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2026-2027学年七年级上学期数学周周测05
第二章 有理数的运算 综合训练
时间：45分钟 分值：70分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）
1．魏晋时期数学家刘徽在注释《九章算术》时，提出用不同颜色算筹表示正负数来刻画相反意义的量．
若以红色算筹表示盈利，如果商家本月盈利300元用红色算筹记作+ 300元，那么亏损100元用黑色算筹应
记作（ ）
A．− 100元
B．+ 100元
C．− 200元
D．200元
【答案】A
【分析】根据已知盈利的记法，按相反意义即可推出亏损的记法．
【详解】解：
盈利300元记作+ 300元，
∴亏损100元应记作− 100元．
2．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2 与−|− 2|
B．2 与−(− 2)
C．2 与
1
2
D．2 与−
1
2
【答案】A
【详解】解：对选项A：∵−|− 2| =− 2 ，2 与 − 2 绝对值相等，符号相反，
∴二者互为相反数，符合题意；
对选项B：∵−(− 2) = 2 ，两数相等，
∴不是互为相反数，不符合题意；
对选项C：2与
1
2 绝对值不相等，不是互为相反数，不符合题意；
对选项D：2 与 −
1
2 绝对值不相等，不是互为相反数，不符合题意；
3．被誉为大国重器的东风− 41洲际弹道导弹，其最大射程约为14000公里（1公里= 1000米），若将此射
程以米为单位用科学记数法表示，应为（ ）
A．1 . 4 ×
9
10 米
B．1 . 4 ×
8
10 米
C．1 . 4 ×
7
10 米
D．1 . 4 ×
6
10 米
【答案】C
【分析】先将射程单位从公里换算为米，再根据科学记数法的定义表示结果，科学记数法形式为ᵄ ×
ᵅ
10 ，
满足1 ≤ ᵄ<10，ᵅ为整数．
【详解】解：
1公里= 1000米，
14000公里= 14000 × 1000米= 14000000米．
将14000000用科学记数法表示，可得14000000 = 1 . 4 ×
7
10 米．
4．在数轴上距2 . 5有3 . 5个单位长度的点所表示的数是（ ）
A．6
B．− 6或1
C．− 1
D．− 1或6
【答案】D
【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，解题需分所求点在已知点左侧和右侧两种情况讨论，避免漏
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解．
【详解】解：
数轴上距2 . 5有3 . 5个单位长度的点存在两种情况，
当所求点在2 . 5的左侧时，
该点表示的数为2 . 5 − 3 . 5 =− 1；
当所求点在2 . 5的右侧时，
该点表示的数为2 . 5 + 3 . 5 = 6；
综上，符合条件的数是− 1或6．
5．若用符号[ᵄ , ᵄ]表示a，b两数中的较大数，用符号(ᵄ , ᵄ)表示a，b两数中的较小数，则[− 1 ,− 2] + (0 ,−
1
2)
的值为（ ）
A．− 1
B．−
3
2
C．− 2
D．−
5
2
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数的加法．根据题意结合− 1> − 2，0> −
1
2，列式计算即可
得解．
【详解】解：
用符号[ᵄ , ᵄ]表示ᵄ，ᵄ两数中的较大数，用符号(ᵄ , ᵄ)表示ᵄ，ᵄ两数中的较小数，且− 1> − 2
，0> −
1
2，
[− 1 ,− 2] + (0 ,−
1
2) =− 1 + (−
1
2) =−
3
2，
故选：B．
6．《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截
不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部
分的一半，…，则第1天到第5天一共截取的长度为（ ）
A．
31
8 米
B．
47
12 米
C．
63
16 米
D．
15
4 米
【答案】A
【分析】此题考查了数字类的规律，正确理解题意，列出算式是解题的关键．
根据每次截取的长度都是前一次截取剩余长度的一半求出第1天到第5天截取的长度，再相加即可.
