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专题1.29 有理数的乘方（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、有理数的幂的概念的理解
1．若有理数a，b满足 ＝0，则a+b的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
2． 表示（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2+2+2+2＝22＝16
B．33＝3×3＝9
C．﹣62＝（﹣6）2＝36
D．
类型二、有理数乘方的运算
4． 的相反数是（ ）
A．2022 B．－2022 C．1 D．－1
5．观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝
6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（ ）
A．3 B．9 C．7 D．1
6．下列计算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
类型三、有理数乘方运算的符号规律
7．有理数 ， ， , ， ， 中，其中等于1的个数是（ ）.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．对于任意的有理数m，下列各式一定成立的是（ ）
A．|m|3＝m3 B．m3＝（﹣m）3 C．﹣m2＝|m|2 D．m2＝（﹣m）2
9．已知n表示正整数，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对
类型四、有理数乘方的应用10．1 长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次
截去之后剩下的木棒是( )．
A． B． C． D．
11．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次(由一个分裂成两个)．经过3h，这种
细菌由1个可分裂为（ ）
A．8个 B．16个 C．32个 D．64个
12．计算 ＝（ ）
A． B． C． D．
类型五、程序流程与有理数的运算
13．观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
14．如图是一个数值转换机，例如输入a＝5，第一步52＝25，第二步25﹣4×5＝5，第
三步5×（﹣3），输出结果为﹣15．若输入a＝﹣5，则输出结果应为（ ）
A．15 B．135 C．-135 D．15
15．如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 15，则第 1 次输出的结果为
18，第 2 次输出的结果为 9，…， 第 2021 次输出的结果为（ ）A．3 B．4 C．6 D．9
二、填空题
类型一、有理数的幂的概念的理解
16． 用幂的形式可表示为____．
17．一个数的平方等于64，则这个数为______．
18．现定义某种运算“ ”，对任意两个有理数 、 ，有 ，如
，计算： ______．
类型二、有理数乘方的运算
19．计算： _______．
20．定义a※b＝a2÷（b﹣1），例如3※5＝32÷（5﹣1）＝9÷4＝ ，则（﹣3）※4的
结果为________．
21．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，
即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记
录孩子自出生后的天数．请根据图，计算孩子自出生后的天数是______天．
类型三、有理数乘方运算的符号规律
22．n是正整数，则（-2）2n+1+2×（-2）2n=__________．
23．若 是正整数，则 _________24．若 ，则 =____________．
类型四、有理数乘方的应用
25．在计算 的值时，可设 ，①则
②．∴②-①，得 ，所以 ，试利用上述方法求
的值：___．
26．如图，数轴上 、 两点的距离为4，一动点 从点 出发，按以下规律跳动：
第1次跳动到 的中点 处，第2次从 点跳动到 的中点 处，第3次从 点跳动
到 的中点 处，按照这样的规律继续跳动到点 ( ， 是整数)处，问
经过这样2021次跳动后的点与 点的距离是_____．
27．有一张厚度为0.1毫米的纸片，对折1次后的厚度是2×0.1毫米，继续对折，2次，
3次，4次……假设这张纸对折了20次，那么此时的厚度相当于每层高3米的楼房层数约
是__________．（参考数据： ， ）
类型五、程序流程与有理数的运算
28．如图所示的运算程序中，若开始输入的 的值为100，我们发现第1次输出的结果
为50，第2次输出的结果为25，…，则第2021次输出的结果为________.
29．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2022次输出的结果为________．
30．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．
执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是100，则最后输出的结果为_______．
三、解答题
31．计算：
(1) ； (2) ．
32．由乘方的定义可知： （n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
(1) _________；
(2) _________；(3)计算： ．
33．给出下面六个数 ， ， ， ，0， ．
(1)其中正有理数是______，分数有______．（将符合条件的数都填在横线上）
(2)先把表示上面各数的点在数轴上表示出来，再按从小到大的顺利，用“＜”号把它
们连接起来．
34．计算:
（1） （2）
35．化归思想我们知道：23＝2×2×2，25＝2×2×2×2×2，所以23×25＝
(2×2×2)×(2×2×2×2×2)＝28.
(1)用与上面相同的方法计算可得53×54＝________；(2)归纳以上的探究过程，可猜测：am×an＝____________；
(3)利用以上的猜测计算：102017×102018.
