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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测01
1.1～1.2 勾股定理与勾股定理的逆定理
时间：45 分钟
分值：60 分
一、单选题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（
）
A．，，
B．，
，
C．
，
，
D．，
，
【答案】A
【分析】验证每组数中较小两数的平方和与最大数的平方是否相等且是否为正整数，即可判断是否为勾股
数．
【详解】解：A．
，不是勾股数；
B、C、D 组分别满足
，
，
，均为勾股数．
2．下列选项中，不能
．．用来证明勾股定理的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据图形面积的不同表示方法建立等式，看能否推导出
，若不能则符合题意．
【详解】解：A、
大正方形的面积
边长为
的正方形面积
边长为
的正方形面积
个长宽分别为
、
的长方形面积，
，该式属于完全平方公式，
图中不涉及斜边，不能用来证明勾股定理，符合题意；
B、
梯形面积
3 个三角形面积之和，
，
整理得
，
能证明勾股定理，不符合题意；
C、
大正方形面积
中间小正方形面积
个直角三角形面积，
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，
整理得
，
能证明勾股定理，不符合题意；
D、
大正方形面积
中间小正方形面积
个直角三角形面积，
，
整理得
，
能证明勾股定理，不符合题意．
故选A．
3．一个直角三角形的两条边长分别为3 和5，则第三条边的长度可以是（
）
A．15
B．8
C．6
D．4
【答案】D
【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项．
【详解】解：分两种情况讨论.
∵当长为5 的边为斜边时，第三边为直角边，
∴第三边长为
；
∵当长为5 的边为直角边时，第三边为斜边，
∴第三边长为
．
∴D 选项符合题意．
4．如图，在
中，
为直角，以
为边向外作面积为
的正方形，以
为边向外作面积为
的
正方形，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可．
【详解】解：
在
中，
为直角，
，
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．
5．如图，在四边形
中，
，
，
，
，则四边形
的面积为（
）
A．14
B．16
C．25
D．32
【答案】B
【分析】根据勾股定理得到
，则
是直角三角形，
，由图形面积的
计算即可求解．
【详解】解：如图所示，连接
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
是直角三角形，
，
∴
.
6．在
中，斜边
，则
的值是（
）
A．100
B．200
C．300
D．400
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
先画图，再利用勾股定理可求
的值，从而求
的值．
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【详解】解：如图所示，
在
中，
，
又
，
，
，
故选：B．
7．如图，在
中，
，
，
于点
，
为
上任意一点，则
的结果
为（
）
A．7
B．33
C．231
D．569
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理，可得
，
，据此即可求得答案．
【详解】在
中，由勾股定理可得
，
同理可得
，
所以
．
故选：C．
8．如图，
，
两点相距
，机器狗由
点出发，沿北偏东
方向行走
到达
点，然后从
点行
走
到达
点，此时机器狗位于
点的（
）
A．北偏东
方向上
B．北偏西
方向上
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C．北偏西
方向上
D．北偏西
方向上
【答案】B
【分析】先通过勾股定理逆定理判定
为直角三角形，得到
，再利用南北方向线互相平行
的性质求出
的度数，作差算出
与
的夹角，从而确定
相对于
的方位．
【详解】解：
，
，
，
，如下图：
，
，
，
此时机器狗位于
点的北偏西
方向上．
9．如图，分别以
的直角边
，
为边向外作正方形，其面积分别为
，
，以斜边
为直
径向外画半圆，其面积为
．若
，
，则
等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到
，根据圆的面积公式，解答即可．
【详解】解：根据题意，得
，且
，
，
，
根据勾股定理，得
，
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故圆的面积为
，
根据题意，得
是半圆的面积，
故
；
10．如图，
是
的边
上的高．分别以线段
，
，
，
为边向外作正方形，正方形的
面积分别为
，
，
，
．则它们之间存在的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理，得
，结合正方形的面积求解即可；
【详解】解：因为
是
的边
上的高，
所以
，
所以
，
根据正方形的面积，得
，
故
．
故
．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水平地面15 米处向地面拉了一根长
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17 米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为______米．
【答案】8
【分析】根据勾股定理进行解答即可．
【详解】解：如图，
在
中，
，
米，
米，
则
米，
即钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为米．
12．如图，在
中，
，分别以
为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙
正方形的面积为23，则
的长为___________．
【答案】7
【分析】由正方形的面积公式得到
，据此由勾股定理可得答案．
【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，
∴
，
在
中，
，
∴由勾股定理得
，
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∴
或
（舍去）．
13．已知
，
，
，
，
，连接
，则
的度数为______ ．
【答案】
【分析】先使用勾股定理计算出
，再根据勾股定理的逆定理判断出
．
【详解】解：在
中，
，
∵
，
∴
．
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”
是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中
，
，则每个直角三角
形的面积为_______．
【答案】54
【分析】根据勾股定理结合完全平方公式，求出
的值即可.
【详解】解：由勾股定理，得
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴每个直角三角形的面积为
．
15．已知在
的网格中，每个小正方形的边长为
点均在格点上．以
为边作直角三角形
（
点在格点上），能作___________个．
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【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键．
分别以
中A，B，C 三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可．
【详解】解：如下图，
当
为斜边即点C 为直角顶点，则第三个点C 所在的位置有：
，
两个；
当
为直角边且A 点为直角顶点，则第三个点C 所在的位置有：
，
两个；
当
为直角边且B 点为直角顶点，则第三个点C 所在位置有：
，
，
三个．
∴能作7 个
为边的直角三角形
．
故答案为：7．
16．如图，在四边形
中，
，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的
面积分别是
，
，
，
，在
，
，则
的值是______．
【答案】64
【分析】由勾股定理，得
，于是
，代入求解即可.
【详解】解：连接
，
由题意得：
，
，
，
，
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∵
，
∴
.
∴
.
∴
.
故答案为：64．
【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键．
三、解答题：本题共2 小题,第17 题10 分，第18 题12 分，共22 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．如图，长方形
中，把
沿着
折叠使得
点落在
点，
，
，则
求
(1)
的长；
(2)
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据折叠的性质得到
，继而根据勾股定理得到
，继而得到答案．
（2）设
，则
，在
中，根据勾股定理建立关于
的方程，解方程即可得到答
案．
【详解】（1）解：
把
沿着
折叠使得
点落在
点，
，
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在
中，
，
四边形
是长方形，
，
，
；
（2）解：设
，则
，
在
中，
，即
，
解得
，
．
18．如图，在笔直的公路
旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路
上的D 处建一座桥梁到达C
处，已知点C 与公路上的停靠站A 的直线距离为
，与公路上另一停靠站B 的直线距离为
，公路
AB 的长度为
，且
．
(1)求证：
；
(2)求修建的桥梁
的长．
【答案】(1)
证明：由题可知
，
，
．
∵
，
即
，
∴
是直角三角形，且
，
∴
．
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证；
（2）根据
即可求解．
【详解】（1）略
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（2）解：∵
，
，
，
，
∴
．
答：修建的桥梁CD 的长为
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平
方，则这个三角形是直角三角形．