【详解】解：第1天截取的长度为
1
2 × 4 = 2米，
第2天截取的长度为
1
2 × 2 = 1米，
第3天截取的长度为
1
2 × 1 =
1
2米，
第4天截取的长度为
1
2 ×
1
2 =
1
2
2 米，
第5天截取的长度为
1
2 ×
1
2
2 =
1
3
2 米，
故第1天到第5天一共截取的长度为2 + 1 +
1
2 +
1
2
2 +
1
3
2 =
31
8 （米）．
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故选：A
7．按如图所示的程序输入− 4进行计算，则输出结果为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．14
【答案】C
【分析】本题考查了程序框图与有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
把− 4代入程序中计算得到结果，判断是否大于2输出即可．
【详解】解：输入− 4，
2
(− 4) ÷ (− 2) + 6 =− 2<2，
输入− 2，
2
(− 2) ÷ (− 2) + 6 = 4>2，
所以输出结果为4．
故选：C．
8．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示− 1的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点A
表示的数是（ ）
A．− 1 + 2ᵰ
B．1 − ᵰ
C．1 − 2ᵰ
D．− 1 + ᵰ
【答案】A
【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解．
【详解】解：∵圆的半径为1，
∴周长为2π，
∵圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移2π个单位长度，
∴A点表示的数为− 1 + 2π．
9．对于数133，规定第一次操作为
3
1 +
3
3 +
3
3 = 55，第二次操作为
3
5 +
3
5 = 250，如此反复操作，则第2026
次操作后得到的数是( )
A．25
B．250
C．55
D．133
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探究．操作规则是每次将数的各位数字的立方和作为新数，计算发现形成
的数字序列以3为周期循环：133→55→250→133． 第2026次操作相当于循环中的第一次操作，结果为55．
【详解】
第一次操作：
3
1 +
3
3 +
3
3 = 1 + 27 + 27 = 55
第二次操作：
3
5 +
3
5 = 125 + 125 = 250
第三次操作：
3
2 +
3
5 +
3
0 = 8 + 125 + 0 = 133
运算结果每3次为一个循环
2026 ÷ 3 = 675余1
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第2026次操作后的数与第一次操作后的数相同，为55
故选：C．
10．已知ᵆ，ᵆ，ᵆ均为整数，且满足|ᵆ − ᵆ| + |ᵆ − ᵆ| = 1，则|ᵆ − ᵆ|的值为（ ）
A．1
B．0
C．2
D．3
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知|ᵆ − ᵆ|和|ᵆ − ᵆ|中一个为0，另一个
为1，从而推导出|ᵆ − ᵆ|的值．
【详解】∵ |ᵆ − ᵆ| + |ᵆ − ᵆ| = 1，且ᵆ，ᵆ，ᵆ均为整数，
∴ |ᵆ − ᵆ|和|ᵆ − ᵆ|均为非负整数，且和为1，
∴可能情况为：
|ᵆ − ᵆ| = 1且|ᵆ − ᵆ| = 0，则ᵆ = ᵆ，
∴ |ᵆ − ᵆ| = |ᵆ − ᵆ| = 1；
|ᵆ − ᵆ| = 0且|ᵆ − ᵆ| = 1，则ᵆ = ᵆ，
∴ |ᵆ − ᵆ| = |ᵆ − ᵆ| = 1．
综上，|ᵆ − ᵆ| = 1．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在数−(− 3)
2
(− 1) , | − 5| ,− 14 − +8 中，其中负数有 个．
【答案】2
【分析】本题考查相反数、绝对值、有理数的乘方，根据相反数的定义、绝对值的意义、有理数的乘方法
则进行解题．
【详解】解：计算各数：−(− 3) = 3，
2
(− 1) = 1，
|− 5| = 5，− 14 =− 14，− +8 =−8.
