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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（三）
一．解答题（共20 小题）
1．（2026•湖北）抛物线y＝x2﹣2x+c 与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C．点P 在直线
BC 上，设点P 的横坐标为t．
（1）求c 的值；
（2）如图1，点H 是抛物线上位于第四象限的点，PH 平行于x 轴．当t＝1 时，求点H 的坐标；
（3）点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方，PQ＝2√2．过点P，Q 分别作x 轴和y 轴的垂线，四条
垂线围成四边形PEQF．若四边形PEQF 的边与抛物线有两个交点M，N，记M，N 的纵坐标之和为f．
①当点P 在线段BC 上时，求f 关于t 的函数解析式；
②当f=- 11
2 时，直接写出t 的值．
2．（2026•吉林）如图①，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，函数y＝（x+1）2﹣1（﹣3≤x≤0）的
图象记为G1，顶点为点A．将G1向右平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到图象G2，点A
的对应点为点B，图象G1与G2合起来得到的图象记为G．
（1）填表：
图象
对应的函数解析式
点的坐标
G1
y＝（x+1）2﹣1（﹣
3≤x≤0）
A（ ，
）
G2
B（ ， ）
（2）观察图象G，解答下列问题：
①直接写出当x 在什么范围内取值时，y 随x 的增大而减小；
②当﹣2≤x≤n 时，﹣1≤y≤0，求n 的取值范围．
（3）如图②，点P 为G1上一点，横坐标为m；点Q 为G2上一点，横坐标为m+3；点C 为G2上一点，
横坐标为3．过点C 作x 轴的平行线l1，点Q 关于直线l1的对称点为点D，过点D 作x 轴的平行线l2．
图象G 上P，Q 两点之间的部分（含P，Q 两点）的最高点和最低点到直线l2的距离分别为h1，h2．
①请你判断点P，Q 是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由；
②当h1＝2h2时，直接写出m 的值．
2
3．（2026•齐齐哈尔）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a＜0）与x 轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
与y 轴交于点C，作直线AC，BC，点P 为第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PD⊥x 轴，垂足为
D，PD 交直线BC 于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求PE 的最大值及PE 最大时点P 的坐标；
（3）如图2，若将抛物线y＝ax2+bx+4 沿射线AC 方向平移√5个单位长度，得到新抛物线，点Q 为新
抛物线上一点，且∠CBQ＝∠ACB，则点Q 的坐标为 ；
（4）当PE 最大时，作直线OE，若点M 为直线BC 上的一个动点，连接OM，将线段OM 绕点O 顺时
针旋转90°得到OM′，取OM′的中点N，过点N 作NF⊥OE，垂足为F，连接AN，PF，则AN+PF
的最小值为 ．
4．（2026•深圳）综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运
营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究
成本与收支平衡问题．
【研究条件】
条件1：该充电站收入y（单位：元）与当日充电汽车数量x（单位：辆）之间的对应关系如表：
3
x
1
2
3
4
5
y
50
100
150
200
250
条件2：该充电站的运营成本ω（单位：百元）与充电汽车数量x 之间满足：ω= 1
4 x
2+20x+500．
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
（1）根据如表数据，求y 与x 的函数关系式，并计算当x＝40 时，该充电站的收入为多少百元？
（2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x 的值，并写出该充电站收入y 与x 的新关系
式．
【模型应用】
（3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y＝mx，成本关
系保持不变．已知当汽车数量为80 辆时，净收益（净收益＝收入﹣成本）取得最大值，请写出一个符
合条件的m 值，并说明理由．
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等
因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
5．（2026•黑龙江）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y 轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作射线BD 交y 轴于点D，使∠CBD＝15°，则CD 的长为 ．
6．（2026•河北）如图，二次函数y＝（x﹣t）（x﹣3t）（其中t＞0）的图象与x 轴交于A，B 两点（点A
在点B 左侧），与y 轴交于点C，顶点为P．将点B 绕点A 顺时针旋转90°得到点D．
（1）若t＝1，求直线PD 的函数表达式，并判断点C 关于二次函数图象对称轴的对称点C′是否在直
线PD 上．
（2）当3≤x≤6 时，二次函数的最大值为9，求t 的值．
（3）连接OP，当点D 不在直线OP 上时，过点D 作直线DE∥OP 交y 轴于点E（0，m），请直接写
出m 的最小值．
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7．（2026•广西）综合与实践
风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100 米和200 米、110 米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺
风风速超过2m/s，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对
100 米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞
技水平．
【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据．
【模型假设】
假设1：用w（单位：m/s）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示．
（1）逆风风速1m/s 记为 m/s．
假设2：风速w 影响下的成绩记为T（单位：s），零风速状态下的成绩记为T0（单位：s），成绩变化
量T0﹣T 记为y，y 与w 的关系用函数近似描述．
（2）描述y 与w 关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合T0和T 的关系解释原因．
假设3：用二次函数y＝aw2+bw 描述y 与w 的关系．
【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：y ＝﹣
0.004w2+0.07w．
【模型应用】
（3）请你估计顺风风速2m/s 时的成绩变化量y．
（4）某运动员在专项训练后各参加了一次100 米比赛，第一次在顺风2m/s 的条件下跑出11.12s 的成绩，
第二次在逆风1m/s 的条件下跑出11.30s 的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞
技水平是否有提升．
【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2m/s 以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本
函数模型．
8．（2026•新疆）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造．
问
题．
圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水
柱．现将水管向上增高1 米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多
少米，水才不会喷到池外．
过程
方法说明
利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算．
操作说明
以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在
直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
数据测量
原喷水池直径为16 米，喷水头距离地面0.8 米，喷出的抛物线形水柱在与
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水池中心的水管水平距离为3.5 米处达到最高．
建立模型
计算，交流展示…
请根据上述信息，完成下列问题：
（1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为y＝ax2+bx+0.8（a≠0），求a，b 的值；
（2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米．
9．（2026•宜宾）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，与y 轴交于点
C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，连接AD．试判定△ABD 的形状，并说明理由；
（3）如图2，点E、F 是直线AC 上两动点，且∠EBF＝∠ABC．求△EBF 面积的最小值．
10．（2026•河南）定义：若点P，Q 在同一抛物线上，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大3，则称点Q
是点P 的“黄金搭档点”．例如，抛物线y＝x2上，点（3，9）是点（0，0）的“黄金搭档点”．
（1）点A（0，﹣3）和点B 在抛物线y＝x2+bx+c 上，点B 是点A 的“黄金搭档点”，且点B 的纵坐标
为12．求b，c 的值．
（2）点M，N 在（1）中的抛物线上，且点N 是点M 的“黄金搭档点”．
①若点M，N 的纵坐标相等，求点M，N 的横坐标．
②抛物线上M，N 两点之间的部分（含M，N 两点）记为图象W，设点M 的横坐标为m，当- 5
2 ＜m
＜0 时，若图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，请直接写出m 的值．
11．（2026•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于A（﹣3，0）、B（1，
0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D 是直线AC 下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD 面积的最大值及此时点D 的坐
标；
（3）如图2，点N 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点M，直线y＝kx+k﹣1（k 为常数）
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交抛物线于E、F 两点（点E、F 分别在抛物线对称轴的两侧），直线NF 交x 轴于点P，直线NE 交x
轴于点Q．试探究MP•MQ 是否为定值？若为定值，求出MP•MQ 的值；若不是定值，请说明理由．
12．（2026•山西）综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力
不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中
小麦每亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用如图中的两条抛物线描述，其中
0≤x≤28．设中肥力麦田每亩的产量为y1（千克），低肥力麦田每亩的产量为y2（千克）．已知点A
（0，160），B（18，646），C（28，496）均在描述y1与x 关系的抛物线上，且点B 是这条抛物线的
顶点．
建立模型：（1）求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x 的函数关系式；
应用分析：（2）已知低肥力麦田中小麦每亩的产量y2与x 的函数关系式为y2＝﹣x2+26x+140．
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同．当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，
以及此时两种麦田小麦每亩产量的差．
②现有面积均为1 亩的中肥力、低肥力麦田各一块，当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别
达到最大时，两块麦田的总产量为m 千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值
为n 千克．经判断n 小于m，请直接写出m 与n 的差．
13．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x 轴于点A，将点A 向右平移1 个单位得到点
B，点C 与点B 的横坐标相同，且点C 的纵坐标为2a，则C 点是抛物线的“派生点”，直线AC 称为该
抛物线的“派生直线”．
