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专题30 相似三角形压轴题综合（32 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
相似三角形压轴题
综合
相似三角形压轴为中考核心重难点，
题型涵盖选填压轴与解答压轴。命题
以几何综合为核心，融合正方形、矩
形、圆等基础图形，结合折叠、旋转、
动点变换出题，重点考查相似模型识
别、线段比例运算、面积比值、存在
性与最值问题，侧重几何推理、分类
讨论与数形结合思想。
弱化机械公式套用，创新多模型嵌套
考查，要求自主构造辅助线。新增折
叠动点分类讨论、圆与相似定点定值
探究、双旋转变换、结论辨析题型，
融合勾股、位似、平移多知识点，强
化动态几何分析与高阶综合探究能
力。
一、单选题
1．（2026·四川泸州·中考真题）如图，在ABC 中，AB
AC
=
，点D 在AC 上，若AD
BC
BD
=
=
，则
BCD
ABC
S
S
△
△
的值为（ ）
A．
5
1
4
−
B．3
5
2
−
C．4
5
5
−
D．
5
1
2
−
【答案】B
【分析】设
A
x
=
，利用等腰三角形性质和三角形外角性质求出
C
与
A
的关系，进而证得
ABC
BCD
，利用相似三角形对应边成比例求出线段比，最后根据等高三角形面积比等于底边比求解．
【详解】解：设
A
x
=
，
AD
BD
=
，
ABD
A
x
= =
，
2
BDC
A
ABD
x
= +
=
，
BD
BC
=
，
2
C
BDC
x
=
=
，
AB
AC
=
，
2
ABC
C
x
=
=
，
在ABC中，
180
A
ABC
C
+
+
=
，
2
2
180
x
x
x
+
+
=
，
解得
36
x =
，
72
C
ABC
=
=
，
72
BDC
=
，
C
C
=
，
ABC
BDC
=
，
ABC
BDC
∽
，
BC
CD
AC
BC
=
，
设BC
a
=
，CD
b
=
，则AD
BD
BC
a
=
=
=
，AC
a
b
=
+
，
a
b
a
b
a
=
+
，
即
2
2
(
)
a
b a
b
ab
b
=
+
=
+
，
等式两边同时除以
2
b ，
得：(
𝑎
𝑏)2 −
𝑎
𝑏−1 = 0，
解得
1
5
2
a
b
+
=
（负值舍去），
BCD 与
ABC 在 AC 边上的高相等，
1
1
BCD
ABC
S
CD
b
a
S
AC
a
b
b
=
=
=
+
+ ，
(
)
2 3
5
1
2
3
5
4
2
1
5
3
5
1
2
BCD
ABC
S
S
−
−
=
=
=
=
+
+
+
．
故选 B．
2．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，等腰ABC中，
,
120 ,
AB
AC
BAC
AD
BC
=
=
⊥
，垂足为D，点
O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP
OC
=
，给出下列结论：①点P、C、B 在以点O 为
圆心，OC 为半径的圆上；②
30
APO
DCO
+
=
；③POC 是等边三角形；④POA
CAO
∽
．其中正确
结论的个数为（ ）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用等腰三角形“三线合一”及垂直平分线性质得出OB
OC
=
，结合已知OP
OC
=
可得
OB
OC
OP
=
=
，从而判断①；利用等边对等角及角度和差关系判断②；通过三角形内角和定理计算
OPC
的度数判断③；根据相似三角形的判定判断④．
【详解】解：连接OB ，
,
AB
AC AD
BC
=
⊥
，
120
BAC
=
，
AD
垂直平分
1
,
60
2
BC
BAD
CAD
BAC
=
=
=
，
,
30
OB
OC
ABC
ACB
=
=
=
，
OP
OC
=
，
OB
OC
OP
=
=
，
点P 、C 、B 在以点O 为圆心，OC 为半径的圆上，故①正确；
OB
OP
=
，
APO
ABO
=
，
OB
OC
=
，
DCO
DBO
=
，
30
APO
DCO
ABO
DBO
ABC
+
=
+
=
=
，故②正确；
在PBC 中，
+
+
=
180
BPC
PBC
PCB
，
即(
)
(
)
30
180
APO
OPC
PCO
OCB
+
+
+
+
=
，
,
,
APO
ABO
OCB
OBC
OPC
PCO
=
=
=
，
(
)
30
2
180
ABO
OBC
OPC
+
+
+
=
，
30
30
2
180
OPC
+
+
=
，
60
OPC
=
，
OP
OC
=
，
POC
是等边三角形，故③正确；
根据已知条件无法证明POA
CAO
∽
， 故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③，共3 个．
3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，AB
BC
⊥
，CD
BC
⊥
，点E 、F 分别是BC 上的点，连接AE 、DF 交
于点G ．若
2
BF
EF
=
=
，
1
CE = ，
4
AB =
，
6
CD =
，则BG 的长是（ ）
A．2
3
3
B．2
5
3
C．4
3
3
D．4
5
3
【答案】D
【分析】过点G 作GH
BC
⊥
于点H ，利用相似三角形的性质求出GH 和BH 的长，最后在Rt
BGH
△
中利用
勾股定理求解．
【详解】解：过点G 作GH
BC
⊥
于点H ，
AB
BC
⊥
，CD
BC
⊥
，
∴AB
GH
CD
∥
∥
，
EGH
EAB
∽
，FGH
FDC
V
V
∽
，
2
BF
EF
=
=
，
1
CE = ，
4
BE
BF
EF
=
+
=
，
3
FC
EF
CE
=
+
=
设GH
h
=
，
∵EGH
EAB
∽
∴GH
EH
AB
EB
=
，即4
4
h
EH
=
，
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EH
h
=
，
∵
FGH
FDC
V
V
∽
，
∴GH
FH
CD
FC
=
，即6
3
h
FH
=
，
1
2
FH
h
=
，
2
EF
EH
FH
=
+
=
1
2
2
h
h
+
=
，
解得
4
3
h =
4
3
GH
=
，
4
3
EH =
，
∴
2
3
FH =
，
2
8
2
3
3
BH
BF
FH
=
+
=
+
=
，
在Rt
BGH
△
中，
2
2
2
2
8
4
80
4
5
3
3
9
3
BG
BH
GH
=
+
=
+
=
=
．
4．（2026·四川眉山·中考真题）如图，矩形ABCD中，点F 在线段BC 上，连接AF ，AE 平分
BAF
∠
交BC
于点E ，过点E 作EM
AF
⊥
，垂足为点N ，交AD 于点M ．若
6
AB = ，
2
BE =
，则AMN 的面积为（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】B