参考答案
1．A
【分析】
根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b的值，即可得到a+b的值．
解：∵ ，
∴3-a=0，b+2=0
∴a=3，b=-2
∴a+b=1
故选：A．
【点拨】本题考查绝对值和偶次方分非负性，有理数的加法，解题的关键是掌握几个
非负数的和为0，则这几个非负数都为0．
2．A
【分析】
根据乘方的意义求解即可．
解： = ．
故选A．
【点拨】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作
an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底
数，n叫做指数．
3．D
【分析】
根据有理数乘方的概念以及有理数乘方的运算即可解答．
解：A、2+2+2+2=2×4=8，故本选项错误，不符合题意；B、33=3×3×3=27，故本选项错误，不符合题意；
C、-62=-36，故本选项错误，不符合题意；
D、 ，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了有理数的乘方，有理数乘方的意义：求n个相同因数a的乘积的
运算，记作an，读作a的n次方．
4．C
【分析】
先求出 的值，再求 的相反数即可得到答案．
解：∵ ，
∴ 的相反数是1．
故选：C．
【点拨】本题考查了有理数的乘方，相反数的定义，属于基础题型．
5．A
【分析】
从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几
就和第几个数字相同，由此解决问题即可．
解：已知31=3，末位数字为3，
32=9，末位数字为9，
33=27，末位数字为7，
34=81，末位数字为1，
35=243，末位数字为3，
36=729，末位数字为9，
37=2187，末位数字为7，
38=6561，末位数字为1，
…
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个
数字为一循环，
又2021÷4=505…1，
所以32019的末位数字与33的末位数字相同是3．
故选:A．【点拨】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位
数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．
6．C
【分析】
根据求一个数的相反数、去绝对值符号法则、有理数的乘方运算，即可一一判定．
解：A、 ，结果为正数，故该选项不符合题意；
B、 ，结果为正数，故该选项不符合题意；
C、 ，结果为负数，故该选项符合题意；
D、 ，结果为正数，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了求一个数的相反数、去绝对值符号法则、有理数的乘方运算，熟
练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
7．A
【分析】
分别根据有理数的乘方、绝对值的性质及去括号的法则计算出各数即可．
解： ；
；
；
；
；
，
这一组数中等于1的有3个．
故选： ．
【点拨】本题考查的是有理数的乘方、绝对值的性质及去括号的法则，先根据题意计
算出各数是解答此题的关键．
8．D
【分析】通过举反例可判断A，由立方运算的含义可判断B，由平方运算的含义可判断C，D，
从而可得答案.
解：当 时， 故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选：D
【点拨】本题考查的是绝对值的含义，有理数的乘方运算的法则，掌握“乘方运算中，
指数为奇数或偶数对结果符号的影响”是解题的关键.
9．D
【分析】
n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考
虑，即可求解．
解：当n为奇数时：
1n+(−1)n+1=1+1=2；
当n为偶数时：
1n+(−1)n+1=1-1=0；
故选：D．
【点拨】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件．
10．D
【分析】
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
解：根据题意知第六次后剩下的小棒长为 ，
故选：D．
【点拨】此题考查了有理数的乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
11．D【分析】
每半小时分裂一次，一个变为2个，实际是 个．分裂第二次时，2个就变为了 个．
那么经过3小时，就要分裂6次．根据有理数的乘方的定义可得．
解：某种细菌原来有1个，
半小时后有：2个，1小时后有 个，
小时后有 个， 小时后有 个，
小时后有 个， 小时后有 个，
又
经过3h，这种细菌由1个可分裂为 个，
故选D
【点拨】本题考查的是乘方的含义与实际应用，简单数字规律的探究，掌握“探究规
律的方法与乘方的意义”是解本题的关键.
