周周练0325.2.4一元二次方程的根与系数的关系（45min解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_周周练

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2026-2027 学年九年级上学期数学周周测03
25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．若、是方程
2
2
2026
0
x
x



的两个实数根，则

的值为（
）
A．2026
B．2
C．2

D．2026

【答案】D
【详解】解：∵，是方程
2
2
2026
0
x
x



的两个实数根，
∴
2026
2026
1





.
2．关于
的一元二次方程
的根的情况是（
）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的同号实数根
D．有两个不相等的异号实数根
【答案】D
【分析】先计算根的判别式判断根的个数，再根据两根之积的符号判断根的符号，即可得到结论．
【详解】∵对于一元二次方程
，
，
，
，
∴根的判别式
，
∵
，
∴
，方程有两个不相等的实数根，
设方程的两根为
，
，由根与系数的关系得
，
∴方程的两根异号，
∴方程有两个不相等的异号实数根．
3．下列方程的两个实数根的和为
的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：A．
，
，该方程有实根，
，不符合
题意；
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B．
，
，该方程有实根，且
，不符合题意；
C．
，
，该方程有实根，且
，符合题意；
D．
，
，该方程无实根，不符合题意
4．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为
和
，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2 和9，则原来的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方
程．
【详解】解：设原一元二次方程为
，
∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为
和
，
∴根据根与系数的关系，
，
∴
，
∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为
和，
∴根据根与系数的关系，
，
∴原方程为
．
5．对于任意实数
，，定义一种新运算“⊙”：
，若关于x 的方程
，
已知该方程的两个根为
、
，则
的值为（
）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】A
【分析】先根据新定义代入
，
，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系
即可得到答案.
【详解】∵
，且
，
∴将
，
代入得：
，
整理得：
，
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∴
．
6．若
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
2026
0
x
x



的两个实数根，则
2
1
1
2
x
x
x


的值是（
）
A．2024
B．2026
C．2028
D．4052
【答案】C
【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出
结果．
【详解】解：∵
1x 是一元二次方程
2
2
2026
0
x
x



的实数根，
∴
2
1
1
2
2026
0
x
x


，
∴
2
1
1
2
2026
x
x


，
∴


2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2026
2026
x
x
x
x
x
x
x
x









，
∵
1
2
,
x x 是一元二次方程
2
2
2026
0
x
x



的两个实数根，
∴
1
2
2
x
x


，
∴
2
1
1
2
2
2026
2028
x
x
x





．
7．若实数a，b，c 满足
，且
，则一元二次方程
的两个
实数根
满足的数量关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先对已知等式因式分解得到a 与c 的关系，再代入一元二次方程，结合根与系数的关系判断两根
的数量关系。
【详解】解：∵
，
对左边变形得
，
即
，
又∵
，
∴
，即
，
∴
，
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得
，
将
代入一元二次方程
，
得
，
整理得
，
对于一元二次方程
，常数项为
，
由根与系数的关系得
．
8．已知一个矩形相邻两边长（单位：
）是关于
的方程
（
是常数）的两个根，则这个矩
形的面积（单位：
）可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】矩形相邻两边是方程的两个实根，矩形面积等于两根乘积，利用一元二次方程判别式得到面积的
取值范围，即可得到符合条件的选项．
【详解】解：设矩形相邻两边长为方程
的两个根
，
∵矩形面积
，
由一元二次方程根与系数的关系得
，
∴
，
∵方程有两个正实根，
∴判别式
，
∵
，
∴
，解得
，
即
，
观察选项，只有A 选项
，符合要求．
9．已知关于x 的一元二次方程
2
2
2(
1)
2
0
x
k
x
k





的两个实数根为
1x 和
2x ，设
1
2
x
x
t
k


，则t 的最大
值为（
）
A．4

B．4
C．6

D．6
【答案】D
【分析】先根据题目分别找出
1
a ，


2
1
b
k


，
2
2
c
k


，再计算并判断正负并求出k 的取值范围，
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进而计算t 并求出最大值．
【详解】解：由题意可知
1
a ，