【分析】由矩形的性质结合角平分线容易证明
(
)
ABE
ANE AAS
≌
，则
6
AB
AN
=
=
，
2
BE
NE
=
=
．容易
证明EFN
AFB
∽
，则
1
3
EF
NF
NE
AF
BF
AB
=
=
=
，计算得
5
2
x =
，从而得到
3
2
NF =
．由AD
BC 可判定
EFN
MAN
∽
，从而计算出
8
MN = ，最后计算AMN 的面积即可．
【详解】解：设EF
x
=
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
ABC
=
，AD
BC ，
∵EM
AF
⊥
，
∴
90
ANE
ANM
ENF
=
=
=
，
∴
ABC
ANE
=
，
∵AE 平分
BAF
∠
，
∴
BAE
NAE
=
，
在ABE 和
ANE
△
中，
ABC
ANE
BAE
NAE
AE
AE
=
=
=
，
∴
(
)
ABE
ANE AAS
≌
，
∴
6
AB
AN
=
=
，
2
BE
NE
=
=
，
∴
2
BF
BE
EF
x
=
+
=
+
，
∵
90
ENF
ABC
=
=
，
EFN
AFB
=
，
∴EFN
AFB
∽
，
∴
2
1
6
3
EF
NF
NE
AF
BF
AB
=
=
=
=
，
∴
3
3
AF
EF
x
=
=
，
1
2
3
3
x
NF
BF
+
=
=
，
∵AF
AN
NF
=
+
，
∴
2
3
6
3
x
x
+
=
+
，
解得
5
2
x =
，
∴
2
3
3
2
x
NF
+
=
=
，
∵AD
BC ，
90
ANM
FNE
=
=
，
∴EFN
MAN
∽
，
∴MN
AN
NE
NF
=
，即
6
3
2
2
MN =
，
∴
8
MN = ，
∴
1
1
6 8
24
2
2
AMN
S
AN MN
=
=
=
．
5．（2026·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E 为BC 上一点，且
2
CE
BE
=
，连接DE ．过点A 作
AF
DE
⊥
，垂足为F ，连接BF 并延长交CD于点G ，连接CF ，则BEF 与
CFG
△
的面积之比为（ ）
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A．7
9
B．3
4
C．5
7
D．2
3
【答案】B
【分析】设
(
)
0
BE
a a
=
，则
2
CE
a
=
，
3
AD
CD
BC
a
=
=
=
，
13
DE
a
=
，先得出
ADF
DEC
△
∽△
，则可
得DF 的长，再过点F 作FM
BC
⊥
于点M ，作FN
CD
⊥
于点N ，得出DFN
DEC
∽
，BCG
BMF
∽
，
求出
,
,
FN FM CG 的长，进而求出BEF 与
CFG
△
的面积即可．
【详解】解：设
(
)
0
BE
a a
=
，
∵
2
CE
BE
=
，
∴
2
CE
a
=
，
3
3
BC
BE
CE
BE
a
=
+
=
=
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
ADC
BCD
=
=
，
3
AD
CD
BC
a
=
=
=
，
∴
90
ADF
CDE
+
=
，
2
2
13
DE
CD
CE
a
=
+
=
，
∵AF
DE
⊥
，
∴
90
AFD
=
，
90
ADF
FAD
+
=
，
∴
FAD
CDE
=
，
在ADF 和DEC中，
90
FAD
CDE
AFD
DCE
=
=
=
，
∴
ADF
DEC
△
∽△
，
∴DF
AD
CE
DE
=
，即
3
2
13
DF
a
a
a
=
，
解得
6 13
13
a
DF =
，
如图，过点F 作FM
BC
⊥
于点M ，作FN
CD
⊥
于点N ，
∴四边形CMFN 是矩形，
∴FM
CN
=
，FN
CM
=
，FN
BC
∥
，FM
CD
∥
，
∴DFN
DEC
∽
，
∴FN
DN
DF
CE
CD
DE
=
=
，即
6 13
13
2
3
13
a
FN
DN
a
a
a
=
=
，
解得
12
13
a
FN =
，
18
13
a
DN =
，
∴
27
13
a
BM
BC
CM
BC
FN
=
−
=
−
=
，
21
13
a
FM
CN
CD
DN
=
=
−
=
，
又∵FM
CD
∥
，
∴BCG
BMF
∽
，
∴CG
BC
MF
BM
=
，即
3
21
27
13
13
CG
a
a
a
=
，
解得
7
3
a
CG =
，
∴
2
1
1
21
21
2
2
13
26
BEF
a
a
S
BE FM
a
=
=
=
，
2
1
1
7
12
14
2
2
3
13
13
CFG
a
a
a
S
CG FN
=
=
=
，
∴BEF 与
CFG
△
的面积之比为
2
2
21
3
26
14
4
13
a
a
=
．
【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造相似三角形．
二、填空题
6．（2026·四川南充·中考真题）如图，点P 在正方形ABCD内，且
1
AP
AB
=
= ，将PB 绕点B 顺时针旋转90
得到P B
，连接PC 、P C
、PP，PP交BC 于点M ．下列结论：①
1
CP= ；②PC 的最小值为2
2
−
；③
D ，P ，P三点共线；④当
MCP
△
为等腰三角形时，BP的长为6
3
−
．其中正确结论为_________（填
写序号）
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【答案】①③
【分析】对于①，容易证明
(
)
ABP
CBP SAS
≌
，则
1
CP
AP
=
= ；对于②，由
2
1
PC
AC
AP
−
=
−
可
得，当A 、P 、C 三点共线时，PC 取得最小值2
1
−；对于③，利用等腰三角形的性质可得
135
BPD
=
，
进而得到∠
∠
180
BPP
DPB
+
=
，因此D ，P ，P三点共线；对于④，设CM
x
=
，容易证明△
∽△
MCP
CDP
，
则
1
DP
x
=
，
1
DM
x
x
=
−
，在Rt CDM 中，利用勾股定理构造方程，解得
3
3
x =
，进而得到
30
CDM
=
．容
易证明ADP 是等边三角形，在
1
DP
AD
=
= ，进而计算出
3
1
PP =
−
，在Rt BPP中，利用三角函数计算
出BP即可．
【详解】解：对于①，∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
ABC
BCD
ADC
=
=
=
，
1
AB
BC
CD
AD
=
=
=
= ，
由旋转的性质可得，
90
PBP
=
，BP
BP
=
，
∵
90
ABP
CBP
+
=
，∠
∠
90
CBP
CBP
+
=
，
∴
ABP
CBP
=
，
在ABP 和CBP中，
AB
BC
ABP
CBP
BP
BP
=
=
=
，
∴
(
)
ABP
