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2026-2027学年七年级上学期数学周周测04
2.2.2～2.3有理数的除法+有理数的乘方
分值120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）
1．
3
(− 2) 下列说法中不正确的是（ ）
A．表示3个2相乘
B．底数是− 2
C．指数是3
D．幂为− 8
【答案】A
【详解】解：A．
3
(− 2) 表示的是3个(− 2)相乘，即选项A错误，符合题意；
B．
3
(− 2) 的底数是− 2，故选项B正确，不符合题意；
C．
3
(− 2) 的指数是3，故选项C正确，不符合题意；
D．
3
(− 2) =− 8，故选项D正确，不符合题意．
2．下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．
2
(− 6) 和−
2
6
B．
5
(− 7) 和−
5
7
C．−|8|和− 8
D．−(− 9)和|− 9|
【答案】A
【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可．
【详解】解：
2
(− 6) + (−
26 ) = 36 + (− 36) = 0，故
2
(− 6) 和−
2
6 互为相反数，A选项符合题意；
5
(− 7) + (−
57 ) =−
5
7 −
5
7 =− 2 ×
5
7 ≠ 0，故
5
(− 7) 和−
5
7 不互为相反数，B选项不合题意；
−|8| + (− 8) =− 8 − 8 =− 16 ≠ 0，故−|8|和− 8不互为相反数，C选项不合题意；
−(− 9) + |− 9| = 9 + 9 = 18 ≠ 0，故−(− 9)和|− 9|不互为相反数，D选项不合题意．
3．计算：−
1
2 × 2 ÷ (−
1
2) × 2 =（ ）
A．2
B．− 1
C．1
D．4
【答案】D
【详解】解：−
1
2 × 2 ÷ (−
1
2) × 2 =−
1
2 × 2 × (− 2) × 2 =− 1 × (− 2) × 2 = 2 × 2 = 4．
4．有理数ᵄ，ᵄ在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（ ）
ᵄ − ᵄ>0； |ᵄ| >ᵄ；
ᵄᵄ<0；
ᵄ
ᵄ>1．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【分析】根据数轴上点的位置确定ᵄ、ᵄ的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即
可．
【详解】解：由数轴可知：ᵄ<0<ᵄ，且|ᵄ| > |ᵄ|，
ᵄ − ᵄ>0，故
正确；
|ᵄ| >ᵄ
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，故
正确；
ᵄᵄ<0，故
正确；
ᵄ
ᵄ<0<1，故
错误．
综上所述，一定成立的有
，共3个．
5．若
2
(ᵆ − 1) +∣ ᵆ + 3 ∣= 0，则ᵆ − ᵆ =（ ）
A．4
B．− 4
C．2
D．− 2
【答案】A
【详解】解：
任意有理数的平方和绝对值都是非负数，且
2
(ᵆ − 1) + |ᵆ + 3| = 0
2
(ᵆ − 1) = 0，|ᵆ + 3| = 0
解得ᵆ = 1，ᵆ =− 3
将ᵆ = 1，ᵆ =− 3代入ᵆ − ᵆ，得ᵆ − ᵆ = 1 −(− 3) = 4．
6．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，
如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得
运费87元，请问快递公司损坏（ ）只玻璃杯．
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】D
【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量．
【详解】解：2角= 0 . 2元，8角= 0 . 8元，
假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：500 × 0 . 2 = 100（元），
100 − 87 = 13（元），
每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：0 . 2 + 0 . 8 = 1（元），
损坏的玻璃杯数量：13 ÷ 1 = 13（只），
故快递公司损坏13只玻璃杯．
7．从ᵅ个元素中取出ᵅ个元素的所有不同组合的个数，叫做从ᵅ个不同元素中取出ᵅ个元素的组合数，用符
号
ᵅ
ᵅ
ᵃ表示．已知“！”是一种数学运算符号，且1! = 1;2! = 2 × 1 = 2;3! = 3 × 2 × 1 = 6;4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
；……；若公式
ᵅ
ᵅ
ᵃ
=
ᵅ!
