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6.3实数
有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形
式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有
根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .
题型1：无理数的概念
π 22
1.（2023八上·开江期末）数 ，3.14， ，√3，1.732，−√16，√8，0.203，﹣0.1010010001…
3 7
（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
π
【解析】【解答】解： 是无理数；
3
3.14是有限小数，是有理数；
22
是分数，是有理数；
7
√3是开方开不尽的数，是无理数；
1.732是有限小数，是有理数；
−√16=-4是负整数，是有理数；√8=2√2是开方开不尽的数，是无理数；
0.203是有限小数，是有理数；
﹣0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1） ，是无限不循环小数，是无理数，
∴无理数共有4个.
故答案为：D.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的
数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，
④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可一一判断.【变式1-1】（2023八上·达州期末）在﹣1.414，√2，π，2+√3，3.212212221…，3.14这些数中，无理
数的个数为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：无理数有√2，π，2+√3，3.212212221…，一共4个.
故答案为：D
【分析】利用开方开不尽的数是无理数；含π的数是无理数；有规律但不循环的小数是无理数；可得
到已知数中是无理数的个数.
1
【变式1-2】（2022七上·长兴月考）下列各数： ，√9，π，0.32，√5，0.101101110．．．每两个0之
2
间依次多一个1)，其中是无理数的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵√9=3
∴无理数有π，√5，0.101101110…（每两个0之间依次多一个1），一共有3个.
故答案为：C
【分析】利用开方开不尽的数是无理数；含π的数是无理数；有规律但不循环的小数是无理数；由此
可得到无理数的个数.
实数：有理数和无理数统称为实数.
按与0的大小关系分：
实数的分类
按定义分：
实数
实数
题型2：实数的分类
2.（2022七上·泉州期末）把下列各数分别填入相应的集合里.
1 2
−2，3 ，0.02，π，− ，2022，−3.14，0，−8.
2 3
（1）正数集合：{ …}；
（2）负数集合：{ …}；
（3）分数集合：{ …}；
（4）整数集合：{ …}.
1
【答案】解：（1）正数集合：{3 ，0.02，π， 2022…}；
2
2
（2）负数集合：{−2， − ， −3.14，−8…}；
3
1 2
（3）分数集合：{3 ，0.02， − ， −3.14…}；
2 3
（4）整数集合：{−2， 2022， 0，−8…}.【解析】【分析】正数大于0，负数小于0，正分数、负分数统称分数，正整数、0、负整数统称整
数，据此逐一判断即可.
【变式2-1】（2022七上·衢州期中）把下列各数填在相应的横线上：
22
0，− ，−2，√25，－3.14，+9，π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
7
整 数： .
负分数： .
无理数： .
22
【答案】0，-2，√25，+9；− ，-3.14；π，1.212212221......（两个1之间依次多1个2）
7
【解析】【解答】解：整数：0，-2，√25，+9
22
负分数：− ，-3.14
7
无理数：π，1.212212221......（两个1之间依次多1个2）
【分析】利用正整数、负整数和0统称为整数；利用正分数和负分数统称为分数；利用含π的数是无
理数；有规律但不循环的小数是无理数；再将各数填在相应的括号里.
【变式2-2】（2022七上·宁波期中）下列实数： 2 ，√3 9，1， √9 ， π ， − 7 ，
0.3
• 分数有（ ）
4 2 3
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】B
√9 3
【解析】【解答】解： = ，
4 2
√9 7
分数有 ，− ，0.3，一共3个.
4 3
故答案为：B
【分析】利用正负数和负分数统称为分数，可得到已知数中分数的个数.
实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实
数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
题型3：实数与数轴
3.（2021八上·房山期中）如果实数a=√11，且a在数轴上对应点的位置如图所示，其中正确的是（
）
A． B．
C． D．【答案】C
49
【解析】【解答】解：∵9<11< ，
4
由被开方数越大算术平方根越大，
√49
∴√9<√11< ，
4
7
即3<√11< ，
2
故答案为：C.