CBP SAS
≌
，
∴
1
CP
AP
=
= ，故①正确；
对于②，如图，连接AC ，
在Rt ABC中，
2
2
2
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵
2
1
PC
AC
AP
−
=
−
，
∴当A 、P 、C 三点共线时，PC 取得最小值2
1
−，故②错误；
对于③，如图，连接DP ，设
BAP
=
，则
90
DAP
=
−
，
∵AB
AP
=
，
∴
180
∠
1
∠
∠
90
2
2
BAP
APB
ABP
−
=
=
=
−
，
∵AB
AD
=
，
∴AD
AP
=
，
∴
180
1
45
2
2
DAP
APD
ADP
−
=
=
=
+
，
∴∠
∠
∠
135
DPB
APD
APB
=
+
=
，
∵
90
PBP
=
，BP
BP
=
，
∴
45
BPP
BP P
=
=
，
∵∠
∠
180
BPP
DPB
+
=
，
∴D ，P ，P三点共线，故③正确；
对于④，如图，设CM
x
=
，
∵∠
∠
∠
90
∠
90
CMP
DCM
CMD
CMD
=
+
=
+
，
又∵
MCP
△
为等腰三角形，
∴CM
MP
x
=
=
，
∴∠
∠
CP M
MCP
=
，
∵
1
CP
CD
=
=
，
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∴∠
∠
∠
CDP
CP M
MCP
=
=
，
∴△
∽△
MCP
CDP
，
∴MP
CP
CP
DP
=
，即
1
1
x
DP
=
，
∴
1
DP
x
=
，
∴
1
DM
DP
MP
x
x
=
−
=
−
，
在Rt CDM 中，
2
2
2
CM
CD
DM
+
=
，
∴
2
2
1
1
x
x
x −
+ =
，
整理，得
2
1
3
x =
，
解得
3
3
x =
（负值舍去），
∴
3
3
CM
MP
=
=
，
1
3
DP
x
=
=
，
在Rt CDM 中，
3
tan ∠
3
CM
CDM
CD
=
=
，
∴
30
CDM
=
，
∴∠
∠
∠
60
ADP
ADC
CDM
=
−
=
，
又∵AD
AP
=
，
∴ADP 是等边三角形，
∴
1
DP
AD
=
= ，
∴
3
1
PP
DP
DP
=
−
=
−
，
在Rt BPP中，
(
)
6
2
sin
3
1 sin45
2
BP
PP
BPP
=
−
=
−
=
，故④错误；
综上，正确的结论为①③．
7．（2026·四川泸州·中考真题）如图，在边长为4 的正方形ABCD中，点E ，F ，G 分别是边AB ，BC ，CD
的中点，AF 与DE 交于点M ，BD 与AF ，MG 分别交于点N ，P ．则NP的长为__________．
【答案】8 2
9
【分析】根据正方形性质证明ADE
BAF
≌
，得出AF
DE
⊥
，等积法求出AM 的长，勾股定理求出DM 的
长，证明AND
FNB
∽
，推出
2
3
DN
BD
=
，连接BG ，易得四边形DEBG 为平行四边形，得到
//
,
2 5
BG DE BG
DE
=
=
，证明DMP
BGP
∽
，推出
4
9
DP
BD
=
，进而得到
2
4
2
3
9
9
NP
DN
DP
BD
BD
BD
=
−
=
−
=
，勾股定理求出BD 的长，即可得出结果.
【详解】解
四边形ABCD是正方形，边长为4 ，
4
AB
AD
BC
CD
=
=
=
=
，
90
DAB
ABC
BCD
ADC
=
=
=
=
，
//
AB CD，
//
AD BC，
E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD的中点，
2
AE
EB
BF
FC
CG
GD
=
=
=
=
=
=
，
在ADE 和BAF 中，
AD
AB
DAE
ABF
AE
BF
=
=
=
，
(
)
ADE
BAF SAS
≌
，
ADE
BAF
=
，DE
AF
=
，
90
ADE
DAF
+
=
，
(
)
180
90
AMD
ADE
DAF
−
=
+
=
，即AF
DE
⊥
，
在Rt ADE中，由勾股定理得
2
2
2
2
4
2
2 5
DE
AD
AE
=
+
=
+
=
，
1
1
2
2
ADE
S
AD AE
DE AM
=
=
，
4 2
4 5
5
2 5
AD AE
AM
DE
=
=
=
，
2
2
8 5
5
DM
AD
AM
=
−
=
，
//
AD BC ，
NAD
NFB
=
，
NDA
NBF
=
，
AND
FNB
∽
，
4
2
2
DN
AD
BN
BF
=
=
=
，
2
3
DN
BD
=
，
13 / 83
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连接BG ，
//
AB CD，
2
BE
DG
=
=
，
四边形DEBG 为平行四边形，
//
,
2 5
BG DE BG
DE
=
=
，
PDM
PBG
=
，
PMD
PGB
=
，
DMP
BGP
∽
，
4
5
DP
DM
BP
BG
=
=
，
4
9
DP
BD
=
，
2
4
2
3
9
9
NP
DN
DP
BD
BD
BD
=
−
=
−
=
，
在Rt ABD中，
2
2
2
2
4
4
4 2
BD
AB
AD
=
+
=
+
=
，
2
8 2
4 2
9
9
NP
=
=
.
8．（2026·四川成都·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，AD 为ABC的一条中线，E 为AC 上一
点，
ADE
B
= ．若
5,
2
AE
CE
=
=
，则AB = _____．
【答案】7 33
3
【分析】设CD
BD
a
=
=
，则
2
BC
a
=
，勾股定理求得AD ，过点E 作EH
AD
⊥
于点H ，证明EAH
DAC
∽
，
根据相似三角形的性质求得
,
EH AH ，进而求得DH ，根据
ADE
B
= ，得出tan
tan
ADE
B
=
，求得
2
a ，
进而求得AB 的长．
【详解】解：∵AD 为ABC的一条中线，
∴CD
BD
=
，
设CD
BD
a
=
=
，则
2
BC
a
=
∵
5,
2
AE
CE
=
=
，
∴
5
2
7
AC
AE
CE
=
+
= +
=
，
∴
2
2
2
49
AD
AC
CD
a
=
+
=
+
，
∴
7
tan
2
AC
B
BC
a
=
=
过点E 作EH
AD
⊥
于点H ，
∴
90
AHE
ACB
=
=
又∵
EAH
DAC
=
∴EAH
DAC
∽
∴EH
AE
AH
DC
AD
AC
=
=
∴
2
5
49
AE DC
a
EH
AD
a
=
=
+
∴
2
2
5
7
35
49
49
a
AC EH
a
AH
DC
a
a
+
=
=
=
+
∵
2
2
35
49
49
DH
AD
AH
a
a
=
−
=
+
−
+
2
2
14
49
a
a
+
=
+
∴
2
5
tan
14
EH
a
ADE
DH
a
=
=
+
∵
ADE
B
=
∴
