1 / 42
2 / 42
3 / 42
使用指南
知识体系
图示说明关联
章节概述
点拨章节要点
知识清单
梳理考点内容
知识拓展
拓宽认知范围
4 / 42
目录
一元二次方程 .......................................................................................................................................................5
一、一元二次方程的相关概念 ..............................................................................................................6
二、根的判别式 ..........................................................................................................................................6
三、解一元二次方程 ................................................................................................................................7
四、一元二次方程的常见应用题 .........................................................................................................9
二次函数 .............................................................................................................................................................. 12
一、二次函数的相关概念 .................................................................................................................... 13
二、图象与性质 ....................................................................................................................................... 13
三、二次函数的应用 ............................................................................................................................. 16
旋转 ....................................................................................................................................................................... 22
一、旋转的定义 ....................................................................................................................................... 23
二、旋转的性质 ....................................................................................................................................... 23
三、中心对称 ........................................................................................................................................... 23
四．坐标系中对称点的特征................................................................................................................ 24
圆 ........................................................................................................................................................................... 28
知识清单： ......................................................................................................................................................... 29
一、圆的基本性质 .................................................................................................................................. 29
二、点与圆、直线与圆的位置关系 .................................................................................................. 31
三、正多边形与圆 .................................................................................................................................. 33
四、弧长与扇形面积计算：................................................................................................................ 33
