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1.3.2有理数的减法
有理数的减法
定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减
法是加法的逆运算．
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有： ．
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反
数”．如：
题型1：有理数减法法则的辨析
1.下列四种说法：①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②两个互为相反数的数和为0；③两数
相减，差一定小于被减数；④如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的和或差等于零．其中正确的
说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①③根据有理数的减法法则判断即可；②根据相反数的定义判断即可；④根据绝对值的定
义以及有理数的加减法法则判断即可．
【解答】解：①减去一个数，等于加上这个数的相反数，说法正确；
②两个互为相反数的数和为0，说法正确；
③两数相减，差一定小于被减数，说法错误，如1﹣（﹣2）＝1+2＝3，3＞1；
④如果两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，所以这两个数的和或差等于零，故④说
法正确．
所以正确的说法有①②④．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的减法、有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键．【变式1-1】说法正确的是（ ）
A．0减任何数的差都是负数
B．减去一个正数，差一定大于被减数
C．减去一个正数，差一定小于被减数
D．两个数之差一定小于被减数
【分析】可通过举反例说明不正确的，通过分类讨论说明正确的．
【解答】解：0减去负数的差就是正数，正数大于被减数0，故A、D都是不正确的；
负数减去正数，差一定小于被减数，故选项B不正确；
减去一个正数，差一定小于被减数，此选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的减法．说明选项不正确，只要举出一个反例就可以．
题型2：有理数的减法计算
2.（1）（－14）－（－39） （2）(-14)-(+15)
解：（1）（-14）-（-39）
=-14+39
=25．
（2）解：(-14)-(+15)
=-14-15
=-(14+15) (符号后面添括号，括号里面的数要变号)
=-29
【变式2-1】计算：（1）−2−(−1)+(−11)−(+12)．（2）﹣6﹣（﹣4）﹣3+（﹣5）
【答案】（1）解：−2−(−1)+(−11)−(+12)
=−2+1−11−12
=−24
（2）解：﹣6﹣（﹣4）﹣3+（﹣5）
=−6+4−3−5
=−10
1 2 4 1 1
【变式2-2】计算： +(− )−(− )+(− )− .
2 3 5 2 3
1 2 4 1 1
【答案】解： +(− )−(− )+(− )−
2 3 5 2 3
1 1 2 1 4
=[ +(− )]+[(− )− ]−(− )
2 2 3 3 5
4
=0+(−1)+
5
1
=− .
5【解析】【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转变为加法，再利用加法的交换律
和结合律将同分母的分数相加，再根据异号两数相加的加法法则计算即可求解.
题型3：省略式中的加号和括号
3.把(-5)-(+3)-(-7)+(-2)写成省略加号和括号的形式，正确的是( )
A．-5+3-7-2 B．5-3-7-2 C．5-3+7-2 D．-5-3+7-2
【答案】D
【解析】【解答】解：原式=-5-3+7-2.
故答案为：D.
【分析】根据有理数的加减混合运算，去括号得到结果即可。
【变式3-1】将﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（+2）写成省略加号和括号的和的形式，正确的是（ ）
A．﹣3+6﹣5﹣2 B．﹣3﹣6+5+2
C．﹣3﹣6﹣5﹣2 D．﹣3﹣6+5﹣2
【答案】B
【解析】【解答】解：﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（+2）
=﹣3﹣6+5+2，
故答案为：B．
【分析】直接利用去括号法则即得结论.
【变式3-2】不改变原式的值，将式子 5−(+3)−(−7)+(−8) 改写成省略加号和括号的形式是
.
【答案】5-3+7-8
【解析】【解答】解：5−(+3)−(−7)+(−8)
=5-3+7-8。
故答案为：5-3+7-8。
【分析】根据去括号法则，一一去括号即可得出答案。
题型4：有理数的加减法混合运算
4.计算：（1）﹣8﹣（﹣15）＋（﹣12）﹣11 （2）（﹣12）﹣5＋（﹣14）﹣（﹣39）．
【答案】（1）解：-8-（-15）+（-12）-11
=-8+（-12）-（-15）-11
=-8+（-12）+15-11
=-20+4
=-（20-4）
=-16.