2
7
5
2
14
a
a
a
=
+
解得：
2
98
3
a =
∴
2
7 33
49
4
3
AB
a
=
+
=
9．
（2026·四川自贡·中考真题）如图，正方形ABCD中，点E 为CD的中点，作
45
EBF
=
，交AD 于点F ．点
G ，H 分别在等腰Rt DFQ 的直角边DQ 和斜边FQ 上，且
2
GQ
FH
=
，FG 与DH 交于点P ．连接BP ，若
2
AF =
，则BP 的最小值为_____．
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【答案】4 5
2 2
−
【分析】根据题意，四边形ABCD是正方形，设边长为a ，如图所示，将
ABF
△
绕点 B 顺时针旋转 90
得到
CBK ，点 K 在 DC 的延长线上，则
1
2
2
EF
EK
a
=
=
+
，有勾股定理列式求解得到
6
a =
，再证明
DFH
FQG
∽
，结合角度的计算得到点 P 在以 DF 为弦，含 135 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心
为 O，半径为R ，得到
2 2
2
DF
R
O D =
=
=
，如图，建立平面直角坐标系，以B 为原点，BC 所在直线为
x 轴，BA 所在直线为y 轴，结合图形，两点之间距离的计算即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，设边长为a ，
∴
,
90
AB
BC
CD
AD
a
ABC
BCD
CDA
DAB
=
=
=
=
=
=
=
=
，
∵点E 为CD的中点，
∴
1
2
DE
CE
CD
=
=
，
∵
2,
AF
AD
a
=
=
，且DFQ是等腰直角三角形，
∴
2
DF
DQ
AD
AF
a
=
=
−
=
−
，
45
DFQ
DQF
=
=
∵
45
EBF
=
，
∴
90
45
45
CBE
ABF
ABC
EBF
+
=
−
=
−
=
，
如图所示，将
ABF
△
绕点 B 顺时针旋转 90 得到
CBK ，点 K 在 DC 的延长线上，
∴ABF
CBK
≌
，
∴
,
,
BF
BK AF
CK
ABF
CBK
=
=
=
，则
45
CBK
CBE
ABF
CBE
EBF
+
=
+
=
=
，且BE
BE
=
，
∴
(
)
EBF
EBK SAS
≌
，
∴
1
2
2
EF
EK
EC
CK
EC
AF
a
=
=
+
=
+
=
+
，
在Rt
DEF
△
中，
2
2
2
EF
DF
DE
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
1
1
2
2
2
2
a
a
a−
+
=
+
，
整理得，
2
6
0
a
a
−
= ，
解得，
1
2
6,
0
a
a
=
=
（舍去），
∴
6
AB
BC
CD
AD
=
=
=
=
，
∴
6
2
4
DF
DQ
=
=
−
=
，
3
DE = ，
∴
2
4 2
FQ
DF
=
=
，
∴
2
FQ
DF =
，
∵
2
GQ
FH
=
，
∴
2
GQ
FH =
，
∴FQ
GQ
DF
FH
=
，且
45
DFH
FQG
=
=
，
∴DFH
FQG
∽
，
∴
FDH
QFG
=
，
在PDF 中，
(
)
180
DPF
PDF
PFD
−
=
+
，
∵
45
45
PFD
QFD
QFG
QFG
FDH
=
−
=
−
=
−
，
∴
45
45
PDF
PFD
FDH
FDH
+
=
+
−
=
，
∴
180
45
135
DPF
=
−
=
，
∴点 P 在以 DF 为弦，含 135 圆周角的圆弧上运动，设该圆圆心为 O，半径为R ，
∵圆心角
(
)
2
180
135
90
DO F
−
=
=
，
4
DF = ，
∴DO F
是等腰直角三角形 ，
∴
2 2
2
DF
R
O D =
=
=
，
如图，建立平面直角坐标系，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，
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∴
(0,0), (0,6),
(6,6),
(2,6)
B
A
D
F
，
∵DF 在直线
6
y =
上，且P 在正方形内部（
6
y
），
∴ 圆心O在DF 的上方，且O到DF 的距离为
1
2
2
O J
DF
=
=
，
∵ DF 的中点坐标为(
)
4,6
J
，
∴ 圆心O的坐标为(4,8) ，连接BO，交圆弧于点P ，此时BP 取得最小值
2
2
(4
0)
(8
0)
16
64
80
4 5
BO =
−
+
−
=
+
=
=
，
∴
min
4 5
2 2
BP
BO
R
−
=
=
−
．
10．（2026·四川广安·中考真题）如图，在矩形ABCD中，已知
3
AB = ，
4
BC =
，点E 是射线BC（不与点B
重合）上的一个动点，连接AE 并延长交直线CD于点F ，将ABE 沿射线AE 翻折，点B 的对应点为点B，
延长AB交直线CD于点G ．有下列结论：
①AG
GF
=
；②
2
DGA
BAE
=
；③若点B恰好落在对角线AC 上时，则
5
2
CE =
；④若
3
2
BE
CE =
时，则
54
41
AB D
S
=
△
或18
5 ；⑤B D
的取值范围为1
5
B D
．其中正确的结论有_____．（填序号）
【答案】①③⑤
【分析】①②分类讨论，当E 在C 的左侧和E 在C 的右侧（含点C ），根据矩形性质和折叠的性质即可推出
结论；③先判断E 在C 的左侧，根据矩形的性质结合勾股定理求出AC 的长，再根据折叠的性质结合勾股定
理求出CE的长，④分类讨论，当E 在C 的左侧和E 在C 的右侧（含点C ），分别作过点D 作DM
AG
⊥
交AG
于点M ，过点D 作DN
AG
⊥
交AG于点N ，运用矩形的性质证明ABE
FCE
∽
，得出FC 的长，再结合①
的结论算出DG 的长，根据等面积法求出DM 、DN ，最后运用三角形的面积求解即可；⑤先判断B在以A
为圆心，半径为3的圆上运动，即可求解．
【详解】解：关于①，如图，当E 在C 的左侧、，
∵ABE 关于AE 折叠为
AB E
△
，
∴
1
2
BAE
B AE
BAB
=
=
，
∵矩形ABCD，
∴AB CD ，
∴
BAE
AFD
=
，
∴
AFD
B AE
=
，
∴AG
GF
=
，
如图，E 在C 的右侧（含点C ），
与当E 在C 的左侧同理，
综上，AG
GF
=
，
∴①符合题意；
关于②，如图，当E 在C 的左侧，
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∵ABE 关于AE 折叠为
AB E
△
，
∴2
2
BAE
B AE
BAB
=
=
，
∵矩形ABCD，
∴AB CD ，
∴
2
AGD
BAB
BAE
=
=
，
如图，E 在C 的右侧（含点C ），
∵AB CD ，
∴
2
180
AGD
BAB
AGD
BAE
