
18，第2次输出的结果为9，……则第2022次输出的结果为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
14．如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数 ，
则输出的结果为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．
15．计算机按如图所示的程序进行运算，若输入的数是2，则输出的数是（ ）
A．﹣54 B．54 C．﹣558 D．558
二、填空题
类型一、有理数的幂的概念的理解
16．平方是 的数是____________，立方是 的数是____________．
17．已知m为有理数，则m²_________0，m²+1_________0，- m²-2_______0．（填
“＞”、“＜”或“≥”＝）18． ，用幂的形式表示为________．
类型二、有理数乘方的运算
19．观察数列：﹣2，4，﹣8，16，……；第7个数为 _______．
20．若a，b互为相反数，则（a+b﹣1）2016＝_____．
21．观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102 …
猜想13+23+33+…+103=_________________．
类型三、有理数乘方运算的符号规律
22．已知|m＋3|与(n－2)2互为相反数，那么mn等于_______．
23．若有理数x，y满足 ，则 的值为_________．
24．一小球从距地面 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．
（1）小球第2次着地时，经过的总路程___________ ；
（2）小球第 次着地后，反弹的高度为___________ ．
类型四、有理数乘方的应用
25．1米长的小棒，第1次截去一半，第二次截去剩下部分的一半，如此截下去，第8
次后剩下的小棒长_______________米．
26．阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：一般地，n个相同的因数a相乘： 记为 ．如 ，此时，3叫做以2为底8的对数，记为 （即 ）．一般地，若 （ 且 ），
则n叫做以a为底b的对数，记为 （即 ）．如 ，则4叫做以3为底
81的对数，记为 （即 ）．则 之间满足的关系式为
_____．
27．求 的值，可令 ，则
，因此 ．仿照以上推理，计算出
______．
类型五、程序流程与有理数的运算
28．根据如图所示的程序计算，若输入的值为2，则输出y的值为_________；若输入
x的值为 ，则输出y的值为_______．
29．在如图所示的数值转换器中，如果输入的x、y满足 ，那么输
出的结果为__________．
30．如图所示为一个数值运算程序，当输入正整数x时，输出结果为63，则输入x的值为______．
三、解答题
31．计算：
(1)| ﹣ |÷（﹣ ）- ×（﹣2）3；
(2)（﹣1）3×（﹣5）÷[（﹣3）2+2×（﹣5）]．
32．计算
（1）（﹣13）＋（﹣7）﹣（＋20）﹣（﹣40）＋（＋16）；
（2）
（3）
（4）﹣32÷（﹣3）2＋3×（﹣2）＋|﹣4|．33．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
34．在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋
2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可
得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即
得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1．
根据以上方法，计算：1＋( )＋( )2＋( )3＋…＋( )2019＋( )2020．参考答案
1．A
【分析】
根据乘方的意义：an表示n个a相乘，分别计算出结果，根据结果判断即可．
解：① ，故本选项正确，
② ，故本选项错误，
③ ，故本选项错误，
④ ，故本选项错误，
⑤ ，故本选项错误，
正确的有：①1个．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了乘方的意义，能正确进行计算是解此题的关键，注意计算时
应先确定结果的符号．2．B
【分析】
根据乘方的定义、相反数的定义进行判断即可．
解： 表示 个 相乘，故 表示 个 相乘的相反数
故答案为：B．
【点拨】本题考查了乘方和相反数的问题，掌握乘方的定义、相反数的定义是解题的
关键．
3．B
【分析】
此题只需根据负数的定义，即负数为小于0的数，再判定负数的个数．
解：|﹣3|＝3，﹣（﹣2）＝2，﹣22＝﹣4，
根据负数的定义，只有﹣22是负数，共1个．
故选：B．
【点拨】考核知识点：负数定义，相反数，绝对值，乘法.理解正负数的定义是关键.