ᵅ! (ᵅ − ᵅ) !（ᵅ ≥ ᵅ , ᵅ , ᵅ为正整数），则
6
8
ᵃ为（ ）
A．56
B．42
C．34
D．28
【答案】D
【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，需根据题目给出的组合数公式和阶乘的运算规则，代
入数值计算求解即可．
【详解】解：
ᵅ
ᵅ
ᵃ
=
ᵅ!
ᵅ! (ᵅ − ᵅ) !（ᵅ ≥ ᵅ , ᵅ , ᵅ为正整数），
6
8
ᵃ=
8!
6! (8 − 6 ) !
=
8!
6! × 2!
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 2 × 1
= 28，
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故选：D．
8．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．
如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进
一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）
A．64
B．90
C．132
D．210
【答案】B
【分析】由题可知，孩子出生的天数的八进制数为132，化为十进制数即可．
【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的八进制数为132，
化为十进制数为：132 = 1 ×
2
8 + 3 ×
1
8 + 2 ×
0
8 = 90．
9．下列结论：
一个数和它的倒数相等，则这个数是± 1和0；
若− 1<ᵅ<0，则ᵅ<
2
ᵅ<
1
ᵅ；
若ᵄ + ᵄ<0
，且
ᵄ
ᵄ>0，则|5ᵄ + 2ᵄ| =− 5ᵄ − 2ᵄ；
若ᵅ是有理数，则|ᵅ| + ᵅ是非负数；
若ᵅ<0<ᵄ<ᵄ，则(ᵄ − ᵄ) (ᵄ − ᵅ) (ᵅ − ᵄ)
；其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【详解】解：
一个数和它的倒数相等，则这个数是± 1，
错误；
− 1<ᵅ<0，
1
ᵅ<ᵅ<
2
ᵅ，
错误；
ᵄ + ᵄ<0，且
ᵄ
ᵄ>0，
ᵄ，ᵄ同号，且都为负数，即ᵄ<0，ᵄ<0，
5ᵄ + 2ᵄ<0，
|5ᵄ + 2ᵄ| =− 5ᵄ − 2ᵄ，
正确；
当ᵅ<0时，|ᵅ| + ᵅ =− ᵅ + ᵅ = 0，
当ᵅ ≥ 0时，|ᵅ| + ᵅ = ᵅ + ᵅ = 2ᵅ ≥ 0，
|ᵅ| + ᵅ一定是非负数，
正确；
ᵅ<0<ᵄ<ᵄ，
ᵄ − ᵄ<0，ᵄ − ᵅ>0，ᵅ − ᵄ<0，
(ᵄ − ᵄ)(ᵄ − ᵅ)(ᵅ − ᵄ)>0，
正确；
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综上，正确的结论共有3个．
10．阅读材料：求1 + 2 +
2
2 +
3
2 +
4
2 +⋅⋅⋅+
2013
2
的值．
解：设ᵄ = 1 + 2 +
2
2 +
3
2 +
4
2 +⋅⋅⋅+
2012
2
+
2013
2
，记为
式，将
式两边同时乘以2得：
2ᵄ = 2 +
2
2 +
3
2 +
4
2 +
5
2 +⋅⋅⋅+
2013
2
+
2014
2
，记为
式，
将
式减去
式，得2ᵄ − ᵄ =
2014
2
− 1即ᵄ =
2014
2
− 1
即1 + 2 +
2
2 +
3
2 +
4
2 +⋅⋅⋅+
2013
2
=
2014
2
− 1
仿照此法计算1 + 3 +
2
3 +
3
3 +
4
3 +⋅⋅⋅+
ᵅ
3 （其中ᵅ为正整数）的结果为（ ）
A．
ᵅ + 1
3
− 1
B．
ᵅ + 1
3
− 1
2
C．
ᵅ
3
− 1
2
D．
ᵅ + 1
3
− 1
4
【答案】B
【分析】本题考查了有理数乘方的应用，读懂材料是解题的关键．仿照所给的解答方式进行求解即可.