+
=
+
=
，即
180
2
AGD
BAE
=
−
，
∴②不符合题意；
关于③，∵点B恰好落在对角线AC 上，
∴如图，E 在C 的左侧，
∵矩形ABCD，
∴
90
B
=
，
∵在Rt
ABC
△
中，
3
AB = ，
4
BC =
，
∴根据勾股定理，
2
2
5
AC
AB
BC
=
+
=
，
∵ABE 关于AE 折叠为
AB E
△
，
∴BE
B E
=
，AB
AB
=
，
90
B
AB E
=
=
，
∴
90
AB E
CB E
=
=
，
2
BC
AC
AB
=
−
=
，
∵在Rt
CB E
△
中，
2
B C
=
，
4
B E
BE
BC
CE
CE
=
=
−
= −
，
∴根据勾股定理，
2
2
2
CE
B E
B C
=
+
，即
(
)
2
2
4
4
CE
CE
=
−
+
，
解得:
5
2
CE =
，
∴③符合题意；
关于④，如图，当E 在C 的左侧，过点D 作DM
AG
⊥
交AG 于点M ，
∵ABE 关于AE 折叠为
AB E
△
，
∴
3
AB
AB
=
= ，
∵矩形ABCD，
∴AB CD ，
90
ADC
=
，
3
AB
CD
=
=
，
4
AD
BC
=
=
，
∴ABE
FCE
∽
，
∴
3
2
AB
BE
FC
CE
=
=
，即3
3
2
FC =
，
解得：
2
FC =
，
∴
5
GF
CD
DG CF
DG
=
−
+
= −
，
∵在Rt ADG中，
4
AD =
，
∴根据勾股定理，
2
2
2
2
4
AG
AD
DG
DG
=
+
=
+
，
∵由①得AG
GF
=
，
∴
2
2
AG
GF
=
，即
(
)
2
2
16
5
DG
DG
+
=
−
，解得：
9
10
DG =
，
∴
41
10
AG
GF
=
=
，
21 / 83
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∵
1
1
2
2
AGD
S
AG DM
AD DG
=
=
，即41
9
4
10
10
DM =
∴
36
41
DM =
，
∴
1
1
36
54
3
2
2
41
41
AB D
S
AB DM
=
=
=
，
如图，当E 在C 的右侧（含点C ），过点D 作DN
AG
⊥
交AG 于点N ，
∵ABE 关于AE 折叠为
AB E
△
，
∴
3
AB
AB
=
= ，
∵矩形ABCD，
∴AB CD ，
90
ADC
=
，
3
AB
CD
=
=
，
4
AD
BC
=
=
，
∴ABE
FCE
∽
，
∴
3
2
AB
BE
FC
CE
=
=
，即3
3
2
FC =
，解得：
2
FC =
，
∴
1
GF
CD CF
DG
DG
=
−
+
= +
，
∵在Rt ADG中，
4
AD =
，
∴根据勾股定理，
2
2
2
2
4
AG
AD
DG
DG
=
+
=
+
，
∵由①得AG
GF
=
，
∴
2
2
AG
GF
=
，即
(
)
2
2
16
1
DG
DG
+
=
+
，解得：
15
2
DG =
，
∴
17
2
AG
GF
=
=
，
∵
1
1
2
2
AGD
S
AG DN
AD DG
=
=
，即17
15
4
2
2
DN =
∴
60
17
DN =
，
∴
1
1
60
90
3
2
2
17
17
AB D
S
AB DN
=
=
=
，
综上，
54
41
AB D
S
=
△
或90
17 ；
∴故④不符合题意；
关于⑤，
∵ABE 关于AE 折叠为
AB E
△
，
∴
3
AB
AB
=
= ，
∴如图，B在以A 为圆心，半径为3的圆上运动，
∵点E 是射线BC （不与点B 重合）上的一个动点，
∴0
90
BAE
，即0
180
BAB
，
∴B在BT 上运动，
当B在K 点时，B D
有最小值，最小值为4 3 1
−= ，
当B接近T 时停止，B D
趋近于
2
2
4
3
5
DT =
+
=
，
∴B D
的取值范围为1
5
B D
，
故⑤符合题意；
综上，符合题意的有①③⑤．
11．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为3cm 的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，2
3 cm 为半径
作弧，交BC 于点M，交AB 的延长线于点N，再分别以点M
N
、
为圆心，大于1
2 MN 的长为半径作弧，
两弧交于点K，作射线BK ．点E 在边AB 上，且
2
BE
AE
=
，连接EM 并延长，交BK 于点F，连结DF ，
交BC 于点G，则DG 的长为________cm ．
【答案】3 5
2
【分析】根据题意可知BK 是
CBN
的角平分线，结合正方形性质可得
45
CBK
=
，过点F 作BC 和
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AB 延长线的垂线，利用角平分线性质和相似三角形EBM
EPF
∽
求出F 到BC 的距离，再利用
DCG
FHG
∽
求出CG 的长，最后在Rt DCG 中利用勾股定理求解．
【详解】解：根据题意可知BK 平分
CBN
，
四边形ABCD 是正方形，
90 ,
3,
ABC
AB
BC
CD
DC
BC
=
=
=
=
⊥
，
点N 在AB 的延长线上，
90
CBN
=
，
1
45
2
CBK
CBN
=
=
，
过点F 作FH
BC
⊥
于点H ，作FP
AB
⊥
交AB 的延长线于点P ，则四边形BHFP 为矩形，
BK 平分
,
,
CBN FH
BC FP
BN
⊥
⊥
，
FH
FP
=
，
∴四边形BHPF 为正方形，
在Rt BHF 中，
45
FBH
=
，
BH
FH
=
，
2
,
3
BE
AE AB
=
= ，
2
BE
=
，
设FH
x
=
，则FP
BH
BP
FH
x
=
=
=
=
，
2
EP
EB
BP
x
=
+
= + ，
,
BM
AB FP
AB
⊥
⊥
，
//
BM FP
，
EBM
EPF
∽
，
BM
EB
FP
EP
=
，
2
3
BM =
，
2
2
3
2
x
x
=
+
，
解得
1
x = ，
1,
1
FH
BH
=
= ，
3 1
2
CH
BC
BH
=
−
= −=
，
,
DC
BC FH
BC
⊥
⊥
，
//
DC FH
，
DCG
FHG
∽
，
3
3
1
CG
DC
HG
FH
=
=
=
，
3
CG
HG
=
，
2
CG
HG
CH
+
=
=
，
3
2
HG
HG
+
=
，
1
2
HG
=
，
3
2
CG
=
，
在Rt DCG 中，
2
2
2
2
3
9
45
3 5
3
9
2
4
4
2
DG
DC
CG
=
+
=
+
=
+
=
=
．
12．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
9
AB = ，
12
AD =
，点E 在AB 边上，且
3
BE =
，
点F 是BC 边上的一个动点，将BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为点B，连接AB．点G 在线段AB上，
