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1.4.1 有理数的乘法
有理数的乘法
有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数
个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
注意：
（1） 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2 与-3 的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写
成-2×-3．
题型1：有理数的乘法法则的辨析
1.【例1】（2020秋•碑林区校级月考）下列叙述正确的是（ ）
A．互为相反数的两数的乘积为1
B．所有的有理数都能用数轴上的点表示
C．绝对值等于本身的数是0
D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负
【解题思路】根据相反数、有理数、绝对值的定义即可判断．
【解答过程】解：A、互为相反数的两个数和为0，故A错误．
B、实数和数轴一一对应，故所有的有理数都能用数轴上的点表示．故B正确．
C、绝对值等于本身的是0和正数，故C错误．
D、n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，但0除外，故D错误、
故选：B．
【变式1-1】a、b是两个有理数，若ab＜0，且a+b＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a、b两数异号，且正数的绝对值大
C．a＜0，b＜0D．a、b两数异号，且负数的绝对值大
【解题思路】根据有理数乘法积的符号判断因数的符号，再根据有理数和的符号判断绝对值的大小，进
而得出答案．
【解答过程】解：∵ab＜0，
∴a、b异号，
又∵a+b＞0，
∴正数的绝对值较大，
故选：B．
题型2：用乘法法则判断正负性
2.如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数（ ）
A．同号，且都为正数 B．异号，且正数的绝对值较大
C．同号，且都为负数 D．异号，且负数的绝对值较大
【答案】B
【解析】【解答】解：∵两个有理数的积是负数，
∴两个数为异号，
∵和是正数，
∴正数的绝对值比负数的绝对值大，
故答案为：B．
【分析】根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘可确定两个数为异
号；再根据绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
可得正数的绝对值比负数的绝对值大，进而可得答案．
【变式2-1】如果 a+b<0 ， ab>0 那么这两个数 ( )
A．都是正数 B．都是负数
C．一正一负 D．符号无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ab＞0，∴a、b同号，
∵a+b＜0，∴a、b都是负数，
故答案为：B．
【分析】根据有理数的乘法法则，得a、b同号，再由有理数的加法法则，得a、b都是负数．
【变式2-2】如图，数轴上A、B两点所表示的两数的（ ）
A．和为正数 B．和为负数 C．积为正数 D．积为负数
【答案】D
【解析】【解答】解：从图中可以看出A、B两点表示的数分别为-3和3，
它们的和为0，积为-9是负数.
故答案为：D【分析】根据数轴的意义可确定A、B所对应的值分别为一正一负，再根据有理数的加法法则“同号
两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，
取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数”和有
理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”即可判断求解.
题型3：两个有理数相乘
3.计算：
【答案】：
【变式3-1】计算 的结果是（ ）
1 1
A．1 B．-1 C． D-
5 5
【分析】先把假分数化为带分数，再确定积的符号，最后按分数的乘法法则求值．
【解答】解：原式= =-1．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．
题型4：多个有理数相乘
4.计算：
1
（1）（﹣10）× (− ) ×（﹣0.1）；
4
5 4
（2）（﹣3）× × 1 ×（﹣0.25）；
6 5
1
（3）（﹣6）×（﹣7.9）× 3 ×0．
2
1 1
【答案】（1）解：原式=﹣（10×0.1× ）=﹣
4 45 9 1 9
（2）解：原式=3× × × =
6 5 4 8
（3）解：原式=0
【解析】【分析】（1）根据多个有理数的乘法法则可得：积的符号由负因数的个数确定，奇数个负因
数积为负，再用乘法结合律把绝对值相乘即可求解；
（2）根据多个有理数的乘法法则可得：积的符号由负因数的个数确定，奇数个负因数积为负，偶数
个负因数积为正，并把绝对值相乘即可求解；
（3）根据多个有理数的乘法法则可知，有一个因式为0，则积为0.
【变式4-1】计算：
24
（1）49 ×(−5) ；
25
5
（2）(−8)×(−7.2)×(−2.5)× ；
12
（3）−7.8×(−8.1)×0×|−19.6| ；
1
（4）−|−0.25|×(−5)×4×(− ) .
25
24 1 1 4
【答案】（1）解： 49 ×(−5) =（50- ）×（-5）=50×（-5）- ×（-5）=-249
25 25 25 5
5 36 5 5
（2）解： (−8)×(−7.2)×(−2.5)× =-（8× × × ）=-60
12 5 2 12
（3）解： −7.8×(−8.1)×0×|−19.6| =0
1 1
（4）解： −|−0.25|×(−5)×4×(− ) =- 0.25×(−5)×4×(− ) =-（0.25×4）×
25 25
1 1
(5× )=−
25 5
( 1 )
【解析】【分析】（1）由题意可将原式变为原式= 50− ×(−5)，再用乘法对加法的分配律即可
25
求解；
（2）多个有理数的乘法的符号法则是：偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负，根据符号法则
可先判断积的符号，再把绝对值相乘即可求解；
（3）根据有一个数是0的多个有理数相乘的法则可得原式=0；
（4）根据多个有理数的乘法的符号法则先判断积的符号，再把绝对值相乘即可求解。
有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c
＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：
a(b+c)＝ab+ac．
注意：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如
a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆
用”．
题型5：有理数的乘法运算定律
18 1 15
5.99 ×15=(100− )×15=1500− ，这个运算应用了（ ）
19 19 19
A．加法交换律
B．乘法结合律
C．乘法交换律、乘法结合律
D．乘法分配律
【解题思路】根据有理数的乘法，即可解答．
18 1 15
【解答过程】解：99 ×15=(100− )×15=1500− ，这个运算应用了乘法的分配律，
19 19 19
故选：D．
1 5 7
【变式5-1】计算：（1） （2）（ ＋ － ) × (－24 )
2 6 12
【答案】解：原式
1 5 7
（2）解：原式= ×（﹣24）+ ×（﹣24）﹣ ×（﹣24）=﹣12﹣20+14=﹣18.
