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专题31 一元一次不等式组实际应用
（题型突破·举一反三）
▌题型01 盈不足问题
【典例1】A．
【变式1-1】C．
【变式1-2】A．
【变式1-3】51 或59．
▌题型02 行程问题
【典例1】48km/h≤v≤60km/h．
【变式1-1】75km/h＜v≤100km/h．
【变式1-2】15．
【变式1-3】
【解答】解：（1）①∵依题意，MA＝200km，MN＝10km，AB＝360km，
∴NB＝150km，
∵甲车从A 地出发，始终以100km/h 的速度行驶，
∴甲车2 小时共行驶了2×100＝200（km），
∴甲车出发2 小时，行至M 处，
∵乙车从B 地出发，比甲车晚出发20min= 1
3小时，以90km/h 的速度行驶，
∴乙车共行驶了90×（2−1
3）＝150（km），
∴乙车行至N 处，
故答案为：M，N；
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②甲车行至MN 的中点时，所用时间为：
200
100 +
5
40 =
17
8 （h），
此时乙车行驶所用时间：
17
8 −
1
3 =
43
24（h），
故答案为：
43
24；
（2）①两车在P 处相遇，P 与N 重合，
甲车所用时间为
200
100 +
10
40 =
9
4（h），
此时乙车所用时间为
9
4 −
1
3 =
23
12（h），
∴乙车的速度为V＝150÷ 23
12 = 1800
23 （km/h）；
②P 在非施工道路上（P 不与M，N 重合），
若P 在AM 上，设甲的行驶时间为t，则0＜t＜2，
此时甲行驶路程为100t，乙行驶的路程为150+10+V（t−1
3 −150
𝑉−10
40），
∴100t+150+10+V（t−1
3 −150
𝑉−10
40）＝360，
∴t=
350+ 7
12𝑉
100+𝑉，
∴0＜
350+ 7
12𝑉
100+𝑉＜2，
解得V＞1800
17 ，
∵限速为60≤V≤120，
∴
1800
17 ＜V≤120，
若P 在NB 上，设甲的行驶时间为t，则
9
4 ＜t＜15
4 ，
此时甲行驶路程为200+10+100（t−200
100 −10
40），乙行驶的路程为V（t−1
3），
∴200+10+100（t−200
100 −10
40）+V（t−1
3）＝360，
∴t=
375+1
3𝑉
100+𝑉，
∴
9
4 ＜
375+1
3𝑉
100+𝑉＜
15
4 ，
解得0＜V＜1800
23 ，
∵限速为60≤V≤120，
∴60≤V＜1800
23 ，
综上所述60≤V＜1800
23 或
1800
17 ＜V≤120．
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▌题型03 工程问题
【典例1】
【解答】解：（1）设每台A 型挖掘机一小时挖土x 立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土y 立方米，
依题意得：{4𝑥+ 2𝑦= 150
3𝑥+ 7𝑦= 195，
解得：{𝑥= 30
𝑦= 15．
答：每台A 型挖掘机一小时挖土30 立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土15 立方米．
（2）设调配m 台A 型挖掘机，则调配（12﹣m）台B 型挖掘机，
依题意得：{4 × 30𝑚+ 4 × 15(12 −𝑚) ≥1080
4 × 300𝑚+ 4 × 180(12 −𝑚) ≤12960，
解得：6≤m≤9．
又∵m 为正整数，
∴m 可以为6，7，8，9，
∴施工时共有4 种调配方案，
方案1：调配6 台A 型挖掘机，6 台B 型挖掘机；
方案2：调配7 台A 型挖掘机，5 台B 型挖掘机；
方案3：调配8 台A 型挖掘机，4 台B 型挖掘机；
方案4：调配9 台A 型挖掘机，3 台B 型挖掘机．
【变式1-1】