【分析】先估算√11的大小，再结合实数与数轴上点的关系求解即可。
【变式3-1】（2022·易县模拟）如图，数轴上A、B两点所对应的实数分别是−1、√5，若线段
AB=BC，则点C所表示的实数是（ ）
A．1+√5 B．2+√5 C．2√5+1 D．2√5−1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，√5，
∴AB=√5−（−1）=√5+1 ，
∵AB＝BC，
∴BC=√5+1 ，
∴点C所表示的实数为√5+(√5+1)=2√5+1 ．
故答案为：C．
【分析】先求出AB=√5−（−1）=√5+1，再根据AB=BC可得BC=√5+1，即可得到点C所表示
的实数为√5+(√5+1)=2√5+1 。
【变式3-2】（1）若3﹣a的相反数是负数，判断a﹣3与0的大小关系．
（2）表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则a b，|a| |b|．
【分析】（1）根据相反数的定义可得﹣（3﹣a）＜0，整理可得结论；
（2）由数轴可得答案．
【解答】解：（1）∵3﹣a的相反数是负数，
∴﹣（3﹣a）＜0，
∴a﹣3＜0；
（2）由数轴可得a＜b，|a|＞|b|，
故答案为：＜，＞．
【变式3-3】如图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，请在答题卡上填写对应的实数：-1
，π，0， √2 ，2，- √3 ．
2
1
【答案】解：A点表示﹣ √3 ，B点表示﹣ ，O点表示0，C点表示 √2 ，D点表示2，E点表示
2
π
【解析】【分析】根据数轴上点的位置确定所对应的实数值。
实数的相关概念：
（1）相反数∶实数a的相反数为-a，若a，b互为相反数，则a+b=0;
1
（2）倒数∶非零实数a的倒数为 若a，b 互为倒数，则ab=1;
a
（3）绝对值∶
题型4：实数的相关概念
4.下列个数中相反数最小的是（ ）
A．−√5 B．√3 C．0 D．π
【答案】D
【解析】【解答】解： −√5 的相反数是 √5 ，
√3 的相反数是 −√3 ，
0的相反数是0，
π的相反数是−π，
∵−π<−√3<0<√5 ，
∴π的相反数最小，
故答案为：D．
【分析】求出每个数的相反数，根据相反数的大小判断即可．
【变式4-1】写出下列各数的相反数：﹣ ， ﹣3.14， ．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
π
【解答】解：﹣ 的相反数是： ，
﹣3.14的相反数是：﹣（ ﹣3.14）＝3.14﹣ ，
π π π
的相反数是：﹣ ．
【变式4-2】现有以下四个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理
数只有零；③﹣a一定是负数；④一个有理数不是整数就是分数；⑤若两个数的绝对值相等，则这两
个数一定相等．其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【解析】【解答】解：①绝对值等于其本身的有理数是非负数，不符合题意；
②相反数等于其本身的有理数只有零，符合题意；
③−a不一定是负数，不符合题意；
④一个有理数不是整数就是分数，符合题意；
⑤若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据相反数、绝对值的定义和性质以及有理数的分类进行判断即可．
题型5：利用数轴化简求值
5.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣ ，设点B所表示的数为
m．
（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|+（m﹣6）的值．
【分析】（1）根据正负数的意义计算即可；
（2）根据去绝对值的法则和有理数加减法则即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意，A和B的距离为2，点A表示﹣ ，
∴B表示的数比A表示的数大2，
∴m＝﹣ +2；
（2）把m＝﹣ +2代入得：
|m﹣1|+（m﹣6）＝|﹣ +2﹣1|+（﹣ +2﹣6）
＝|1﹣ |﹣ ﹣4
＝ ﹣1﹣ ﹣4
＝﹣5．
【变式5-1】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求代数式|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b﹣c|的值．
【分析】根据数轴得到a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，根据绝对值的性质化简，合并同类项即
可．
【解答】解：由数轴可知，a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b﹣c|
＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b+c
＝﹣a+2c．
【变式 5-2】实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，其中 c 为 8 的立方根，求代数式 +|b﹣a|+﹣|2b|的值．
【分析】根据c为8的立方根，求得c＝2，因为a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，根据负数的绝对值
等于它的相反数化简即可．
【解答】解：∵c为8的立方根，
∴c＝2，
∵a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，
∴原式＝|a|+|b﹣a|+|b﹣c|﹣|2b|
＝﹣a+a﹣b+c﹣b+2b
＝c
＝2．
实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，
而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运
算法则及运算性质等同样适用.