12．C
【分析】
根据乘方的意义求解即可
解：根据乘方的意义，分子为 ，分母为 ，即
故选C
【点拨】本题考查了乘方的意义，理解乘方的意义是解题的关键．
13．B
【分析】
按照程序图代入左边代数式计算即可．
解：∵x=2＞0，
∴2x-1=2×2-1=3．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，选择合适的程序是解题
的关键．
14．C
【分析】
把a的值代入计算程序中计算即可得到结果．
解：输入a＝﹣5，
第一步（﹣5）2＝25，第二步25﹣4×（﹣5）＝45，
第三步45×（﹣3）＝﹣135，
∴输出结果为﹣135．
故选：C．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．A
【分析】
首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，
总结出规律，然后判断出第2021次输出的结果为多少即可．
解：第1次输出的结果为：15+3＝18，
第2次输出的结果为： ×18＝9，
第3次输出的结果为：9+3＝12，
第4次输出的结果为： ×12＝6，
第5次输出的结果为： ×6＝3，
第6次输出的结果为：3+3＝6，
第7次输出的结果为： ×6＝3，
第8次输出的结果为：3+3＝6，
第9次输出的结果为： ×6＝3，
…，
从第4次开始，以6，3依次循环，
并且第n次(n＞3)时，
如果n-3为偶数，则输出结果为3，
如果n-3为奇数，则输出结果为6，
∵（2021﹣3）÷2＝2018÷2＝1009，
∴第2021次输出的结果为3．
故选：A．
【点拨】此题考查了程序图的规律问题，解题的关键是正确分析题目中程序的运算规
律．16．
【分析】
根据乘方的定义即可解答．
解：算式 用幂的形式可表示为 ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查乘方的定义：求n个相同因数积的运算叫做乘方，解题的关键是熟
练掌握幂的形式．
17．±8
【分析】
根据平方的定义即可求解．
解：∵（±8）2=64
∴这个数为±8
故答案为：±8．
【点拨】此题主要考查数的平方，解题的关键是熟知平方的定义．
18．1
【分析】
理解“ ”，先算括号内的，再算括号外的．
解：
故答案为：1．
【点拨】此题是新定义运算题型，考查有理数的乘方．关键要理解新定义的运算含义
和乘方的意义．
19．4
【分析】
原式分别化简绝对值和有理数乘方运算，然后进行加法运算即可得到答案．
解：
=3+1
=4
故答案为：4【点拨】本题主要考查了化简绝对值和乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关
键．
20．3
【分析】
根据a※b=a2 ÷ (b- 1)，可以求得所求式中的值．
解：∵a※b=a2 ÷ (b- 1)，
∴(-3)※4
=(-3)2÷(4- 1)
= 9÷3
= 3
故答案为：3．
【点拨】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算
方法．
21．109
【分析】
类比于现在我们的十进制“满十进一”计算．
解： ，
故答案为：109．
【点拨】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，
运用了类比的方法，考查有理数乘方应用，解题的关键是根据图中的点列式计算；本题题
型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
22．0
【分析】
先根据有理数的乘方进行计算，然后再合并即可．
解：（-2）2n+1+2×（-2）2n
=-22n+1+22n+1
=0．
故答案为：0
【点拨】本题主要考查了有理数的乘方，掌握负数的偶次方为正、奇次方为负是解答
本题的关键．
23． 或【分析】
分两种情况讨论，当 为奇数时， 当 为偶数时， 从而可得答案．
解：当 为奇数时，
当 为偶数时，
故答案为： 或
【点拨】本题考查的是乘方符号的确定，有理数的加法运算，掌握以上知识是解题的
关键．
24．1
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解：∵ ，
∵
∴a-1=0，b-2=0，
∴a=1，b=2，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了非负数的性质和乘方运算．解题的关键是掌握非负数的性质：
几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0
25．
【分析】
根据所给例题的方法设 ，进而计算 ，两式相减即可求得 ，
进而求得 的值
解：设 ①
则 ②∴②-①，得
故答案为：
【点拨】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意，裂项相消是解题的关键．
26．
【分析】
根据题意，得第一次跳动到OA的中点 处，即在离远点的长度为 ，第二次从
处跳动到 处，离原点的长度为 ，可得跳动n次离原点的长度为 ，
代入计算即可；
解：由于 ，
∴第一次跳动到OA的中点 处时， ，同理第二次从 处跳
动到 处时离原点的长度为 ，跳动n次离原点的长度为 ，