【解答】解：（1）设每台A 型挖掘机一小时挖土x 立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土y 立方米，
根据题意得：{3𝑥+ 5𝑦= 165
4𝑥+ 7𝑦= 225，
解得：{𝑥= 30
𝑦= 15．
答：每台A 型挖掘机一小时挖土30 立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土15 立方米；
（2）设调配m 台A 型挖掘机，则调配（12﹣m）台B 型挖掘机，
根据题意得：{4[30𝑚+ 15(12 −𝑚)] ≥1080
4[300𝑚+ 180(12 −𝑚)] ≤12960，
解得：6≤m≤9，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为6，7，8，9，
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∴施工时有4 种调配方案，
方案1：调配6 台A 型挖掘机，6 台B 型挖掘机；
方案2：调配7 台A 型挖掘机，5 台B 型挖掘机；
方案3：调配8 台A 型挖掘机，4 台B 型挖掘机；
方案4：调配9 台A 型挖掘机，3 台B 型挖掘机．
【变式1-2】
【解答】解：（1）根据题意可得：
（700﹣5×80）÷6＝50（米），
答：B 工程队每人每天能完成50 米绿化带的建设．
（2）设A 工程队派出x 人，则B 工程队派出（20﹣x）人，
{80𝑥+ 50(20 −𝑥) ≥1510
20 −𝑥≥1
，
解得：17≤x≤19，
∵x 为整数，
∴x＝17，18，19，
∴该公司有3 种方案：
方案1：A 工程队17 人，B 工程队3 人；
方案2：A 工程队18 人，B 工程队2 人；
方案3：A 工程队19 人，B 工程队1 人．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设A 队平均每天完成x 米绿化带，B 队平均每天完成y 米绿化带，依题意有
{2𝑥+ 3𝑦= 310
5𝑥+ 6𝑦= 700，
解得{𝑥= 80
𝑦= 50．
故A 队平均每天完成80 米绿化带，B 队平均每天完成50 米绿化带；
（2）设该公司决定派A 工程队共a 人参与建设绿化带，依题意有
{80𝑎+ 50(20 −𝑎) ≥1480
20 −𝑎≥2
，
解得16≤a≤18，
故人事安排方案为：A：16，B：4 或A：17，B：3 或A：18，B：2．
▌题型04 方案设计问题
【典例1】
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【解答】解：设建设x 个大型租赁点，则建设（8﹣x）个小型租赁点．
根据题意，得{
8000𝑥+ 5000(8 −𝑥) ≤50000
𝑥≥1
8 −𝑥≥1
，
解得1 ≤𝑥≤10
3 ，
又因为x 为正整数，所以x 可以取1，2，3．
因此，共有3 种建设方案：
①建设1 个大型租赁点，7 个小型租赁点；
②建设2 个大型租赁点，6 个小型租赁点；
③建设3 个大型租赁点，5 个小型租赁点．
【变式1-1】
【解答】解：（1）设A 种相册的售价是x 元，B 种相册的售价是y 元，购买2 本A 种相册，3 本B 种相
册需要110 元，购买4 本A 种相册，5 本B 种相册需要200 元．
则{2𝑥+ 3𝑦= 110
4𝑥+ 5𝑦= 200，
解得{𝑥= 25
𝑦= 20，
答：A 种相册的售价是25 元，B 种相册的售价是20 元；
（2）设购买的A 种相册的数量为m 本，
{
25𝑚+ 20(45 −𝑚) ≤1000
𝑚≥1
2 (45 −𝑚)
解得15≤m≤20
∵m 为正整数，
∴m 可取15，16，17，18，19，20，
∴家委会共有6 种不同的购买方案，具体如下：
方案1：购买A 种相册15 本，B 种相册30 本；
方案2：购买A 种相册16 本，B 种相册29 本；
方案3：购买A 种相册17 本，B 种相册28 本；
方案4：购买A 种相册18 本，B 种相册27 本；
方案5：购买A 种相册19 本，B 种相册26 本；
