文档内容
专题 1.5 新定义问题
【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘
方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为
0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把
5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．
1
（1）直接写出计算结果，f（4， ）＝ ，f（5，3）＝ ；
2
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出
“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结
果用含a，n的式子表示）
1 1
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4， ）×f（5，﹣2）×f（6， ）．
3 2
【思路点拨】
（1）根据题意计算即可；
（2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可；
②根据题意计算即可判断；
③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；
④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正；
（3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；
（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．【解题过程】
1 1 1 1 1
解：（1）f（4， ）= ÷ ÷ ÷ =4，
2 2 2 2 2
1
f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3= ；
27
1
故答案为：4； ．
27
1 1
（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3= ，f（3，6）＝6÷6÷6= ，
81 6
∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；
②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；
③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；
④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；
故答案为：②．
1
（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（ ）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）．
a
1 1
（4）f（5，3）×f（4， ）×f（5，﹣2）×f（6， ）
3 2
1 1
= ×9×（− ）×16
27 8
2
=− ．
3
1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数 a和b，规定a☆b＝ab﹣b2．如
（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（ ）
3 3
A．﹣3 B．1 C． D．−
2 2
【思路点拨】
原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解题过程】
1 3
解：根据题中的新定义得：原式＝（﹣2）﹣1﹣（﹣1）2=− −1 =− ．
2 2故选：D．
2．（2021秋•东港区期末）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号为※：当a＞b时，a※b＝2a；当a＜b
时，a※b＝2b﹣a，则3※2﹣（﹣2※3）等于（ ）
A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10
【思路点拨】
原式根据题中的新定义化简，计算即可求出值．
【解题过程】
解：根据题中的新定义得：3※2＝6，﹣2※3＝﹣（2×3﹣2）＝﹣（6﹣2）＝﹣4，
则原式＝6﹣（﹣4）＝10．
故选：D．
1
3．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a、b，都有a*b＝b3﹣1，则 *[3*（﹣1）]的
2
值为（ ）
1
A．﹣1 B．﹣9 C．− D．0
2
【思路点拨】
根据a*b＝b3﹣1，可以求得所求式子的值．
【解题过程】
解：∵a*b＝b3﹣1，
1
∴ *[3*（﹣1）]
2
1
= *[（﹣1）3﹣1]
2
1
= *[（﹣1）﹣1]
2
1
= *（﹣2）
2
＝（﹣2）3﹣1
＝（﹣8）﹣1
＝﹣9，
故选：B．
4．（2021秋•洪山区期末）定义：如果a4＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝
log N．例如：因为72＝49，所以log 49＝2；因为53＝125，所以log 125＝3．则下列说法中正确的有（
a 7 5）个．①log 6＝36；②log 81＝4；③若log （a+14）＝4，则a＝50；④log 128＝log 16+log 8；
6 3 4 2 2 2
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拨】
根据对数和乘方互为逆运算逐一进行判断即可．
【解题过程】
解：∵61＝6，
∴log 6＝1，故①不符合题意；
6
∵34＝81，
∴log 81＝4，故②符合题意；
3
∵44＝256，
∴a+14＝256，
∴a＝242，故③不符合题意；
∵27＝128，
∴log 128＝7，
2
∵24＝16，
∴log 16＝4，
2
∵23＝8，
∴log 8＝3，
2
∵7＝4+3，
∴log 128＝log 16+log 8，故④符合题意；
2 2 2
综上所述，符合题意的有2个，
故选：C．
2 2 3 3
5．（2021秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1− =2×1× −1，2− =2×2× −1，给出定义如下：我
3 3 5 5
2