4．D
【分析】
根据相反数、绝对值的意义，有理数的运算法则进行逐项判断即可．
解：A、 ，故选项不正确，不符合题意；
B、 ，故选项不正确，不符合题意；
C、 ，故选项不正确，不符合题意；
D、 ，故选项正确，符合题意．
故选D．
【点拨】本题考查了相反数、绝对值的意义，有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则，
正确理解算式意义是解题关键．
5．C
【分析】
根据乘方运算，求得每个式子的值，再根据有理数大小比较方法，求解即可．
解： ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
【点拨】此题考查了有理数乘方运算以及大小比较，掌握有理数大小比较规则是解题
的关键，正数大于零；负数小于零；两个负数比较大小绝对值大的反而小．
6．D
【分析】
根据9+9+9+…+9=9m， ，代入化简计算即可．
解：∵ = = ，
故选D．
【点拨】本题考查了乘方运算，积的意义，熟练进行运算是解题的关键．
7．B
【分析】
根据三组数的运算的规律逐个判断即可得．
解：由三组数的运算得： ，
，
，
归纳类推得：当 时， ，式子①错误；
由三组数的运算得： ，
，
，归纳类推得：当 时， ，式子②正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
8．B
【分析】
利用平方的非负性质即可解决问题.
解：∵ ，
∴ ，
∴当x=1时，y有最小值为2．
故选：B．
【点拨】本题考查平方的非负性质，解题的关键是利用平方的非负性进行判断．
9．B
【分析】
利用有理数的乘方法则计算各组数即可求解．
解：① ， ，两个数不相等；
② ， ，两个数相等；
③ ， ，两个数不相等；
④ ， ，两个数相等；
综上所述，相等的有②和④，共2组，
故选：B．
【点拨】本题考查有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则是解题的关键，注意符号．
10．B
【分析】
根据题意得出第一次复制得2张，第二次复制最多得2×2=22=4张，第三次复制最多得
2×2×2=23=8张，即可得出规律，第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024
张，问题得解．
解：由题意得第一次复制得2张，第二次复制最多得2×2=22=4张，
第三次复制最多得2×2×2=23=8张，
第四次复制最多得2×2×2×2=24=16张，
……，
第九次复制最多得29=512张，
第十次复制最多得210=1024张，
1024＞1000，
所以至少需要10次．
故选：B
【点拨】本题考查了乘方的应用，根据题意得到乘方运算规律，并正确进行计算是解
题关键．
11．B
【分析】
根据有理数的乘方的定义解答即可；
解：∵第一代有11只，则下一代就会有121 只，
以此类推，可知蟑螂第10代的只数是 ；
故选B．
【点拨】本题主要考查了有理数的乘方，利用乘方的定义计算是解题的关键．
12．C
【分析】
令 ，两边同乘以7，再作差，除以6即可；
解： ①，
则 ②，
②-①得： ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查有理数的运算，解题的关键是模仿题目中给出的计算方法进行计算．
13．B【分析】
根据设计的程序进行计算可以发现其中的规律，遵循规律即可求出第2022次输出的结
果．
解：通过程序可以发现第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，第3次输出
的结果为12，第4次输出的结果为6，第5次输出的结果为3，第6次输出的结果为6，第
7次输出的结果为3，第8次输出的结果为6，
∴从第4次输出开始，当是偶数次输出时结果为6，奇数次输出时结果为3，
∴第2022次输出的结果为6，
故选：B．
【点拨】本题考查在程序流程图中有理数的计算，解题的关键是发现其中的规律，利
用规律进行解答．
14．C
【分析】
把x= 1代入数值转换机中计算即可求出所求．
解：当x= 1时，（ 1）×（ 2）+1=2+1=3＜10，
当x=3时，3×（ 2）+1= 6+1= 5＜10，
当x= 5时，（ 5）×（ 2）+1=10+1=11＞10，输出11，
故选：C．
【点拨】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和
运算法则，根据数值转换机列出对应算式．
15．C
【分析】
把x=2代入计算程序中计算，即可确定出输出结果．
解：把x=2代入计算程序中得：（2-8）×9=-54，
把x=-54代入计算程序中得：（-54-8）×9=-558，
则输出结果为-558，
故选：C．
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16． -2
【分析】
根据有理数的乘方解答即可．解： ， ，
平方是 的数是 ，立方是 的数是-2；
故答案为： ；-2．
【点拨】此题考查有理数的乘方，熟记常用数字的平方立方是解题的关键，需要注意
平方等于一个正数的数有两个．
17． ≥ > <
解：因为一个数的平方具有非负性,所以 因为 所以 ,
因为 ,所以 所以 故答案为: , , .