（2）解：（﹣12）﹣5＋（﹣14）﹣（﹣39）
=﹣12﹣5﹣14+39
=﹣31+39
=8．1 2
【变式4-1】（1）（+1.6）－（－4.2）－（+2.1）－5.7 （2） 9+(− )−6−1 ．
3 3
【答案】(2)解：（+1.6）－（-4.2）－（+2.1）－5.7
=1.6+4.2－2.1－5.7
=-2
1 5
【答案】(1)解：原式 =9−6− − =1
3 3
【解析】【分析】根据有理数的加法法则及有理数的减法法则进行计算即可求解。
1 1
【变式4-2】（1）（﹣0.125）+0.175﹣0.05（2） −(−0.25)−
2 6
【答案】（1）解：（-0.125）+0.175-0.05
=0.175-（0.125+0.05）
=0.175-0.175
=0.
1 1 1
（2）解：原式 = + +(− )
2 4 6
3 1
= +(− )
4 6
9 2
= +(− )
12 12
7
=
12
【解析】【分析】利用加法的交换律和结合律，将符号相同的两个加数结合在一起相加，然后根据有理
数的加减法法则进行计算.
题型5：应用运算律进行简便运算
5.计算
6
（1）(− )−7−(−3.2)+(−1)
5
3 1 5 2
（2）(+2 )−(−1 )+(− )−(−4 )
4 4 6 3
1 1
（3）−(+1.5)−(−4 )+3.75−(+8 )
4 2
【答案】
（1）解：原式 =−1.2−7+3.2+(−1)
=(−1.2)+3.2+(−1)−7
=2−8
=−63 1 5 2
（2）解：原式 =2 +1 +(− )+4
4 4 6 3
5 28
=4+(− )+
6 6
23
=4+
6
47
=
6
（3）解：原式 =−1.5+4.25+3.75−8.5
=−10+8
=−2
2 19
【变式5-1】（1）计算：178﹣87.21+43 +53 ﹣12.79．
21 21
1 1 1 2
（2）计算：1 ﹣5+（﹣ ）﹣ +（﹣5 ）．
4 3 4 3
2 19
【答案】（1）解：178﹣87.21+43 +53 ﹣12.79
21 21
2 19
=178+(43 +53 )−(87.21+12.79)
21 21
=178+97−100
=175
1 1 1 2
（2）解：1 ﹣5+（﹣ ）﹣ +（﹣5 ）
4 3 4 3
1 1 1 2
=1 − −5−( +5 )
4 4 3 3
=1−5−6
=−10
【解析】【分析】（1）利用加法运算律和加法计算法则求解即可；
（2）利用加法的交换律和加法的结合律求解即可。
题型6：有理数的应用-数轴
6.如图， a 、 b 是数轴上的两个数，则 b−a 一定是（ ）
A．负数 B．0 C．整数 D．正数
【答案】D
【解析】【解答】解：由数轴得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，
∴b-a＞0，
故选：D．【分析】由数轴得b＞0，a＜0，且|a|＞|b，根据有理数的减法法则确定b-a的符号即可.
【变式6-1】已知 |a|=4 ， |b|=2 ， |c|=5 ，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，计
算a+b+c的值
【答案】 解：由题意得：a=4, b=-2, c=-5,
则 a+b+c =4+（-2）+（-5）
=4+(-7)
=-3.
【解析】【分析】根据a、b、c在数轴上的位置分别确定a、b、c的所表示的数，然后再进行有理数
的加减运算即可.
【变式6-2】有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：-|a-b|+|b+c|-|a-c|+|c-b|．
【分析】根据数轴对应点的位置确定每一个绝对值里面式子的取值情况，再根据“正数的绝对值是它
本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”解答即可．
【解答】解：∵a＜b＜-1＜0＜c＜1，
∴a-b＜0，b+c＜0，a-c＜0，c-b＞0，
∴-|a-b|+|b+c|-|a-c|+|c-b|
=-（b-a）-b-c-（c-a）+c-b
=-b+a-b-c-c+a+c-b
=2a-3b-c．
【点评】本题考查绝对值的性质，有理数的加减法法则，去括号法则及整式的运算，熟练掌握有理数
的加减法则是关键．
题型7：有理数的应用-绝对值
7.在数轴上，a所表示的点总在b所表示的点的右边，且|a|=6，|b|=3，则a－b的值为( )
A．－3 B．－9 C．－3或－9 D．3或9
【答案】D
【解析】【解答】∵|a|=6，|b|=3，∴a=±6，b=±3，∵在数轴上，a所表示的点总在b所表示的点的右
边，∴a=6，当a=6，b=3时，a﹣b=6﹣3=3，当a=6，b=﹣3时，a﹣b=6﹣（﹣3）=6+3=9，所以，a
﹣b的值为3或9．
故答案为：D．
【分析】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，数轴的知识，判断出a=6是解题的关键．
【变式7-1】若 |a|=3 ， |b|=5 ，且 ab<0 ，求a-b的值．
【答案】解： ∵|a|=3 ， |b|=5 ，
∴a=±3 ， b=±5 ；
∵ab<0 ，
∴ab 异号．
∴ 当 a=3 ， b=−5 时， a−b=3−(−5)=8 ；
当 a=−3 ， b=5 时， a−b=−3−5=−8 ．
故a-b的值为8或-8．
【解析】【分析】根据绝对值的性质，结合a和b的乘积，求出a-b的值即可。
【变式7-2】若 |a|=5 ， |b|=2 ， |c|=7 ，b>a>c， 求 a+b−c 的值.【答案】解：由|a|=5，|b|=2，|c|=7，知a=±5，b=±2，c=±7，
又因为b>a>c，故b=±2，a=-5，c=−7，则
①当b=2时，a+b−c=-5+2−（−7）=4；
②当b=-2时，a+b−c=-5+（−2）−（−7）=0.