概率初步 .............................................................................................................................................................. 36
一、确定性事件与随机事件................................................................................................................ 37
二、概率的计算 ....................................................................................................................................... 37
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一元二次方程
知识体系：
章节概述：
本章主要内容是一元二次方程的解法和运用，首先一元二次方程定义是含
有一个未知数的方程，并且未知数的最高次数是2．接下来利用根的判别式判
断出根的个数，然后解一元二次方程，其核心是“降幂”，即通过配方、因式分
解等把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，公式法也是通过配方
推导出来之后直接利用系数代入得到求根公式，从而得到方程的解，同时也得
到了根与系数的关系．最后利用一元二次方程的解法来解决实际生活中的问
题，通过建立数学恒等式，得出最后问题的结果．
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知识清单：
一元二次方程
一、一元二次方程的相关概念
1．一元二次方程的定义
一般地，形如
ax
bx
c
a
0(
0)
2
，叫做一元二次方程．其中ax
2是二次
项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
注意：一元二次方程成立必须满足三个条件
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，且未知数在分母
上那就是分式方程，不是一元二次方程；方程中有根号，且未知数在根号
内，也不是一元二次方程；
②只含有一个未知数；
③含有未知数的项的最高次数是2．
2．一元二次方程的一般形式：
ax
bx
c
a
0
0
2
3．方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫
做一元二次方程的根．解的个数由根的判别式决定．
二、根的判别式
1．定义：
一般地，式子
b
ac
4
2
叫做一元二次方程根的判别式，通过希腊字母“”表
示它，即
b
ac
4
2
．
①当
b
ac
4
0
2
时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
②当
b
ac
4
0
2
时，方程有两个相等的实数根；
③当
b
ac
4
0
2
时，方程无实数根．
注意：若方程有实数根，则表示0．
7 / 42
三、解一元二次方程
1．直接开平方法
一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直
接开平方法．
对形如
Ax
B
C
2
C
(
0) 的一元二次方程，两边直接开平方得：
Ax
B
C ，得到方程的解为
A
A
x
x
C
B
C
B
,
1
2
．
2．配方法
（1）一般地，若一个一元二次方程通过配方转化成
x
n
p
(
)2
的形式再用直
接开平方法求解的方式，叫做配方法．
配方法解一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
ax
bx
c
a
0
0
2
的一般步骤：
①移：把常数项移到方程右边，使得方程左边只含带未知数的项；
②化：方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1；
③配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方式；
④解：用直接开平方法解方程．
（2）对于方程
x
n
p
(
)2
，p 正负决定了根的个数：
①当
p
0时，方程有两个不相等的实数根：
x
p
n
1
；
x
p
n
2
；
②当
p
0时，方程有两个相等的实数根：
x
x
n
1
2
；
③当
p
0时，方程无实数根．
3．公式法
对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
ax
bx
c
a
0
0
2
的求解过程：
当
b
ac
4
0
2
时，方程
ax
bx
c
0
2
可配方成
a
a
x
b
b
ac
2
4
4
2
2
，
则实数根为
a
x
b
b
ac
2
4
2
，这个式子就是一元二次方程的求根公式．
公式法一般步骤：
①把方程化为一般形式，确定出a b c
, , ；
②求出
b
ac
4
2
，判断方程解的情况；
8 / 42
③代入公式：
a
x
b
b
ac
2
4
2
．
4．因式分解法
（1）先将一元二次方程化为一般式后，使左边的式子因式分解，使方程化成两
个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降
次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
一般步骤：
①将方程化为一般式；
②将方程的左边分解成两个一次因式的乘积；
③得到两个一元一次方程并求解，两个方程的解就是一元二次方程的解．
（2）代数式表示：
ax
bx
c
0
2
a x
x
x
x
(
)(
)
0
1
2
，
则方程的解为
，
x
x
x
x
1
2．
（3）因式分解三种方法：
①提公因式法；
②公式法：借助乘法公式，包括平方差公式和完全平方公式，即
a
b
a
b
a
b
2
2
；
a
ab
b
a
b
2
2
2
2
；
③十字相乘法：
x
p
q x
pq
0
2
可以转化为
x
p x
q
(
)(
)
0 ．
注：①直接开平方法适用于
A
B
2
或
A
B
2
2 型方程
②配方法和公式法适用于所有方程；
③因式分解法适用于变形后能够化成几个因式乘积的形式的方程．
9 / 42
4．根与系数的关系（韦达定理）
若对于
2
0
0
ax
bx
c
a
有两个实数根，
根据公式法得：
2
1
4
2
b
b
ac
x
a
；
2
2
4
2
b
b
ac
x
a
，
则
1
2
b
x
x
a
；