（1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c 为常数），求其派生直线的表达式；
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（2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6 的公共点为P（1，m），点Q（7，
n）为其派生直线上一点，求CP
CQ 的值，并判断点Q 是否在该抛物线上．
14．（2026•福建）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c．
（1）若b＝1，c＝2，求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线上存在一点P（x0，y0）在x 轴上方，求证：抛物线与x 轴有两个交点；
（3）抛物线与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C（0，2），直线y＝bx+2 与y＝﹣bx﹣1 相交于点
D，E 是y 轴上不与点C 重合的点．若坐标平面内存在点M 满足MA＝MB＝MC＝ME，试探究CD 和
DE 的数量关系，并证明．
15．（2026•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a＜0，c＞0）的顶点为P．
（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3 时，求点P 的坐标；
（Ⅱ）点A（﹣c，0）和点B 为抛物线与x 轴的两个交点，点C 为抛物线与y 轴的交点．
①当a=- 1
2时，若∠PCA＝90°，求c 的值；
②若点B（m，0），∠ACB＝75°，D 为线段BC 的中点，点M 在线段AC 上（不与点A，C 重合），
点N 在线段AB 上，且CM=√2BN，当MN+ND 取得最小值为5 时，求c 的值．
16．（2026•攀枝花）已知二次函数y＝3x2﹣4ax+4，其中a 为常数．
（1）若a= 3
2，求此函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4 时，y 随x 的增大而减小；当8≤x≤12 时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围．
17．（2026•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中B（4，
0），C（0，4），对称轴是直线x＝1．动点M 以每秒1 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点B 运动，
设运动时间为t（0≤t≤4）秒，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P．
（1）求抛物线解析式；
（2）抛物线的对称轴交BC 于点E，顶点是点D，当t 为何值时，四边形DENP 为平行四边形；
（3）动点M 开始运动时，另一动点Q 同时以每秒0.5 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点A 运动．
当t 为何值时，四边形PCQB 的面积最大，并求最大面积．
18．（2026•眉山）2025 年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，
眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．
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（1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000 件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达
到2880 件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；
（2）该食品厂原来每天可销售60 件芝麻糕，每件盈利30 元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1 元，
就可多售出5 件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
19．（2026•乐山）已知抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3 交x 轴于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为点
P．
（1）求A、B 两点的坐标；
（2）直线l：y＝kx+b（k≠0）与抛物线C 交于D，E 两点．
①若A、B 两点到直线l 距离相等，则直线l 过定点，请求出这个定点，并说明理由；
②若∠DPE＝90°，试问直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
20．（2026•湖南）如图1，公路l1与铁路l2垂直交汇于河岸O 点处，公路l1与河岸的另一交点为A，其
中河岸OCB 段为抛物线的一部分，AB 段为线段，OA＝7km，AB＝5km，点B 到公路l1 的距离BD＝
3km，抛物线的顶点C 到公路l1与铁路l2的距离分别为4km 与2km．当地政府为了振兴乡村经济，拟开
发河道与公路l1围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图
2，栅栏EF 紧靠公路l1（与公路l1 的距离忽略不计），栅栏EH⊥EF，点H 在该段抛物线上；栅栏
FG⊥EF，点G 在线段AB 上．以点O 为坐标原点，直线l1与l2分别为x 轴与y 轴，规定1 个单位长度
为1km，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出点B 的坐标；
（2）分别求直线AB 与抛物线OCB 的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）点E 到铁路l2的距离小于1.5km，EH＝2FG，已知建1km 长栅栏的各项开支为2 万元，建完栅栏
需花费17 万元．求栅栏EH 到铁路l2的距离．
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（三）
参考答案与试题解析
一．解答题（共20 小题）
1．（2026•湖北）抛物线y＝x2﹣2x+c 与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C．点P 在直线
BC 上，设点P 的横坐标为t．
（1）求c 的值；
（2）如图1，点H 是抛物线上位于第四象限的点，PH 平行于x 轴．当t＝1 时，求点H 的坐标；
（3）点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方，PQ＝2√2．过点P，Q 分别作x 轴和y 轴的垂线，四条
垂线围成四边形PEQF．若四边形PEQF 的边与抛物线有两个交点M，N，记M，N 的纵坐标之和为f．
①当点P 在线段BC 上时，求f 关于t 的函数解析式；
②当f=- 11
2 时，直接写出t 的值．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）c＝﹣3；
（2）(1+√2，-2)；
（3）①f ={
t
2+3t -6(0≤t ≤1)
2t - 4(1≤t ≤3)
；②- 3
4 或1-√3
2
或-3+√11
2
．
【分析】（1）把点A（﹣1，0）代入抛物线表达式中可解出c 的值；
（2）由（1）求出点B 和点C 的坐标，从而求出直线BC 的表达式，得出当t＝1 时，点P 的坐标，由
平行关系和抛物线表达式可推出点H 的坐标；
（3）利用PQ =2√2结合点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方用t 表示出点Q 的坐标，从而可得到四
边形PEQF 是边长为2 的正方形，接着可表示出点E 和点F 的运动轨迹，求出当四边形PEQF 的边与
抛物线有两个交点M，N 时，t 的取值范围；①分情况讨论当点P 在线段BC 上时，t 的不同取值范围
分别对应的点M 和点N 纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到f 关于t 的函数解析式；②在①的基
础上分情况讨论剩余t 的不同取值范围分别对应的点M 和点N 纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得
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到f 关于t 的函数解析式．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）代入抛物线y＝x2﹣2x+c，得0＝1+2+c，
解得c＝﹣3；
（2）由（1）得y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3 或x＝﹣1，
令x＝0，得y＝﹣3，
∴B（3，0），C（0，﹣3），
设直线BC 的表达式为 y＝kx+b，
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得{
0=3k +b
-3=b
，
解得{
k =1
b=-3，
∴直线BC 的表达式为 y＝x﹣3，
当x＝1 时，y＝﹣2，
∴当 t＝1 时，P（1，﹣2），
∵PH 平行于x 轴，
∴H 的纵坐标为﹣2，
∵点H 是抛物线上位于第四象限的点，
又∵x2﹣2x﹣3＝﹣2，化简得x2﹣2x﹣1＝0，b2﹣4ac＝8，
解得x =-b±√b
2- 4 ac
2a
= 2±2√2
2
=1±√2，
∴H (1+√2，-2)；
（3）由（2）知直线BC 的表达式为y＝x﹣3，
∴P（t，t﹣3），
设点Q 的坐标为（a，a﹣3），
∵PQ =2√2，
∴(a-t )
2+[(a-3)-(t -3)]
2=(2√2)
2，
化简得2（a﹣t）2＝8，
解得|a﹣t|＝2，
∵点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方，
∴a＞t，
∴a﹣t＝2，即a＝t+2，
∴Q（t+2，t﹣1），
∴四边形PEQF 是边长为2 的正方形，
11
如图，当PQ 沿BC 移动时，点E 沿ED 移动，点F 沿FG 移动，
上图中点Q 和点C 重合，
∴Q（0，﹣3），
∴P（﹣2，﹣5），
∴E（﹣2，﹣3），F（0，﹣5），D（0，﹣1），G（2，﹣3），
当x＝2 时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴点G 在抛物线上，
设直线ED 的表达式为 y＝kx+b，
把E（﹣2，﹣3），D（0，﹣1）代入得{
-3=-2k +b
-1=b
，
解得{
k =1
b=-1，
∴直线ED 的表达式为y＝x﹣1，
设直线FG 的表达式为y＝kx+b，
把F（0，﹣5），G（2，﹣3），代入得{
-3=2k +b
-5=b
，
解得{
k =1
b=-5，
∴直线FG 的表达式为y＝x﹣5，
∴点E 在直线y＝x﹣1 上运动，点F 在直线y＝x﹣5 上运动，
如图，
12
令x2﹣2x﹣3＝x﹣1，解得x =-b±√b
2- 4 ac
2a
= 3±√17
2
，
令x2﹣2x﹣3＝x﹣5，解得x＝1 或x＝2，
∴点J 的横坐标为3-√17
2
，点K 的横坐标为3+√17
2
，点L 的横坐标为1，点T 的横坐标为2，
∴当四边形PEQF 的边与抛物线有两个交点M，N 时，-2＜t ＜3+√17
2
，
①当点P 在线段BC 上时，0≤t≤3，
点P 从点B 往点C 运动的过程中，当0≤t≤时，即点Q 在线段BC 上时，如图，此时点M 的纵坐标为
点P 的纵坐标，点N 的纵坐标为点Q 横坐标在抛物线上对应的纵坐标，
∴f＝（t﹣3）+[（t+2）2﹣2（t+2）﹣3]＝t2+3t﹣6，
点P 从点B 往点C 运动的过程中，当1＜t≤3 时，即点Q 在线段BC 右上方时，如图，此时点M 的纵
坐标为点P 的纵坐标，点N 的纵坐标为点Q 纵坐标，
∴f＝（t﹣3）+（t﹣1）＝2t﹣4，
综上所述，当点P 在线段BC 上时，f ={
t
2+3t -6(0≤t ≤1)
2t - 4(1≤t ≤3)
；
②当﹣2＜t≤﹣1 时，如图，点M 的纵坐标为点Q 的纵坐标，点N 的纵坐标为点Q 横坐标在抛物线上
对应的纵坐标，
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∴f＝（t﹣1）+[（t+2）2﹣2（t+2）﹣3]＝t2+3t﹣4，
当-1＜t ≤3-√17
2
时，如图，点M 的纵坐标为点Q 的纵坐标，点N 的纵坐标为点P 的纵坐标，
∴f＝（t﹣1）+（t﹣3）＝2t﹣4，
当3-√17
2
＜t ＜0时，如图，点M 的纵坐标为点P 横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点N 的纵坐标为
点P 的纵坐标，
∴f＝（t2﹣2t﹣3）+（t﹣3）＝t2﹣t﹣6，
当3＜t ＜3+√17
2
时，如图，点M 的纵坐标为点P 横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点N 的纵坐标为
点Q 的纵坐标，
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∴f＝（t2﹣2t﹣3）+（t﹣1）＝t2﹣t﹣4，
综上所述，f ={
t
2+3t - 4(-2＜t ≤-1)
2t - 4(-1＜t ≤3-√17
2
)
t
2-t -6( 3-√17
2
＜t ＜0)
t
2+3t -6(0≤t ≤1)
2t - 4(1＜t ≤3)
t
2-t - 4(3＜t ＜3+√17
2
)
，
当f =- 11
2 时，分情况讨论：
当﹣2 ＜t≤﹣1 时，t
2+3t - 4 =- 11
2 ，化简得t
2+3t + 3
2 =0，b2﹣4ac ＝3 ，解得
t =-b±√b
2- 4 ac
2a
=-3±√3
2
，不符合﹣2＜t≤﹣1，舍去；
当-1＜t ≤3-√17
2
时，2t - 4 =- 11