方案6：购买A 种相册20 本，B 种相册25 本．
【变式1-2】
【解答】解：（1）设每辆A 型新能源汽车的进价是x 万元，每辆B 型新能源汽车的进价是y 万元，
根据题意得：{2𝑥+ 3𝑦= 84
3𝑥+ 2𝑦= 96，
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解得：{𝑥= 24
𝑦= 12．
答：每辆A 型新能源汽车的进价是24 万元，每辆B 型新能源汽车的进价是12 万元；
（2）设购进m 辆A 型新能源汽车，则购进（20﹣m）辆B 型新能源汽车，
根据题意得：{24𝑚+ 12(20 −𝑚) ≤340
(32 −24)𝑚+ (15 −12)(20 −𝑚) ≥90，
解得：6≤m≤25
3 ，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为6，7，8，
∴该经销商共有3 种购车方案，
方案1：购进6 辆A 型新能源汽车，14 辆B 型新能源汽车；
方案2：购进7 辆A 型新能源汽车，13 辆B 型新能源汽车；
方案3：购进8 辆A 型新能源汽车，12 辆B 型新能源汽车．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设A 型烟花每箱x 元，则B 型烟花每箱（x+100）元，
依题意得20x+10（x+100）＝5500，
解得x＝150，
则x+100＝250，
答：A 型烟花每箱150 元，则B 型烟花每箱250 元；
（2）设采购A 型烟花m 箱，则采购B 型烟花（50﹣m）箱，
依题意得{150𝑚+ 250(50 −𝑚) ≤8800
150𝑚+ 250(50 −𝑚) ≥8500，
解得37≤m≤40，
∴m＝37 或38 或39 或40，
答：该乡镇共有四种购买方案；
（3）解：设分别购买A，B 型烟花a，b 箱，
∴150a+250b＝9000，
整理得，3a+5b＝180，
∴燃放时长：（12a+20b）×5＝（3a+5b）×4×5＝3600 秒．
答：若仅购买A，B 型烟花，可以燃放3600 秒．
▌题型05 最值问题
【典例1】
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【解答】解：（1）设A 种品牌足球的单价是x 元，B 种品牌足球的单价是y 元，
根据题意得：{50𝑥+ 25𝑦= 4500
𝑦−𝑥= 30
，
解得：{𝑥= 50
𝑦= 80，
答：A 种品牌足球的单价是50 元，B 种品牌足球的单价是80 元；
（2）设购买m 个B 种品牌的足球，
{(50 −4)(50 −𝑚) + 80 × 0.8𝑚≤2750
𝑚≥23
，
∴23≤m≤25，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为23，24，25，
∴共有3 种购买方案，
方案1：购买25 个A 种品牌的足球，25 个B 种品牌的足球，（50﹣4）×25+80×0.8×25＝2750（元）．
方案2：购买26 个A 种品牌的足球，24 个B 种品牌的足球，（50﹣4）×26+80×0.8×24＝2732（元）；
方案3：购买27 个A 种品牌的足球，23 个B 种品牌的足球，（50﹣4）×27+80×0.8×23＝2714（元）；
∵2714＜2732＜2750，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为2714 元．
【变式1-1】
【解答】解：（1）设釉色A 款瓷器每套的售价为a 元，釉色B 款瓷器每套的售价为b 元，
由题意得：{7𝑎+ 6𝑏= 6530
9𝑎+ 5𝑏= 6550，
解得：{𝑎= 350
𝑏= 680，
答：釉色A 款瓷器每套的售价为350 元，釉色B 款瓷器每套的售价为680 元；
（2）设购进釉色A 款瓷器为m 套，则釉色B 款瓷器为（20﹣m）套，
由题意得：{
300𝑚+ 600(20 −𝑚) ≤8500
20 −𝑚≥𝑚
2
，
解得：11
2
3 ≤m≤13
1
3，
∵m 为整数，