1
2
c
x x
a
．
这表明任何一个一元二次方程的根与系数关系为：
两个根的和等于一次项系数和二次项系数的比的相反数，即
1
2
b
x
x
a
；
两个根的积等于常数项与二次项系数的比，即
1
2
c
x x
a
．
四、一元二次方程的常见应用题
1．增长率类
假如第一年的年生产总值为a ，年增长率为x ，则第二年的年生产总值为
(1
)
a
x
，第三年的年生产总值为
2
(1
)
a
x
，然后根据题目具体要求建立方程
求解即可．
2．面积类
根据面积公式，把题目信息转换成代数式进而建立等式．
3．销售类
销售类问题常见公式
①总利润=销售量（售价成本）；
②利润率=（售价-成本）成本．
注：进价即成本．
4．传播循环类问题
假如a 表示传播之前的人数，x 表示每轮每个人传播的人数，n 表示传播的
天数或者轮数，A 表示最终的人数，则
1
n
a
x
A
．
5．数式问题
有关数字的应用题，大致可以分为三类，即一般数目关系问题、连续数问
题、数字排列问题．
①一般数目关系问题：数目关系简单，利用加、减、乘、除、和、差、积、
商、倍数、余数等运算关系的表示方式，就可以根据题目所给的条件列出方
程；
10 / 42
②连续数问题，有三种：连续整数、连续偶数、连续奇数，掌握它们的表示
法是解这类题的关键；
③数字排列问题，例如：三位数=百位上的数字100+十位上的数字10+个
位数字．
专属练习：
1．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为( )
A．
2
0
ax
bx
c
B．
2
3
x
x x
C．
2
3
5
0
x
x
D．
2
0
x
y
2．一元二次方程
3
3
x x
x
的解是 ( )
A．
1
x
B．
3
x
C．
1
1
x ，
2
3
x
D．
1
1
x ，
2
3
x
3.若关于x 的方程
2
4
0
kx
x
有实数根，则k 的取值范围是( )
A．
16
k
B．
1
16
k
C．
16
k
且
0
k
D．
1
16
k
且
0
k
4．为执行“均衡教育”政策，某县2014 年投入教育经费2500 万元，预计到2016
年底三年累计投入1.2亿元．若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则
下列方程正确的是( )
A．
2
2500(1
)
1.2
x
B．
2
2500(1
)
12000
x
C．
2
2500
2500 1
2500(1
)
1.2
x
x
D．
2
2500
2500 1
2500(1
)
12000
x
x
5．一元二次方程
2
3
0
x
ax
b
的两个根为2
和4 ，则
2
3
0
x
ax
b
可分解
为 ( )
A．
3
2
4
0
x
x
B．
3
2
4
0
x
x
C．
3
2
4
0
x
x
D．
3
2
4
0
x
x
11 / 42
6．若实数x 满足方程
2
2
12
2
1
2
x
x
x
x
，那么
2
2
x
x
的值为 ( )
A．3
B．4
C．3 或
4
D．4
7．用配方法解一元二次方程
2
2
3
1
0
x
x
，变形为
2
(
)
x
h
k
，则h ____，
k _____．
8．已知a 是方程
2
1
0
x
x
的一个根，则
4
3
2
a
a
的值为________ ．
9．已知一元二次方程
2
6
0
x
x
m
有一个根为2 ，则另一根为________ ．
10．等腰ABC 的一边BC 的长为6 ，另外两边AB ，AC 的长分别是方程
2
8
0
x
x
m
的两个根，则m 的值为________ ．
11．用适当的方法解方程
(1)
2
2x
x
(2)
2
3
1
0
x
x
(3)
2
5
2 5
x
x
12．诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80 元，销售价为
120元时，每天可售出20 件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当
的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1
元，那么平均可多售出2 件．
(1) 设每件童装降价x 元时，每天可销售________ 件，每件盈利________ 元；
（用x 的代数式表示）
(2) 每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
(3) 要想平均每天赢利2000 元，可能吗？请说明理由．
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二次函数
知识体系：
章节概述：
本章我们首先认识了二次函数，研究了二次函数的图象与性质，然后从函数的角度去
解决与方程不等式以及实际应用的问题．从简单到复杂，从特殊到一般的顺序，先研究了
一般式
2
(
0)
y
ax
bx c a
的概念图象与性质，通过配方得到顶点式
2
(
)
y
a x
h
k
(
0)
a
，在配方和平移中起着重要的作用，借助二次函数的图象得到它的性质，体现了数
形结合的思想，在一些与x 轴交点个数，一元二次方程和不等式，以及与几何联系的函几
综合问题上都能得到极大的运用，最后利用函数性质解决一些实际生活中的问题．
13 / 42
知识清单：
二次函数
一、二次函数的相关概念
1．二次函数的定义：
一般地，形如
2
y
ax
bx
c
（, ,
a b c 都是常数,
0
a
）的函数，叫做二次函数．其
中，x 是自变量，, ,
a b c 分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项．
2．表达式（三种形式）
（1）一般式：
2
0
y
ax
bx
c a
；
（2）顶点式：
2
(
)
0
y
a x
h
k a
；
（3）交点式：
1
2
(
)(
)
0
y
a x
x
x
x
a
．
二、图象与性质
1．二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
图象的画法：
①一般方法：列表、描点、连线；
②简易画法：五点定形法．
14 / 42
2．二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
图象与性质：
函数
二次函数
2
y
ax
bx
c
（, ,
a b c 都是常数，
0
a
）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当
时，y 随x 的增大而减小；
在对称轴的右侧，即当
时，y 随x 的增大而增大．
在对称轴的左侧，即当
时，
y 随x 的增大而增大；
在对称轴的右侧，即当
时，y 随x 的增大而减小．
最大/小值
抛物线有最低点，
当
时，y 有最小值，