题型6：实数的运算
6.计算或化简下列各题：
（1）2√2+(−1) 2021−(−√2) ；
（2）3(√3+√2)−2|√2−√3| .
【答案】（1）解：原式＝ 2√2+(−1)+√2
＝ 3√2−1 ；
（2）解：原式 =3√3+3√2−2(√3−√2)
=√3+5√2 .
【解析】【分析】（1）先计算乘方，再合并同类二次根式即可；
（2）先去括号及绝对值运算 再合并同类二次根式即可.
【变式6-1】化简： |√6−√2|+|√2−1|−|3−√6|
【答案】解： |√6−√2|+|√2−1|−|3−√6|
= √6−√2+√2−1−3+√6
= 2√6−4
【解析】【分析】先根据绝对值的意义去绝对值符号，再合并同类项即可.
|1−√2|+|√2−√3|+|2√3−3|
【答案】解： |1−√2|+|√2−√3|+|2√3−3|
= √2−1+√3−√2+2√3−3
= 3√3−4 .【解析】【分析】根据绝对值的性质先化简绝对值，然后再进行加减运算即可得.
【变式6-2】（2022七下·双台子期末）计算：√3 (−4) 3+√3(√3+3)−|1−√3|．
【答案】解：原式=−4+3+3√3−√3+1=2√3
√364−√(−6) 2−|√3−2|+2√3
【答案】解：原式 =4−6−(2−√3)+2√3
=4−6−2+√3+2√3=−4+3√3 .
【解析】【分析】利用立方根和算术平方根的性质先算开方运算，同时化简绝对值；然后合并即可.
题型7：利用实数的性质求值
7.已知|2a＋b|与 √3b+12 互为相反数．求2a－3b的平方根
【答案】解：由题意得：2a+b=0，3a+12=0，解得：b=﹣4，a=2．
∵2a﹣3b=2×2﹣3×（﹣4）=16，∴2a﹣3b的平方根为±4．
【解析】【分析】两个非负数互反，那么它们都为0，所以2a+b=0，3b+12=0，即可求出a、b 的
值，再代入到2a-3b 中，求出它的平方根.
【变式7-1】已知实数a、b、c、d、m，若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求
a+b+m2+1
的平方根．
√cd
【答案】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=2或﹣2，
当m=±2时，原式=5，
5的平方根为± √5
【解析】【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出a+b，cd及m的值，代入计算即可求出
平方根．
【变式7-2】化简：已知实数 a，b，c 在数轴上的位置如图，求代数式
|c−b|−|−b|+√a2+|a+c| 的值
【答案】解：由数轴可知： c−b<0 ， b>0 ， a<0 ， a+c<0 ，
∴原式= |c−b|−|b|+|a|+|a+c|
= −c+b−b+(−a)+(−a−c)
= −c+b−b−a−a−c ．
= −2a−2c ．
【解析】【分析】直接利用数轴得出 c−b<0 ， b>0 ， a<0 ， a+c<0 ，进而化简求出答案．
题型8：实数的应用
8.（2021七下·大连期末）如图用两个边长为√18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿
着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面
积为30cm2？请说明理由．【答案】解：不能，
因为大正方形纸片的面积为（√18）2+（√18）2=36（cm2），
所以大正方形的边长为6cm，
设截出的长方形的长为3b cm，宽为2b cm，
则6b2=30，
所以b=√5（取正值），
所以3b=3√5=√45＞√36，
所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．
【解析】【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长宽为3：2，计算长方形的长和宽
进行验证即可。
【变式8-1】（2020七下·恩平期中）数学活动课上，张老师说：“ √2 是无理数，无理数就是无限不
循环小数，同学们，你能把 √2 的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它
的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用 (√2−1) 表示它的小数部分”张老师说：“晶晶
同学的说法是正确的，因为 √2 的整数部分是 1 ，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，”
请你解答：已知 8+√3=x+ y ，其中 x 是一个整数，且 00>−1>−√2 ，
4
1
∴在实数 −1 ， −√2 ，0， 中，最小的实数是 −√2 ，
4
故答案为：D．
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.据
此判断即可.