2 ，解得t =- 3
4 ，符合-1＜t ≤3-√17
2
；
当3-√17
2
＜t ＜0时，t
2-t -6=- 11
2 ，化简得t
2-t - 1
2 =0，b2﹣4ac ＝3 ，解得
t =-b±√b
2- 4 ac
2a
= 1±√3
2
，t = 1-√3
2
，符合3-√17
2
＜t ≤0；t = 1+√3
2
，不符合3-√17
2
＜t ＜0，
舍去；
当
0≤t≤1
时，t
2+3t -6=- 11
2 ，化简得t
2+3t - 1
2 =0，b2﹣4ac ＝11 ，解得
t =-b±√b
2- 4 ac
2a
=-3±√11
2
，t =-3+√11
2
，符合0≤t≤1；t =-3-√11
2
，不符合0≤t≤1，舍去；
15
当1＜t≤3 时，2t - 4 =- 11
2 ，解得t =- 3
4 ，不符合1＜t≤3，舍去；
当3＜t ＜3+√17
2
时，t
2-t - 4 =- 11
2 ，化简得t
2-t + 3
2 =0，b2﹣4ac＝﹣5＜0 无解；
综上所述，当f =- 11
2 时，t 的值为- 3
4 或1-√3
2
或-3+√11
2
．
【点评】本题为2026 湖北省中考二次函数压轴题，综合考查抛物线解析式求解、一次函数、坐标平移、
正方形性质以及动点函数与方程求解等知识点，掌握综合知识是解题的关键．
2．（2026•吉林）如图①，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，函数y＝（x+1）2﹣1（﹣3≤x≤0）的
图象记为G1，顶点为点A．将G1向右平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到图象G2，点A
的对应点为点B，图象G1与G2合起来得到的图象记为G．
（1）填表：
图象
对应的函数解析式
点的坐标
G1
y＝（x+1）2﹣1（﹣
3≤x≤0）
A（ ﹣
1
， ﹣
1
）
G2
y ＝（
x ﹣
2 ）
2 ﹣
4 （
0 ＜
x ≤
3 ）
B（
2
， ﹣
4
）
（2）观察图象G，解答下列问题：
①直接写出当x 在什么范围内取值时，y 随x 的增大而减小；
②当﹣2≤x≤n 时，﹣1≤y≤0，求n 的取值范围．
（3）如图②，点P 为G1上一点，横坐标为m；点Q 为G2上一点，横坐标为m+3；点C 为G2上一点，
横坐标为3．过点C 作x 轴的平行线l1，点Q 关于直线l1的对称点为点D，过点D 作x 轴的平行线l2．
图象G 上P，Q 两点之间的部分（含P，Q 两点）的最高点和最低点到直线l2的距离分别为h1，h2．
①请你判断点P，Q 是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由；
②当h1＝2h2时，直接写出m 的值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
16
【答案】（1）﹣1，﹣1；y＝（x﹣2）2﹣4（0＜x≤3）；2，﹣4；
（2）①﹣3≤x≤﹣1 或0≤x≤2；②-1≤n≤2-√3；
（3）①是；②m=-1- √10
2 或m=-1- √10
5 或m=-1+ √6
3 ．
【分析】（1）根据顶点式写出点A 的坐标，根据抛物线的平移规律写出G2的解析式，进而根据顶点
式写出顶点B 的坐标，即可求解；
（2）①根据函数图象，即可求解；
②令G2：y＝﹣1，求得x 的值，结合函数图象即可求解；
（3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点P，Q 的坐标，根据点的平移，得出P 平移后的坐
标，即可求解；
②根据G1的图象，分三段讨论，当﹣3≤m≤﹣2 时，当﹣2≤m≤﹣1 时，当﹣1≤m≤0 时，分别画出
图形，根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得h1，h2，结合h1＝2h2，列出方程，解方程，即
可求解．
【解答】解：（1）∵y＝（x+1）2﹣1，
∴A（﹣1，﹣1），
∵将G1向右平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到图象G2，
∴G2：y＝（x+1﹣3）2﹣1﹣3＝（x﹣2）2﹣4（0＜x≤3），
∴B（2，﹣4），
故答案为：﹣1，﹣1；y＝（x﹣2）2﹣4（0＜x≤3）；2，﹣4；
（2）①观察图象可得：当﹣3≤x≤﹣1 或0≤x≤2 时，y 随x 的增大而减小；
②令G2：y =( x -2)
2- 4 =-1，
解得：x1=√3+2（舍去），x2=-√3+2，
如图，
又∵A（﹣1，﹣1），
17
根据函数图象可得：当﹣1≤y≤0 时，-1≤n≤2-√3；
（3）①∵G1：y =( x +1)
2-1= x
2+2 x，G2：y =( x -2)
2- 4 = x
2- 4 x，
点P 为G1上一点，横坐标为m，则P（m，m2+2m），
点P 向右平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到（m+3，m2+2m﹣3），
点Q 为G2上一点，横坐标为m+3，（m+3）2﹣4（m+3）＝m2+2m﹣3，即Q（m+3，m2+2m﹣3），
∴点P，Q 是平移前后的一组对应点；
②∵点C 为G2上一点，横坐标为3，
∴x＝3 时，y＝（x﹣2）2﹣4＝1﹣4＝﹣3，则C（3，﹣3），
∵点Q 关于直线l1的对称点为点D，Q（m+3，m2+2m﹣3），
∴yQ+ y D
2
=-3，即m2+2m﹣3+yD＝﹣6，
∴y D=-m
2-2m-3，
情形一：当﹣3≤m≤﹣2 时，点P 在x 轴及其上方部分，如图，最高点为P（m，m2+2m），
（i）当﹣1≤yQ≤0 时，最低点为﹣1，
∴h1=m
2+2m﹣（﹣m2﹣2m﹣3）＝2m2+4m+3，
h2=-1-(-m
2-2m-3)=m
2+2m+2，
当h1＝2h2时，2m2+4m+3＝2（m2+2m+2），
此方程无解，不存在此情形；
（ii）如图，当﹣3＜yQ≤﹣1 时，最低点为yQ=m
2+2m-3，
18
∴h2= yQ- y D=m
2+2m-3=(-m
2-2m-3)=2m
2+ 4 m，
当h1＝2h2时，2m2+4m+3＝2（2m2+4m），
解得：m=-1+ √10
2 （舍去）或m=-1- √10
2 ；
情形二：当﹣2≤m≤﹣1 时，此时如图，
最高点为点O，则h1=0- y D=0-(-m
2-2m-3)=m
2+2m+3，
最低点为Q，则h2＝yD﹣yQ＝﹣m2﹣2m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣2m2﹣4m，
当h1＝2h2时，m2+2m+3＝2（﹣2m2﹣4m），
解得：m=-1- √10
5
或m=-1+ √10
5 （舍去），
图象G 上P，Q 两点之间的部分（含P，Q 两点）的最高点和最低点到直线l2的距离分别为h1，h2．
情形三：当﹣1≤m≤0 时，
19
最高点为点O，则h1=0- y D=0-(-m
2-2m-3)=m
2+2m+3，
最低点为B，则h2= y D- yB=-m
2-2m-3-(- 4)=-m
2-2m+1，
当h1＝2h2时，m2+2m+3＝2（﹣m2﹣2m+1），
解得：m=-1- √6
3 （舍去）或m=-1+ √6
3 ；
综上所述，当h1＝2h2时，m=-1- √10
2 或m=-1- √10
5 或m=-1+ √6
3 ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，掌握二次函数的综合知识是解题的关键．
3．（2026•齐齐哈尔）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a＜0）与x 轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
与y 轴交于点C，作直线AC，BC，点P 为第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PD⊥x 轴，垂足为
D，PD 交直线BC 于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求PE 的最大值及PE 最大时点P 的坐标；
（3）如图2，若将抛物线y＝ax2+bx+4 沿射线AC 方向平移√5个单位长度，得到新抛物线，点Q 为新
抛物线上一点，且∠CBQ＝∠ACB，则点Q 的坐标为 （
5 ，
2 ）或
( 3-√61
2
，- 5+√61
4
) ；
（4）当PE 最大时，作直线OE，若点M 为直线BC 上的一个动点，连接OM，将线段OM 绕点O 顺时
针旋转90°得到OM′，取OM′的中点N，过点N 作NF⊥OE，垂足为F，连接AN，PF，则AN+PF
的最小值为 5√2 ．
20
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题．
【答案】（1）y =- 1
2 x
2+ x + 4；
（2）当m＝2 时，PE 的值最大，最大值为2，此时点P 的坐标为（2，4）；
（3）（5，2）或( 3-√61
2
，- 5+√61
4
)；
（4）5√2．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点P(m，- 1
2 m
2+m+ 4)，求得直线BC 的解析式为 y＝﹣x+4，则E（m，﹣m+4），可得
PE =- 1
2 (m-2)
2+2(0＜m＜4)，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求得平移后的新抛物线的解析式，再分为当点Q 在x 轴上方时和当点Q 在x 轴下方时两种情况，
利用坐标与图形性质求解即可；
（4）由（2）知，P（2，4），E（2，2），直线BC 的解析式为 y＝﹣x+4，设M（m，﹣m+4），则
M'（﹣m+4，﹣m），N (-m+ 4
2
，-m
2 )，求得直线OE 的解析式为 y＝x，设F（t，t），易得NF 与
x 轴所形成的锐角为45°，进而得到 N（t+1，t﹣1），则AN =√(t +3)
2+(t -1)
2，设G（﹣3，1），
AN+PF＝FG+PF=√(t +3)
2+(t -1)
2+√(t -2)
2+(t - 4)
2，问题转化为求直线OE 上的点F'到点G（﹣
3，1）和点P（2，4）的距离和的最小值，求出点G 关于直线y＝x 的对称点G'（1，﹣3），则AN+PF
的最小值为G'P 的长度，利用两点间距离公式求得G'P 即可求解．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线的解析式y＝ax2+bx+4，
得{
4 a-2b+ 4 =0
16a+ 4 b+ 4 =0，
21
解得{
a=- 1
2
b=1
，
∴抛物线的解析式为y =- 1
2 x
2+ x + 4；
（2）设点P(m，- 1
2 m
2+m+ 4)，
当x＝0 时，y =- 1
2 x
2+ x + 4 = 4，
∴C（0，4），
设直线BC 的解析式为y＝kx+4，
∵B（4，0），
∴4k+4＝0，则k＝﹣1，
∴直线BC 的解析式为 y＝﹣x+4，
∵PD⊥x 轴，
∴E（m，﹣m+4）．
∴．PE =- 1
2 m
2+m+ 4 -(-m+ 4)=- 1
2 m
2+2m=- 1
2 (m-2)
2+2(0＜m＜4)，
∵- 1
2 ＜0，
∴当m＝2 时，PE 的值最大，最大值为2，此时点P 的坐标为（2，4）；
（3）对于y =- 1
2 x
2+ x + 4，当x＝0 时，y＝4，则C（0，4），
∵A（﹣2，0），√5=√1
2+2
2，
∴将抛物线y =- 1
2 x
2+ x + 4沿射线AC 方向平移√5个单位长度，相当于将抛物线y =- 1
2 x
2+ x + 4先向
右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为y =- 1
2 ( x -1)
2+( x -1)+ 4+2=- 1
2 x
2+2 x + 9
2，
分两种情况：
当点Q 在x 轴上方时，如图，
设直线AC 的解析式为y＝px+4，
将A（﹣2，0）代入，得0＝﹣2p+4，
解得p＝2，
∴直线AC 的解析式为y＝2x+4，
∵∠CBQ＝∠ACB，
∴BQ∥AC，
22
∴设直线BQ 的解析式为y＝2x+t，
将B（4，0）代入，得0＝8+t，解得t＝﹣8，
∴直线BQ 的解析式为y＝2x﹣8，
联立方程组{
y =2 x -8
y =- 1
2 x
2+2 x + 9
2
，
解得{
x =5
y =2或{
x =-5
y =-18（舍去），
∴Q（5，2）；
当点Q 在x 轴下方时，如图，设Q( x，- 1
2 x
2+2 x + 9
2 )，
∵OB＝OC＝4，OA＝2，
∴∠OCB＝∠OBC，
又∵∠CBQ＝∠ACB，
∴∠ABQ＝∠ACO，
∴tan∠ABQ = tan∠ACO= OA
OC = 1
2，
∴-(- 1
2 x
2+2 x + 9
2 )
4 - x
= 1
2
，整理得x2﹣3x﹣13＝0，
解得x = 3-√61
2
或x = 3+√61
2
（舍去），
- 1
2 x
2+2 x + 9
2 =- 1
2 ×( 3-√61
2
)
2+2× 3-√61
2
+ 9
2 =- 5+√61
4
，
∴Q( 3-√61
2
，- 5+√61
4
)，
综上，满足条件的Q 的坐标为 （5，2）或( 3-√61
2
，- 5+√61
4
)，
故答案为：（5，2）或( 3-√61
2
，- 5+√61
4
)；
（4）如图，
23
由（2）知，P（2，4），E（2，2），直线BC 的解析式为y＝﹣x+4，
设M（m，﹣m+4），则M'（﹣m+4，﹣m），
∴N (-m+ 4
2
，-m
2 )，
∵E（2，2），O（0，0），
∴直线OE 的解析式为y＝x，则OE 与x 轴正方向成45°，
∵NF⊥OE 于点F，
∴设F（t，t），且NF 与x 轴所形成的锐角为45°，分别过点N、点F 作x 轴、y 轴的平行线，设交点
为K，如图，则△NKF 是等腰直角三角形，
∴xN﹣t＝t﹣yN，即-m+ 4
2
-t =t --m
2 ，
∴m＝2﹣2t，则N（t+1，t﹣1），
∴AN =√(t +1+2)
2+(t -1-0)
2=√(t +3)
2+(t -1)
2，
设G（﹣3，1），
∴AN＝FG，
∴AN+PF＝FG+PF=√(t +3)
2+(t -1)
2+√(t -2)
2+(t - 4)
2，问题转化为求直线OE 上的点F 到点G