抛物线有最高点，
当
时，y 有最大值，
0
a
0
a
2
b
x
a
2
b
x
a
2
4
,
2
4
b
ac
b
a
a
2
4
,
2
4
b
ac
b
a
a
2
b
x
a
2
b
x
a
2
b
x
a
2
b
x
a
2
b
x
a
2
4
4
ac
b
y
a
最小值
2
b
x
a
2
4
4
ac
b
y
a
最大值
15 / 42
3．顶点式：
y
a x
h
k
(
)2
a
(
0)
(1)顶点式是一般式通过配方得来的：
y
ax
bx
c
2
得到
a
a
y
a x
b
ac
b
2
4
(
)
4
2
2
a
(
0)
(2)对称轴：直线
x
h ，顶点坐标：h k
( , )
4．交点式：
y
a x
x
x
x
(
)(
)
1
2
a
(
0)
(1)交点式可以通过一般式因式分解得到，题目中明确了二次函数与x 轴交点，用交点
式求解析式最合适．
(2)对称轴：直线
x
x
x
2
1
2 ，顶点坐标：
x
x
a x
x
2
4
(
,
)
(
)
1
2
1
2
2
5．二次函数
y
ax
bx
c a
(
0)
2
图象的特征与符号a b c
, ,
之间的关系
符号
字母
字母的符号
图象的特征
a
a
0
开口向上
a
0
开口向下
b
ab
0 (a，b 同号)
对称轴在y 轴左侧
ab
0 (a，b 异号)
对称轴在y 轴右侧
c
c
0
图象过原点
c
0
与y 轴正半轴相交
c
0
与y 轴负半轴相交
注意：特殊关系：
①当
x
1时，
y
a
b
c ；当
x
1时，
y
a
b
c ；
当
x
2 时，
y
a
b
c
4
2
；
②当对称轴为直线
x
1，则
a
b
2
0 ．
6．函数的平移：
步骤：化成顶点式
y
a x
h
k
(
)2
，若向左平移n 个单位，则平移之后的解析式为
y
a x
h
n
k
(
)2
，若再向下平移m 个单位，则平移之后的解析式为
y
a x
h
n
k
m
(
)2
．
16 / 42
平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项．
7．函数的对称：
(1)关于x 轴对称：
y
y
(
) ：
y
ax
bx
c
2
得到
y
ax
bx
c
2
注：关于x 轴对称,a b c
, ,
的符号均相反．
(2)关于y 轴对称：
x
x
(
) ：
y
a
x
b
x
c
ax
bx
c
(
)
(
)
2
2
注：关于y 轴对称，a c,
的符号不变，b 的符号相反．
(3)关于原点对称：
x
x
(
) ;
y
y
(
) :
y
a
x
b
x
c
y
ax
bx
c
(
)
(
)
2
2
注：关于原点对称：a c,
的符号相反，b 的符号不变．
(4)关于顶点对称：首先化成顶点式
y
a x
h
k
(
)2
，其次
a
a
(
)
即
y
a x
h
k
(
)2
．
三、二次函数的应用
1．二次函数与一元二次方程
(1)函数
y
ax
bx
c a
(
0)
2
，当
y
0时，得到一元二次方程
ax
bx
c
0
2
，那么
一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的
交点情况决定一元二次方程根的情况．
①当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时
b
ac
4
2
0 ，则方程有两个不相
等实根；
②当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时
b
ac
4
0
2
，则方程有两
个相等实根；
③当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时
b
ac
4
0
2
，则方程没有实根．
2．二次函数与不等式
函数
y
ax
bx
c a
(
0)
2
，当
ax
bx
c
0
2
即
y
0时，代表函数在x 轴上方的图
象，图象所对应的x 的取值范围即为所求，当
ax
bx
c
0
2
即
y
0 时，代表函数在x
轴下方的图象，图象所对应的x 的取值范围即为所求．
(1)与常数函数：
y
ax
bx
c a
(
0)
2
，
y
2 ，即在
y
2 直线上方所对应的x 的取值
范围．
17 / 42
(2)与一次函数比较：
2
1y
ax
bx
c
，
2y
kx
b
，若
1
2
y
y
，则先求出两个函数的交
点，比较函数图象的位置，从而求出对应的x 取值范围．
(3)与二次函数比较：
2
1
1
1
1
y
a x
b x
c
，
2
2
2
2
2
y
a x
b x
c
，若
1
2
y
y
，则先求出两
个二次函数的交点，比较函数图象的位置，从而求出对应的x 取值范围．
3．二次函数与几何
(1)将军饮马：利用二次函数对称性作点的对称点，利用两点之间线段最短解决问题．
(2)面积类：分析条件合理切割面积（铅垂高，水平宽），列出面积关系式，利用二次函数
性质求面积最值问题．
(3)三角形：
①等腰三角形:设动点的坐标；根据两点之间距离公式表示出长度；分类讨论列方程求
解；验证舍掉不符合题意的点．
②直角三角形：设动点的坐标；根据两点之间距离公式表示出长度；分类讨论根据勾
股定理列出方程求解；验证舍掉不符合题意的点．
(4)平行四边形存在性问题：
①写出四个点的坐标（已知求未知设）；
②取一定点A，按AB、AC、AD 分别为一条对角线进行分类讨论；
③根据平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式列式计算；
④检验结果．
4．二次函数与实际应用
(1)坐标系类：合理建立坐标系，把题目信息条件转换成坐标，求出解析式，继而解决问
题．
(2)求值类：列出关系式（注意隐含的取值范围限定），利用函数的对称轴和最值等求值方
法解决实际问题．
专属练习：
1．下列函数中是二次函数的是( )
A．
2
y
ax
bx
c
B．
2
1
1
2
y
x
C．
2
2
1
y
x
x
D．
3
2
2
3
y
x
x
2．把二次函数
2
4
1
y
x
x
化成
2
y
a x
h
k
的形式是( )
A．
2
(
2)
1
y
x
B．
2
(
2)
1
y
x
C．
2
(
2)
3
y
x
D．
2
(
2)
3
y
x
18 / 42
3．已知抛物线
2
8
y
x
x
c
的顶点在x 轴上，则c 等于( )
A．4
B．8
C．4
D．16
4．已知二次函数
2
6
9
y
kx
x
的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是( )
A．
1
k
B．
1
k 且
0
k
C．
1
k
D．
1
k
5．二次函数
2
1
y
x
的图象与x 轴交于,A B 两点，与x 轴相交于C 点．下列说法中错
误的是( )
A．ABC
是直角三角形
B．点C 为函数图象的顶点