们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，
3
3
），（2， ）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）
5
4 4 6 7
A．（﹣3， ） B．（4， ） C．（﹣5， ） D．（6， ）
7 9 11 13
【思路点拨】根据“同心有理数对”的定义判断即可．
【解题过程】
4 25 4 21 25 21
解：∵﹣3− =− ，2×（﹣3）× −1=− ，− ≠− ，
7 7 7 7 7 7
4
∴数对（﹣3， ）不是“同心有理数对”；
7
故选项A不合题意；
4 32 4 23 32 23
∵4− = ，2×4× −1= ， ≠ ，
9 9 9 9 9 9
4
∴（4， ）不是“同心有理数对”，
9
故选项B不合题意；
6 61 6 66 61 66
∵−5− =− ，2×(−5)× −1=− ，− ≠− ，
11 11 11 11 11 11
6
∴（﹣5， ）不是“同心有理数对”，
11
故选项C不合题意；
7 71 7 71
∵6− = ，2×6× −1= ，
13 13 13 13
7
∴（6， ）是“同心有理数对”，
13
故选项D符合题意；
故选：D．
6．（2020秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶
n n
数时，结果为 ；（其中k是使 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则：
2k 2k
若n＝49，则第2021次“F”运算的结果是（ ）
A．68 B．78 C．88 D．98
【思路点拨】
根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可．
【解题过程】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于 n＝49为奇数应先进
行F①运算，
即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，
即152÷23＝19（奇数），
再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），
再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），
再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），
再进行F②运算，即98÷21＝49，
再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，
即第1次运算结果为152，…，
第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，
可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，
则6次一循环，
2021÷6＝336……5，
则第2021次“F运算”的结果是98．
故选：D．
|a b|
7．（2021秋•大连月考）我们对任意四个有理数 a，b，c，d定义一种新的运算： = ad﹣bc．则
c d
|−4 −2|
的值为 2 ．
3 1
【思路点拨】
直接利用已知定义将原式变形计算得出答案．
【解题过程】
|−4 −2|
解：
3 1
＝﹣4×1﹣（﹣2）×3
＝﹣4+6
＝2．
故答案为：2．
8．（2021秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图 表示a﹣b+c，图形 表示﹣x+y﹣z，则 + 的值为 ﹣ 3 ．
【思路点拨】
先认真读题，再根据列出算式，最后根据有理数的加法法则进行计算即可．
【解题过程】
解： +
＝2﹣3+4+（﹣5+6﹣7）
＝2﹣3+4﹣5+6﹣7
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
a+1 1 1 11
9．（2020秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a*b= ，则（ * ）*2＝ ．
b 3 2 6
【思路点拨】
1 1 8 1 1 8
先计算出 * = ，再计算（ * ）*2= *2即可．
3 2 3 3 2 3
【解题过程】
1
+1
1 1 3
解： * =
3 2 1
2
4
3
=
1
2
8
= ，
3
1 1
∴（ * ）*2
3 2
8
= *2
3
8
+1
3
=
211
3
=
2
11
= ，
6
11
故答案为： ．
6
10．（2021秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数 a、b，当a≤b时，都有a△b＝
2
a2b；当a＞b时，都有a△b＝ab2，那么，2△6＝ 2 4 ；(− )△(−3)= ﹣ 6 ．
3
【思路点拨】
根据当a≤b时，都有a△b＝a2b；当a＞b时，都有a△b＝ab2，可以计算出所求式子的值．
【解题过程】
解：∵2＜6，
∴2△6
＝22×6
＝4×6
＝24，
2
∵− ＞−3，
3
2
∴(− )△(−3)
3
2
＝（− ）×（﹣3）2
3
2
＝（− ）×9
3
＝﹣6，
故答案为：24，﹣6．
{x2−2y，x＞y
11．（2021秋•绵阳期中）定义一种新的运算：x⨂y= 1，x= y ，例如2⨂1＝22﹣2×1＝2，2⨂3＝
−2xy，x＜y
﹣2×2×3＝﹣12，1⨂1＝1．计算：[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）＝ 1 3 ．
【思路点拨】根据题目中的新定义，可以将所求式子转化，然后即可求出所求式子的值．
【解题过程】
解：由题意可得，
[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）
＝﹣2×（﹣3）×（﹣1）+42﹣2×（﹣2）﹣1
＝﹣6+16+4﹣1
＝13，
故答案为：13．
12．（2021•越秀区校级开学）定义两种新运算，观察下列式子：
（1）xΘy＝4x+y，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11；
（2）[x]表示不超过x的最大整数，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4；
1 19
根据以上规则，计算[1Θ(− )]+[(−2)Θ ]= ﹣ 1 ．