（﹣3，1）和点P（2，4）的距离和的最小值，
设点G 关于直线y＝x 的对称点为G'，则G'（1，﹣3），则AN+PF 的最小值为G'P 的长度，
∵G' P =√(2-1)
2+(4 +3)
2=√50=5√2，
∴AN+PF 的最小值为5√2．
故答案为：5√2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求解析式，坐标与图形性质平移的性质，二次函数的性质，两点
间距离公式，勾股定理等，掌握其相关知识点是解题的关键．
4．（2026•深圳）综合与实践
【问题背景】
随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运
24
营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究
成本与收支平衡问题．
【研究条件】
条件1：该充电站收入y（单位：元）与当日充电汽车数量x（单位：辆）之间的对应关系如表：
x
1
2
3
4
5
y
50
100
150
200
250
条件2：该充电站的运营成本ω（单位：百元）与充电汽车数量x 之间满足：ω= 1
4 x
2+20x+500．
【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题：
（1）根据如表数据，求y 与x 的函数关系式，并计算当x＝40 时，该充电站的收入为多少百元？
（2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x 的值，并写出该充电站收入y 与x 的新关系
式．
【模型应用】
（3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y＝mx，成本关
系保持不变．已知当汽车数量为80 辆时，净收益（净收益＝收入﹣成本）取得最大值，请写出一个符
合条件的m 值，并说明理由．
【总结反思】
函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等
因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策．
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）y 与x 的函数关系式为y＝50x，当x＝40 时，该充电站的收入为2000 元；
（2）x 的值为20 或100，收入y 与x 的关系式为y = 1
4 x
2+20 x +500；
（3）m＝60．
【分析】（1）观察表格数据可判断y 是x 的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入x＝40 计
算即可；
（2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式；
（3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，
结合顶点横坐标为80 即可求出m 的值．
【解答】解：（1）由表格数据可知y 与x 成正比例关系，设y＝kx，
将x＝1，y＝50 代入得k＝50，
∴y 与x 的函数关系式为y＝50x，
当x＝40 时，y＝50×40＝2000（元）；
（2）收支平衡满足y＝ω，
25
∴50x= 1
4 x
2+20x+500．
x2﹣120x+2000＝0，
（x﹣20）（x﹣100）＝0，
解得x1＝20，x2＝100，此时收支平衡时收入等于成本，
∴收入y 与x 的新关系式为y = 1
4 x
2+20 x +500；
（3）设净收益为W，
∴W＝mx﹣（1
4 x
2+20x+500）=- 1
4 x2+（m﹣20）x﹣500，
∴二次函数开口向下，
∴当x =- b
2a时W 取得最大值，
由题意得，x =- b
2a =80时净收益最大，
∴2（m﹣20）＝80．
解得m＝60．
【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数性质是关键．
5．（2026•黑龙江）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y 轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作射线BD 交y 轴于点D，使∠CBD＝15°，则CD 的长为 3-√3或3√3-3 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）3-√3或3√3-3．
【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可确定函数解析式；
（2）根据题意得出OB＝OC＝3，确定∠ABC＝45°，然后分两种情况分析：当点D 在点C 上方时，当
点D 在点C 下方时，结合解三角形及图形求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
26
∴{
-(-1)
2-b+c =0
-9+3b+c =0
，
解得：{
b=2
c =3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）由条件可得B（3，0），
∴OB＝3，
∴OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，
∴当点D 在点C 上方时，
如图所示：
∵∠CBD＝15°，
∴∠ABD＝15°+45°＝60°，
∴OD =OB⋅tan 60° =3×√3=3√3，
∴CD =OD -OC =3√3-3；
当点D 在点C 下方时，
如图所示：
∵∠CBD＝15°，
∴∠ABD＝45°﹣15°＝30°，
∴OD =OB⋅tan30° =3× √3
3 =√3，
27
∴CD =OC -OD =3-√3；
综上可得：CD 的长为3-√3或3√3-3．
故答案为：3-√3或3√3-3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
6．（2026•河北）如图，二次函数y＝（x﹣t）（x﹣3t）（其中t＞0）的图象与x 轴交于A，B 两点（点A
在点B 左侧），与y 轴交于点C，顶点为P．将点B 绕点A 顺时针旋转90°得到点D．
（1）若t＝1，求直线PD 的函数表达式，并判断点C 关于二次函数图象对称轴的对称点C′是否在直
线PD 上．
（2）当3≤x≤6 时，二次函数的最大值为9，求t 的值．
（3）连接OP，当点D 不在直线OP 上时，过点D 作直线DE∥OP 交y 轴于点E（0，m），请直接写
出m 的最小值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝x﹣3，点C'不在直线PD 上；
（2）t 的值为4 -√7或4；
（3）﹣2．
【分析】（1）先求出A（t，0），B（3t，0），若t＝1，则A（1，0），B（3，0），y＝（x﹣1）（x
﹣3）＝（x﹣2）2﹣1，则 AB＝3﹣1＝2，P（2，﹣1），由旋转可得 AD＝AB＝2，∠BAD＝90°，则
D（1，﹣2），再由待定系数法求解直线PD：y＝x﹣3；然后求出点C 关于二次函数图象对称轴的对称
点C'为（4，3），再代入直线PD 表达式验证即可；
（2）先求出对称轴为直线x = t +3t
2
=2t，然后分三种情况，根据二次函数的图象与性质求解即可；
（3）同（1）可求D（t，﹣2t），可求P（2t，﹣t2），设直线OP：y＝px，求出p=- t
2，由
DE∥OP ，可设直线DE：y =- t
2 x +n，求出直线DE：y =- t
2 x + t
2
2 -2t，当x ＝0 时，
m= 1
2 t
2-2t = 1
2 (t -2)
2-2，再由二次函数的图象与性质求解即可．
【解答】解：（1）对于y＝（x﹣t）（x﹣3t），当y＝0 时，（x﹣t）（x﹣3t）＝0，
28
解得x1＝t，x2＝3t，
∴A（t，0），B（3t，0），
若t＝1，则A（1，0），B（3，0），y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴AB＝3﹣1＝2，P（2，﹣1），
∵将点B 绕点A 顺时针旋转90°得到点D，
∴AD＝AB＝2，∠BAD＝90°，
∴D（1，﹣2），
设直线PD：y＝kx+b，
则{
2k +b=-1
k +b=-2 ，
解得{
k =1
b=-3，
∴直线PD：y＝x﹣3；
对于y＝（x﹣2）2﹣1，当x＝0 时，y＝3，
∴C（0，3），
由y＝（x﹣2）2﹣1 可得对称轴为直线x＝2，
∴点C 关于二次函数图象对称轴的对称点C'为（4，3），
当x＝4 时，y＝4﹣3＝1≠3，
∴点C'不在直线PD 上；
（2）由（1）可得A（t，0），B（3t，0），
∴对称轴为直线x = t +3t
2
=2t，
当2t＜3，即t＜1.5 时，
∵抛物线y＝（x﹣t）（x﹣3t）中，1＞0，则抛物线开口向上，
∴当3≤x≤6 时，y 随着x 的增大而增大，
∴当x＝6 时，函数取得最大值，
∴（6﹣t）（6﹣3t）＝9，整理得，t2﹣8t+9＝0，
解得t = 4 -√7或t = 4+√7（舍去）；
当3≤2t≤6，即3
2 ≤t ≤3时，x = 3+6
2
= 9
2，
若2t ≤9
2，即3
2 ≤t ≤9
4 时，此时x＝6 离对称轴更远，
∴当x＝6 时，函数取得最大值9，
∴（6﹣t）（6﹣3t）＝9，
整理得，t2﹣8t+9＝0，解得t = 4 -√7或t = 4+√7，均不在3
2 ≤t ≤9
4 范围内，故舍去；
若2t ＞9
2时，即9
4 ＜t ≤3此时x＝3 离对称轴更远，
29
∴当x＝3 时，函数取得最大值，
∴（3﹣t）（3﹣3t）＝9，整理得，t2﹣4t＝0，
解得t＝4 或t＝0，均不在9
4 ＜t ≤3范围内，故舍去；
当2t＞6，即t＞3 时，
∴当3≤x≤6 时，y 随着x 的增大而减小，
∴当x＝3 时，函数取得最大值，
∴（3﹣t）（3﹣3t）＝9，整理得，t2﹣4t＝0 解得t＝4 或t＝0（舍去）；
综上：t 的值为4 -√7或4；
（3）∵A（t，0），B（3t，0），
∴同（1）可求D（t，﹣2t）
对于y＝（x﹣t）（x﹣3t），对称轴为直线x＝2t，
∴把x＝2t 代入y＝（x﹣t）（x﹣3t）可得，y＝（2t﹣t）（2t﹣3t）＝﹣t2，
∴P（2t，﹣t2）设直线OP：y＝px，则﹣t2＝p•2t，
解得p=- t
2，
∵DE∥OP，
∴设直线DE：y =- t
2 x +n代入D（t，﹣2t），
则- t
2 ×t +n=-2t，
解得n= t
2
2 -2t，
∴直线DE：y =- t
2 x + t
2
2 -2t，
当x＝0 时，m= 1
2 t
2-2t = 1
2 (t -2)
2-2，1
2 ＞0，
∴当t＝2 时，m 取得最小值为﹣2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．
7．（2026•广西）综合与实践
风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100 米和200 米、110 米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺
风风速超过2m/s，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对
100 米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞
技水平．
【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据．
【模型假设】
假设1：用w（单位：m/s）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示．
30
（1）逆风风速1m/s 记为 ﹣
1
m/s．
假设2：风速w 影响下的成绩记为T（单位：s），零风速状态下的成绩记为T0（单位：s），成绩变化
量T0﹣T 记为y，y 与w 的关系用函数近似描述．
（2）描述y 与w 关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合T0和T 的关系解释原因．
假设3：用二次函数y＝aw2+bw 描述y 与w 的关系．
【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：y ＝﹣
0.004w2+0.07w．
【模型应用】
（3）请你估计顺风风速2m/s 时的成绩变化量y．
（4）某运动员在专项训练后各参加了一次100 米比赛，第一次在顺风2m/s 的条件下跑出11.12s 的成绩，
第二次在逆风1m/s 的条件下跑出11.30s 的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞
技水平是否有提升．
【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在2m/s 以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本
函数模型．
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用．
【答案】（1）﹣1；
（2）理由如下：
∵坐标原点为（0，0），对应风速w＝0 表示零风速，此时风速影响下的成绩T 就是零风速下的成绩
T0，即T＝T0，
∴y＝T0﹣T＝0，
∴函数图象经过坐标原点；
（3）0.124s；
（4）该运动员训练后的竞技水平有提升．
【分析】（1）根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果；
（2）根据原点对应的风速w 和y 的实际意义，结合T0与T 的关系推导说明；
（3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量；
（4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升．
【解答】解：（1）∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示，
∴逆风风速1m/s 记为﹣1m/s，
故答案为：﹣1；
（2）理由如下：