2
1
b
k


，
2
2
c
k


，
∴


2
2
4(
1)
4
2
8
4
0
k
k
k







，
∴
1
2
k 
，
∵


1
2
2
1
x
x
k



，
∴


2
1
2
2
k
t
k
k




，
∴当
1
2
k


时，t 最大，
6
t 
．
10．对于一元二次方程
（
），下列说法：
①若
，则
；
②若方程
有两个不相等的实数根，则方程
必有两个不相等的实数根；
③若c 是方程
的一个根，则一定有
成立；
④若
是一元二次方程
的根，则
；
⑤若方程
有两个不相等的实数根，则方程
也一定有两个不相等的实数根．
其中正确的个数有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题根据一元二次方程根的定义，一元二次方程判别式与根的关系，逐个判断五个说法的正误，
统计正确个数即可得到答案．
【详解】解：①若
，则
是方程
的根，方程有实根，因此判别式
，
故①正确；
②若方程
有两个不相等的实数根，则该方程判别式
，即
；
对于方程
，其判别式
，
，
，
因此方程
必有两个不相等的实数根，故②正确；
③若是方程
的一个根，代入得
，整理得
；
当
时，等式成立，但
不一定等于
，故③错误；
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④若
是方程
的根，则
，两边同乘
得
，
配方整理得
，故④正确；
⑤若方程
有两个不相等的实数根，则
；
当
时，方程
变为
，是一元一次方程，只有一个实数根，故⑤错误；
综上，正确的说法共个．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是1，2，则这个方程的常数项是_______．
【答案】
【分析】设该一元二次方程为
，由题意得
，
，
，然后利用根与系数的
关系求解．
【详解】解：设该一元二次方程为
，
由题意可知
，方程的两个根分别为
，
，
根据根与系数的关系，得
，
代入得
，
解得
，
∴这个方程的常数项是6．
12．写一个二次项系数为1 的一元二次方程，让它的两个根分别为5，
（化为一般形式）：______．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出一次项系数和常数项，即可得到所求方程．
【详解】解：设所求一元二次方程为
由题意得，二次项系数为，两根分别为和
∴
，
计算得
，
因此所求一元二次方程为
．
13．若一个一元二次方程的两个根分别为2 和
，请写出一个符合条件的方程______．
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【答案】
（答案不唯一）
【分析】先计算两根的和与积，再根据根与系数的关系写出符合条件的一元二次方程；
【详解】解：设一元二次方程为
，设两根分别为
，
，
∵
，
，
令
，可得
，
，因此符合条件的一元二次方程可为
（答案不唯一）；
14．已知
，
是方程
的两个实数根，则
=________．
【答案】5
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵
，
是方程
的两个实数根，
∴
．
15．菱形的两条对角线的长是方程
的两根，则菱形的面积是______．
【答案】
3
【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可．
【详解】解：设方程
的两个根为
，
，
由根与系数的关系得：
，
∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根，
∴菱形两条对角线的乘积为
，
∵菱形的面积等于对角线乘积的
，
∴菱形的面积为
．
16．已知关于
的一元二次方程
，方程有两个互为相反数的实数根，则
的值是
__________．
【答案】
/
【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出
的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结
果．
【详解】解：设方程
的两个实数根为
，
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8 / 9
由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：
，
解得：
，
将
代入原方程，得
，
此时判别式
，方程有两个不相等的实数根，符合题意．
三、解答题：本题共2 小题,第17 题10 分，第18 题12 分，共22 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．关于
的一元二次方程
有一个根是
，求
的值及方程的另一个根．
【答案】
；另一个根是0
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
将
代入方程求出
，再根据根与系数的关系求另一个根．
【详解】解：将
代入方程可得：
，
解得：
，
∴该方程为
；
设方程的另一个根为
，由根与系数的关系得，
，
解得：
；
综上所述，
，另一个根为0．
18．已知关于x 的方程
(1)当方程的一个根为2 时，求c 的值．
(2)若方程的两根之积为3，求方程的根．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）将方程的根
代入原方程即可求解；
（2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：将方程的根
代入原方程：
，解得
；
（2）设方程的两根为
，
，若方程的两根之积为3，
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9 / 9
则
，解得
，
即：
，