C ．对称轴是直线
1
x
D．当
0
x
时，y 随着x 的增大而减小
6．已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
的图象如图，则下
列结论中正确的是( )
A．
0
a
B．当
1
x
时，y 随x 的增大而增大
C．
0
c
D．3 是方程
2
0
ax
bx
c
的一个根
7．已知函数y
bx
a
的图象如图所示，则函数
2
y
ax
bx
c
的图象大致是( )
A．
B．
C．
D．
19 / 42
8．二次函数
2
y
ax
bx
c
的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下所示，相应图象如
图所示，结合表格和图象回答下列问题：
x
3
1
0
3
2
y
ax
bx
c
7
m
8
m
(1) 抛物线
2
y
ax
bx
c
的对称轴是直线x ________；
(2) 求出二次函数
2
y
ax
bx
c
的解析式；
(3) 当方程
2
ax
bx
c
k
有解时，求k 的取值范围．
9．已知二次函数
2
6
8
y
x
x
．
(1) 将
2
6
8
y
x
x
化成
2
y
a x
h
k
的形式；
(2) 当0
4
x
时，y 的最小值是________，最大值是________；
(3) 当
0
y
时，写出x 的取值范围．
10．如果将抛物线
2
2
y
x
平移，顶点移到点
3, 2
P
的位置，那么所得新抛物线的表
达式为________ ．
11．如图，二次函数
2
1y
ax
bx
c
与一次函数
2y
kx
的图象交于点A 和原点O ，点
A 的横坐标为4
，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为 1 ，则满足
1
2
0
y
y
的x 的取值范围是________ ．
20 / 42
12．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图
1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长46 米，设两间饲养室合计长x （米），总占地面
积为y （米2）．
图1
图2
图3
(1) 求y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围；
(2) 现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2 所示），每扇门宽1米，门不采用计划中
的材料．
① 求总占地面积最大为多少平方米？
② 如图3 所示，离墙10米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积
尽量大，饲养室的门口与小路的间隔为多少米？
21 / 42
13．某工厂设计生产了一款汽车饰品, 每件成本为30 元, 经过试销和市场调查得知, 销售
单价为50 元时, 每天的销售量为60 件, 而销售单价每降低1元, 每天就可多售出4 件, 每
涨价1元, 每天就会少售出4 件．
(1) 求每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式
(2) 求出销售单价为多少元时, 每天的销售利润最大？最大利润是多少？(单价为整数)
(3) 如果该工厂要使每天的销售利润不低于1000元 , 且每天的总成本不超过2400 元, 那
么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本每件的成本每天的销售量)
22 / 42
旋转
知识体系：
章节概述：
在现实生活中，旋转现象普遍存在，在同一平面内，一个平面图形绕着某一点转动一
个角度，就是平面图形的旋转，中心对称就是旋转的特殊情况：把一个图形绕某一点旋转
180后得到图形与原图形中心对称；如果把一个图形绕某一点旋转180后得到的图形能
与原图形重合，则这个图形就是中心对称图形，旋转后的图形与原图形全等，即旋转与平
移、轴对称一样，都是保持全等关系的图形变化．旋转中心对称的知识在生产和生活中有
广泛的应用．
23 / 42
知识清单：
旋转
一、旋转的定义
1．旋转：把一个平面图形绕着平面某一点O 转动一个角度，叫做图形的旋转．点O 叫旋
转中心，转动的角叫旋转角．
二、旋转的性质
1．旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等．
三、中心对称
1．定义：
（1）中心对称是旋转的特殊情况：把一个图形绕某一点旋转180，如果得到的图形能与
另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中
心．
（2）中心对称图形：如果把一个图形绕着某一个点旋转180后能与自身重合，那么这个
图形就是中心对称图形，这个点是它的对称中心．
【注意】中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关
系，这两个图形关于一点对称，这个点就是对称中心，成中心对称的两个图形中，其中一
个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一图形上所有点的对称
点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上
所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上．
24 / 42
2．中心对称的性质：
（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
（2）中心对称的两个图形全等；
（3）中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一个直线上），对应线段长度相等．
3．中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一个点并且被这一点平分，那么
这两个图形关于这一点成中心对称．
四．坐标系中对称点的特征
1．关于原点对称：两个点关于原点对称，它们的横、纵坐标均互为相反数，即
,
P x y 关
于原点对称的对称点
(
,
)
P
x
y
．
2．关于x 轴对称：两个点关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即
,
P x y 关
于x 轴对称的对称点
'
,
P
x
y
．
3．关于y 轴对称：两个点关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，即
,
P x y 关
于x 轴对称的对称点
'
,
P
x y
．
25 / 42