∵坐标原点为（0，0），对应风速w＝0 表示零风速，此时风速影响下的成绩T 就是零风速下的成绩
T0，即T＝T0，
∴y＝T0﹣T＝0，
31
∴函数图象经过坐标原点；
（3）已知二次函数模型为y＝﹣0.004w2+0.07w，
将w＝2 代入得：y＝﹣0.004×22+0.07×2＝﹣0.016+0.14＝0.124，
即顺风风速2m/s 时的成绩变化量y 为0.124s；
（4）解：由题意得y＝T0﹣T 变形得T0＝T+y，
第一次比赛：顺风w1＝2m/s，成绩T1＝11.12s，
由（3）得y1＝0.124s，则零风速成绩T0'＝11.12+0.124＝11.244（s），
第二次比赛：逆风w2＝﹣1m/s，成绩T2＝11.30s，将w2＝﹣1 代入函数得：
y2＝﹣0.004×（﹣1）2+0.07×（﹣1）＝﹣0.004﹣0.07＝﹣0.074，
则零风速成绩T0''＝11.30+（﹣0.074）＝11.226（s），
∵11.226＜11.244，100 米跑成绩越小说明竞技水平越高，
∴该运动员训练后的竞技水平有提升．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
8．（2026•新疆）政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造．
问
题．
圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水
柱．现将水管向上增高1 米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多
少米，水才不会喷到池外．
过程
方法说明
利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算．
操作说明
以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在
直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
数据测量
原喷水池直径为16 米，喷水头距离地面0.8 米，喷出的抛物线形水柱在与
水池中心的水管水平距离为3.5 米处达到最高．
建立模型
计算，交流展示…
请根据上述信息，完成下列问题：
（1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为y＝ax2+bx+0.8（a≠0），求a，b 的值；
（2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米．
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣0.1，b＝0.7；
（2）18 米．
【分析】（1）抛物线经过（8，0），对称轴为直线x＝3.5，再由待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令y＝0，求出x，即可求解半径．
【解答】解：（1）由题意得，
32
{
64 a+8b+0.8=0
- b
2a =3.5
，
解得{
a=-0.1
b=0.7 ；
∴a＝﹣0.1，b＝0.7；
（2）由（1）可得原抛物线的表达式为y＝﹣0.1x2+0.7x+0.8，
配方可得y＝﹣0.1（x﹣3.5）2+2.025，
由题意可得：
新抛物线的表达式为y＝﹣0.1（x﹣3.5）2+2.025+1，即y＝﹣0.1（x﹣3.5）2+3.025，
当y＝0 时，﹣0.1（x﹣3.5）2+3.025＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣2（舍去），
∴9×2＝18（米）
∴改造后圆形喷水池的直径至少18 米．
【点评】本题二次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
9．（2026•宜宾）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，与y 轴交于点
C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，连接AD．试判定△ABD 的形状，并说明理由；
（3）如图2，点E、F 是直线AC 上两动点，且∠EBF＝∠ABC．求△EBF 面积的最小值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；
（2）△ABD 是等腰直角三角形，理由如下：
对于抛物线y＝x2﹣x﹣2 对称轴为直线x =--1
2×1 = 1
2，
设直线BC：y＝px+q，代入点B（2，0）、C（0，﹣2），
33
∴{
2 p+q =0
q =-2
，
解得{
p=1
q =-2，
∴直线BC：y＝x﹣2，
将x = 1
2代入y＝x﹣2，得y = 1
2 -2=- 3
2，
∴D( 1
2 ，- 3
2 )，
∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，AD =√( 1
2 +1)
2+(- 3
2 -0)
2= 3
2 √2，BD =√(2- 1
2 )
2+(0+ 3
2 )
2= 3
2 √2，
∴AD＝BD，
∵A D
2+ B D
2=( 3
2 √2)
2+( 3
2 √2)
2=9，AB2＝9，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB 为等腰直角三角形；
（3）36√2-36
5
．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线BC 的表达式，然后求出点D 坐标，再由勾股定理逆定理求解即可；
（3）过点B 作BK⊥AC 于点K，解Rt△AOC，求出sin∠OAC = 2
5 √5，再解Rt△ABK 中，求出
BK = AB×sin∠OAC = 6
5 √5，可得△BOC 为等腰直角三角形，则∠ABC＝45°，作△EBF 的外接圆，
记作⊙T，连接TE，TF，TB，过点T 作TR⊥AC 于点R，连接BR，则∠ETF＝2∠EBF＝90°，可得
△TEF，△TRE，△TRF 为等腰直角三角形，则设RE＝RF＝RT＝x，那么TB =TE =√2 x，由于
TB+TR≥BR≥BK，则x +√2 x ≥6
5 √5，求出x ≥6√10-6√5
5
，故当点B，T，R 三点共线，且点K，R
重合时，x 取得最小值为6√10-6√5
5
，则此时EF 取得最小值为12√10-12√5
5
，而△EBF 的高BK 为
定值，即可求解面积最小值．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，
∴y＝a（x+1）（x﹣2），
∵抛物线与y 轴交于点C（0，﹣2），
∴﹣2a＝﹣2，
解得a＝1，
34
∴y＝（x+1）（x﹣2），即y＝x2﹣x﹣2；
（2）△ABD 是等腰直角三角形，理由如下：
对于抛物线y＝x2﹣x﹣2 对称轴为直线x =--1
2×1 = 1
2，
设直线BC：y＝px+q，代入点B（2，0）、C（0，﹣2），
∴{
2 p+q =0
q =-2
，
解得{
p=1
q =-2，
∴直线BC：y＝x﹣2，
将x = 1
2代入y＝x﹣2，得y = 1
2 -2=- 3
2，
∴D( 1
2 ，- 3
2 )，
∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，AD =√( 1
2 +1)
2+(- 3
2 -0)
2= 3
2 √2，BD =√(2- 1
2 )
2+(0+ 3
2 )
2= 3
2 √2，
∴AD＝BD，
∵A D
2+ B D
2=( 3
2 √2)
2+( 3
2 √2)
2=9，AB2＝9，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB 为等腰直角三角形；
（3）如图，过点B 作BK⊥AC 于点K，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），
∴OA＝1，OC＝2，
∴AC =√O A
2+OC
2=√5，
∴在Rt△AOC 中，sin ∠OAC = OC
AC = 2
√5 = 2
5 √5，
35
∵BK⊥AC，
∴在Rt△ABK 中，BK = AB×sin∠OAC =3× 2
5 √5= 6
5 √5，
∵点B（2，0）、C（0，﹣2），
∴OB＝OC＝2，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠EBF＝∠ABC＝45°，
作△EBF 的外接圆，记作⊙T，连接TE，TF，TB，过点T 作TR⊥AC 于点R，连接BR，
则∠ETF＝2∠EBF＝90°，
∵TE＝TF，
∴△TEF 为等腰直角三角形，∠TEF＝∠TFE＝45°，
∵TR⊥AC，
∴△TRE，△TRF 均是等腰直角三角形，
∴RE＝RF＝RT，
设RE＝RF＝RT＝x，
则TE =√T R
2+ E R
2=√2 x，
∴TB =TE =√2 x
∵TB+TR≥BR≥BK，
∴x +√2 x ≥6
5 √5，
解得x ≥6√10-6√5
5
，
当点B，T，R 三点共线，且点K，R 重合时，x 取得最小值为6√10-6√5
5
，
∵EF＝ER+FR＝2x，
∴此时EF 取得最小值为6√10-6√5
5
×2= 12√10-12√5
5
，
而高BK = 6
5 √5为定值，
∴△EBF 的面积最小值为1
2 × 12√10-12√5
5
× 6
5 √5= 36√2-36
5
，
∴△EBF 的面积为36√2-36
5
．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，三角
形外接圆的相关知识等，，掌握其相关知识点是解题的关键．
36
10．（2026•河南）定义：若点P，Q 在同一抛物线上，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大3，则称点Q
是点P 的“黄金搭档点”．例如，抛物线y＝x2上，点（3，9）是点（0，0）的“黄金搭档点”．
（1）点A（0，﹣3）和点B 在抛物线y＝x2+bx+c 上，点B 是点A 的“黄金搭档点”，且点B 的纵坐标
为12．求b，c 的值．
（2）点M，N 在（1）中的抛物线上，且点N 是点M 的“黄金搭档点”．
①若点M，N 的纵坐标相等，求点M，N 的横坐标．
②抛物线上M，N 两点之间的部分（含M，N 两点）记为图象W，设点M 的横坐标为m，当- 5
2 ＜m
＜0 时，若图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，请直接写出m 的值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）b＝2，c＝﹣3；
（2）①点M 的横坐标为- 5
2，点N 的横坐标为1
2；
②m=- 4 +√3或m=- 4+√5．
【分析】（1）根据题意得出B（3，12），然后利用待定系数法求解即可；
（2）①设点M 的横坐标为t，则点N 的横坐标为t+3，根据题意建立方程求解即可；
②根据题意得出对称轴为直线x =-
2
2×1 =-1，顶点坐标为（﹣1，﹣4），抛物线与x 轴的交点为
（﹣3，0），（1，0），点N 的横坐标为：m+3，1
2 ＜m+3＜3，然后分情况分析：当- 5
2 ＜m＜-1，
1
2 ＜m+3＜1时，当- 5
2 ＜m＜-1，1＜m+3＜2 时，当﹣1＜m＜0 时，2＜m+3＜3，结合图象建立方
程求解即可．
【解答】解：（1）∵点B 是点A 的“黄金搭档点”，A（0，﹣3），点B 的纵坐标为12，
∴B（3，12），
∵点A（0，﹣3）和点B 在抛物线y＝x2+bx+c 上，
∴{
c =-3
9+3b+c =12，
解得：{
c =-3
b=2 ；
（2）①设点M 的横坐标为t，则点N 的横坐标为t+3，
由（1）得y＝x2+2x﹣3，
∵点M，N 的纵坐标相等，
∴t2+2t﹣3＝（t+3）2+2（t+3）﹣3，解得：t =- 5
2，
37
∴t +3=- 5
2 +3= 1
2，
∴点M 的横坐标为- 5
2，点N 的横坐标为1
2，
②由（1）得y＝x2+2x﹣3，
对称轴为直线x =-
2
2×1 =-1，
当x＝﹣1 时，y＝﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），
当y＝0 时，x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线与x 轴的交点为（﹣3，0），（1，0），
点N 是点M 的“黄金搭档点”，点M 的横坐标为m，当- 5
2 ＜m＜0时，
∴点N 的横坐标为：m+3，1
2 ＜m+3＜3，
当- 5
2 ＜m＜-1时，1
2 ＜m+3＜2，抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），
∴当- 5
2 ＜m＜-1，1
2 ＜m+3＜1时，如图所示：
点M、N 均在x 轴下方，最低点为抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
∵﹣5﹣（﹣1 ）＜m﹣（﹣1 ）＜﹣1﹣（﹣1 ），即- 3
2 ＜m+1＜0，
1
2 -(-1)＜m+3-(-1)＜1-(-1)，即3
2 ＜m+ 4＜2，
38
∴此时点N 离对称轴较远，最高点为点N，
∵图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，
∴点N 到x 轴的距离为5﹣4＝1，
此时点N 的纵坐标为﹣1，
∴（m+3）2+2（m+3）﹣3＝﹣1，
解得：m1=- 4 +√3，m2=- 4 -√3（不符合题意，舍去）；
当- 5
2 ＜m＜-1，1＜m+3＜2 时，如图所示：
点M 在x 轴下方，点N 在x 轴上方，最低点为抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
∴此时点N 离对称轴较远，最高点为点N，
∵图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，
∴点N 到x 轴的距离为5﹣4＝1，
此时点N 的纵坐标为1，
∴（m+3）2+2（m+3）﹣3＝1，
解得：m1=- 4 +√5，m2=- 4 -√5（不符合题意，舍去）；
当﹣1＜m＜0 时，2＜m+3＜3，
点M 在x 轴下方，点N 在x 轴上方，最低点为点M，最高点为点N，