2 4
【思路点拨】
根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值．
【解题过程】
解：由题意可得，
1 19
[1Θ(− )]+[(−2)Θ ]
2 4
1 19
＝[4×1+（− ）]+[4×（﹣2）+ ]
2 4
1 19
＝[4+（− ）]+[（﹣8）+ ]
2 4
13
＝[3.5]+[− ]
4
＝3+（﹣4）
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（2021 秋•西城区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b，规定 a☆b
a+b+|a−b|
= ．
2
（1）计算：（﹣6）☆5＝ 5 ．
（2）从﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b（a≠b）的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是 9 ．
【思路点拨】
a+b+|a−b|
（1）根据a☆b= ，可以求得所求式子的值；
2
（2）根据题意，可以分两种情况讨论，分别求出对应的最大值即可．
【解题过程】
a+b+|a−b|
解：（1）∵a☆b= ，
2
∴（﹣6）☆5
(−6)+5+|(−6)−5|
=
2
(−6)+5+11
=
2
10
=
2
＝5，
故答案为：5；
（2）由题意可得，
a+b+|a−b| a+b+a−b
当a＞b时，a☆b= = =a≤9，
2 2
a+b+|a−b| a+b+b−a
a≤b时，a☆b= = =b≤9，
2 2
由上可得，所有运算结果中的最大值是9，
故答案为：9．
14．（2021秋•封丘县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⨂”，规定a⨂b＝|a+b|﹣|a﹣b|．如3⨂5
＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．
（1）计算3⨂（﹣5）的值．
（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a⨂b．
【思路点拨】
（1）将a＝3，b＝﹣5代入公式计算即可；
（2）先由非负数的性质得出a、b的值，再代入计算即可．
【解题过程】
解：（1）∵a⨂b＝|a+b|﹣|a﹣b|，∴3⨂（﹣5）
＝|3﹣5|﹣|3+5|
＝2﹣8
＝﹣6．
（2）∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，
∴（a+2）2＝0，|b﹣1|＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a⨂b
＝|﹣2+1|﹣|﹣2﹣1|
＝1﹣3
＝﹣2．
5．（2021秋•茂名期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：a⨂b＝a2+ab﹣5，例如1⨂1
＝12+1×1﹣5．求：
（1）（﹣3）⨂6的值；
3
（2）[⨂（− ）]﹣[（﹣5）⨂9]的值．
2
【思路点拨】
（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解题过程】
解：（1）（﹣3）⨂6，
＝（﹣3）2+（﹣3）×6﹣5
＝9﹣18﹣5
＝﹣14；
3
（2）[2⨂（− ）]﹣[（﹣5）⨂9]，
2
3
＝[22+2×（− ）﹣5]﹣[（﹣5）2+（﹣5）×9﹣5]
2
＝（4﹣3﹣5）﹣（25﹣45﹣5）
＝﹣4+25
＝21．
16．（2021秋•沁阳市期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝
+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．
（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号 取
正 ，异号 取负 ，并把绝对值 相加 ；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得 绝
对值 ．
（2）计算：（﹣7）※（﹣4）＝ 1 1 ．
（ 3 ） 若 （ 1﹣a ） ※ （ b﹣3 ） ＝ 0 ． 计 算 ：
1 1 1 1 1
+ + + +
的值．
a×b (a+2)×(b+2) (a+4)×(b+4) (a+6)×(b+6) (a+8)×(b+8)
【思路点拨】
（1）根据已知算式得出法则：两数进行*（加乘）运算，同号得正、异号得负，并把绝对值相加；
（2）依据所得法则计算可得；
（3）根据非负数的性质求出a，b，再代入后拆分抵消法计算即可求解．
【解题过程】
解：（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号
取正，异号取负，并把绝对值相加；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得绝对值．
故答案为：取正，取负，相加，绝对值；
（2）（﹣7）※（﹣4）＝11．
故答案为：11；
（3）∵（1﹣a）※（b﹣3）＝0，
∴1﹣a＝0，b﹣3＝0，
解得a＝1，b＝3，
1 1 1 1 1
+ + + +
a×b (a+2)×(b+2) (a+4)×(b+4) (a+6)×(b+6) (a+8)×(b+8)
1 1 1 1 1
= + + + +
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×（1− + − + − + − + − ）
2 3 3 5 5 7 7 9 9 11
1 1
= ×（1− ）
2 11
1 10
= ×
2 115
= ．
11
17．（2021秋•晋江市期中）给出如下定义：如果两个不相等的有理数 a，b满足等式a﹣b＝ab．那么称
3 12 3 9 3 9 3
a，b是“关联有理数对”，记作（a，b）．如：因为3− = − = ，3× = ．所以数对（3， ）
4 4 4 4 4 4 4
是“关联有理数对”．
1 5 5
（1）在数对①（1， ）、②（﹣1，0）、③（ ， ）中，是“关联有理数对”的是 ①③ （只填序
2 2 7
号）；
（2）若（m，n）是“关联有理数对”，则（﹣m，﹣n） 不是 “关联有理数对”（填“是”或“不
是”）；
（3）如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是5，求另一个有理数．