∴2021次跳动后的点与 点的距离是 ；
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了与数轴有关的规律题型，准确分析计算是解题的关键．
27．35
【分析】
根据对折规律确定出对折2次的厚度，再利用对折规律确定出楼层即可．
解：根据题意得，对折两次的厚度为：2×2×0.1=0.4（毫米），
故对折20次的厚度为220×0.1=104857.6毫米≈104.9m，
104.9÷3≈35层，
则对折20次后相当于每层高度为3米的楼房35层．故答案为：35．
【点拨】此题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
28．8
【分析】
根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算．
解：∵第1次输出的数为：100÷2=50，
第2次输出的数为：50÷2=25，
第3次输出的数为：25+7=32，
第4次输出的数为：32÷2=16，
第5次输出的数为：16÷2=8，
第6次输出的数为：8÷2=4，
第7次输出的数为：4÷2=2，
第8次输出的数为：2÷2=1，
第9次输出的数为：1+7=8，
第10次输出的数为：8÷2=4，
……，
∴从第5次开始，输出的数分别为：8、4、2、1、8、…，每4个数一个循环；
∵（2021-4）÷4=504…1，
∴第2021次输出的结果为8．
故答案为8．
【点拨】本题考查了有理数的计算，正确发现循环的规律是解题的关键．
29．6
【分析】
根据运算的程序，把24代入，求出前几个数，可发现从第2个数开始，每2个数循环
出现，据此作答即可．
解：第1次输出的数为： ；
第2次输出的数为： ；
第3次输出的数为： ；
第4次输出的数为： ；第5次输出的数为： ；
…
由此得从第2个数开始，每2个数开始，奇数次输出的数为3，偶数次输出的数为6，
∴第2022次输出的数为6．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，代数式求值，解
答的关键是根据所给的程序写出前几个数，从而总结出规律．
30．400
【分析】
把100代入程序中计算，判断结果与100的大小，依此类推，大于100输出即可．
解：把100输入得：
＝﹣200＜100，
把﹣200代入得：
＝400＞100，
输出结果为400．
故答案为：400．
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
31．(1) (2)
【分析】
（1）先计算乘除，然后计算加减即可；
（2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减即可．
(1)解：原式(2)解：原式
【点拨】本题考查了有理数的混合运算．解题的关键在于明确运算顺序．
32．(1) ；(2) ；(3)
【分析】
（1）根据乘方的定义求解即可；
（2）根据乘方的定义求解即可；
（3）首先根据乘方的定义将（﹣ ）2022，化成（﹣ ）2021×（﹣ ），再根据乘方
的定义求解即可．
(1)解：（1）52×62＝ =900= ，
故答案为： ；
(2)解：m2×n2＝(mn)2，
故答案为：(mn)2；
(3)解：（﹣2）2021×（﹣ ）2022
＝（﹣2）2021×（﹣ ）2021×（﹣ ）
＝
＝
＝ ．
【点拨】本题考查乘方的定义，解答本题的关键熟知乘方的定义．33．(1)-（-2.5），（-1）2022；-（-2.5），−
(2)在数轴上表示见分析，-22＜-|-2|＜- ＜0＜（-1）2022＜-（-2.5）．
【分析】
（1）根据正有理数，分数的意义判断即可；
（2）在数轴上准确找到各数对应的点即可解答．
(1)解：∵ ， ， ， ，
∴正有理数是-（-2.5），（-1）2022，
分数有-（-2.5），− ，
故答案为：-（-2.5），（-1）2022；-（-2.5），− ；
(2)解：在数轴上表示如图所示：
∴-22＜-|-2|＜- ＜0＜（-1）2022＜-（-2.5）．
【点拨】本题考查了数轴，绝对值，有理数的乘方，实数大小比较，在数轴上准确找
到各数对应的点是解题的关键．
34．（1） ；（2）
【分析】
（1）先把减法转化为加法，再把同号的两个数相加，即可得到答案；
（2）先计算绝对值，乘方运算，再利用乘法的分配律计算乘法运算，除法运算，最后
计算加减运算即可得到答案．
解：（1）原式
.
.
（2）原式【点拨】本题考查的是求一个数的绝对值，乘方符号的确定，含乘方的有理数的混合
运算，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．
35．(1)57 (2)am＋n (3)104035
分析：（1）利用有理数的乘方验证同底数幂的乘法法则，关键是理解乘方的意义；
（2）根据（1）的计算写出结论即可；
（3）根据（2）的结论计算即可.
解：(1)53×54=(5×5×5)×(5×5×5×5)=57；
(2)由（1）知，am·an=am+n ；
(3) 102017×102018 =102017+2018=104035.
【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法，利用有理数的乘方验证同底数幂的乘法法
则，关键是理解乘方的意义.