其中负数有− 14，− +8 故有2个负数．
故答案为：2．
12．若|ᵄ − 1|与|ᵄ − 2|互为相反数，则ᵄ + ᵄ的值为 ．
【答案】3
【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等
于0”是解题关键．根据相反数的定义可得|ᵄ − 1| + |ᵄ − 2| = 0，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负
数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果．
【详解】解： |ᵄ − 1|与|ᵄ − 2|互为相反数，
|ᵄ − 1| + |ᵄ − 2| = 0，
∴ ᵄ − 1 = 0
− 2 = 0，
∴ ᵄ = 1
= 2，
ᵄ + ᵄ = 1 + 2 = 3，
故答案为：3．
13．雪峰山是湖南省重要的山脉，其最高峰苏宝顶位于怀化洪江市境内，海拔约1934米，因独特的高山气
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候和自然风光成为湘中知名的观景地．已知海拔高度每上升100米，气温约下降0 . 6°C，湖南省邵阳市洞口
县县城城区海拔大约200米，某日洞口县县城地面温度为30°C，那么此时苏宝顶顶部的气温大约为_____°C
．（最后结果四舍五入，保留整数）
【答案】20
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，先计算苏宝顶与洞口县县城的海拔差，再根据海拔每上升100
米气温下降0 . 6°C的规律，求出气温下降值，最后从洞口县地面温度中减去该值并四舍五入保留整数即可
．
【详解】解：30 −(1934 − 200) ÷ 100 × 0 . 6 = 19 . 596 ≈ 20°C．
故答案为：20．
14．对于任意有理数ᵄ , ᵄ定义一种新运算“△”：当ᵄ ≥ ᵄ时，ᵄ△ᵄ =
2
ᵄ；当ᵄ<ᵄ时，ᵄ△ᵄ = 2ᵄ − ᵄ．例：1△2 = 2 × 1 − 2
；3△(− 2) =
2
(− 2) = 4，则[(− 2) △3] △(− 8) =______．
【答案】64
【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键．
根据[( − 2)△3]△( − 8) = ( − 7)△( − 8) =
2
( − 8) ，计算求解即可．
【详解】解：
− 2<3，
(− 2) △3 = 2 × (− 2) − 3 =− 7，
− 7> − 8，
(− 7) △(− 8) =
2
(− 8) = 64，
[( − 2)△3]△( − 8) = ( − 7)△( − 8) =
2
( − 8) = 64．
故答案为：64
15．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定
的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：22 = 1 ×
4
2 + 0 ×
3
2 + 1 ×
2
2 + 1 ×
1
2 + 0 ×
0
2 =
2
10110
．传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：22 = 2 ×
2
3 + 1 ×
1
3 + 1 ×
0
3 =
3
211 ．
将二进制数
2
1011 化为三进制数为 ．
【答案】
3
102
【分析】根据有理数的乘方解题即可．
【详解】解：化为十进制数：
2
1011 = 1 ×
3
2 + 0 ×
2
2 + 1 ×
1
2 + 1 ×
0
2 = 11，
化为三进制数：11 = 1 ×
2
3 + 0 ×
1
3 + 2 ×
0
3 =
3
102 ．
16．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至
B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向
左移动10个单位长度至E点，．．．以此类推，这样移动2025次后该点到原点的距离为___________．
【答案】3037
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【分析】本题考查数轴、数字规律，依次求得每次移动后点所对应的数，根据总结的规律求解即可．
【详解】解：由题知，第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，移动1 = 3 × (1 − 1) + 1个单位长度，移
动后点所对应的数为1；
第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，移动4 = 3 × (2 − 1) + 1个单位长度；移动后点所对应的数为1 − 4 =− 3
；
第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，移动7 = 3 × (3 − 1) + 1个单位长度；移动后点所对应的数为1 − 4 + 7 = 4
；
第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，移动10 = 3 × (4 − 1) + 1个单位长度；移动后点所对应的数为1 − 4 + 7 − 10
；
，
移动n次后该点对应的数为3 (ᵅ − 1) + 1 = 3ᵅ − 2个单位长度；
移动5次后对应的点数为1 − 4 + 7 − 10 + 13 = 7，n为奇数时，向右移动；n为偶数时，向左移动；
第2025次向右移动3 × 2025 − 2 = 6073个单位长度，
(2025 − 1) ÷ 2 = 1012，