【思路点拨】
（1）根据“关联有理数对”的定义即可判断；
（2）根据“关联有理数对”的定义即可解决问题；
（3）根据“关联有理数对”的定义，先设a＝5，代入等式可得b的值．
【解题过程】
1 1 1 1
解：（1）①因为1− = ，1× = ，
2 2 2 2
1
所以数对（1， ）是“关联有理数对”；
2
②因为﹣1﹣0＝﹣1，﹣1×0＝0，
所以数对（﹣1，0）不是“关联有理数对”；
5 5 35 10 25 5 5 25
③因为 − = − = ， × = ，
2 7 14 14 14 2 7 14
5 5
所以数对（ ， ）是“关联有理数对”；
2 7
故答案为：①③；
（2）（﹣m，﹣n）不是“关联有理数对”；
理由：因为（m，n）是“关联有理数对”
所以m﹣n＝mn，
因为﹣m﹣（﹣n）＝n﹣m，﹣m•（﹣n）＝mn＝m﹣n，
所以（﹣m，﹣n）不是“关联有理数对”；故答案为：是，不是；
（3）设a＝5，（a，b）是“关联有理数对”，
所以a﹣b＝ab，即5﹣b＝5b，
5
解得b= ，
6
设b＝5，（a，b）是“关联有理数对”，
所以a﹣b＝ab，即a﹣5＝5a，
5
解得a=− ，
4
5 5
所以另一个有理数是 或− ．
6 4
18．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由
定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2．
理解运用：
（1）根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝ ﹣ 3 ，d（1）＝ 0 ；
（2）“劳格数”有如下运算性质：
m
若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（ ）＝d（m）﹣d（n）；根据运算性质，填空：
n
d(a3
)
= 3 ；（a为正数）
d(a)
（3）若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）；
（4）若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p．
【思路点拨】
（1）根据新定义及法则进行运算即可；
（2）根据新定义运算法则运算即可；
（3）根据新定义运算法则运算即可；
（4）根据新定义运算法则分别运算即可．
【解题过程】
解：（1）∵10b＝10﹣3，
∴b＝﹣3，
∴d（10﹣3）＝﹣3，∵10b＝1＝100，
∴b＝0，
∴d（1）＝d（100）＝0，
d(a3
)
（2）
d(a)
d(a×a×a)
=
d(a)
d(a)+d(a)+d(a)
=
d(a)
3d(a)
=
d(a)
＝3；
（3）∵d（2）＝0.310，
∴d（4）
＝d（2×2）
＝d（2）+d（2）
＝2d（2）
＝2×0.3010
＝0.6020，
d（5）
10
＝d（ ）
2
＝d（10）﹣d（2）
＝1﹣0.3010
＝0.6990；
（4）∵d（2）＝2m+n，
∴d（4）
＝d（2×2）
＝d（2）+d（2）
＝2d（2）
＝2（2m+n）
＝4m+2n，d（8）
＝d（2×2×2）
＝d（2）+d（2）+d（2）
＝3d（2）
＝3（2m+n）
＝6m+3n
∵d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，
{4m+2n=3m+2n+p
∴
6m+3n=6m+2n+p
∴m＝n＝p，
故答案为：（1）﹣3，0；
（2）3；
（3）0.6020，0.6990；
（4）证明见解析．
a−c b−c
19．（2022春•衡阳县期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b， ， ，将这三
2 3
1−3
个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于 1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3， =−1，
2
−2−3 5 5
=− ，所以1，﹣2，3的“分差”为− ．
3 3 3
5
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 − ；
3
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是
2
；
3
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
【思路点拨】
（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．
（2）三个数顺便不同可以有6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小．
（3）由“分差”为2（是正数）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能对应a﹣b，a﹣c，b﹣c，所以剩三
种情况：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每种情况下计算得三个代数式后，分别令两个含x的式子
等于2，求出x，再代入检查此时“分差”是否为2．【解题过程】
解：（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
a−c −2−1 3 b−c −4−1 5
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2， = =− ， = =− ，
2 2 2 3 3 3
5
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为−
3
5
故答案为：−
3
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
a−c −2−(−4) b−c 1−(−4) 5
则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3， = =1， = = ，
2 2 3 3 3
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
a−c −4−1 5 b−c −2−1
则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2， = =− ， = =−1