专属练习：
1．观察下面图形，是中心对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2．如图所示的滑雪人经过旋转或平移不能得到的是 ( )
A．
B．
C．
D．
3．如图，将方格纸中的图形绕点O 逆时针旋转90后得到的图形是 ( )
A．
B．
C．
D．
26 / 42
4．下列运动属于旋转的是 ( )
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．手表的指针运动的过程
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某直线对折的过程
5．一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第 2009 个图案是第
_______个．
6．如图所示，将图形 ( 1) 以点O 为旋转中心，每次旋转 90 ，则第2015 次旋转后的
图形是 ________ （在下列各图中选填正确图形的序号即可）．
7．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90 得到线段A B
，那么
2,5
A
的对应点A的
坐标是________．
8．一个正方形绕它的中心至少旋转________度，才能与原来的图形重合．
9．如图，D 是等腰直角三角形ABC 内一点，BC 是斜边，如果将ABD 绕点A 按逆时
针方向旋转到
1
ACD 的位置，那么
1
DAD
的度数是_______ ．
27 / 42
10．若点
, 2
A m
与点
3,
B
n
关于原点对称，则
,
m n 在第________ 象限．
28 / 42
圆
知识体系：
章节概述：
本章我们将会从四个部分进行圆的学习：
第一部分，我们将进一步认识圆，包括圆的基本性质及重要定理；
第二部分，我们将研究点与圆、直线与圆之间的关系；
第三部分，我们将利用圆的性质来了解正多边形；
第四部分，我们将学习一些关于弧长与扇形面积计算的公式．
圆是初中几何中比较难的章节，也是中考几何部分压轴题最常考的模块之一，需要受
到我们的高度重视．
29 / 42
知识清单：
圆
一、圆的基本性质
1．圆：
（1）定义：
在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所
形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径．
也可以表示为：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点称为
圆心，定长称为半径．
（2）对称性：
①轴对称：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
②中心对称：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．
2．圆弧：
（1）定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为
端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．
（2）优弧/劣弧：大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
3．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．
4．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
如图，AB 为⊙O 上的一条弦，若直径
AB
CD
于点P ，则
BP
AP
且CD 平分弧AB
及弧ACB
推论1：
（1）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
（平分弦、平分优弧、平分劣弧、过圆心、垂直弦五个条件知二推三．）
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
OA
30 / 42
5．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角．
6．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
7．圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
8．圆周角：顶点在圆周上，且两边分别与圆相交的角叫做圆周角．
9．圆周角定理：
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；同弧或等弧所对的圆周角也相等
（不需要再说明同圆或等圆中，同弧或等弧即为同圆或等圆中）．
推论2：直径所对的圆周角是直角；
90 的圆周角所对的弦是直径．
10．圆的内接四边形：如果四边形的四个顶点在同一个圆上，这圆叫做四边形的外接圆，
这个四边形叫做圆的内接四边形．
性质：圆内接四边形的对角互补；对角互补的四边形内接于圆．
应用：圆内接四边形任何一个外角等于它的内对角．（同角的补角相等）
如图，点ABCD 在⊙O 上，
则
180
D
ABC
C
A
；
D
CBE
31 / 42
二、点与圆、直线与圆的位置关系
1．点与圆的位置关系：
设
O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：
r
d＜
点P 在⊙O 内；
r
d
点P 在⊙O 上；
r
d＞
点P 在⊙O 外．
2．直线与圆的位置关系：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共
点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么：
r
d＜
直线l 与⊙O 相交；
r
d
直线l 与⊙O 相切；
r
d＞
直线l 与⊙O 相离；
3．切线的判定与性质：
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
4．切线长与切线长定理：
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线
长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分
两条切线的夹角．
如图，过⊙O 外一点P 做⊙O 的两条切线PA 、PB ，则
PB
PA
且OP 平分
APB
5．外接圆与内切圆：
（1）外接圆与外心
①圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