【解析】【分析】由绝对值的性质可得a=±5，b=±2，c=±7，根据b>a>c确定出a、b、c的值，然后代
入a+b-c中进行计算.
【变式7-3】若有理数x、y满足|x|=7，|y|=4，且|x+y|=x+y，求x﹣y的值．
【答案】解：∵|x|=7，
∴x=±7，
∵|y|=4，
∴y=±4，
又∵|x+y|=x+y，
∴x+y≥0，
∴x=7，y=±4，
当x=7，y=4时，x﹣y=7﹣4=3，
当x=7，y=﹣4时，x﹣y=7﹣（﹣4）=11．
【解析】【分析】根据绝对值的性质求出x、y，再判断出x、y的对应情况，然后根据有理数的减法
运算法则进行计算即可得解．
题型8：有理数的应用-实际问题
8.某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果每套儿童服装以56元的价格作
为标准卖出，超出的记为正数，不足的记为负数，记录如下： −3,+7,−8,+9,−2,0,−1,−6 .当他
卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？
【答案】解：总售价为：56×8+（﹣3+7﹣8+9﹣2+0﹣1﹣6）=448﹣4=444（元），
444﹣400=44（元）.
答：盈利44元.
【解析】【分析】分别计算每一套的价格，相加即为总售价，减去成本400元即可得盈亏。
【变式8-1】小明和小红在做运算游戏，两人抽取的数据如图，游戏规定：长方形表示对应的数前是正
号，圆形表示对应的数前是负号，计算其和，结果小者为胜，请分别计算出小明与小红最后和的结
果，并说明谁获得了胜利.
【答案】解：小明：−4.5＋3.2−1.1＋1.4＝−5.6＋4.6＝−1；
小红：−8＋2−（−6）＋（−7）＝−8＋2＋6−7＝−7，
∵−7＜−1，∴小红获胜
【解析】【分析】根据题中的规定计算出两人抽取的算式的结果，比较即可.
【变式8-2】邮递员骑摩托车从邮局出发，先向南骑行2km到达A村，继续向南骑行3km到达B 村，
然后向北骑行9km到C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、
B、C三个村庄的位置；
（2）C村离A村有多远？
（3）若摩托车每100km耗油3升，这趟路共耗油多少升？
【答案】解：（1）依题意得，数轴为：
；
（2）依题意得：C点与A点的距离为：2+4=6km；
（3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18km，
18
∴共耗油量为： =0.54升．
100
【解析】【分析】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm表示1km，按此画出数轴即可；
（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；
（3）数轴上这些点的绝对值之和为邮递员所行的路程，继而求出所耗油的量．
一、单选题
1．计算（-5）-（+3）+（-9）-（-7）+1所得结果是（ ）
A．-10 B．-9 C．8 D．-23
【答案】B
【解析】【解答】（-5）-（+3）+（-9）-（-7）+1=-5-3-9+7+1=-17+8=-9．故答案为：B．
【分析】减去一个数等于加上这个数的相反数，把式子写成和的形式或者化简符号，求出式子的值.