【详解】设ᵄ = 1 + 3 +
2
3 +
3
3 +
4
3 +⋅⋅⋅+
ᵅ
3 ，将等式两边同时乘以3得：
3ᵄ = 3 +
2
3 +
3
3 +
4
3 +⋅⋅⋅+
ᵅ
3 +
ᵅ + 1
3
，
将下式减去上式得3ᵄ − ᵄ =
ᵅ + 1
3
− 1，
即ᵄ =
ᵅ + 1
3
− 1
2
，
即1 + 3 +
2
3 +
3
3 +
4
3 +⋅⋅⋅+
ᵅ
3 =
ᵅ + 1
3
− 1
2
，
故选：B.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在
1，2，
3，5这四个数中，任意取两个数相除，其中最小的商是 ．
【答案】
5．
【分析】两个数相除，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，即可解答．
【详解】解：5÷（
1）＝
5．
故答案为：
5．
【点睛】本题考查了有理数的除法，解决本题的根据是熟记两个数相除，同号得正，异号得负．
12．下列各数：−
2
3 ，
4
(−
1
3)
，−
2
2
5 ，−
2023
(− 1)
，−|− 3|中，负数的个数是_____．
【答案】3
【分析】先利用有理数的乘方运算、绝对值的性质化简各数，再根据负数的定义判断其中负数的个数．
【详解】解：−
2
3 =− 9，是负数；
4
(−
1
3) =
1
81 ，是正数；
−
2
2
5 =−
4
5，是负数；
−
2023
(− 1)
=−(− 1) = 1，是正数；
−|− 3| =− 3，是负数．
综上，负数共有3个．
13．近似数2 . 60万精确到____________位．
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【答案】百
【分析】先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看最后一个有效数字所在的数位，即可得到精确位数
．
【详解】解：2 . 60万= 26000，近似数2 . 60万的末位有效数字0，对应原数26000中的百位，因此近似数2 . 60
万精确到百位．
14．“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添
加括号，使其运算结果等于24．现有3，− 3，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可）
【答案】(9 − 5) × [3 −(− 3)]（答案不唯一）
【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关
键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答．
【详解】解：通过观察数字，发现9 − 5 = 4，3 − ( − 3) = 6，则4 × 6 = 24，
因此可列算式(9 − 5) × [3 −(− 3)] = 24．
故答案为：(9 − 5) × [3 −(− 3)]（答案不唯一）．
15．已知ᵄᵄᵅ<0，ᵄ + ᵄ + ᵅ>0，且ᵆ =
ᵄ
|ᵄ| +
ᵄ
|ᵄ| +
ᵅ
|ᵅ| +
ᵄᵄ
|ᵄᵄ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ|
，则ᵆ的值为 ．
【答案】0．
【分析】本题主要考查代数式求值问题，利用绝对值的基本性质，以及正数与负数的性质，便得所求结果
．可由已知，三个数中有两个正数，一个负数，故可得
ᵄ
|ᵄ| +
ᵄ
|ᵄ| +
ᵅ
|ᵅ| = 1，
ᵄᵄ
|ᵄᵄ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| =− 1，进而可得答
案．
【详解】解：
ᵄᵄᵅ<0，ᵄ + ᵄ + ᵅ>0，
得三个数中有两个正数，一个负数，
ᵄ
|ᵄ| +
ᵄ
|ᵄ| +
ᵅ
|ᵅ| = 1，且
ᵄᵄ
|ᵄᵄ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| =− 1，
故得ᵆ =
ᵄ
|ᵄ| +
ᵄ
|ᵄ| +
ᵅ
|ᵅ| +
ᵄᵄ
|ᵄᵄ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| +
ᵄᵅ
|ᵄᵅ| = 1 − 1 = 0．
故答案为：0．
16．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，
