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1.5 有理数的乘方
乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有： .在 中， 叫做底数， n叫做指数.
注意：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
题型1：认识乘方
3
1.(- )3的底数是 ，指数是 ，幂是 .
2
3 27
【答案】- ；3；-
2 8
3 3 27
【解析】【解答】解：(− )3的底数是- ，指数是3，幂是- .
2 2 8
3 27
故答案为：- ，3，- .
2 8
【分析】求n个相同因数a乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫做幂，相同因数“a”作为底数，相同因
数的个数“n”作为指数，通常记为：an，其中a叫做底数，n叫做指数；当底数是负数和分数的时候一
定要添加括号，据此即可得出答案.
¿ ¿
【变式1-1】计算 2+2+⋯+2+3×3×⋯×3= ( )
A．2m+3n B．m2+3n C．2m+n3 D．2m+3n
【答案】D【解析】【解答】解：原式=2m+3n
故答案为：D.
【分析】利用乘法的定义（m个a相加，可以表示为ma）和乘方的定义（n个a相乘，可以表示为an
），可以得出结果。
【变式1-2】对乘积 (−3)×(−3)×(−3)×(−3) 记法正确的是( )
A．-34 B．(-3)4 C．-(+3)4 D．-(-3)4
【答案】B
【解析】【解答】解： (−3)×(−3)×(−3)×(−3)=(−3) 4 .
故答案为：B.
【分析】根据乘方的意义，求几个相同因数的积的运算就是乘方，其中相同的因数作为底数，相同因
数的个数作为指数，需要注意的是，当底数是分数和负数的时候一定需要添加括号,从而即可得出答
案.
乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正
整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
注意：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对
值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
题型2：乘方的运算法则与计算
2.（﹣2）4与﹣24（ ）
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．它们的和是正数
【答案】B
【解析】【解答】∵（﹣2）4＝16，﹣24＝﹣16，
∴（﹣2）4与﹣24互为相反数，
故答案为：B．
【分析】先利用有理数的乘方化简，再求解即可。
【变式2-1】计算：（﹣1）2021＝ ．
【答案】-1
【解析】【解答】解：(−1) 2021=−1，
故答案为：-1．
【分析】利用有理数的乘方计算求解即可。
【变式2-2】下列各数|﹣2|，﹣（﹣2），（﹣2）2，（﹣2）3，﹣22中，负数的个数为个 .
【答案】2个
【解析】【解答】解：|−2|=2，-（-2）=2， （﹣2）2=4，（﹣2）3=-8，﹣22=-4，
∴负数的个数有2个.
【分析】根据绝对值、相反数、乘方、立方的定义分别计算各数，再判断负数的个数，即可得出答案.有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括
号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
注意：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方
和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
题型3：有理数的混合运算
9
3.计算：（1）(−1) 10×2+(−2) 3÷4．（2）（﹣3）2÷ ×|﹣2|+（﹣1）4.
5
【答案】（1）解： (−1) 10×2+(−2) 3÷4
=1×2+（-8）÷4
=2-2
=0．
9
（2）解：（﹣3）2÷ ×|﹣2|+（﹣1）4
5
5
＝9× ×2+1
9
＝10+1
＝11.
【解析】【分析】先计算乘方，再计算乘除，最后计算加法即可。
3 2
【变式3-1】计算：（1）−12022−6÷(− ) ×|−3| （2）－ 22 ÷ (−1) 3 +︱0.8－1︱×5
2
4
【答案】（1）解：原式=−1−6× ×3
9
=−1−2×4
=−9
（2）解：原式=－4÷(－1) +0.2×5
=4＋1；
=5
1 3
【变式3-2】（1）计算： −33+8÷(−2) 2−(−6)×|−4| . （2）−22+(− ) ÷(−2)×16
2
【答案】（1）解：原式 =−27+8÷4+6×4
=−27+2+24
=−11 3
（2）解： −22+(− ) ÷(−2)×16
2
1 1
= −4+(− )×(− )×16
8 2
= −4+1
= −3
题型4：有理数乘方的巧算
3 2
4.计算（- ）2018×（ ）2019的结果为（ ）
2 3
2 3 2 3
A． B． C．- D．-
3 2 3 2
【答案】A
3 2
【解析】【解答】（- ）2018×（ ）2019
2 3
3 2 2
=[（- ）×（ ）]2018×
2 3 3
2
=（-1）2018×
3
2
=
3
【分析】根据乘方的意义和乘法运算法则，进行简便计算，即可.
【变式4-1】(−8) 2021 ⋅(−0.125) 2020= ．
【答案】-8
【解析】【解答】 (−8) 2021×(−0.125) 2020
1 2020
=(−8) 2021×( )
8
1 2020
=(−8)×(−8) 2020×( )
8
1 2020
=(−8)×(−8× )
8
=(−8)×(−1) 2020
=−8 ．
故答案为：-8．
【分析】根据有理数的乘方进行计算即可。
【变式4-2】（-4）2020×（-0.25）2021解：（1）（-4）2020×（-0.25）2021
=[（-4）×（-0.25）]2020×（-0.25）
=12020×（-0.25）
=1×（-0.25）
=-0.25；
题型5：利用非负性求值计算
5.若 |x−1|+(y+2) 2=0 ，求 x−y 的值．
【答案】解： ∵|x−1|+(y+2) 2=0
∴x−1=0 且 y+2=0，
∴x=1，y=−2，
∴x−y=1−(−2)=1+2=3.