2 2 2 3 3
5
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为−
2
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
a−c −4−(−2) b−c 1−(−2)
则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5， = =−1， = =1
2 2 3 3
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5
④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
a−c 1−(−2) 3 b−c −4−(−2) 2
则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5， = = ， = =−
2 2 2 3 3 3
2
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为−
3
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
a−c 1−(−4) 5 b−c −2−(−4) 2
则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3， = = ， = =
2 2 2 3 3 3
2
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为
3
2
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为
3
2
故答案为：
3（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
a−c 6−(−1) 7 b−c x−(−1) x+1
∴a﹣b＝6﹣x， = = ， = =
2 2 2 3 3 3
x+1 5
若6﹣x＝2，得x＝4， = ＜2，不符合
3 3
x+1
若 =2，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
3
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
a−c 6−x b−c −1−x
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7， = ， =
2 2 3 3
6−x −1−x −1−2
若 =2，得x＝2， = =−1＜2，不符合
2 3 3
−1−x 6−x 6−(−7) 13
若 =2，得x＝﹣7， = = ＞2，符合
3 2 2 2
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
a−c x+1 b−c 7
∴a﹣b＝x﹣6， = ， =
2 2 3 3
x+1 9
若x﹣6＝2，得x＝8， = ＞2，符合
2 2
x+1
若 =2，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
2
综上所述，x的值为﹣7或8．
20.（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来
越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：
第一列 第二列
第一排 1 2
第二排 4 3
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．
（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；
（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为 ．
（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．
【思路点拨】
（1）按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；
（2）利用分类讨论的方法，分0＜a＜6和a＞8两种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“M值”的
意义计算即可；
（3）利用分类讨论的方法，分c＜﹣5，﹣5＜c＜﹣2，﹣2＜c＜1，1＜d＜2四种情况解答，按要求分组，
利用分组方式的“M值”的意义计算即可．
【解题过程】
解：（1）将“1，2，3，4”进行如下分组：
∴以上分组方式的“M值”为：M＝|1﹣4|+|3﹣2|＝4；
（2）①当0＜a＜6时，
将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：
∵以上分组方式的“M值”为6，
∴|a﹣8|+|7﹣6|＝6．
∴a＝3；
②当a＜8时，
将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：∵以上分组方式的“M值”为6，
∴|a﹣6|+|7﹣8|＝6．
∴a＝11；
综上，a＝3或11．
故答案为：3或11；
（3）∵c+d＝2，且c＜d，
∴c＝2﹣d，c＜1，d＞1．
①当c＜﹣5时，则d＞7，
将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求进行如下分组：
∵以上分组方式的“M值”为18，
∴|2﹣d﹣d|+|﹣5﹣4|+|﹣2﹣2|＝18．
7
解得：d= （不合题意，舍去）．
2
②当﹣5＜c＜﹣2时，则4＜d＜7，
将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求进行如下分组：
∵以上分组方式的“M值”为18，
∴|﹣5﹣d|+|2﹣d﹣4|+|﹣2﹣2|＝18．
7
∴d= （不合题意，舍去）．
2
③当﹣2＜c＜1时，则1＜d＜4，
将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求进行如下分组：∵以上分组方式的“M值”为18，
∴|﹣5﹣4|+|﹣2﹣d|+|2﹣d﹣2|＝18．
7
∴d= （符合题意）．
2
④当1＜d＜2时，
∵以上分组方式的“M值”为18，
∴|﹣5﹣4|+|﹣2﹣2|+|2﹣d﹣d|＝18．
7
∴d= （不合题意，舍去）．
2
7
综上分析可得：d= ．
2