2 6 12
【分析】用分配律展开算式，相乘时括号里的每个数都要带上它前面的符号，且不要漏乘括
号中的任何一项。
【变式5-2】计算：
【答案】解：原式
倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
注意：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是 ，-2和 是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．题型6：倒数
6.5的相反数的倒数是（ ）
1 1
A．-5 B．5 C．− D．
5 5
【答案】C
1 1
【解析】【解答】解：5的相反数为-5，-5的倒数为 − ，故5的相反数的倒数是 − .
5 5
故答案为：C.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数；乘积为1的两个数互为倒数，据此解答.
1
【变式6-1】若x与 互为倒数，则|1−x|的值是（ ）
3
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
1
【解析】【解答】解：∵x与 互为倒数，
3
∴x=3，
当x=3时，
|1-x|=|1-3|=|-2|=2，
故答案为：A.
【分析】利用互为倒数的两数之积为1，可得到x的值，再将x的值代入代数式计算.
【变式6-2】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则求（a+b）2021 -（cd）2022值．
【答案】解：根据题意得a+b=0、cd=1，
(a+b) 2021−(cd) 2022=0−1=−1
【解析】【分析】根据“a、b互为相反数，c、d互为倒数”可得a+b=0，cd=1，再将a+b=0，cd=1代
入 （a+b）2021 -（cd）2022 计算即可。
题型7：有理数的应用-数轴
7.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论，错误的是（ ）
A．−b|b|,进而根据有理
数的乘法法则、加法法则、减法法则即可一一判断得出答案.
二、填空题
7．-3的倒数是 ．
1
【答案】−
3
1
【解析】【解答】解：−3的倒数是−
3
1
故答案为−
3
【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答即可.
1
8．计算： − 的相反数是 ，倒数 ，绝对值是 ．
2
1 1
【答案】 ；﹣2；
2 2
1 1 1
【解析】【解答】解： − 的相反数是 ，倒数﹣2，绝对值是 ．
2 2 2
1 1
故答案为： ，﹣2， ．
2 2
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．利用这些知识即可求解．
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
9．从－3、－1、0、＋2、＋4 中，任取 3 个数相乘，则乘积的最大值是 ．
【答案】12
【解析】【解答】解：积最大的是：（-3）×（-1）×（+4）=3×1×4=12．
故答案为：12．
【分析】乘积的最大值是正数，得到积最大的是（-3）×（-1）×（+4）.
10．已知a是最大的负整数，b是-2的相反数，c与d互为倒数，则a+b-cd＝ ．
【答案】0
【解析】【解答】解：根据题意得：a=-1，b=2，cd=1，
则原式=-1+2-1=0，
故答案为：0．【分析】 由于a是最大的负整数，b是-2的相反数，c与d互为倒，可得a=-1，b=2，cd=1，然后代入
计算即可.
三、计算题
1
11．计算：﹣2×3×（﹣ ）．
6
1
【答案】解：﹣2×3× (− )
6
1
＝2×3×
6
1
＝6×
6
＝1．
【解析】【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可.
12．简便计算：
1 1 1
（1）(−8)×( −1 + )
2 4 8
19
（2）−49 ×5
20
1 1 1
【答案】（1）解： (−8)×( −1 + )
2 4 8
1 5 1
= (−8)× −(−8)× +(−8)×
2 4 8
= −4+10−1
=5；
19
（2）解： −49 ×5
20
1
= ( −50)×5
20
1
= ×5−50×5
20
1
= −250
4
3
= −249
4
【解析】【分析】（1）利用乘法的分配律先简便计算，然后进行加减运算即可；（2）利用乘法的分配律先简便计算，然后进行减法运算即可.
四、解答题
13．写出下列各数的倒数．
1 1 5
−2 ， ， −1 ， ．
3 2 4
1
【答案】解：因为 −2×(− )=1 ，
2
1
所以 −2 的倒数是 − ；
2
1
因为 ×3=1 ，
3
1
所以 的倒数是 3 ；
3
1 3 3 2
因为 −1 =− ， − ×(− )=1 ，
2 2 2 3
1 2
所以 −1 的倒数是 − ；
2 3
5 4
因为 × =1 ，
4 5
5 4
所以 的倒数是 ．
4 5
【解析】【分析】乘积是1的两个数互为倒数，据此解答即可.
14．已知 a ， b 互为相反数， c ， d 互为倒数，且 |m|=3 .求代数式 2a−4m+2b−(cd) 2019
的值.
【答案】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=±3
原式= 2(a+b)−4m−(cd) 2019=−4m−1
∴当m=3时，原式= −4×3−1=−13
当m=-3时，原式= −4×(−3)−1=11
【解析】【分析】利用相反数，绝对值以及倒数的定义求出a+b，m与cd的值，代入原式计算即可得
到结果.
1
15．已知五个数分别为： −5,|−1.5|,0,−3 ,−(−2),5,−2
2（1）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”把这些数连接起来；
（2）选择哪三个数相乘可得到最大乘积？乘积最大的是多少？
【答案】（1）解:
1
−5<−3 <−2<0<|−1.5|<−(−2)<5 ；
2
1 175
（2）解: 选择 −5 ，5， −3 相乘，乘积最大，乘积最大为 ．
2 2
【解析】【分析】（1）先在数轴上表示出各个数，再利用数轴上右边的数大于左边的数求解即可；
（2）根据有理数的乘法法则计算即可。
