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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 10 2026-2027 学年八年级上学期数学周周测02 13.3 三角形的内角与外角 时间：45 分钟 分值：70 分 一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1.在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是 ( ) A. ∠A = 90° −∠C B. ∠A = ∠B −∠C C. ∠A = 2∠B = 3∠C D. ∠A = ∠B = 1 2 ∠C 【答案】C 【详解】根据三角形内角和为 180∘ 判断是否为直角三角形。 A. ∠A = 90∘−∠C，则 ∠A + ∠C = 90∘，所以 ∠B = 90∘，是直角三角形。 B. ∠A = ∠B −∠C，则 ∠A + ∠C = ∠B，代入得 2∠B = 180∘，所以 ∠B = 90∘，是直角三角形。 C. 设 ∠A = 6x，∠B = 3x，∠C = 2x，则 6x + 3x + 2x = 180∘，11x = 180∘，三角度数中没有 90∘，不是直 角三角形。 D. ∠A = ∠B = 1 2 ∠C，则 1 2 ∠C + 1 2 ∠C + ∠C = 180∘，所以 ∠C = 90∘，是直角三角形。 2.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE//BC，∠A = 44∘，∠1 = 57∘，则∠2的度数为( ) A. 44∘ B. 114∘ C. 101∘ D. 123∘ 【答案】C 【详解】因为 DE ∥BC，根据两直线平行，同位角相等，得∠B = ∠1 = 57∘。 又 ∠2 是 △ABC 的外角，所以∠2 = ∠A + ∠B = 44∘+ 57∘= 101∘。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 10 3.如图，△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CF = CD，DG = DE，则∠E的度数为 ( ) A. 25∘ B. 20∘ C. 15∘ D. 7.5∘ 【答案】C 【详解】因为 △ABC 是等边三角形，所以 ∠ACB = 60∘， 则 ∠ACD = 180∘−60∘= 120∘。 因为 CF = CD，所以 △CFD 是等腰三角形，∠CDF = 180∘−120∘ 2 = 30∘。 因此 ∠FDE = 180∘−30∘= 150∘。 又因为 DG = DE，所以 △DEG 是等腰三角形，∠E = 180∘−150∘ 2 = 15∘。 4.如图，在△ABC中，∠A = 50°，∠1 = 30°，∠2 = 40°，则∠D的度数是 ( ) A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】B 【详解】在 △ABC 中，∠ABC + ∠ACB = 180∘−∠A = 180∘−50∘= 130∘。 所以∠DBC + ∠DCB = 130∘−(∠1 + ∠2) = 130∘−30∘−40∘= 60∘。 在 △BDC 中，∠D = 180∘−(∠DBC + ∠DCB) = 180∘−60∘= 120∘。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 10 5.如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1 + ∠2 = 230∘，则∠A的度数是( ) A. 35∘ B. 50∘ C. 65∘ D. 70∘ 【答案】B 【详解】四边形内角和为 360∘，已知两个内角和为 230∘， 所以剩余两个内角和为360∘−230∘= 130∘。 这两个角恰好是 △ABC 中的另外两个内角，因此∠A = 180∘−130∘= 50∘。 6.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，AD与BE相交于点F，∠C = 74∘， ∠ABC = 46∘，则∠BFD的度数为( ) A. 75∘ B. 70∘ C. 65∘ D. 60∘ 【答案】D 【详解】 在 △ABC 中，∠BAC = 180∘−∠ABC −∠C = 180∘−46∘−74∘= 60∘。 因为 AD 平分 ∠BAC，所以∠BAD = 1 2 ∠BAC = 30∘。 因为 BE 是高，所以 ∠AEB = 90∘。 在 △AEF 中，∠AFE = 180∘−90∘−30∘= 60∘。 又因为 ∠ABE = 90∘−∠BAC = 30∘， 在 △ABF 中，∠AFB = 180∘−30∘−30∘= 120∘。 所以∠BFD = 180∘−∠AFB = 180∘−120∘= 60∘。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 10 7.如图是可调节躺椅的示意图(数据如图所示)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变，为了舒 适，需调整∠D的大小，使∠EFD = 110∘，则∠D应( ) A. 增加10∘ B. 减少10∘ C. 增加20∘ D. 减少20∘ 【答案】B 【详解】 ∵∠A = 50∘，∠B = 60∘ ∴∠ACB = 180∘−50∘−60∘= 70∘ ∵∠ECD与∠ACB是对顶角 ∴∠ECD = 70∘ 由飞镖模型外角结论：∠EFD = ∠ECD + ∠E + ∠D ∵∠EFD = 110∘，∠E = 30∘ ∴110∘= 70∘+ 30∘+ ∠D，解得∠D = 10∘ ∵原∠D = 20∘ ∴20∘−10∘= 10∘，∠D应减少10∘ 8.如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P = 70∘，则∠B的度数为( ) A. 42∘ B. 40∘ C. 38∘ D. 35∘ 【答案】B 【详解】由外角平分线模型可知，∠P = 90∘− 1 2 ∠B。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 10 代入 ∠P = 70∘，得70∘= 90∘− 1 2 ∠B， 所以 1 2 ∠B = 20∘，∠B = 40∘。 9.如图是一款儿童小推车的示意图，若AB//CD，∠1 = 30∘，∠2 = 70∘，则∠3的度数为( ) A. 40∘ B. 35∘ C. 30∘ D. 20∘ 【答案】A 【详解】因为 AB ∥CD，所以可利用平行线形成的内错角与外角关系。 由图可知，∠2 等于 ∠1 与 ∠3 的和，即∠2 = ∠1 + ∠3。 所以∠3 = ∠2 −∠1 = 70∘−30∘= 40∘。 10.