若
2
3
AG
AB
=
，连接DG ，则DG 的最小值为_______．
【答案】4 10
2
−
【分析】根据翻折的性质可知
3
EB
EB
=
= ，即点B在以E 为圆心，3为半径的圆上运动，由
2
3
AG
AB
=
，
联想到位似变换，在AE 上取点H 使得
2
3
AH
AE
=
，构造AHG
AEB
∽
，从而确定点G 的轨迹是以H 为
圆心，2 为半径的圆，连接DH ，当
,
,
D G H 三点共线时，DG 取得最小值，利用勾股定理求出DH 的
长即可求解．
【详解】解：
四边形ABCD是矩形，
90
A
=
，
12
AD =
，
9
AB = ，
点E 在AB 边上，
3
BE =
，
9 3
6
AE
AB
BE
=
−
= −=
，
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由翻折的性质可知，
3
EB
EB
=
= ，
在AE 上取一点H ，使得
2
3
AH
AE
=
，连接HG ，
2
6
4
3
AH
=
=
，
在AHG 和
AEB
△
中，
2
3
AG
AH
AB
AE
=
=
，
HAG
EAB
=
，
AHG
AEB
∽
，
2
3
HG
AH
EB
AE
=
=
，
2
2
3
2
3
3
HG
EB =
=
=
，
点H 是定点，HG 长为定值2 ，
点G 在以点H 为圆心，2 为半径的圆上运动，
连接DH ，当点G 在线段DH 上时，DG 的值最小，最小值为DH
HG
−
，
在Rt DAH 中，
12
AD =
，
4
AH =
，
根据勾股定理得：
2
2
2
2
12
4
144 16
160
4 10
DH
AD
AH
=
+
=
+
=
+
=
=
，
DG
的最小值为4 10
2
−
．
13．（2026·山西·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD
BC ，
90
B
=
，
10
AB =
．点E 是AB 边上的
一点，且
3
AE = ，连接DE ，过点E 作DE 的垂线，交BC 的延长线于点F ，交CD边于点G ．若
5
CF
CG
=
= ，
则线段BF 的长为________．
【答案】14
【分析】过点E 作EH
BF
∥
，交CD于点H ．通过等角对等边证明HG
EH
DH
=
=
，过点G 作GM
AB
⊥
于
点M ，作GN
BF
⊥
于点N ，证明AD
EH
MG ，根据平行线分线段成比例求出
3
EM
AE
=
= ，进而得出
4
BM =
，证明四边形BNGM 是矩形得到
4
GN
MB
=
=
，根据勾股定理求出NC ，得到NF 的长，从而可得
tanF 的值，进而在Rt BEF 中解直角三角形即可求解．
【详解】过点E 作EH
BF
∥
，交CD于点H ．
HEG
F
= ，
CF
CG
=
，
CGF
F
= ，
CGF
HGE
=
，
HEG
HGE
=
，
EH
HG
=
．
DE
EF
⊥
，
90
DEG
=
90
DEH
HEG
+
=
，
90
EDG
DGE
+
=
HEG
DGE
=
，
DEH
EDG
=
，
EH
DH
=
，
DH
HG
=
．
过点G 作GM
AB
⊥
于点M ，作GN
BF
⊥
于点N ，则
90
AMG
=
．
90
B
=
，
AMG
B
= ，
∴MG
BC
∥
，
,
AD
BC EH
BC ，
AD
EH
MG
BC
，
1
AE
DH
EM
HG
=
= ，
3
EM
AE
=
=
，
10 3 3
4
MB
AB
AE
EM
−
−
=
=
−−=
．
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90 ,
,
B
GM
AB GN
BC
=
⊥
⊥
，
四边形BMGN 是矩形，
4
GN
BM
=
=
，
在Rt GNC中，
2
2
3
NC
GC
GN
−
=
= ，
3 5
8
NF
NC
CF
=
+
= + =
．
在Rt GNF 中，
4
1
tan
8
2
GN
F
NF
=
=
=
，
在Rt
EBF
△
中，
3 4
7
BE
EM
MB
=
+
= +
=
，
7
14
1
tan
2
EB
BF
F
=
=
=
．
14．（2026·河南·中考真题）如图，在ABC 中，
5
AB
AC
=
= ，
6
BC =
，CD是角平分线．点E 为边BC 上
一点，连接AE ，交CD于点F ，连接BF ．若
2 5
AE =
，则BF 的长为_____．
【答案】2 2 或10 2
3
【分析】过点A 作AI
BC
⊥
于点I ，先由等腰三角形的性质求出
3
BI
CI
=
= ，则
2
2
4
AI
AB
BI
=
−
=
，然后
分点E 在点I 的左侧和右侧两种情况，构造相似三角形求解即可．
【详解】解：过点A 作AI
BC
⊥
于点I ，
∵
5
AB
AC
=
= ，
6
BC =
，
∴
3
BI
CI
=
= ，
∴
2
2
4
AI
AB
BI
=
−
=
当点E 在I 左侧时，记作点
1
E ，
∴
(
)
2
2
2
2
1
1
2 5
4
2
IE
AE
AI
=
−
=
−
=
∴
1
1
3
2
1
BE
BI
IE
=
−
= −
= ，
1
1
3
2
5
CE
CI
IE
CA
=
+
= +
=
=
∵CD平分
ACB
∴
1
1
1
AF
E F
=
过点
1F 作
1FM
BC
⊥
于点M ，则
1FM
AI
∥
∴
1
1
1
E FM
E AI
△
∽△
∴
1
1
1
1
1
1
1
2
E M
F M
E F
E I
AI
E A
=
=
=
∴
1
1
2,
1
FM
E M
=
=
∴
1 1
2
BM = + =
∴
2
2
1
1
2 2
BF
BM
FM
=
+
=
；
当点E 在I 右侧时，记作点
2
E ，则同理
2
2
IE =
，
∴
2
2
3
2
1
CE
IC
IE
=
−
=
−
=
过点A 作AO
BC 交CD延长线于点O，则1
3
= ，
2
2
2
AOF
E CF
△
∽△
∵CD平分
ACB
∴
1
2
=
∴
2
3
=
∴
5
AO
AC
=
=
∵
2
2
2
AOF
E CF
△
∽△
∴
2
2
2
2
5
AF
AO
CE
E F
=
=
，
同理可得，
2
2
2
E F N
E AI
△
∽△
∴
2
2
2
2
2
2
1
6
E F
E N
F N
E A
E I
AI
=
=
=
∴
2
1
1
2
6
3
E N =
=
，
2
1
2
4
6
3
F N =
=
∴
2
2
1
14
6 1
3
3
BN
BC
CE
NE
=
−
−
=
−−
=
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∴
2
2
2
2
10 2
3
BF
BN
F N
=
+
=
，
综上：BF 的长为2 2 或10 2
3
．
15．
（2026·湖北武汉·中考真题）如图，E 、F 分别是矩形ABCD边AB 、CD上的点，连接EF ．将四边形ADFE