∴y M =m
2+2m-3，y N =(m+3)
2+2(m+3)-3，
∴|yM|+yN＝5，即|m2+2m﹣3|+（m+3）2+2（m+3）﹣3＝5，
∴﹣m2﹣2m+3+（m+3）2+2（m+3）﹣3＝5，
整理得：6m+10＝0，
39
解得：m=- 5
3（不符合题意，舍去），
综上可得：m=- 4 +√3或m=- 4 +√5．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质及图象，解一元二次方程等
掌握其相关知识点是解题的关键．
11．（2026•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于A（﹣3，0）、B（1，
0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D 是直线AC 下方抛物线上一个动点，求四边形ABCD 面积的最大值及此时点D 的坐
标；
（3）如图2，点N 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点M，直线y＝kx+k﹣1（k 为常数）
交抛物线于E、F 两点（点E、F 分别在抛物线对称轴的两侧），直线NF 交x 轴于点P，直线NE 交x
轴于点Q．试探究MP•MQ 是否为定值？若为定值，求出MP•MQ 的值；若不是定值，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）D（- 3
2 ，- 15
4 ），S 四边形ABCD 最大= 75
8 ；
（3）MP•MQ 是定值，定值为：16
3 ．
【分析】（1）将三点坐标代入抛物线的解析式求得a，b，c，从而得出结果；
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）作DE⊥AB 于E，交AC 于F，设D（t，t2+2t﹣3），可推出F（t，﹣t﹣3），从而表示出DF＝﹣
x2﹣3t，进而表示出S△ACD 的解析式，从而得出△ACD 面积最大值，进一步得出结果；
（3）设E（m，m2+2m﹣3），F（n，n2+2n﹣3），从而求得直线NE 的解析式，进而求得点P 坐标，
从而表示出MP，同样表示出NP，由{
y = x
2+2 x -3
y =kx +k -1 得，x2+（2﹣k）x﹣k﹣2）＝0，从而得出m+n＝k
40
﹣2，mn＝﹣k﹣2，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，
{
a⋅(-3)
2-3b+c =0
a+b+c =0
c =-3
，
∴{
a=1
b=2
c =-3
，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）如图，
作DE⊥AB 于E，交AC 于F，
设D（t，t2+2t﹣3），
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴OA＝OC，
∵∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠ACO＝45°，
∴∠AFE＝90°﹣∠OAC＝45°，
∴EF＝AE＝OA﹣OE＝3+t，
∴F（t，﹣t﹣3），
∴DF＝（﹣t﹣3）﹣（x2+2t﹣3）＝﹣x2﹣3t，
∴S△ACD= 1
2DF•OA= 3
2 (- x
2-3t )=- 3
2 ( x + 3
2 )
2+ 27
8 ，
∴当t=- 3
2时，S△ACD 最大= 27
8 ，
当t=- 3
2时，y＝（- 3
2 )
2-2× 3
2 -3=- 15
4 ，
∴D（- 3
2 ，- 15
4 ），
∵S△ABC= 1
2AB•OC= 1
2 ×4×3=6，
41
∴S 四边形ABCD 最大= 27
8 +6= 75
8 ；
（3）MP•NQ 是定值，理由如下：
设E（m，m2+2m﹣3），F（n，n2+2n﹣3）位于对称轴两侧，
由y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4 得：N（﹣1，﹣4），
设直线EN 的解析式为：y＝px+q，
∴{
- p+q =0
pm+q =m
2+2m-3，
∴{
p=m+1
q =m-3，
∴y＝（m+1）x+m﹣3，
由（m+1）x+m﹣3＝0 得，
x= 3-m
m+1，
∴P（3-m
m+1，0），
同理可得：Q（3-n
n+1，0），
∵M（﹣1，0），
∴MP＝|﹣1- 3-m
m+1|＝|
4
m+1|，MQ＝| 4
n+1|，
∴MP•NQ＝|
16
(m+1)(n+1) =|
16
mn+(m+n)+1|，
由{
y = x
2+2 x -3
y =kx + k -1 得，
x2+（2﹣k）x﹣k﹣2）＝0，
∴m+n＝k﹣2，mn＝﹣k﹣2，
∴MP•NQ＝|
16
-k -2+k -2+1 |= 16
3 ．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，求一次函数的解析式
42
等知识，解决问题的关键是较强计算能力．
12．（2026•山西）综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力
不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中
小麦每亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用如图中的两条抛物线描述，其中
0≤x≤28．设中肥力麦田每亩的产量为y1（千克），低肥力麦田每亩的产量为y2（千克）．已知点A
（0，160），B（18，646），C（28，496）均在描述y1与x 关系的抛物线上，且点B 是这条抛物线的
顶点．
建立模型：（1）求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x 的函数关系式；
应用分析：（2）已知低肥力麦田中小麦每亩的产量y2与x 的函数关系式为y2＝﹣x2+26x+140．
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同．当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，
以及此时两种麦田小麦每亩产量的差．
②现有面积均为1 亩的中肥力、低肥力麦田各一块，当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别
达到最大时，两块麦田的总产量为m 千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值
为n 千克．经判断n 小于m，请直接写出m 与n 的差．
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【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）y1=- 3
2 ( x -18)
2+646(0≤x ≤28)．
（2）①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13 千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差
为299.5 千克．
②15．
【分析】（1）易设y1=a( x -18)
2+646，将点C（28，496）代入即可得解；
（2）①易得当x＝13 时，y2取得最大值．此时，y2的最大值为309．即可得解；
②分别求出y1和y2最大值，可得m 最大值，利用n＝y1+y2可得n 最大值，即可得解．
【解答】解：（1）由题意得，点B（18，646）是描述y1与x 关系的抛物线的顶点，
设y1=a( x -18)
2+646，
43
因为点C（28，496）在描述y1与x 关系的抛物线上，
所以，a（28﹣18）2+646＝496，
解得a=- 3
2，
所以，y1与x 的函数关系式为y1=- 3
2 ( x -18)
2+646(0≤x ≤28)．
（2）①已知y2=- x
2+26 x +140，将其配方，得y2=-( x -13)
2+309，
因为a＝﹣1＜0，0≤x≤28，
所以，当x＝13 时，y2取得最大值．
此时，y2的最大值为309．
已知两种麦田每亩施氮量相同，
当x＝13 时，y1=- 3
2 ×(13-18)
2+646=608.5，
此时，y1﹣y2＝608.5﹣309＝299.5，
答：当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13 千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为
299.5 千克．
②y1=- 3
2（x﹣18）2+646，y2=-( x -13)
2+309，
∵0≤x≤28，
∴当x＝18 时，y1最大值为646，当x＝13 时，y2最大值为309，
∴m 最大值＝646+309＝955；
当两块麦田每亩施氮量相同时，
n＝y1+y2
=- 3
2
x2+54x+160﹣x2+26x+140
=- 5
2
x2+80x+300
=- 5
2（x﹣16）2+940，
当x＝16 时，n＝940，
∴m﹣n＝15．
【点评】本题主要考查了二次函数实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
13．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x 轴于点A，将点A 向右平移1 个单位得到点
B，点C 与点B 的横坐标相同，且点C 的纵坐标为2a，则C 点是抛物线的“派生点”，直线AC 称为该
抛物线的“派生直线”．
（1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c 为常数），求其派生直线的表达式；
（2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6 的公共点为P（1，m），点Q（7，
44
n）为其派生直线上一点，求CP
CQ 的值，并判断点Q 是否在该抛物线上．
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【专题】代数综合题；推理能力．
【答案】（1）y＝4x；
（2）CP
CQ =1．Q（7，8）在抛物线上．
【分析】（1）易得对称轴，可得点A、B、C 坐标，即可得解；
（2）易得P（1，﹣4），Q（7，8），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则A（- b
2a，0），B（- b
2a +
1，0），C（- b
2a +1，2a），根据直线AC 解析式为y＝2x﹣6，可得a＝1，b＝﹣6，将点P 代入可得c
＝1，进而求出C 点坐标，可得CP、CQ，即可得解．
【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣c，
∴对称轴为直线x＝0，即y 轴，a＝2，
∴A（0，0），
∴B（1，0），
∵2a＝4，
∴C（1，4），
设直线AC 的表达式为y＝kx+b，
将A（0，0），C（1，4）代入得，
{
b=0
k +b= 4，
解得{
k = 4
b=0，
∴直线AC 的表达式为y＝4x，即其派生直线的表达式为y＝4x；
（2）将点P、Q 代入直线y＝2x﹣6 得，m＝﹣4，n＝8，
∴P（1，﹣4），Q（7，8），
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
则A（- b
2a，0），B（- b
2a +1，0），C（- b
2a +1，2a），
由题可知直线AC 解析式为y＝2x﹣6，
则{
- b
a -6=0
2×(- b
2a +1)-6=2a
，
解得{
a=1
b=-6或{
a=0
b=0（舍），
45
∵点P 在抛物线上，
∴a+b+c＝﹣4，即1﹣6+c＝﹣4，
解得c＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+1，
当x＝7 时，y＝8，
∴Q（7，8）在抛物线上，
∵a＝1，b＝﹣6，
∴C（4，2），
∴CP=√(4 -1)
2+(2+ 4)
2=3√5，CQ=√(7 - 4)
2+(8-2)
2=3√5，
∴CP
CQ =1．
【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．（2026•福建）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c．
（1）若b＝1，c＝2，求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线上存在一点P（x0，y0）在x 轴上方，求证：抛物线与x 轴有两个交点；
（3）抛物线与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C（0，2），直线y＝bx+2 与y＝﹣bx﹣1 相交于点
D，E 是y 轴上不与点C 重合的点．若坐标平面内存在点M 满足MA＝MB＝MC＝ME，试探究CD 和
DE 的数量关系，并证明．
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【专题】二次函数的应用．
【答案】（1）（1
2，9
4 ）；
（2）∵抛物线上的点P（x0，y0）在x 轴上方，得到y0=- x0
2+b x0+c＞0，
∴c = x0
2-b x0+ y0，
∴Δ＝b2+4c=b
2+ 4 x0
2- 4 b x0+ 4 y0=(2 x0-b)
2+ 4 y0＞0，
即方程﹣x2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根，
∴抛物线与x 轴有两个交点；
（3）CD 和DE 的数量关系是CD＝DE，理由如下：
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C（0，2），
∴抛物线的对称轴是直线x= b
2，
设A（x1，0），B（x2，0），x1＞x2，
则x1，x2是方程﹣x2+bx+2＝0 的两根，
46
解得x1= b+√b
2+8
2
，x2= b-√b
2+8
2
，
又坐标平面内存在点M 满足MA＝MB＝MC，