∴m 的值为12 或13，
∴有两种进货方案：
①购进釉色A 瓷器12 套，釉色B 瓷器8 套；
②购进釉色A 瓷器13 套，釉色B 瓷器7 套；
（3）按方案①进货时，其利润为：（350﹣300）×12+（680﹣600）×8＝1240（元），
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按方案②进货时，其利润为：（350﹣300）×13+（680﹣600）×7＝1210（元），
∵1210＜1240，
∴该商店卖出这些瓷器的最大利润是1240 元．
【变式1-2】
【解答】解：（1）设A 型汽车每辆的进价为x 万元，B 型汽车每辆的进价为y 万元，
根据题意列二元一次方程组得：{2𝑥+ 3𝑦= 80
3𝑥+ 2𝑦= 95，
解得{𝑥= 25
𝑦= 10，
答：A 型汽车每辆的进价为25 万元，B 型汽车每辆的进价为10 万元；
（2）设购进A 型汽车m 辆，则购进B 型汽车（20﹣m）辆．
根据题意列一元一次不等式组得，{
25𝑚+ 10(20 −𝑚) ≤380
20 −𝑚≥3𝑚
(30 −25)𝑚+ (14 −10)(20 −𝑚) ≥83
，
解得3≤m≤5，
∵m 为整数，
∴m 的值为3 或4 或5；
∴共有三种购买方案，利润为（30﹣25）m+（14﹣10）（20﹣m）＝（80+m）万元，
当m＝3 时，利润为80+m＝80+3＝83（万元）；
当m＝4 时，利润为80+m＝80+4＝84（万元）；
当m＝5 时，利润为80+m＝80+5＝85（万元）；
答：共有3 种购车方案，购进5 辆A 型、15 辆B 型时利润最高．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设甲种纪念品每件需x 元，乙种纪念品每件需y 元，
{7𝑥+ 4𝑦= 900
3𝑥+ 8𝑦= 700，
解得：{𝑥= 100
𝑦= 50 ，
故：甲种纪念品每件需100 元，乙种纪念品每件需50 元；
（2）设定制甲种纪念品m 件，
3700≤100m+50（50﹣m）≤3800，
24≤m≤26，
∵m 为整数，
∴m＝24，25，26，
故有3 种方案；
（3）由（2）知：三种方案的费用分别为：
当m＝25 时，费用为10×25+20×（50﹣25）＝750 元；
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当m＝24 时，费用为10×24+20×（50﹣24）＝760 元；
当m＝26 时，费用为10×26+20×（50﹣26）＝740 元，
∵760＞750＞740，
∴在第（2）问的各种定制方案中，定制甲24 件，乙26 件时获利最大，最大利润为760 元．
▌题型06 阶梯收费问题
【典例1】
【解答】解：（1）设该居民7 月份的用水量为xm3，则该居民6 月份的用水量为（42﹣x）m3，
根据题意得：{𝑥＞42 −𝑥
𝑥≤2(42 −𝑥)，
解得：21＜x≤28．
答：x 的取值范围为21＜x≤28；
（2）根据题意得：2×17+2.5×（28﹣17）+1×28
＝2×17+2.5×11+1×28
＝34+27.5+28
＝89.5（元）．
答：该居民7 月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5 元；
（3）当21＜x＜25 时，[2×17+2.5（x﹣17）+x]﹣[2×17+2.5（42﹣x﹣17）+（42﹣x）]＝130≠41，不符
合题意，舍去；
当25≤x≤28 时，[2×17+2.5（x﹣17）+x]﹣[2（42﹣x）+（42﹣x）]＝41，
解得：x＝27．
答：该居民7 月份的用水量为27m3．
【变式1-1】
【解答】解：设本次通话时间为xmin．
由题意，得{
0.2 + 0.1(𝑥−3) ≤1.5
0.2 + 0.1(𝑥−3)＞1.5 −0.1，
解不等式组，得15＜x≤16．
分析各选项，只有选项B 符合题意．
故选：B．
【变式1-2】
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【解答】解：根据题意得：{