2．下列四个运算中，结果最小的是（ ）
A．﹣1+（﹣2） B．1﹣（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）
【答案】A
【解析】【解答】解：A、原式＝﹣1﹣2＝﹣3；
B、原式＝1+2＝3；
C、原式＝﹣2；1 1
D、原式＝1×（﹣ ）＝﹣ ；
2 2
1
∵﹣3＜﹣2＜﹣ ＜3，
2
∴在上面四个数中，最小的数是﹣3；
故答案为：A
【分析】本题是对有理数的大小比较和混合运算的法则的综合考查，减去一个数等于加上这个数的相
反数．除以一个数等于乘以一个数的倒数
3．一个数加上 −12 等于 −5 ，则这个数是（ ）
A．17 B．7 C．−17 D．−7
【答案】B
【解析】【解答】解：-5-（-12）=-5+12=7，
故答案为：B．
【分析】根据一个加数=和-另一个加数，列式并计算即可.
4．下列各式的运算结果中，错误的是（ ）
3 9 3 9
A． − +(− )=−
8 8 8 8
B．﹣2.3﹣（﹣2.6）+（﹣0.9）＝0.6
C．39.2﹣（+22.9）﹣（﹣10.1）＝26.4
D．15﹣（﹣4）+（﹣9）＝10
【答案】B
3 9 3 9
【解析】【解答】解：A.原式= +(− )+(− )=− ；
8 8 8 8
B.原式=-2.3+2.6+（-0.9）=0.3+（-0.9）=-0.6；
C.原式=39.2+（-22.9）+10.1=16.3+10.1=26.4；
D.原式=15+4+（-9）=19+（-9）=10；
故答案为：B．
【分析】利用有理数的加法运算法则和运算律逐项判断即可。
5．某市今年1月份某一天的最高气温是3℃，最低气温是-4℃，那么这一天的最高气温比最低气温高
A．-7℃ B．7℃ C．-1℃ D．1℃
【答案】B
【解析】【分析】求最高气温比最低气温高多少度，即是求最高气温与最低气温的差，这个实际问题可转化为减法运算，列算式计算即可．
【解答】3-（-4)=3+4=7℃．
故选B．
【点评】本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．这是需要熟记的内
容
6．某地今年2月10日至2月13日每天的最高气温与最低气温如下表：其中温差最大的一天是( )．
日 期 2月10日 2月11日 2月12日 2月13日
最高气温 4℃ 5℃ 0℃ 3℃
最低气温 0℃ －1℃ －3℃ －4℃
A．2月10日 B．2月11日 C．2月12日 D．2月13日
【答案】D
【解析】【解答】解：2月10日，温差为：4-0=4℃，
2月11日，温差为：5-(-1) =6℃,
2月12日，温差为：0-(-3) =3℃,
2月13日，温差为：3-(-4) =7℃,
因为7最大，所以温差最大的是2月13日，
故答案为：D．
【分析】有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数；利用最高气温与最低气温的差值
即温差，求出每天的温差，再根据有理数的大小比较方法比较即可．
7．若|a|=3，|b|=5，a与b异号，则|a-b|的值为（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．2或8
【答案】C
【解析】【解答】∵|a|=3，|b|=5，
∴a=±3，b=±5，
∵a、b异号，
∴当a=3时，b=-5，此时原式=|3-（-5）|=|8|=8；
当a=-3时，b=5，此时原式=|-3-5|=|-8|=8．
故答案为：C．
【分析】先根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据a、b异号讨论a、b的值，代入代数式进行计算．
二、填空题8．某天银川市的最低温度是﹣2℃，最高温度是13℃，这一天的温差是 ℃．
【答案】15
【解析】【解答】解：13﹣（﹣2）
=13+2
=15℃．
故答案为：15．
【分析】用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
9．计算： 3−4 = ．
【答案】﹣1
【解析】【解答】解：3﹣4=3+（﹣4）=﹣1．
故答案为﹣1．
【分析】掌握有理数的减法法则是计算的关键.
10．小明和小聪坐公交从学校去体育馆参加运动会，他们从学校门口的公交车站上车，上车后发现包
括他们俩共13人，经过2个站点小明观察到上下车情况如下（记上车为正，下车为负）：A（+4，-
2），B（+6，-5）.经过A，B这两站点后，车上还有 人.
【答案】16
【解析】【解答】解：经过A，B这两站点后，车上还有13+4-2+6-5=16；
故答案为16.
【分析】运用有理数的加减进行计算即可.