如图，把▵ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外面时，此时测得∠1 = 112 ∘，∠A = 40 ∘， 则∠2的度数为( ) A. 32 ∘ B. 33 ∘ C. 34 ∘ D. 36 ∘ 【答案】A 【详解】由折叠性质可知，∠A′ = ∠A = 40∘。 根据三角形外角性质，∠1 = ∠A + ∠A′ + ∠2。 代入已知条件，112∘= 40∘+ 40∘+ ∠2， 所以∠2 = 32∘。 二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分． 11.如图，一束平行于主光轴(图中的虚线)的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相 交于点P，F为焦点.若∠1 = 150∘，∠2 = 25∘，则∠3的度数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 10 【答案】55∘ 【详解】∠1 = 150∘，所以它的邻补角为180∘−150∘= 30∘。 根据三角形外角性质，∠3 = 30∘+ ∠2 = 30∘+ 25∘= 55∘。 12.如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F的度数为 ． 【答案】360∘ 【详解】利用对顶角和三角形内角和性质，可将∠A, ∠B,∠C, ∠D,∠E, ∠F 转化为两个三角形的内角和。 因为一个三角形内角和为 180∘，所以∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 360∘。 13.如图，在锐角三角形ABC中，AD和CE分别是边BC和边AB上的高，若AD与CE所夹的锐角是58∘，则 ∠BAC + ∠BCA = ∘． 【答案】122 【详解】因为 AD, CE 是高，所以∠AEF = 90∘，∠CDF = 90∘。 在四边形 BEFD 中，∠B + ∠BEF + ∠BDF + ∠EFD = 360∘。 所以∠B = 360∘−90∘−90∘−（180 ∘−58∘）= 58∘。 所以∠BAC + ∠BCA = 180∘−58∘= 122∘ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 10 14.如图，在△ABC中，点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点，连结OC，点P是∠BOC、∠OCB平分线的 交点，若∠P = 100∘，则∠ABC的度数为 °. 【答案】40∘ 【详解】在 △BOC 中，∠BOC + ∠OCB + ∠OBC = 180∘。 因为点 P 是两内角平分线交点，所以∠P = 90∘+ 1 2 ∠OBC。 代入 ∠P = 100∘，得100∘= 90∘+ 1 2 ∠OBC， 所以 1 2 ∠OBC = 10∘，∠OBC = 20∘。 因为OB 平分∠ABC ∴∠ABC=2∠OBC = 40∘ 15.如图所示的是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形ABCDE表示帐篷，线段BF，BG表示绳 索，点F在AB的延长线上，且点F，G都在DC的延长线上.若∠ABC = 130∘，∠BCD = 90∘，FG = FB，则 ∠BGF = ∘． 【答案】20 【详解】∵∠BCD = 90∘， ∴∠BCF = 90∘， ∵点F在AB的延长线上，∠ABC = 130∘， ∴∠BFC = ∠ABC −∠BCF = 40∘， ∵FG = FB，∠BFC = ∠BGF + ∠GBF， ∴∠BGF = ∠GBF = 1 2 ∠BFC = 20∘． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 10 16.如图，在△ABC中，∠A = 52∘，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点 D2，⋯，依次类推，∠ABD3与∠ACD3的平分线交于点D4，则∠D4的度数是 ． 【答案】60∘ 【详解】∵∠A = 52∘，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1， ∴∠ABC + ∠ACB = 128∘， ∠CBD1 = 1 2 ∠ABC，∠BCD1 = 1 2 ∠ACB， ∴∠CBD1 + ∠BCD1 = 1 2 (∠ABC + ∠ACB) = 64∘， 即∠ABD1 + ∠ACD1 = 64∘，∴∠D1 = 116∘． ∵∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2， ∴∠D2BD1 + ∠D2CD1 = 1 2 (∠ABD1 + ∠ACD1) = 32∘， ∴∠CBD2 + ∠BCD2 = ∠D1BD2 + ∠D1BC + ∠D2CD1 + ∠D1CB = 96∘， ∴∠D2 = 84∘． 同理可得∠D3 = 68∘，∠D4 = 60∘． 故答案为60∘． 三、解答题：本题共2 小题,第17 题10 分，第18 题12 分，共22 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． 17.(10 分)如图，在Rt △ABC中，∠ACB = 90∘，∠A = 40∘，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长 线于点E． (1)求∠CBE的度数; (2)过点D作DF//BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 10 【详解】 (1)∵∠ACB=90∘,∠A=40∘, ∴∠CBD=130∘. ∵BE 是∠CBD 的平分线, ∴∠CBE= 1 2 ∠CBD=65∘. (2)∵∠ACB=90∘,∠CBE=65∘, ∴∠CEB=90∘-65∘=25∘. ∵DF//BE, ∴∠F=∠CEB=25∘. 18.(12分)探究与证明： 如图 ①，在△ABC中，AD ⊥BC于点D，CE ⊥AB于点E． (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由; (2)如果∠ABC是钝角，如图 ②，(1)中的结论是否还成立?请说明理由． 【详解】 (1) 解:∠1=∠2. 理由如下: ∵AD⊥BC,CE⊥AB, ∴△ABD 和△BCE 都是直角三角形. ∴∠1+∠B=90∘,∠2+∠B=90∘. ∴∠1=∠2; (2)(1)中的结论仍然成立. 理由如下: ∵AD⊥BC,CE⊥AB, 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 10 ∴∠D=∠E=90∘. ∴∠2+∠ABD=90∘,∠1+∠CBE=90∘. 又∵∠ABD=∠CBE, ∴∠1=∠2.