8 + 2(𝑥−3) ≤18
8 + 2(𝑥−3)＞16 ，
解得：7＜x≤8，
∴甲地到乙地路程x 满足7＜x≤8．
故选：D．
【变式1-3】
【解答】（1）设该用户5 月份的用水量为x 吨，根据题意得：
12×2+6×2.5+3（x﹣18）＝45，
解得x＝20，
答：该用户5 月份的用水量为20 吨．
（2）设该用户月用水量为x 吨，
若x＞18 时，12×2+2.5×6＝39＞30（元），所以只能x＜18．
若x＜12，则由2x＝20，得x＝10；
若12＜x＜18，则由24+2.5（x﹣12）＜30，得x＜14.4，
所以10＜x＜14.4，
答：该户的月用水量应该控制在10 吨到14.4 吨之间．
▌题型7 销售问题
【典例1】
【解答】解：（1）设每盒即食奶片的进价为x 元，
由题意，得4（x+6）＝7x，
解得x＝8，
传统奶豆腐的进价为8+6＝14（元），
答：每盒传统奶豆腐进价为14 元，每盒即食奶片进价为8 元．
（2）设购进传统奶豆腐m 盒，
由题意，得{14𝑚+ 8(240 −𝑚) ≤3000
(20 −14)𝑚+ (12 −8)(240 −𝑚) ≥1280，
解得160≤m≤180．
答：最多可购进传统奶豆腐180 盒．
【变式1-1】
【解答】解：（1）设线上售价x 元/个，线下售价y 元/个
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根据题意列二元一次方程组得：{𝑥+ 2𝑦= 100
2𝑥+ 𝑦= 95 ，
解得{𝑥= 30
𝑦= 35，
答：线上30 元/个，线下35 元/个；
（2）设线上销售a 个，
根据题意列一元一次不等式组得：{
𝑎≤1002
30𝑎+ 35(4000 −𝑎) ≤135000，
解得1000≤a≤1002，
∵a 为整数，
∴a＝1000、1001、1002，
∴线上销售个数可能有1000 个或1001 个或1002 个；
（3）根据题意列式得：利润＝（30+m﹣15）a+（35﹣15）（4000﹣a）＝80000+（m﹣5）a，
∵预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，
∴m﹣5＝0，
解得m＝5．
【变式1-2】
【解答】解：（1）设甲款服装x 件，则乙款服装（300﹣x）件，
由题意列一元一次方程得：700x+800（300﹣x）＝230000，
整理得，100x＝10000，
解得x＝100，
∴300﹣x＝300﹣100＝200；
答：可以生产甲款服装100 件，乙款服装200 件；
（2）设甲款服装m 件，
根据题意列一元一次不等式组得：
{𝑚≥2(500 −𝑚)
(1000 −700)𝑚+ (1200 −800)(500 −𝑚) ≥166500，
解得333 1
3 ≤𝑚≤335，
∵m 是正整数，
∴m 的取值为334 或335；
答：共有2 种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334 件，乙款服装166 件；方案二：生产甲款服装
335 件，乙款服装165 件．
【变式1-3】
【解答】解：（1）设“冰墩墩”的销售单价为x 元，“雪容融”的销售单价为y 元，
依题意得：{8𝑥+ 4𝑦= 960
6𝑥+ 8𝑦= 1020，
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解得：{𝑥= 90
𝑦= 60，
答：“冰墩墩”的销售单价为90 元，“雪容融”的销售单价为60 元．
（2）设制作m 个“冰墩墩”，则制作（100﹣m）个“雪容融”，
依题意得：{60𝑚+ 40(100 −𝑚) ≤5000
(90 −60)𝑚+ (60 −40)(100 −𝑚) ≥2480，
解得：48≤m≤50，
∵m 为正整数，
∴m 的值为48、49、50，
∴有3 种制作方案：
①制作48 个“冰墩墩”，52 个“雪容融”；
②制作49 个“冰墩墩”，51 个“雪容融”；
③制作50 个“冰墩墩”，50 个“雪容融”．