即前2024次移动后表示的数为1012 × (− 3) =− 3036，
− 3036 + 6073 = 3037，
移动2025次后表示的数为3037，移动2025次后该点到原点的距离为3037，
故答案为：3037．
三、解答题：本题共2小题，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）已知两个有理数ᵆ , ᵆ满足|ᵆ| = 7 , |ᵆ| = 4且ᵆ + ᵆ>0 , ᵆᵆ<0，求ᵆ − ᵆ的值．
（2）若a ，b互为相反数，且ᵄ ≠ 0， c，d互为倒数，|ᵅ| = 3，求2025ᵄ + 2025ᵄ +
2025
(− ᵅᵅ)
+ ᵅ −
ᵄ
ᵄ的值
．
【答案】（1）11；（2）± 3
【分析】本题考查了求代数式的值、相反数、倒数、绝对值等知识点，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）根据绝对值得ᵆ =± 7，ᵆ =± 4，再根据ᵆ + ᵆ>0 , ᵆᵆ<0可以确定ᵆ , ᵆ的值，然后代入求值即可；
（2）根据相反数、倒数、绝对值得ᵄ + ᵄ = 0，ᵅᵅ = 1，ᵅ =± 3，则ᵄ =− ᵄ，
ᵄ
ᵄ=− 1，再代入求值即可．
【详解】解：（1） |ᵆ| = 7 , |ᵆ| = 4，
ᵆ =± 7，ᵆ =± 4，
ᵆ + ᵆ>0 , ᵆᵆ<0，
ᵆ = 7，ᵆ =− 4，
ᵆ − ᵆ = 7 −(− 4) = 11；
（2）
a ，b互为相反数，且ᵄ ≠ 0， c，d互为倒数，|ᵅ| = 3，
ᵄ + ᵄ = 0，ᵅᵅ = 1，ᵅ =± 3，
ᵄ =− ᵄ，
ᵄ
ᵄ=− 1，
2025ᵄ + 2025ᵄ +
2025
(− ᵅᵅ)
+ ᵅ −ᵄ
ᵄ
= 2025 (ᵄ + ᵄ) +
2025
(− 1)
+ ᵅ + 1
= 0 − 1 + ᵅ + 1
= ᵅ
=± 3
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．
18．（12分）【定义新知】
数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，|ᵆ − 2|
表示ᵆ与2的差的绝对值，可理解为ᵆ与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，|ᵆ − 1| + |ᵆ + 2|可
理解为在数轴上ᵆ对应的点分别到1和− 2所对应的点的距离和．
请根据数轴解决以下问题：
【举一反三】
（1）|ᵆ − 3|可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离；
（2）若|ᵆ + 3| = 3，则ᵆ的值为______；
【问题解决】
（3）请你结合数轴探究：|ᵆ − 3| + |ᵆ + 2|的最小值是______；
（4）借助数轴思考，当x为何值时，|ᵆ + 4|与|ᵆ − 2|的值相等．
【拓展应用】
（5）如图，ᵃ、ᵃ分别为数轴上的两点，ᵃ点对应的数为− 20，ᵃ点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁ᵄ从ᵃ
点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁ᵄ恰好从ᵃ点出发，以4个单位/秒的速度向右
运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的ᵃ点相遇，请你求出ᵃ点所对应的数是多少．
【答案】（1）ᵆ，3；（2）− 6或0；（3）5；（4）ᵆ =− 1；（5）28
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义；
（1）根据|ᵆ − 3|为ᵆ与3在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解；
（2）根据|ᵆ + 3| = 3为ᵆ与− 3在数轴上所对应的两点之间的距离为3，即可求解；
（3）|ᵆ − 3| + |ᵆ + 2|表示ᵆ与3和− 2在数轴上所对应的两点之间的距离之和，当− 2 ≤ ᵆ ≤ 3时，|ᵆ − 3| + |ᵆ + 2|
有最小值；
（4）当表示数ᵆ的点为线段ᵃᵃ的中点时，|ᵆ + 4|与|ᵆ − 2|的值相等，据此结合数轴即可求解；
（5）先求得ᵃᵃ的长，进而根据相遇问题可得12秒后相遇，进而求得ᵄ点的路程，即可得出点ᵃ表示的数
【详解】（1）解：|ᵆ − 2|表示ᵆ与2的差的绝对值，可理解为ᵆ与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离
；
|ᵆ − 3|可理解为ᵆ与3在数轴上所对应的两点之间的距离，
故答案为：ᵆ，3；
（2）解：|ᵆ + 3| = 3，可理解为ᵆ与− 3在数轴上所对应的两点之间的距离为3，
则ᵆ = 0或ᵆ =− 6，
故答案为：0或− 6；
（3）解：|ᵆ − 3| + |ᵆ + 2|表示ᵆ与3和− 2在数轴上所对应的两点之间的距离之和，
∴当− 2 ≤ ᵆ ≤ 3时，|ᵆ − 3| + |ᵆ + 2|的最小值是|3 −(− 2) | = 5，
故答案为：5；
（4）解：|ᵆ + 4|和|ᵆ − 2|可看成数轴上表示数ᵆ的点与表示− 4的点和表示2的点的距离，
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又∵|ᵆ + 4|与|ᵆ − 2|的值相等，
如图所示：
∴当表示数ᵆ的点为线段ᵃᵃ的中点时，|ᵆ + 4|与|ᵆ − 2|的值相等，此时ᵆ =− 1，
（5）解：ᵃ，ᵃ之间的距离为|100 −(− 20)| = 120，
依题意有：
120
6 + 4 = 12秒，即12秒后相遇，
即相同时间ᵄ点运动路程为：12 × 4 = 48（个单位），
则从数− 20向右运动48个单位到数− 20 + 48 = 28，
故ᵃ点对应的数是28．