由对称性可设M（b
2，m），
由两点间的距离公式可得，
MA2=( b
2 - b+√b
2+8
2
)
2+(m-0)
2，
MC2=( b
2 )
2+(m-2)
2，
∴( b
2 - b+√b
2+8
2
)
2+(m-0)
2=( b
2 )
2+(m-2)
2，
解得m= 1
2，
∴点M 的坐标为（b
2 ，1
2），
∵直线y＝bx+2 与y＝﹣bx﹣1 相交于点D，所以b≠0，
∴{
y =bx +2
y =-bx -1，解得{
x =- 3
2b
y = 1
2
，
∴点D 的坐标为（- 3
2b ，1
2），
∵M（b
2 ，1
2），
∴点M，D 所在的直线与y 轴垂直，
∵点C，E 都在y 轴上，
∴MD⊥CE，
又∵MC＝ME，
∴MD 垂直平分CE，
∴CD＝DE．
【分析】（1）利用配方法写成顶点式，确定顶点坐标；
（2）利用点P 是x 轴上方抛物线上的点知道点的纵坐标大于0，判断出Δ＞0，得出抛物线与x 轴有两
个交点；
（3）求出两条直线的交点，利用两点间的距离公式，求出点M 的坐标，根据坐标特点得出CD 和DE
的数量关系．
47
【解答】解：（1）因为b＝1，c＝2，
所以y =- x
2+ x +2=-( x - 1
2 )
2
+ 9
4 ，
所以抛物线的顶点坐标为( 1
2 ，9
4 )；
（2）证明：∵抛物线上的点P（x0，y0）在x 轴上方，
得到y0=- x0
2+b x0+c＞0，
∴c = x0
2-b x0+ y0，
∴Δ=b
2+ 4 c =b
2+ 4 x0
2- 4 b x0+ 4 y0
=(2 x0-b)
2+ 4 y0＞0，
即方程﹣x2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根，
所以抛物线与x 轴有两个交点；
（3）CD 和DE 的数量关系是CD＝DE，理由如下：
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C（0，2），
∴抛物线的对称轴是直线x= b
2，
设A（x1，0），B（x2，0），x1＞x2，
则x1，x2是方程﹣x2+bx+2＝0 的两根，
解得x1= b+√b
2+8
2
，x2= b-√b
2+8
2
．
又坐标平面内存在点M 满足MA＝MB＝MC，
由对称性可设M ( b
2 ，m)，
由两点间的距离公式可得，
M A
2=( b
2 - b+√b
2+8
2
)
2
+(m-0)
2，
M C
2=( b
2 )
2
+(m-2)
2，
∴( b
2 - b+√b
2+8
2
)
2
+(m-0)
2=( b
2 )
2
+(m-2)
2，解得m= 1
2，
∴点M 的坐标为( b
2 ，1
2 )，
∵直线y＝bx+2 与y＝﹣bx﹣1 相交于点D，所以b≠0．
48
∴{
y =bx +2
y =-bx -1解得{
x =- 3
2b
y = 1
2
，
∴点D 的坐标为(- 3
2b ，1
2 )，
∵M ( b
2 ，1
2 )，D(- 3
2b ，1
2 )，
∴点M，D 所在的直线与y 轴垂直，
∵点C，E 都在y 轴上，
∴MD⊥CE，
又∵MC＝ME，
∴MD 垂直平分CE，
∴CD＝DE．
【点评】本题考查了代数推理、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判定、线段垂直平分线的
判定与性质等基础知识，考查了函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
15．（2026•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a＜0，c＞0）的顶点为P．
（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3 时，求点P 的坐标；
（Ⅱ）点A（﹣c，0）和点B 为抛物线与x 轴的两个交点，点C 为抛物线与y 轴的交点．
①当a=- 1
2时，若∠PCA＝90°，求c 的值；
②若点B（m，0），∠ACB＝75°，D 为线段BC 的中点，点M 在线段AC 上（不与点A，C 重合），
点N 在线段AB 上，且CM=√2BN，当MN+ND 取得最小值为5 时，求c 的值．
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【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（Ⅰ）（﹣1，4）；
（Ⅱ）①c＝6．②c =√15．
【分析】（Ⅰ）易得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，即可得解；
（Ⅱ）①可得P(b，b
2
2 +c)，再根据∵点A（﹣c，0），点C（0，c），∠ACO＝45°，过点P 作
PE⊥y 轴于点E，则PE＝CE．-b= b
2
2 +c -c，可得b＝﹣2，再将点A 代入即可得解；
②由∠ACB＝75°，得∠OCB＝∠ACB﹣∠ACO＝30°，则m= √3
3 c．过点M 作MF⊥y 轴于点F，连接
BF．易得四边形BFMN 为平行四边形．则BF＝MN，构造△CFB≌△BNG（sAs），可得MN＝BF＝
NG，则MN+ND＝GN+ND≥GD，据此求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，
49
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴该抛物线顶点P 的坐标为（﹣1，4）．
（Ⅱ）①由a=- 1
2，得y =- 1
2 x
2+bx +c =- 1
2 ( x -b)
2+ b
2
2 +c，
∴该抛物线顶点P 的坐标为(b，b
2
2 +c)，
∵点A（﹣c，0），点C（0，c），
∴OA＝OC，
∴∠ACO＝45°，
根据题意，点P 在第二象限，过点P 作PE⊥y 轴于点E．
则∠PCE＝45°，
∴PE＝CE．
∴-b= b
2
2 +c -c，
解得b1＝﹣2，b2＝0（舍）．
∵点A（﹣c，0）在抛物线y =- 1
2 x
2+bx +c上，
∴0=- 1
2 c
2-bc +c，
又∵c＞0，
∴- 1
2 c -b+1=0，
∴c＝2﹣2b，
∴c＝6．
②由∠ACB＝75°，得∠OCB＝∠ACB﹣∠ACO＝30°，m＞0．
在Rt△OBC 中，OB＝m，OC＝c，tan∠OCB = OB
OC ．
∴m= √3
3 c．
50
过点M 作MF⊥y 轴于点F，连接BF．
可得FM∥BN，CM =√2 MF =√2CF，
又∵CM =√2BN，
∴MF＝CF＝BN．
∴四边形BFMN 为平行四边形．
∴BF＝MN．
在△OBC 的外部，作∠OBG＝∠OCB，且BG＝BC，连接GN，
∴△CFB≌△BNG（sAs）．
∴BF＝GN．
∴MN＝GN．
∴MN+ND＝GN+ND≥GD．
当满足条件的点N 落在线段GD 上时，MN+ND 取得最小值5，即GD＝5．
∵∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠OBC+∠OBG＝90°，即∠DBG＝90°，
∵D 为线段BC 的中点，
∴BD = 1
2 BC．
在Rt△DBG 中，由GD2＝BD2+BG2，得G D
2= 5
4 BC
2=25，有BC2＝20，
在Rt△OBC 中，由BC2＝OB2+OC2，得m2+c2＝20，
再将m= √3
3 c 代入得c2＝15，
解得c1=√15，c2=-√15（舍）．
∴c =√15．
【点评】本题主要考查了二次函数、等腰直角三角形、平行四边形、全等三角形、勾股定理等内容，
熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．（2026•攀枝花）已知二次函数y＝3x2﹣4ax+4，其中a 为常数．
51
（1）若a= 3
2，求此函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4 时，y 随x 的增大而减小；当8≤x≤12 时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）（1，1）；
（2）6≤a≤12．
【分析】（1）将a 的值代入，然后化为顶点式，即可得到此函数图象的顶点坐标；
（2）先求出抛物线的对称轴，再根据题意和二次函数的性质，即可求得a 的取值范围．
【解答】解：（1）∵a= 3
2，二次函数y＝3x2﹣4ax+4，
∴y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，
∴此函数图象的顶点坐标是（1，1）；
（2）∵二次函数y＝3x2﹣4ax+4，
∴该函数的对称轴为直线x=-- 4 a
2×3 = 2a
3 ，图象开口向上，
∵当1≤x≤4 时，y 随x 的增大而减小；当8≤x≤12 时，y 随x 的增大而增大，
∴4≤2a
3 ≤8，
解得6≤a≤12．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质
解答．
17．（2026•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中B（4，
0），C（0，4），对称轴是直线x＝1．动点M 以每秒1 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点B 运动，
设运动时间为t（0≤t≤4）秒，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P．
（1）求抛物线解析式；
（2）抛物线的对称轴交BC 于点E，顶点是点D，当t 为何值时，四边形DENP 为平行四边形；
（3）动点M 开始运动时，另一动点Q 同时以每秒0.5 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点A 运动．
当t 为何值时，四边形PCQB 的面积最大，并求最大面积．
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52
【专题】待定系数法；配方法；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角
形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）抛物线解析式为y=- 1
2 x
2+x+4；（2）当t 为3 时，四边形DENP 为平行四边形；（3）
当t= 5
2时，四边形PCQB 的面积取得最大值，最大值为57
4 ．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用配方法求得点D 坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，进而得到点E 坐标，则DE
可求，设P（t，- 1
2 t
2+t+4），N（t，﹣t+4），则PN=- 1
2 t
2+t+4﹣（﹣t+4）=- 1
2 t
2+2t，利用一组对
边平行且相等的四边形为平行四边形的性质得到：当DE＝PN 时，四边形DENP 为平行四边形，解关
于t 的方程即可得出结论；
（3）利用二次函数的解析式求得点A 坐标，由题意得到0≤t≤4，利用四边形PCQB 的面积＝S△OQC+S
梯形OCPM+S△PMB求得四边形PCQB 的面积=-(t - 5
2 )
2+ 57
4 ，利用二次函数的性质解答即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于B（4，0），与y 轴交于点C（0，4），对称轴是
直线x＝1，
∴{
16a+ 4 b+c =0
c = 4
- b
2a =1
，
∴{
a=- 1
2
b=1
c = 4
，
∴抛物线解析式为y=- 1
2 x
2+x+4；
（2）∵y=- 1
2 x
2+x+4=- 1
2 ( x -1)
2+ 9
2，
∴D（1，9
2），
设直线BC 的解析式为y＝kx+n，
∴{
4 k +n=0
n= 4
，
∴{
k =-1
n= 4 ，
∴直线BC 的解析式为y＝﹣x+4．
53
当x＝1 时，y＝﹣1+4＝3，
∴E（1，3），
∴DE= 9
2 -3= 3
2，
由题意得：OM＝t，
∵点P 为抛物线y=- 1
2 x
2+x+4 上第一象限内的一点，
∴设P（t，- 1
2 t
2+t+4），
∵过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P，
∴N（t，﹣t+4），
∴PN=- 1
2 t
2+t+4﹣（﹣t+4）=- 1
2 t
2+2t，
∵四边形DENP 为平行四边形，
∴DE＝PN，
∴- 1
2 t
2+2t= 3
2，
∴t＝1（不合题意，舍去）或t＝3，
∴当t 为3 秒时，四边形DENP 为平行四边形．
（3）由题意得：OQ＝0.5t，OM＝t，
令y＝0，则- 1
2 x
2+x+4＝0，
∴x＝﹣2 或x＝4，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵另一动点Q 同时以每秒0.5 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点A 运动，
∴0≤0.5t≤2，
∴0≤t≤4．
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC＝4，
∴BM＝4﹣t，
∵P（t，- 1
2 t
2+t+4），
∴PM=- 1
2 t
2+t+4，
∴四边形PCQB 的面积＝S△OQC+S 梯形OCPM+S△PMB
= 1
2OQ•OC+ 1
2（OC+PM）•OM+ 1
2PM•MB
54
= 1
2 ×0.5t×4+ 1
2[4+（- 1
2 t
2+t+4）]•t+ 1
2（- 1
2 t
2+t+4）（4﹣t）
＝﹣t2+5t+8
=-(t - 5
2 )
2+ 57
4 ，
∵﹣1＜0，
∴当t= 5
2时，四边形PCQB 的面积取得最大值，最大值为57
4 ．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，配方法，
一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，梯形，三角形的面积
利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