11．若a＜0，b＜0，|a|＜|b|，则a﹣b 0．
【答案】＞
【解析】【解答】解：∵a＜0，b＜0，|a|＜|b|
∴a﹣b＞0．
【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算，结合绝对值的性质确定运算符号，再比较大小．
12．按照“神舟”六号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，“神舟”六号飞船返回舱的温度为
21℃±4℃，则该返回舱的最低温度为 ℃．
【答案】17
【解析】【解答】
返回舱的最高温度为：21+4=25℃；
返回舱的最低温度为：21-4=17℃；【分析】±4℃指的是比21℃高于4℃或低于4℃。
三、计算题
13．计算：
1 1
（1）﹣0.5﹣（﹣2 ）+1.75﹣（+5 ）
4 2
1 5 1 1
（2）（ ﹣ + ）+（﹣ ）
12 6 2 24
1 1
【答案】（1）解：﹣0.5﹣（﹣2 ）+1.75﹣（+5 ）
4 2
1 1 3 1
=（﹣ ）+2 +1 +(−5 )
2 4 4 2
1 3 1 1
=2 +1 +(−5 ) +（﹣ ）
4 4 2 2
=﹣2；
1 5 1 1
（2）解：（ ﹣ + ）+（﹣ ）
12 6 2 24
2 20 12 1
= − + +(− )
24 24 24 24
7
= − ；
24
14．计算： (−1.5)−(+2.5)−(−0.75)+(+0.25) ．
【答案】(−1.5)−(+2.5)−(−0.75)+(+0.25) ，
=-1.5-2.5+0.75+0.25
=-(1.5-2.5)+(0.75+0.25)
=-4+1
=-3.
【解析】【分析】先根据有理数的减法法则进行变形，再运用加法结合律进行计算即可得到答案.
四、解答题
15．早晨6：00的气温为﹣4℃，到中午2：00气温上升了8℃，到晚上10：00气温又下降了9℃．晚
上10：00的气温是多少？
【答案】解：﹣4+8﹣9=﹣5℃；
故晚上10：00的气温是﹣5℃．
【解析】【分析】根据题意列出算式，再利用有理数的加减混合运算计算即可．
16．矿井下A，B，C三处的标高分别是﹣37.4m，﹣129.8m，﹣71.3m，点A比点B高多少米？点B比C高多少米？
【答案】解：则A处比B处高﹣37.4﹣（﹣129.8）=92.4（米），
点B比C高：﹣129.8﹣（﹣71.3）=﹣58.5（米）．
【解析】【分析】根据有理数的减法，可得两地的相对高度．
17．如图，若图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数字互为相反数，求 y−x+z 的值.
【答案】解：由题意得 x 与 −1 ， y 与 −8 ， z 与 5 分别是相对面上的两个数，
所以 x=1 ， y=8 ， z=−5 ，
所以 y−x+z=8−1+(−5)=2
【解析】【分析】根据正方体的展开图，相对面之间必间隔一个正方形得出相对面，结合相对面上的
两个数字互为相反数，分别求出x、y、 z的值，最后代值计算即可.
18．已知： a 是最小的正整数， b 是最大的负整数， c 是绝对值最小的数，求 a−b+c 的值.
【答案】解：由题意可知，a=1，b=﹣1，c=0，
∴a﹣b+c
=1﹣（﹣1）+0
=2.
【解析】【分析】根据 a 是最小的正整数， b 是最大的负整数， c 是绝对值最小的数可得a=1，b=
﹣1，c=0， 代入即可。
19．以“绿色生活•从你我做起”为主题的第四届生态文明知识竞赛活动正式启动．某校组织全校学
生参与后，王老师抽取了班上第一大组8名学生的成绩，若以80分为标准，超过的分数用正数表示，
不足的分数用负数表示，成绩记录如下：﹣3，+7，﹣12，+18，+6，﹣5，﹣21，+14
（1）最高分比最低分多多少分？第一大组平均每人得多少分？
（2）若规定：成绩高于80分的学生操行分每人加3分，成绩在60～80分的学生操行分每人加2
分，成绩在60分以下的学生操行分每人扣1分，那么第一大组的学生共加操行分多少分？
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【答案】（1）解：最高分比最低分多（+18）﹣（﹣21）=39分； 80+ （﹣3+7﹣12+18+6﹣5﹣
8
21+14）=80.5， 即第一大组平均每人得80.5分。（2）解：∵成绩高于80分的学生有4人，成绩在60～80分的学生有3人，成绩在60分以下的学生
有1人， ∴4×3+3×2﹣1=17， 即第一大组的学生共加操行分17分。
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减运算法则，可得出分查，根据平均分的公式，可得出平均分。
（2）根据题意，可得出第一大组学生共加的分数。