【解析】【分析】根据绝对值及偶次幂的非负性求出x、y的值，然后代入计算即可.
【变式5-1】若 |a+3|+(b−2) 2=0 ，求 (a+b) 2011 的值．
【答案】解：∵|a+3|+(b−2) 2=0 ，
∴|a+3|=0，(b−2) 2=0 ，
∴a=-3，b=2，
∴(a+b) 2011 = (−3+2) 2011=(−1) 2011=−1 ．
【解析】【分析】根据绝对值和偶数次幂的非负性，求出a，b的值，进而即可求解．
1
【变式5-2】x是 的倒数的相反数，绝对值为3的数是y ,且 |m−2|+(n−1) 2=0 ， 求：
2
x2−2mn+ y 的值.
【答案】解：由题意可得x=-2 ，y= ±3
∵|m−2|+(n−1) 2=0 且 |m−2|≥0,(n−2) 2≥0
∴ m-2=0 ，n-1=0
解得：m=2 , n=1
∴ 当y=3时，原式=3；
当y=-3时，原式=-3
∴x2−2mn+ y 的值为3或-3
【解析】【分析】首先根据题意得出x、y、m和n的值，然后代入即可得解.
科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式（其中 是整数数位只有一位的数，l≤| |＜10， 是正整
数），这种记数法叫做科学记数法，如 ＝ .
注意：（1）负数也可以用科学记数法表示，“ ”照写，其它与正数一样，如 = ；
（2）把一个数写成 形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
题型6：用科学计数法表示数
6.2021年是伟大的中国共产党百年华诞，从南陈北李相约建党历经百年沧桑发展到今天已有近
9200万党员，其中9200万用科学记数法表示为（ ）
A．9.2×103 B．92×106 C．9.2×107 D．0.92×108
【答案】C
【解析】【解答】解：9200万=92000000=9.2×107.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是
正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
【变式6-1】地球距离太阳约为150000000千米， 这个距离用科学记数法表示为( )
A．1.5×107 千米 B．1.5×108 千米
C．0.15×109 千米 D．15×107 千米
【答案】B
【解析】【解答】解：∵150000000 =1.5×108
故答案为：B.
【分析】直接利用科学记数法的定义a×10n (1≤|a|<10，n为正整数)，得出结果。
【变式6-2】火星围绕太阳公转的轨道半长径为230000000km．将230000000用科学记数法表示为（
）
A．23×107 B．2.3×108 C．2.3×109 D．0.23×109
【答案】B
【解析】【解答】解：230000000=2.3×108．
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
题型7：比较科学计数法表示的数的大小
7.（1）1.5×102020与9.8×102019；
（2）-3.6×105与-1.2×106．
【分析】（1）利用乘方的意义和有理数比较大小的方法即可得到结论；
（2）利用乘方的意义和有理数比较大小的方法即可得到结论．
【解答】解：（1）∵1.5×102020=15×102019，
∴15×102019＞9.8×102019，
∴1.5×102020＞9.8×102019；
（2）∵-3.6×105与=-0.36×106，
∴-0.36×106＞-1.2×106，
∴-3.6×105＞-1.2×106．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，以及实数大小比较的方法，要熟练掌握．
【变式7-1】（1）1.5×102016与9.8×102015；
（2）-3.6×105与-1.2×106．
【解答】解：（1）∵1.5×102016=15×102015，15×102015＞9.8×102015，∴1.5×102016＞9.8×102015．
（2）∵-3.6×105=-0.36×106，-0.36×106＞-1.2×106，
∴-3.6×105＞-1.2×106．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，以及实数大小比较的方法，要熟练掌握．
【变式7-2】比较大小．（填“＞”、“=”或“＜”）
（1）3.14×107 3.14×108
（2）8.999×1012 7.201×1013；
（3）5.266×108 4.01×108；
（4）-2.25×106 -8.25×105．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：（1）3.14×107＜3.14×108；
（2）8.999×1012＜7.201×1013；
（3）5.266×108＞4.01×108；
（4）-2.25×106＜-8.25×105．
故答案为：＜；＜；＞；＜．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法以及有理数大小比较．科学记数法的表示形式为
a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
近似数及精确度
1. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300
㎞，这里的6300㎞就是近似数.
注意：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
2. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数
的精确度.
注意：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，
例如精确到 米，说明结果与实际数相差不超过 米.
题型8：科学计数法与近似数
8.嫦娥五号”在距地球约384400千米之外完成了中国航天史上“最复杂的任务”，中国成为了人
类第三个获取月球样本的国家.将近似数384400精确到万位，并用科学记数法表示为（ ）
A．3.84×106 B．3.8×105
C．3.844×105 D．3.8×106
【答案】B
【解析】【解答】解： 将近似数384400精确到万位，并用科学记数法表示为
384400=3.844×105≈3.8×105，
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n等于
原数的整数位数减1，进而将a中原数万位后面的数进行四舍五入即可.【变式8-1】将4.34059精确到千分位是（ ）
A．4.341 B．4.34 C．4.3406 D．4.340
【答案】A
【解析】【解答】解：将4.34059精确到千分位是4.341
故答案为：A
【分析】根据近似数的定义及四舍五入的方法求解即可。
【变式8-2】近似数3.70所表示的准确值x的取值范围是（ ）
A．3.695≤x<3.705 B．3.60