②三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．
③三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫
做这个三角形的外心（圆心到三角形三个顶点距离相等）．
32 / 42
（2）内心
①三角形的内切圆:与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．
②三角形的内心:三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三
角形的内心（圆心到三角形三边距离相等）．
③内切圆半径
a．ABC
的周长为C ，面积为S ，其内切圆的半径为r ，则它的内切圆的半径
2S
r
C
b．Rt ABC
的三条边分别为：a 、b 、c （c 为斜边），则它的内切圆的半径
2
a
b
c
r
33 / 42
三、正多边形与圆
1．正多边形的定义：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
2．正多边形和圆的关系：
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正
多边形的外接圆．
3．正多边形的相关概念：
（1）正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
（2）正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径．
（3）正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心
距．
（4）中心角:正多边形的每一边所对外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角．
4．正多边形的对称性：
（1）正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形．一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的
中心．
（2）正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心．
（3）正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再作正多边形．
四、弧长与扇形面积计算：
1．弧长公式：
n 的圆心角所对的弧长l 的计算公式为
180
R
n
l
2．扇形面积公式：
lR
R
n
S
2
1
360
2
扇
（其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半
径，l 是扇形的弧长．）
3．圆锥的侧面积：
rl
r
l
S
2
2
1
（其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的底面半径）
34 / 42
专属练习：
1．下列说法正确的是( )
A．半圆是弧，弧也是半圆
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦
D．直径是同一圆中最长的弦
2．在直径为8 的圆中，90的圆心角所对的弦长为( )
A．4 2
B．4
C．4 3
D．8
3．直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为5 ，则r 的取值范围是 ( )
A．
5
r
B．
5
r
C．
5
r
D．
5
r
4．已知正六边形的边长为2 ，则它的内切圆的半径为( )
A．1
B．3
C．2
D．2 3
5．圆心角为240的扇形的半径为3cm ，则这个扇形的面积是( )
2
cm
A．
B．3
C．9
D．6
6．如图，正方形ABCD 内接于半径为2 的⊙O ，则图中阴影部分的面积
为( )
A．
1
B．
2
C．
3
D．
2
7．如图，在Rt ABC
中，
90
C
，
10
AB
．若以C 为圆
心，CD 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ．则AC 的长为
________．
8．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，
100
AOC
，则
ABC
________ ．
35 / 42
9．如图，过圆外一点P 作⊙O 的切线PC ，切点为B ，
连结OP 交圆于点A ，若
1
AP
OA
，则该切线长为
________．
10．如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，
1
130
，则
CDE
________．
11．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，则
ABD
的度数是
________ 度．
12．已知圆锥的高是3cm ，母线长5cm ，则圆锥的侧面积是
________
2
cm （结果保留）
13．如图，在⊙O 中，
AC
BD
弧
弧
，求证：AB
CD
14．如图，某公园一座拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB 为24 米，拱桥所在圆的半径为
13米，求拱高CD ．
15．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且OD
CB
∥
，OD 与AC
交于点E ．
(1) 若
70
B
，求
CAD
的度数；
(2) 若
5
AD
，
8
AC
，求AB 的长．
36 / 42
概率初步
知识体系：
章节概述：
本章内容较为简单，我们将以两个模块进行学习．
第一部分为事件可能性的判断，主要学会区分确定性事件与随机事件．
第二部分主要学习概率的几种计算方法．
37 / 42
知识清单：
概率初步
一、确定性事件与随机事件
1．确定性事件：必然事件和不可能事件统称确定性事件
（1）必然事件：在一定的条件下，必然会发生的事件；
（2）不可能事件：在一定的条件下，必然不会发生的事件．
2．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
3．概率：
一般地，对于一个随机事件A ，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件
A 发生的概率，记为
）
（A
P
；
一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事
件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的频率
m
P A
n
．