22
3．（2022七上·杭州期中）在下列各数中：π，−√3，3.1416，√38， ，无理数的个数有（ ）
7
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：3.1416是有限小数，属于有理数；
√38=2 ，是整数，属于有理数；
22
是分数，属于有理数；
7无理数有 π ， −√3 ，共2个.
故答案为：B.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，
③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐
角三角函数，如sin60°等，根据定义即可一一判断.
4．（2021七下·浉河期末）估计 √5 +2的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【答案】C
【解析】【解答】解：∵2＜ √5 ＜3，
∴4＜ √5 +2＜5，
故答案为：C.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得2＜√5＜3，然后利用不等式的性质就可得到√5+2的范围.
5．（2021八上·深圳月考）下列说法正确的有（ ）
①无限小数不一定是无理数；②无理数一定是无限小数；③带根号的数不一定是无理数；④不带根
号的数一定是有理数．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
·
【解析】【解答】解：无限小数不一定都是无理数，如 是有理数，故①符合题意；
0.3
无理数一定是无限小数，故②符合题意；
带根号的数不一定都是无理数，如 √9 是有理数，故③符合题意；
不带根号的数不一定是有理数，如π是无理数，故④不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可。
√5−1
6．（2021·柯桥模拟）黄金分割数 是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方
2
面，请你估算2（ √5 ﹣1）的值（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【答案】B
【解析】【解答】解：∵√4 ＜ √5 ＜ √9 ，又∵2（ √5 ﹣1）＝2 √5 ﹣2，
∴4＜2 √5 ＜5，
∴2＜2 √5 ﹣2＜3，
∴2（ √5 ﹣1）的值在2和3之间；
故答案为：B.
【分析】由2＜ √5 ＜ 3 ，2（ √5 ﹣1）＝2 √5 ﹣2，可得到4＜2 √5 ＜5，利用不等式的性质可
得答案.
二、填空题
1 −2
7．（2021八上·民勤期末）计算： (3.14−π) 0+( ) = .
2
【答案】5
【解析】【解答】解：原式 =1+4=5 ；
故答案为：5.
【分析】根据任何一个非0数的0次幂等于1及负指数幂的计算方法“底变倒，指变反”分别计算，
再根据有理数的加减法算出答案.
π 2 2
8．下列各数：3.141592， ， 0.2˙34˙ ， ， 0.5˙ ，0， − ，0.131331333 1……(相邻两个1
3 5 3
之间依次多一个3)中，无理数有 个．
【答案】2
2
【解析】【解答】 3.141592， 0.2˙34˙ 0.5˙ ，0， − 是有理数；
3
π
，0.131331333 1……(相邻两个1之间依次多一个3) 是无理数，
3
∴无理数共有2个.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
9．（2020七上·松北期末）比较大小：2 √7 4 √2
【答案】＜
【解析】【解答】2 √7 = √28 ，4 √2 = √32 ，
∵28＜32，∴√28 ＜ √32 ，
∴2 √7 ＜4 √2 ．
故答案为＜．
【分析】先求出2 √7 = √28 ，4 √2 = √32 ，再比较大小求解即可。
10．（2021七上·南宁月考）如图所示，直径为单位 1 的圆从表示 −1 的点沿着数轴无滑动的向右滚
动一周到达 A 点，则 A 点表示的数是 .
【答案】π-1
【解析】【解答】解：由直径为单位1的圆从数轴上表示−1的点沿着数轴无滑动的向右滚动一周到达
A点，
得：A点与−1之间的距离是π.
由两点间的距离是大数减小数，
得：A点表示的数是π-1.
故答案为：π-1.