18．(－ )10
【分析】
根据乘方的相关概念即可解答.
解： =(－ )10
【点拨】此题考查乘方的相关概念,所以熟悉乘方的相关概念是解答此类题目的关键.求
n个相同因数a的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.即a a …… a(n个a),记作an,其中
a叫做底数,n叫做指数. × × ×
19．-128
【分析】
第一个数﹣2＝（﹣2）1，第二个数4＝（﹣2）2，第三个数﹣8＝（﹣2）3，•••，
∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128．
解：∵观察数列中的各数可以发现：
第一个数为﹣2＝（﹣2）1，
第二个数为4＝（﹣2）2，
第三个数﹣8＝（﹣2）3，
•••，
∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128．故答案为：﹣128．
【点拨】本题考查了数列，解决问题的关键是探究数列的排列规律，运用排列规律解
答．
20．1
【分析】
根据相反数的性质得a+b=0，再代入进行计算即可．
解：∵a，b互为倒数，
∴a+b=0，
∴（a+b﹣1）2016＝ ，
故答案为：1．
【点拨】此题主要考查相反数的性质和有理数的乘方，关键是正确理解相反数的性质．
21．552
【分析】
由题意得出13+23+…+103＝(1+2+…+10)2＝552，即可得出答案；
解：∵13＝12；
13+23＝ (1+2)2＝32；
13+23+33＝(1+2+3)2＝62；
13+23+33+43=(1+2+3+4) 2=102
…
∴13+23+…+103＝(1+2+…+10)2＝552，
故答案为：552；
【点拨】本题考查了数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题意数字变化规律是
解题的关键．
22．9
【分析】
根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n
的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：∵|m+3|与（n-2）2互为相反数，
∴|m+3|+（n-2）2=0，
∴m+3=0，n-2=0，
解得m=-3，n=2，所以，mn=（-3）2=9．
故答案为：9．
【点拨】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
23． ##0.5
【分析】
根据平方式和绝对值的非负性求出x和y的值，再代入求值．
解：∵ ， ，且 ，
∴ ， ，即 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查平方式和绝对值的非负性，解题的关键是利用平方式和绝对值的非
负性求出未知数的值．
24． 6
【分析】
（1）根据题意可以求得小球第2次着地时，经过的总路程；
（2）逐一列出前三次着地后反弹的高度，找出规律，即可解答．
解：（1）小球第2次着地时，经过的总路程为： ，
故答案为：6；
（2）第1次着地后反弹的高度为： ，
第2次着地后反弹的高度为： ，
第3次着地后反弹的高度为： ，…
第n次着地后反弹的高度为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了实际问题中的规律探究问题，解答本题的关键是明确题意，找出
题目中数的变化规律，注意每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．
25．
【分析】
第1次剩下的小棒长为 ，第2次剩下的小棒长为 ，确定变化规律计算即可．
解：∵第1次剩下的小棒长为 ，第2次剩下的小棒长为 ，
∴第8次后剩下的小棒长为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了规律探索问题，正确理解题意，探索发现其中的规律是解题的关
键．
26．
【分析】
根据对数的定义计算后，看对数之间的关系，确定对数之间的关系即可．