在
m
P A
n
中，由m 和n 的含义，可知
n
m
0
，因此，
0
1
P A
当A 为必然事件时，
1
）
（A
P
当A 为不可能事件时，
0
）
（A
P
事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概
率越接近0．
二、概率的计算
1．古典概型：
某个试验若可能出现的结果有有限多个，各种结果发生的可能性相等，那么这样的试
验称为古典概型．
2．古典概型的计算：
一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事
件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为
m
P A
n
．
38 / 42
3．计算概率的方法：
（1）列表法
一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有
可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发
生的可能的次数和方式，并求出概率的方法．
要点诠释：
①列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
②列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率．
（2）树状图法
当一次试验要涉及3 个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用
树状图．
树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发
生的可能的次数和方式，并求出概率的方法．
要点诠释：
①树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
②在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同．
39 / 42
（3）列举法
用列举法求概率的一般步骤
①列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断所有结果发生的可能性是
否都相等；
②如果都相等，再确定所有可能的结果总数n 和事件A 包含其中的结果数m ；
③用公式计算所求事件A 的概率.即
m
P A
n
．
（4）用频率估算概率：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率
逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率．
要点诠释：
①事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小
摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近可见，概
率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者经
常存在一定的偏差．用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当
试验次数很大时，结果将较为精确．
40 / 42
专属练习：
1．下列成语描述的事件为随机事件( )
A．水涨船高
B．水中捞月
C．守株待兔
D．缘木求鱼
2．下列问题，不可能达到
％
100
的是( )
A．六一班学生今天的出勤率
B．一批优质大豆的出油率
C．一道数学习题的得分率
D．张叔叔种植一批树苗的成活率
3．从标号分别为
5,4,3,2,1
的5 张卡片中，随机抽取1张，下列事件中，必然事件是( )
A．标号小于6
B．标号大于6
C．标号是奇数
D．标号是3
4．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2 个，小明
摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( )
A．2
1
B．4
1
C．6
1
D．12
1
5．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
若出售1500件衬衣，则其中次品最接近( )件
A．100
B．150
C．200
D．240
6．甲、乙、丙、丁两位同学做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一
人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人，则第二次传球
后球回到甲手里的概率是________；第三次传球后球回到甲手里的概率是________．
7．有一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有1到6 的点数，任意将它抛掷两次，并将两次
朝上面的点数相加，则其和小于6 的概率是________．
8．有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域．
(1) 某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表：
抽取件数（件）
50
100
150
200
500
800
1000
合格频数
42
88
141
176
445
724
901
实验次数n （次）
10
100
2000
5000 10000 50000 100000
白色区域次数m （次）
3
34
680
1600
3405 16500 33000
41 / 42
请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为________；
(2) 若该圆形转盘白色扇形的圆心角为120度，黑色扇形的圆心角为240，转动转盘两
次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．
9．一个盒子中装有红球n 个和白球4 个．从中随机摸出一个球是白球的概率是3
1 ．
(1) 求红球的个数n ；
(2) 若在盒子中再放入m 个红球， 使随机摸出一个球是红球的概率为4
3 ，求m 的值．
10．糖果盒内有包装完全相同的7 颗糖，其中牛奶糖3 颗，水果糖2 颗，咖啡糖2 颗．
(1) 小明设计了一个游戏，规则如下：小明从盒子内随机拿出一颗糖，如果拿出牛奶糖，
那么小婷赢，否则小丽赢．小婷认为游戏不公平，请你解释她的想法；
(2) 请你利用这盒糖果设计一个公平的游戏，并说明游戏规则．
落在白色区域频率n
m
3.0
34
.0
34
.0
32
.0
34
.0
33
.0
33
.0
小学
初中