【分析】由题意可得：A点与−1之间的距离是π，然后根据两点间的距离公式可得A点表示的数.
三、计算题
11．（2021七上·温州期中）计算：
√25
（1）|−2|+ −√327 ；
9
1 3 5
（2）42×(− ) −52÷(− ) ．
2 2
5
【答案】（1）解：原式=2+ －3
3
2
=
3
1 2
（2）解：原式=16×(－ )－25×(－ )
8 5
=－2+10
=8
【解析】【分析】（1） 先算开方运算，同时化简绝对值，再利用有理数的加减法法则进行计算.
（2） 先算乘方运算，再算乘除法则；然后有理数的加减法法则进行计算.四、解答题
12．（2021七下·无为期中）把下列各数填在相应的横线上
3
1.6，2021，﹣√2，− ，0.3˙1˙，√3，0，√38，1.303003003…（每相邻两个3之间的0的个数依次加
2
1）
（1）整数： ．
（2）分数： ．
（3）无理数： ．
【答案】（1）2021，0，√38
3
（2）1.6，− ，0.3˙1˙
2
（3）−√2，√3，1.303003003…（每相邻两个3之间的0的个数依次加1）．
【解析】【分析】（1）利用整数的定义求解即可；
（2）根据分数的定义求解即可；
（3）根据无理数的定义求解即可。
13．（2022七上·新昌期中）把下列各数分别填在相应的括号内．
1 1 2 π √2
－ ，0，0.16，3 ，√3，－ √5， ，√16，－ ，－3.14
2 2 3 3 2
有理数：{ }；
无理数：{ }；
负实数：{ }．
1 1
【答案】解：有理数：{ − ，0，0.16，3 ，√16，−3.14 }
2 2
2 π √2
无理数：{ √3，− √5， ，− }
3 3 2
1 2 √2
负实数：{ − ，− √5，− ，−3.14 }
2 3 2
【解析】【分析】整数、分数和0统称为有理数；开方开不尽的数是无理数；含π的数是无理数；负
实数包括负有理数和负无理数；再将各个数填在相应的括号里.
五、综合题
14．（2021七下·永川月考）解决问题：已知 a 是 √17−3 的整数部分， b 是 √17−3 的小数部分.
（1）求 a ， b 的值；（2）求 (−a) 3+(b+4) 2 的平方根，提示： (√17) 2=17 .
【答案】（1）∵√16<√17<√25 ，
∴4<√17<5 ，
∴1<√17−3<2 ，
∴a=1 ， b=√17−4 ；
（2）(−a) 3+(b+4) 2=(−1) 3+(√17−4+4) 2=−1+17=16 ，
∴(−a) 3+(b+4) 2 的平方根是： ±√16=±4 .
【解析】【分析】（1）无理数是一个无限不循环小数.利用被开方数的大小比较，正确估计一个无理
数在哪两个整数之间，从而确定无理数的整数部分和小数部分.
（2）代入求值进行化简，再求平方根，特别注意符号的使用.
15．（2022七上·海曙期中）[阅读材料]
∵√4＜√5＜√9，即2＜√5＜3，
∴1＜√5﹣1＜2．
∴√5﹣1的整数部分为1．
∴√5﹣1的小数部分为√5﹣2．
[解决问题]
（1）填空：√91 的小数部分是 ．
（2）已知a是√21 的整数部分，b是√21 的小数部分，求代数式（﹣a）3+（b+4）2的值．
【答案】（1）√91 -9
（2）解：a=4，b= √21 -4
（﹣4）3+（ √21 -4+4）2
=-64+21=-43
【解析】【解答】解：（1）∵√81＜√91＜√100即9＜√91＜10，
∴√91的整数部分为8，
∴√91的小数部分为√91−9.
故答案为：√91−9
【分析】（1）利用估算无理数的大小的方法可知9＜√91＜10，可得到√91的整数部，再根据√91=
它的整数部分+它的小数部分，即可得到√91的小数部分.
（2）利用估算无理数的大小，可知a，b的值，然后将a，b的值代入代数式进行计算，可求出结果.