当输入ᵆ的值是− 1时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是− 2,…，这样计算下
去，第7次计算输出的结果是_____．
【答案】1
【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案．
【详解】解：当输入− 1时，第1次输出的结果是
2
ᵆ=
2
( − 1) = 1；
第2次输出的结果是ᵆ − 3 = 1 − 3 =− 2；
第3次输出的结果是
2
ᵆ=
2
( − 2) = 4；
第4次输出的结果是ᵆ − 3 = 4 − 3 = 1；
第5次输出的结果是ᵆ − 3 = 1 − 3 =− 2；
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第6次输出的结果是
2
ᵆ=
2
( − 2) = 4；
第7次输出的结果是ᵆ − 3 = 4 − 3 = 1．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：
(1)42 × (−
2
3) ÷
7
2 −(− 12) ÷ 4
(2)
2026
(− 1)
+ |− 6| ×
1
2 +
4
(
1
2) ×
5
(− 2)
【答案】(1)− 5
(2)2
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
（1）先将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算减法即可；
（2）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加法即可．
【详解】（1）解：42 × (−
2
3) ÷
7
2 −(− 12) ÷ 4
= 42 ×(−2
3) × 2
7 −(− 12) × 1
4
=− 8 −(− 3)
=− 5；
（2）解：
2026
(− 1)
+ |− 6| ×
1
2 +
4
(
1
2) ×
5
(− 2)
= 1 + 6 × 1
2 + 1
16 × (− 32)
= 1 + 3 + (− 2)
= 2．
18．（8分）阅读下列材料，计算：1
24 ÷ (
1
3 −
1
4 +
1
12 )．
解法一：原式=
1
24 ÷
1
3 −
1
24 ÷
1
4 +
1
24 ÷
1
12
=
1
24 × 3 −
1
24 × 4 +
1
24 × 12
=
11
24 ．
解法二：原式的倒数为(
1
3 −
1
4 +
1
12 ) ÷
1
24
=(
1
3 −1
4 + 1
12) × 24
= 1
3 × 24 −1
4 × 24 + 1
12 × 24
= 4．
所以，原式=
1
4．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误．
(2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：−
1
42 ÷ (
1
3 +
1
6 −
7
14 −
3
7)．
【答案】(1)一
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(2)
1
18
【分析】本题考查了有理数的混合运算及倒数的性质．
（1）根据除法没有分配律来判断解法的正误；
（2）先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果．
【详解】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即ᵄ ÷ (ᵄ + ᵅ + ᵅ) ≠ ᵄ ÷ ᵄ + ᵄ ÷ ᵅ + ᵄ ÷ ᵅ
，
在解法一中，将
1
24 ÷ (
1
3 −
1
4 +
1
12 )错误地运用了分配律，得到
1
24 ÷
1
3 −
1
24 ÷
1
4 +
1
24 ÷
1
12 ，所以解法一错误；
解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确．
故答案为：一．
（2）解：原式的倒数为(
1
3 +
1
6 −
7
14 −
3
7) ÷ (−
1
42 )
=(
1
3 + 1
6 −7
14 −3
7) × (− 42)
= 1
3 × (− 42) + 1
6 × (− 42) −7
14 × (− 42) −3
7 × (− 42)
=− 14 − 7 + 21 + 18
= 18．
所以，原式=
1
18 ．
19．（8分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝5．求4（a+b
