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1.4.1 有理数的乘法
有理数的乘法
有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数
个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
注意：
（1） 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2 与-3 的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写
成-2×-3．
题型1：有理数的乘法法则的辨析
1.【例1】（2020秋•碑林区校级月考）下列叙述正确的是（ ）
A．互为相反数的两数的乘积为1
B．所有的有理数都能用数轴上的点表示
C．绝对值等于本身的数是0
D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负
【变式1-1】a、b是两个有理数，若ab＜0，且a+b＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a、b两数异号，且正数的绝对值大
C．a＜0，b＜0
D．a、b两数异号，且负数的绝对值大
题型2：用乘法法则判断正负性
2.如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数（ ）A．同号，且都为正数 B．异号，且正数的绝对值较大
C．同号，且都为负数 D．异号，且负数的绝对值较大
【变式2-1】如果 a+b<0 ， ab>0 那么这两个数 ( )
A．都是正数 B．都是负数
C．一正一负 D．符号无法确定
【变式2-2】如图，数轴上A、B两点所表示的两数的（ ）
A．和为正数 B．和为负数 C．积为正数 D．积为负数
题型3：两个有理数相乘
3.计算：
【变式3-1】计算 的结果是（ ）
1 1
A．1 B．-1 C． D-
5 5
题型4：多个有理数相乘
4.计算：
1
（1）（﹣10）× (− ) ×（﹣0.1）；
4
5 4
（2）（﹣3）× × 1 ×（﹣0.25）；
6 5
1
（3）（﹣6）×（﹣7.9）× 3 ×0．
2
【变式4-1】计算：
24
（1）49 ×(−5) ；
25
5
（2）(−8)×(−7.2)×(−2.5)× ；
12（3）−7.8×(−8.1)×0×|−19.6| ；
1
（4）−|−0.25|×(−5)×4×(− ) .
25
有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c
＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：
a(b+c)＝ab+ac．
注意：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数
相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如
a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆
用”．
题型5：有理数的乘法运算定律
18 1 15
5.99 ×15=(100− )×15=1500− ，这个运算应用了（ ）
19 19 19
A．加法交换律
B．乘法结合律
C．乘法交换律、乘法结合律
D．乘法分配律
1 5 7
【变式5-1】计算：（1） （2）（ ＋ － ) × (－24 )
2 6 12
【变式5-2】计算：
倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
注意：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是 ，-2和 是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
题型6：倒数
6.5的相反数的倒数是（ ）1 1
A．-5 B．5 C．− D．
5 5
1
【变式6-1】若x与 互为倒数，则|1−x|的值是（ ）
3
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-2】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则求（a+b）2021 -（cd）2022值．
题型7：有理数的应用-数轴
7.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论，错误的是（ ）
A．−b<a<b<−a B．a+b<0
C．ab<0 D．|b|<|a|
5
【变式7-1】将﹣（﹣2），（﹣1）3，0的相反数，﹣0.4的倒数，比﹣1大 的数，﹣|﹣3|化简，并
2
在数轴上表示出来，再用“＜”连接起来．
【变式7-2】在数轴上，点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，如果点A表示的有理数为
a，点B表示的有理数为b，求a与b的乘积．
题型8：有理数的应用-绝对值
m
8.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求a-（-b）- 的值
cd
【变式8-1】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为3，求a+b+x2-cdx的值.
【变式8-2】如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m是绝对值最小的有理数，求2ab-(c+d)+m的
值．
题型9：有理数的应用-新定义运算
9.如果一对有理数a，b使等式a﹣b=a•b+1成立，那么这对有理数a，b叫做“共生有理数对”，
记为（a，b），根据上述定义，下列四对有理数中不是“共生有理数对”的是（ ）
1 1
A．（3， ） B．（2， ）
2 3
2 1
C．（5， ） D．（﹣2，﹣ ）
3 3【变式9-1】若定义新运算：a△b=（﹣2）×a×3×b，请利用此定义计算：（1△2）△（﹣3）=
．
1 1
【变式9-2】定义：a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 ＝
1−a 1−2
1 1 1
﹣1，﹣1的差倒数是 = .已知a＝﹣ ，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，a 是a 的差
1−(−1) 2 1 2 2 1 3 2 4 3
倒数，…，a ＝ .
2020
题型10：有理数的应用-实际问题
10.某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）:
（1）这天仓库的原料比原来增加了还是减少?请说明理由；
（2）根据实际情况，运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元，问这天共需运费多少元?
【变式10-1】某检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西
行驶为负，这个检修小组一天中行驶的距离记录如下(单位：千米)：
-4，+7，-9，+8，+6，-4，-5．
（1）求收工时检修小组在A地的哪边？距A地多远？
（2）距A地最远时是哪一次？
（3）若检修小组所乘汽车每千米耗油0．5升，则从出发到收工时共耗油多少升？
【变式10-2】在抗洪抢险过程中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出
发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天航行路程记录如下：（单位：千米）
15，﹣7，18，9，-3，6，-8
（1）通过计算说明B地在A地的什么位置；
（2）已知冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为40升，若冲锋舟在救援前将油箱加满，请问该冲
锋舟在救援过程中是否还需要补充油？
1．－3的倒数是 （ ）
1 1
A．3 B．− C．−3 D．
3 31
2．− 的倒数是（ ）
2
1 1 1
A．﹣2 B． C．− D．±
2 2 2
3．如果a+b＞0，ab＞0，那么（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0
4．三个有理数的积为正数，则三个数中负数的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．0或2
5．倒数是它本身的数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
6．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断：①a＜c＜b；②ab＜0；
③a+b＞0；④c﹣a＜0中，错误的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．-3的倒数是 ．
1
8．计算： − 的相反数是 ，倒数 ，绝对值是 ．
2
9．从－3、－1、0、＋2、＋4 中，任取 3 个数相乘，则乘积的最大值是 ．
10．已知a是最大的负整数，b是-2的相反数，c与d互为倒数，则a+b-cd＝ ．
三、计算题1
11．计算：﹣2×3×（﹣ ）．
6
12．简便计算：
1 1 1
（1）(−8)×( −1 + )
2 4 8
19
（2）−49 ×5
20
四、解答题
13．写出下列各数的倒数．
1 1 5
−2 ， ， −1 ， ．
3 2 4
14．已知 a ， b 互为相反数， c ， d 互为倒数，且 |m|=3 .求代数式 2a−4m+2b−(cd) 2019
的值.
1
15．已知五个数分别为： −5,|−1.5|,0,−3 ,−(−2),5,−2
2
（1）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”把这些数连接起来；
（2）选择哪三个数相乘可得到最大乘积？乘积最大的是多少？