解：因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
【点拨】本题考查了新定义对数问题，准确理解新定义是计算的关键．
27．
【分析】
根据题意，设 ，表示 ，利用错位相
减法解题即可．
解：设 ，
则 ，
因此 ，
所以
故答案为： ．
【点拨】本题考查有理数的乘方，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
28． 4 4
【分析】
将x=2代入2x2-4，计算出结果，然后和0比较大小，如果大于0就输出，否则再将结
果代入2x2-4计算，直到结果＞0即可；当x=-1时，方法同上．
解：由图可得，
当x=2时，2x2-4=2×22-4=4>0，
故输出的结果为4；
当x=-1时，2x2-4=2×（-1）2-4=-2<0
2×（-2）2-4=4>0，
故输出的结果为4；
故答案为：4，4．
【点拨】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题目中的运算程序，注
意最后结果要大于0．
29．0.5##12
【分析】根据(2−x)2+|y+ |＝0，可以得到x、y的值，然后将x的值代入，求出最后可以输出的
x的值即可．
解：∵ ，
∴2-x=0，y+ =0，
解得x=2，y=- ，
∴（-0.5）x=（-0.5）×2=-1＜- ，
当x=-1时，（-0.5）x=（-0.5）×（-1）=0.5＞- ，
故答案为：0.5．
【点拨】本题考查有理数的混合运算、非负数的性质，解答本题的关键是求出最后的
x的值．
30． 或3或2
【分析】
根据已知程序，结合输出结果为63进行逆运算即可得出结果．
解：∵输出结果为63，
∴ ，
解得： ， (舍去)，
，
解得： ， (舍去)，
，
解得： ， (舍去)，
，
解得： (非正整数，舍去)，
∴ 的值为： 或3或2；
故答案为： 或3或2．
【点拨】本题主要考查实数的运算，根据一直程序进行逆运算是解题的关键．
31．(1) (2)
【分析】（1）先计算绝对值、乘方、然后计算乘法和除法，即可得到答案；
（2）先计算乘方、括号内的运算，然后计算乘法和除法，即可得到答案；
(1)解：原式=
=
=
= ；
(2)解：原式=
=
= ；
【点拨】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，
正确的进行计算．
32．（1）16；（2）-898；（3）-5；（4）-3．
【分析】
（1）先统一成加法运算，再利用加法结合率简便计算即可，注意负号的作用；，
（2）将带分数化为 ，再利用乘法的分配律解题；
（3）利用分数除法性质，将除法转化为乘法， ，先乘除，后加减；
（4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减．
解：（1）（﹣13）＋（﹣7）﹣（＋20）﹣（﹣40）＋（＋16）；
=-13-7-20+40+16
=-40+40+16
=16；
（2）；
（3）
；
（4）﹣32÷（﹣3）2＋3×（﹣2）＋|﹣4|
=-9÷9-6+4
=-1-6+4
=-3．
【点拨】本题考查有理数的混合运算，涉及乘方、乘除、加减法、绝对值等知识，是
重要考点，掌握相关知识是解题关键．
33．（1）-4；（2）-24；（3） ；（4）0
【分析】
（1）运用加法交换律和结合律进行计算，即可求出答案；
（2）利用乘法的分配律进行计算，即可求出答案；
（3）先把原式进行整理，再利用乘法分配律进行计算即可
（4）先计算乘方、括号内的运算，然后计算乘法，再计算加法即可．
解：（1）
=
=
=
= ；
（2）
==
= ；
（3）
=
=
=
= ；
（4）
=
=
=
=0．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，加法运算律，乘方等知识，解
题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
34．
【分析】
依据题例的方法乘2后，错位相减即可．
解：设 ,
则 ，
两式相减得：
即【点拨】本题属于新定义运算，考查有理数的混合运算，读懂材料内容，理解题中错
位相减的方法是解题关键．