2）+（
cd）2024
3m的值．
【答案】8或
22．
【分析】根据a，b互为相反数，则a+b＝0，c，d互为倒数，则cd＝1，再根据|m|＝5，分类讨论m的值进行
计算即可．
【详解】解：
a，b互为相反数，
a+b＝0，
c，d互为倒数，
cd＝1，
|m|＝5，
m＝5或m＝
5；
4（a+b
2）+（
cd）2024
3m＝4×（0
2）+（
1）2024
3m＝
8+1
3m，
当m＝
5时，
8+1
3m＝
7+15＝8；
当m＝5时，
8+1
3m＝
7
15＝
22．
综上所述：原式的值为8或
22．
【点睛】本题考查相反数、倒数、绝对值的定义，有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键
．
20．（8分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思
想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数ᵄ，ᵄ，ᵅ满足ᵄᵄᵅ>0，求|ᵄ|
ᵄ+ |ᵄ|
ᵄ+ |ᵅ|
ᵅ的值．
【解决问题】解：由题意，得ᵄ，ᵄ，ᵅ三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
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ᵄ，ᵄ，ᵅ都是正数，即ᵄ>0，ᵄ>0，ᵅ>0时，则|ᵄ|
ᵄ+ |ᵄ|
ᵄ+ |ᵅ|
ᵅ=
ᵄ
ᵄ+
ᵄ
ᵄ+
ᵅ
ᵅ= 1 + 1 + 1 = 3；
当ᵄ，ᵄ，ᵅ中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设ᵄ>0，ᵄ<0，ᵅ<0，则|ᵄ|
ᵄ+ |ᵄ|
ᵄ+ |ᵅ|
ᵅ=
ᵄ
ᵄ+
− ᵄ
ᵄ+
− ᵅ
ᵅ= 1 + (− 1) +
．
综上所述，|ᵄ|
ᵄ+ |ᵄ|
ᵄ+ |ᵅ|
ᵅ值为3或− 1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数ᵄ，ᵄ，ᵅ满足ᵄᵄᵅ<0，求|ᵄ|
ᵄ+ |ᵄ|
ᵄ+ |ᵅ|
ᵅ的值；
(2)若ᵄ，ᵄ，ᵅ为三个不为0的有理数，且
ᵄ
|ᵄ| +
ᵄ
|ᵄ| +
ᵅ
|ᵅ| =− 1，求
ᵄᵄᵅ
|ᵄᵄᵅ|
的值．
【答案】(1)− 3或1；
(2)1
【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键．
（1）根据ᵄᵄᵅ<0，判断出ᵄ，ᵄ，ᵅ都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出ᵄ，ᵄ，ᵅ的正负，原
式利用绝对值的代数意义化简计算即可．
（2）根据ᵄ，ᵄ，ᵅ为三个不为0的有理数，且
ᵄ
|ᵄ| +
ᵄ
|ᵄ| +
ᵅ
|ᵅ| =− 1，得出ᵄ，ᵄ，ᵅ中负数有2个，正数有1个，
从而得ᵄᵄᵅ>0，即可解答．
【详解】（1）解：因为ᵄᵄᵅ<0，
所以ᵄ，ᵄ，ᵅ都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当ᵄ，ᵄ，ᵅ都是负数，即ᵄ<0，ᵄ<0，ᵅ<0时，
则：|ᵄ|
ᵄ+ |ᵄ|
ᵄ+ |ᵅ|
ᵅ=
− ᵄ
ᵄ+
− ᵄ
ᵄ+
− ᵅ
ᵅ=− 1 − 1 − 1 =− 3；
②ᵄ，ᵄ，ᵅ有一个为负数，另两个为正数时，不妨设ᵄ<0，ᵄ>0，ᵅ>0，
则|ᵄ|
ᵄ+ |ᵄ|
ᵄ+ |ᵅ|
ᵅ=
− ᵄ
ᵄ+
ᵄ
ᵄ+
ᵅ
ᵅ=− 1 + 1 + 1 = 1；
综上所述，|ᵄ|
ᵄ+ |ᵄ|
ᵄ+ |ᵅ|
ᵅ值为− 3或1．
（2）解：因为ᵄ，ᵄ，ᵅ为三个不为0的有理数，且
ᵄ
|ᵄ| +
ᵄ
|ᵄ| +
ᵅ
|ᵅ| =− 1，
所以ᵄ，ᵄ，ᵅ中负数有2个，正数有1个，
所以ᵄᵄᵅ>0，
所以
ᵄᵄᵅ
|ᵄᵄᵅ| =
ᵄᵄᵅ
ᵄᵄᵅ= 1．
21．（9分）观察下面三行数：
− 2，4，− 8，16，− 32，64，…；
0，6，− 6，18，− 30，66，…；
1
2，− 1，2，− 4，8，− 16，…；
(1)请直接写出第
行数的第100项： ，第n项： ；
(2)第
行数与第
行数关系是将第
行对应数 、第
行数与第
行数关系是将第
行对应数 ．
(3)取每行数第10个数，计算这三个数的和
【答案】(1)
100
2
，
ᵅ
(− 1) ⋅
ᵅ
2
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(2)乘以(−
1
4)；加上2；
(3)1794
【分析】本题考查了规律型，观察发现每行的规律是解题关键．