沿EF 翻折得到四边形GHFE ，边GH 经过点C ．若
8
AB = ，
6
AD =
，
3
DF =
，则CH 的长是_________，EF
的长是_________．
【答案】 4 3 5
【分析】作FN
AB
⊥
于N，则四边形ADFN 是矩形，则可得
3
AN
DF
=
= ，
6
NF
AD
=
=
．根据矩形的性质
和折叠的性质可得
5
FC =
，
3
FH
DF
=
=
，根据勾股定理可得
4
HC =
，进而可得
2
GC =
．证明
FHC
CGM
∽
，根据相似三角形对应边成比例可求得
8
3
GM =
，
10
3
CM =
．再证明EBM
CGM
≌
，则可
得
2
EB
CG
=
=
，则可得
3
NE =
，再根据勾股定理可得
3 5
EF =
．
【详解】解：设GE 与CB的交点为M，
∵四边形ABCD是矩形，且
8
AB = ，
6
AD =
，
∴
90
A
B
BCD
D
=
=
=
=
，
6
BC
AD
=
=
，
8
DC
AB
=
=
，
作FN
AB
⊥
于N，则四边形ADFN 是矩形，
∴
3
AN
DF
=
= ，
6
NF
AD
=
=
，
根据折叠的性质可知
3
FH
DF
=
=
，
6
GH
AD
=
= ，EG
AE
=
，
90
H
D
=
=
，
90
G
A
= =
，
∵
8
DC =
，
3
DF =
，
∴
5
FC =
，
∴
2
2
2
2
5
3
4
HC
FC
FH
=
−
=
−
=
，
∴
6
4
2
GC
HG
HC
=
−
= −
=
，
∵
90
BCD
=
，
∴1
2
90
+=
，
∵
90
G
=
，
∴
2
3
90
+=
，
∴1
3
= ，
又∵
H
G
=
，
∴FHC
CGM
∽
，
∴FH
HC
FC
CG
GM
CM
=
=
，即3
4
5
2
GM
CM
=
=
，
解得
8
3
GM =
，
10
3
CM =
，
∴
10
8
6
3
3
BM
CB
CM
=
−
=
−
=
，
∴BM
GM
=
，
又∵
B
G
=
，
4
3
= ，
∴
(
)
ASA
EBM
CGM
≌
，
∴
2
EB
CG
=
=
，
∴
8 3 2
3
NE
AB
AN
EB
=
−
−
= −−
= ，
∴
2
2
2
2
3
6
3 5
EF
NE
NF
=
+
=
+
=
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定
和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
16．（2026·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图1，在ABC中，AB
BC
=
，BO是ABC 的中线．将BOC 绕点O顺时针旋转得到DOE ，
其中点B ，C 的对应点分别为点D ，E ，线段DE 分别与线段OA，AB 交于点M ，F ，线段OE 与AB 交于
点N ．
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(1)推理证明：求证：AON
EOM
≌
；
(2)拓展延伸：在旋转过程中，当OD
AB
∥
时，探究下列问题．
①如图2，判断DO 与DF 的数量关系，并说明理由；
②已知
2
OB =
，
3
OA = ．在射线DO 上取一点G ，在射线BO上取一点H ，使OH
OG
=
．当以点A ，G ，H
为顶点的三角形是直角三角形，且GH 为直角边时，请直接写出线段BH 的长．
【答案】(1)证明：
AB
BC
=
，BO是ABC的中线，
A
C
= ，AO
CO
=
，BO
AC
⊥
，
BOC 绕点O顺时针旋转得到DOE ，
E
C
=
，EO
CO
=
，
A
E
= ，AO
EO
=
，
AON
EOM
=
，
在AON 和EOM 中，
A
E
AO
EO
AON
EOM
=
=
=
，
(
)
ASA
AON
EOM
≌
；
(2)①解：DO
DF
=
，
理由如下：
AB
BC
=
，BO是ABC的中线，
ABO
CBO
=
，
BOC 绕点O顺时针旋转得到DOE ，
D
CBO
=
，OD
OB
=
，
ABO
D
=
，
∵OD
AB
∥
，
D
AFD
=
，
AFD
ABO
=
，
DF
OB
∥
，
四边形DFBO是平行四边形，
OD
OB
=
，
DFBO
是菱形，
DO
DF
=
；
②线段BH 的长为13 或4
13
−
【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，旋转的性质得出
,
A
E AO
EO
=
=
，结合图形得到
AON
EOM
=
，运用“角边角”即可求证；
（2）①根据旋转得到
D
ABO
=
∠
∠
，由平行线的判定得到DF
OB
∥
，可证四边形DFBO是菱形，由此即可
求解；
②证明
,
G H 在以O为圆心，OH 为半径的圆上，即图中的
,
,
,
G H G H
，可得四边形GHG H
为矩形，可得
当以点A ，G ，H 为顶点的三角形是直角三角形，且GH 为直角边时，当
90
AGH
=
，则AH一定过点O，
不符合题意；只有
90
AGH
=
或
90
AH G
=
，此时,
,
A G H三点共线，再进一步求解即可.
【详解】（1）略
（2）①略
②解：∵OG
OH
=
，
∴
,
G H 在以O为圆心，OH 为半径的圆上，即图中的
,
,
,
G H G H
，
∴
90
GHG
HGH
GHG
HGH
=
=
=
=
，
∴四边形GHG H
为矩形，
∴当以点A ，G ，H 为顶点的三角形是直角三角形，且GH 为直角边时，
当
90
AGH
=
，则AH一定过点O，不符合题意；
∴只有
90
AGH
=
或
90
AH G
=
，
此时,
,
A G H三点共线，
如图所示，当点H 在线段BO上时，
90
AGH
=
，且点G 在线段DO 上，过点H 作HP
OP
⊥
于点P ，
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90
HPO
AOB
=
=
，
∵OD
AB
∥
，
HOP
ABO
=
，
2
OB =
，
3
OA = ，
∴
2
2
13
AB
OA
OB
=
+
=
，
3
tan
tan
2
AO
PH
HOP
ABO
BO
OP
=
=
=
=
，
设
2
OP
x
=
，
3
HP
x
=
，
则
2
2
13
OH
OP
HP
x
=
+
=
，
13
OG
OH
OG
OH
x
=
=
=
=
，
∵OD
AB
∥
，
∴H GO
H AB
∽
，
∴OG
H O
AB
H B
=
，
∴
13
13
13
13
2
x
x
x
=
+
，
解得：13
13
2
x =
−或
0
x =
（舍去），
此时
(
)
2
13
2
13
2
4
13
BH
BO
HO
x
=
−
=
−
=
−
−
=
−
，
2
13
2
13
2
13
BH
OB
OH
x
=
+
=
+
=
+
−
=
.