18．（2026•眉山）2025 年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，
眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．
（1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000 件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达
到2880 件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；
（2）该食品厂原来每天可销售60 件芝麻糕，每件盈利30 元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1 元，
就可多售出5 件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）每月产量的增长率为20%；
（2）应降价9 元，最大利润为2205 元．
【分析】（1）依据题意，设每月产量的增长率是x，从而2000（1+x）2＝2880，可得x＝0.2＝20%或x
＝﹣2.2（负值不合题意，舍去），从而可以得解；
（2）依据题意，设该食品厂获利为w 元，应降价y 元，可得w＝（30﹣y）（60+5y）＝﹣
5y2+90y+1800＝﹣5（y﹣9）2+2205，结合﹣5＜0，从而当y＝9 时，w 取得最大值，最大值为2205，进
而得解．
【解答】解：（1）由题意，设每月产量的增长率是x，
∴2000（1+x）2＝2880，
∴x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（负值不合题意，舍去）．
答：每月产量的增长率为20%；
（2）设该食品厂获利为w 元，应降价y 元，
∴w＝（30﹣y）（60+5y）
＝﹣5y2+90y+1800
＝﹣5（y﹣9）2+2205．
∵﹣5＜0，
∴当y＝9 时，w 取得最大值，最大值为2205．
55
答：应降价9 元，且最大利润为2205 元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二
次函数的性质是关键．
19．（2026•乐山）已知抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3 交x 轴于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为点
P．
（1）求A、B 两点的坐标；
（2）直线l：y＝kx+b（k≠0）与抛物线C 交于D，E 两点．
①若A、B 两点到直线l 距离相等，则直线l 过定点，请求出这个定点，并说明理由；
②若∠DPE＝90°，试问直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
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【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）A（﹣1，0）B（3，0）．
（2）①（1，0）．
②直线l 过定点（1，﹣3）．
【分析】（1）令y＝0，即可得解；
（2）①设直线l 与x 轴交于点F，过点A 作AG⊥DE，过点B 作BH⊥DE，垂足分别为G、H．易证
△AGF≌△BHF（AAS），可得点F 为AB 中点，即可得解；
②构造三垂直相似再结合一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3 与x 轴交于A、B 两点．
∴令x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1 或x＝3，
∴A（﹣1，0）B（3，0）．
（2）①如图，设直线l 与x 轴交于点F，过点A 作AG⊥DE，过点B 作BH⊥DE，垂足分别为G、H．
56
∴∠AGF＝∠BHF＝90°．
又∵A、B 两点到直线l 的距离相等，
∴AG＝BH．
又∵∠AFG＝∠BFH，
∴△AGF≌△BHF（AAS），
∴AF＝BF，即点F 为AB 中点．
∴定点F（1，0）．
②如图，过点P 作直线m∥x 轴过点D、E 分别作m 的垂线段，垂足分别为M、N，
∵∠DMP＝∠PNE＝90°
∴∠MDP+∠MPD＝90°
又∵∠DPE＝90°，
∴∠DPM+∠EPN＝90°
∴∠DPM＝∠PEN．
∴△DPM∽△PEN．
∴DM
PN = MP
EN ．
设D( x1，x1
2-2 x1-3)，E( x2，x2
2-2 x2-3)，
∵MP＝1﹣x1，PN＝x2﹣1，
∴DM＝x1
2﹣2x1﹣3﹣（﹣4）＝（x1﹣1）2，EN＝x2
2﹣2x2﹣3﹣（﹣4）＝（x2﹣1）2，
∴
( x1-1)
2
x2-1 = 1- x1
( x2-1)
2．
57
化简得x1+x2﹣x1x2＝2．
联立{
y =kx +b
y = x
2-2 x -3
可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，
∴x1+x2＝2+k，x1x2＝﹣3﹣b．
∴b＝﹣3﹣k．
∵y＝k（x﹣1）﹣3．
∴直线l 过定点（1，﹣3）．
【点评】本题主要考查了二次函数与x 轴交点坐标、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和
性质、二次函数与直线交点问题、一元二次方程根与系数的关系等内容，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
20．（2026•湖南）如图1，公路l1与铁路l2垂直交汇于河岸O 点处，公路l1与河岸的另一交点为A，其
中河岸OCB 段为抛物线的一部分，AB 段为线段，OA＝7km，AB＝5km，点B 到公路l1 的距离BD＝
3km，抛物线的顶点C 到公路l1与铁路l2的距离分别为4km 与2km．当地政府为了振兴乡村经济，拟开
发河道与公路l1围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图
2，栅栏EF 紧靠公路l1（与公路l1 的距离忽略不计），栅栏EH⊥EF，点H 在该段抛物线上；栅栏
FG⊥EF，点G 在线段AB 上．以点O 为坐标原点，直线l1与l2分别为x 轴与y 轴，规定1 个单位长度
为1km，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出点B 的坐标；
（2）分别求直线AB 与抛物线OCB 的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）点E 到铁路l2的距离小于1.5km，EH＝2FG，已知建1km 长栅栏的各项开支为2 万元，建完栅栏
需花费17 万元．求栅栏EH 到铁路l2的距离．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题．
【答案】（1）B（3，3）；
（2）直线AB 的函数表达式为：y =- 3
4 x + 21
4 ；抛物线OCB 的函数表达式为：y＝﹣x2+4x；
（3）1km．
【分析】（1）由OA＝7km，确定A（7，0），利用勾股定理由AB＝5km、BD＝3km，求点B 的横坐标；
（2）用待定系数法分别求直线AB 和抛物线OCB 的解析式；
58
（3）先由总造价与单价求出栅栏总长为17
2 km，即HE+ EF + FG = 17
2 km，设E（e，0），利用抛物
线解析式写出H（e，﹣e2+4e），利用直线AB 解析式写出G(f ，- 3
4 f + 21
4 )；由EH＝2FG 把f 用e
表示，再得到关于e 的一元二次方程，结合e＜1.5 取根，即可得到栅栏EH 到铁路l2（y 轴）的距离．
【解答】解：（1）∵O 为原点，l1为x 轴，OA＝7km，
∴A（7，0），
∵点B 到l1的距离BD＝3km，AB＝5km，
∴DA =√A B
2- B D
2=√5
2-3
2= 4 km，
∴OD＝OA﹣DA＝7﹣4＝3km，
∴B（3，3）；
（2）设直线AB 的函数表达式为：y＝kx+b，
将A（7，0）、B（3，3）代入得：{
7 k +b=0
3k +b=3，
解得{
k =- 3
4
b= 21
4
，
∴直线AB 的函数表达式为：y =- 3
4 x + 21
4 ，
∵顶点C 到l1的距离为4km，到l2的距离为2km，
∴C（2，4），
∴设抛物线OCB 的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+4，
将O（0，0）代入得0＝4a+4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，
∴抛物线OCB 的函数表达式为：y＝﹣x2+4x；
（3）建1km 长栅栏的各项开支为2 万元，建完栅栏需花费17 万元，
∴棚栏总长为17
2 km，
∴HE+ EF + FG = 17
2 ，
设点E 的坐标为（e，0），且0＜e＜3，
∵点E 到铁路l2的距离小于1.5km，
∴e＜1.5，
∵点H 在抛物线y＝﹣x2+4x 上，
59
∴H（e，﹣e2+4e），
∴HE＝﹣e2+4e，
设点F 的坐标为（f，0），且f＞e，
∵点G 在直线AB：y =- 3
4 x + 21
4 上，
∴G(f ，- 3
4 f + 21
4 )，
∴FG =- 3
4 f + 21
4 ，
∵EH＝2FG，
∴-e
2+ 4 e =2(- 3
4 f + 21
4 )，
整理得：f = 2e
2-8e+21
3
，
又∵EF＝f﹣e，
∴HE+ EF + FG =(-e
2+ 4 e)+(f -e)+(- 3
4 f + 21
4 )= 17
2 ，
将f = 2e
2-8e+21
3
代入，整理得：5e2﹣14e+9＝0，
解得：e1＝1，e2= 9
5 ，
∵e＜1.5，
∴e= 9
5 不合题意，舍去，
∴e＝1，
∴栅栏EH 到铁路l2的距离为1km．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质等知识，掌握其相关
知识点是解题的关键．
60
考点卡片
1．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检
验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一
次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱
形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例
关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角
形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
2．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．
当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右侧．
（简称：左同右异）
③常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于（0，c）．
④抛物线与x 轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；△＝b2﹣4ac＝0 时，抛物线与x 轴有1 个交点；△＝b2﹣
4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．
3．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（- b
2a，4 ac -b
2
4 a
）．
61
①抛物线是关于对称轴x=- b
2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析式中的c 值．
③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x
= x1+ x2
2
．
4．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k 是常数，
a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c 是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代
入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解
当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可
选择设其解析式为交点式来求解．
5．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二
次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函
数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值
的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实
到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问
题．
6．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的
符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函
数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的
62
一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系
下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题
有意义．
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