（1）根据观察，可发现规律：第n个数是
ᵅ
(− 1) ⋅
ᵅ
2 ；
（2）第
行的每一项都乘以(−
1
4)，可得第
行；第
行的每一项都加2，可得第
行；
（3）根据每行的规律，可得第10个数，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】（1）解：根据
中的数据可得，− 2，
2
2 ，−
3
2 ，
4
2 ，−
5
2 ，
6
2 ，…；
第
行数的第100项：
100
2
，第n项：
ᵅ
(− 1) ⋅
ᵅ
2 ；
（2）解：观察数据：第
行数与第
行数关系是将第
行对应数乘以(−
1
4)；
第
行数与第
行数关系是将第
行对应数加上2；
（3）解：依题意，第
行数第n个数是
ᵅ
(− 1) ⋅
ᵅ
2 ；
则第
行数第n个数是
ᵅ
(− 1) ⋅
ᵅ
2 + 2；
则第
行数第n个数是[
ᵅ
(− 1) ⋅
ᵅ2 ] × (−
1
4)；
取每行数第10个数，计算这三个数的和：
[
10
(− 1)
×
10
2 ] + [
10
(− 1)
×
10
2
+ 2] +[
10
(− 1)
×
10
2
×(−1
4)]
= 1024 + 1026 − 256
= 1794．
22．（10分）定义一种新运算“ ”
：对于任意两个有理数a和b，满足ᵄ ᵄ =
2
ᵄ− ᵄ + ᵄᵄ．例如：
(1)求(− 1) 2的值；
(2)求[2
(− 4)] 3的值；
(3)若|ᵆ + 3| +
2
(ᵆ − 1) = 0，求(2ᵆ)
[(− ᵆ)
(4ᵆ)]的值．
【答案】(1)− 3
(2)− 3
(3)− 83
【分析】本题考查新运算“ ”
的定义，涉及有理数的混合运算、绝对值和平方的非负性，准确计算是解题
的关键．
（1）直接代入计算；
（2）小题先计算内层运算，再计算外层运算；
（3）小题先根据非负性求出x和y的值，再代入运算；
【详解】（1）∵
=
2
ᵄ− ᵄ + ᵄᵄ，
∴(− 1) 2 =
2
(− 1) − 2 + (− 1) × 2
= 1 − 2 − 2
=− 3；
（2）先计算2
(− 4)
=
2
2 −(− 4) + 2 × (− 4)
= 4 + 4 − 8
= 0
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；
再计算[2
(− 4)] = 0 3，
0 3
=
2
0 − 3 + 0 × 3
= 0 − 3 + 0
=− 3；
（3）∵|ᵆ + 3| +
2
(ᵆ − 1) = 0，且|ᵆ + 3| ≥ 0，
2
(ᵆ − 1) ≥ 0，
∴ ᵆ + 3 = 0，ᵆ − 1 = 0，
∴ ᵆ =− 3，ᵆ = 1，
计算(− ᵆ)
(4ᵆ) = 3 4 =
2
3 − 4 + 3 × 4 = 9 − 4 + 12 = 17．
再计算(2ᵆ)
[(− ᵆ)
(4ᵆ)] = (− 6) 17 =
2
(− 6) − 17 + (− 6) × 17
= 36 − 17 − 102
=− 83．
23．（10分）为响应国家创业号召，小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以100
人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表：
星期
一
二
三
四
五
六
日
人数
+ 30
− 10
− 5
− 12
+ 3
+ 10
+ 19
(1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多多少人？
(2)若这些人中有60%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？
(3)拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成
了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，则拉面师傅拉完8次后有______根面．
【答案】(1)42人
(2)882元
(3)256
【分析】本题考查正数与负数、有理数运算、有理数的乘方的应用，
（1）根据正数、负数的定义进行计算即可；
（2）根据总价=单价×数量进行计算即可；
（3）根据乘方的定义进行计算即可；
掌握正数与负数的定义以及有理数乘方的计算方法是正确解答的关键．
【详解】（1）解：
− 12< − 10< − 5<3<10<19<30，
这一周人数最多的一天是星期一，人数为100 + (+ 30) = 130（人），
这一周人数最少的一天是星期四，人数为100 + (− 12) = 88（人），
130 − 88 = 42（人），
这一周人数最多的一天比人数最少的一天多42人；
（2）这一周的人流量为：100 + 30 + 100 − 10 + 100 − 5 + 100 − 12 + 100 + 3 + 100 + 10 + 100 + 19 = 735
（人），
735 × 60% × 14 ÷ 7 = 882（元），
平均每天的销售额为882元；
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（3）
拉伸1次，得到的面条数为1 × 2 = 2（根），
拉伸2次，得到的面条数为1 × 2 × 2 =
2
2 = 4（根），
拉伸3次，得到的面条数为1 × 2 × 2 × 2 =
3
2 = 8（根），
…
依此类推，拉伸8次，得到的面条数为
8
2 = 256（根），
拉面师傅拉完8次后有256根．
故答案为：256．
24．（11分）我们把从1开始的几个连续自然数的立方和记为
ᵅ
ᵄ，那么有：
1
ᵄ=
3
1 =
2
1 =
2
[
1 × (1 + 1 )
2
] ；
2
ᵄ=
3
1 +
3
2 =
2
(1 + 2) =
2
[
2 × (1 + 2 )
2
] ；
3
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 =
2
(1 + 2 + 3) =
2
[
3 × (1 + 3 )
2
] ；
4
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 +
3
4 =
2
(1 + 2 + 3 + 4) =
2
[
4 × (1 + 4 )
2
] ；
…
观察上面的规律，完成下面各题：
(1)写出
5
ᵄ，
6
ᵄ的表达式；
(2)探索写出
ᵅ
ᵄ的表达式；
(3)求
3
11 +
3
12 + … +
3
20 的值．
【答案】(1)
5
ᵄ=
2
[
5 × (1 + 5 )
2
] ，
6
ᵄ=
2
[
6 × (1 + 6 )
2
] ；
(2)
ᵅ
ᵄ=
2
[
ᵅ(1 + ᵅ)
2
]
(3)41075
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，数字规律，掌握理解已知规律，将所求式子正确转化为有
理数的乘方运算式子是解题关键．
（1）根据材料提示得到规律即可求解；
（2）结合（1）中的规律，归纳总结即可；
（3）根据题意，将
3
11 +
3
12 + … +
3
20 变形为
3
11 +
3
12 + … +
3
20 =
20
ᵄ
−
10
ᵄ，结合（2）中计算即可求
解．
【详解】（1）解：
1
ᵄ=
3
1 =
2
1 =
2
[
1 × (1 + 1 )
2
] ；
2
ᵄ=
3
1 +
3
2 =
2
(1 + 2) =
2
[
2 × (1 + 2 )
2
] ；
3
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 =
2
(1 + 2 + 3) =
2
[
3 × (1 + 3 )
2
] ；
4
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 +
3
4 =
2
(1 + 2 + 3 + 4) =
2
[
4 × (1 + 4 )
2
] ；
5
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 +
3
4 +
3
5 =
2
(1 + 2 + 3 + 4 + 5) =
2
[
5 × (1 + 5 )
2
] ；
6
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 +
3
4 +
3
5 +
3
6 =
2
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) =
2
[
6 × (1 + 6 )
2
] ；
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（2）解：由（1）得
ᵅ
ᵄ=
3
1 +
3
2 +
3
3 +⋯⋯+
3
ᵅ=
2
(1 + 2 + 3 +⋯⋯+ ᵅ) =
2
[
ᵅ(1 + ᵅ)
2
] ；
（3）解：
3
11 +
3
12 + … +
3
20 =
20
ᵄ
−
10
ᵄ
=
2
[
20 × (1 + 20)
2
] −
2
[
10 × (1 + 10)
2
]
=
2
210 −
2
55
= 44100 − 3025
= 41075．