综上所述，
13
BH =
或4
13
−
．
17．（2026·福建·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于
O ，E 是DC 延长线上的一点，EB 的延长线交
O 于点F ，AB
BD
=
，
60
CBE
ABD
=
=
．
(1)求
E
的度数；
(2)求证：四边形AFEC是平行四边形；
(3)设CF 交BD 于点G ，且
2
3
CG
FG =
，求BD
AC 的值．
【答案】(1)60
(2)证明：
60
ACD
ABD
=
=
，
ACD
E
= ．
AC
EF
∥
．
∵四边形AFBD 是
O 的内接四边形，
180
AFB
ADB
+
=
．
ABD是等边三角形，
60
ADB
=
，
120
AFB
=
．
180
AFB
E
+=
．
AF
CE
∥
．
∴四边形AFEC是平行四边形．
(3)
7
3
【分析】（1）先判定ABD 是等边三角形，得到
60
BAD
BDA
=
=
，利用圆的内接四边形的性质，证明
60
BCE
BAD
=
=
，最后利用三角形内角和定理解答即可；
（2）先利用
ACD
E
= 判定AC
EF ，利用圆的内接四边形的性质求得
120
AFB
=
，证明AF
CE ；
（3）过点C 作CH
BE
⊥
，垂足为H ，连接DF ，设CD
a
=
，先判定BCE 是等边三角形，证明
(
)
CFE
BDE AAS
≌
，得到EF
ED
=
，再证明DEF 是等边三角形，证明BC
DF ，BCG
DFG
∽
，
BCE
FDE
∽
，得到
2
BE
a
=
，
3
EF
a
=
，接着利用勾股定理表示出
,
CH CF ，利用平行四边形的性质表示
出AC ，进一步解答即可．
【详解】（1）解：
AB
BD
=
，
60
ABD
=
，
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ABD
△
是等边三角形．
60
BAD
BDA
=
=
．
∵四边形ABCD 是
O 的内接四边形，
180
BAD
BCD
+
=
．
又
180
BCE
BCD
+
=
，
60
BCE
BAD
=
=
．
60
CBE
=
，
180
60
E
CBE
BCE
−
−
=
=
．
（2）略
（3）解：过点C 作CH
BE
⊥
，垂足为H ，连接DF ，设CD
a
=
．
60
E
CBE
BCE
=
=
=
，
BCE
△
是等边三角形．
BE
CE
=
．
又
CFB
CDB
=
，
E
E
=
，
(
)
CFE
BDE AAS
≌
．
EF
ED
=
．
BF
CD
a
=
=
．
60
E
=
，
DEF
是等边三角形．
60
FDE
BCE
=
=
．
BC
DF
∥
．
BCG
DFG
△
∽△
．
2
3
BC
CG
DF
FG
=
=
．
BC
DF
∥
，
BCE
FDE
△
∽△
．
2
3
BE
BC
FE
FD
=
=
．
2
BE
a
=
，
3
EF
a
=
．
∵四边形AFEC是平行四边形，
3
AC
EF
a
=
=
．
BCE
△
是等边三角形，CH
BE
⊥
，
1
2
BH
BE
a
=
=
．
在Rt
BCH
△
中，tan
3
CH
CBE
BH
=
=
，
3
3
CH
BH
a
=
=
．
2
FH
BF
BH
a
=
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
7
CF
FH
CH
a
a
a
=
+
=
+
=
．
CFE
BDE
△
≌△
，
7
BD
CF
a
=
=
．
7
7
3
3
BD
a
AC
a
=
=
．
18．（2026·上海·中考真题）在半圆AOQ 中，点O为圆心，线段AQ 为直径，B 、C 是半圆上两点，D 是AB
上一点，连接AB 、CD交于点P ，且AB
CD
=
．
(1)如图1，连接OP ；
①求证：
APO
CPO
=
；
②如图2，连接OB 交弦CD于点H ，若
4
AQ =
，
1
PB = ，PO
HO
=
，求PH 的长；
(2)如图3，连接PQ 、AC 交于点E ，线段AP 上有一点F 使得
4
PF
AF
=
，若PE
QE
=
，PEA
PFQ
=
，
求PE
EA 的值．
【答案】(1)①证明：如图，作OG
AB
⊥
于G ，OZ
CD
⊥
于Z ，连接OC ，
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∴
1
2
AG
AB
=
，
1
2
CZ
CD
=
，
∵AB
CD
=
，
∴AG
CZ
=
，
∵OA
OC
=
，
90
AGO
CZO
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
OAG
OCZ
≌
，
∴OG
OZ
=
，
∵
90
PGO
PZO
=
=
，OP
OP
=
，
∴
(
)
Rt OPG
Rt OPZ HL
≌
，
∴
APO
CPO
=
；
②
3
4
PH =
；
(2)
2
3
PQ
AQ =
【分析】（1）①作OG
AB
⊥
于G ，OZ
CD
⊥
于Z ，连接OC ，利用垂径定理结合AB
CD
=
，得出AG
CZ
=
，
证明
(
)
Rt OAG
Rt OCZ HL
≌
，得出OG
OZ
=
，再证明
(
)
Rt OPG
Rt OPZ HL
≌
，即可求证；
②先证明
APO
OHP
=
，得出
BPO
BHP
=
，可得BPH
BOP
∽
，则BP
BH
PH
OB
BP
OP
=
=
，即可得出
1
2
BH =
，
1
2
PH
OP
=
，再求出
3
2
OH
OP
=
=
，即可求解；
（2）证明FPQ
EPA
∽
，得出PF
PQ
PE
AP
=
，设
4
4
PF
AF
m
=
=
，PE
QE
n
=
=
，可得
5
AP
m
=
，4
2
5
m
n
n
m
=
，
求出
10
n
m
=
，连接OP ，交AC 于点K ，由（1）可得AP
CP
=
，APO
CPO
=
，得出OP
AC
⊥
，证明K
为APQ 的重心，得出
2
AK
EK
=
，设
2
2
AK
EK
k
=
=
，在Rt APK 和Rt EPK 中，利用勾股定理列式求出
5
k
m
=
，可得
2
2 5
AK
EK
m
=
=
，即可求解．
【详解】（1）解：①略；
②∵PO
HO
=
，
∴
OPH
OHP
=
，
由（1）可知，
OPC
APO
=
，
∴
APO
OHP
=
，
∵
180
BPO
APO
−
=
，
180
BHP
OHP
−
=
，
∴
BPO
BHP
=
，
在
BPH
V
和
BOP
△
中，
BPO
BHP
=
，
PBH
OBP
=
，
∴BPH
BOP
∽
，
∴BP
BH
PH
OB
BP
OP
=
=
，
∵
4
AQ =
，
∴
2
OB =
，
∵
1
BP = ，
∴
1
2
1
BP
BH
PH
OB
OP
=
=
=
，
∴
1
2
BH =
，
1
2
PH
OP
=
，
∴
1
3
2
2
2
OH
OP
=
=
−
=
，
∴
3
4
PH =
；
（2）解：∵
PFQ
PEA
=
，
FPQ
EPA
=
，
∴FPQ
EPA
∽
，
∴PF
PQ
PE
AP
=
，
∵
4
PF
AF
=
，PE
QE
=
，
设
4
4
PF
AF
m
=
=
，PE
QE
n
=
=
，
则
5
AP
m
=
，
∴4
2
5
m
n
n
m
=
，
∴
2
2
20
2
m
n
=
，
∴
10
n
m
=
，
连接OP ，交AC 于点K ，
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由（1）①中Rt OPG
Rt OPZ
≌
可得PG
PZ
=
（图1），
又∵AG
CZ
=
（①已证），
∴AG
PG
PZ
CZ
+
=
+
，
∴AP
CP
=
，
又∵
APO
CPO
=
（①已证），
∴OP
AC
⊥
，
∴
90
AKP
CKP
=
=
，
∵O为APQ 边AQ 的中点，E 为APQ 边PQ 的中点，
∴K 为APQ 的重心，
∴
2
AK
EK
=
，
设EK
k
=
，则
2
2
AK
EK
k
=
=
，
∵在Rt APK 和Rt EPK 中，
2
2
2
2
2
PK
AP
AK
PE
EK
−
−
=
=
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
5
2
10
m
k
m
k
−
=
−
，
化简得
5
k
m
=
（负值舍），
∴
2
2 5
AK
EK
m
=
=
，
∴
10
2
3
3 5
PE
PE
m
EA
AK
EK
m
=
=
=
+
．
19．（2026·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探
究．
如图，
ABC
EAD
△
△
≌
，AB
AC
nBC
=
=
（
1
n ），点D 在AC 边上，延长ED 交AB 于点F．
(1)【初步感知】求证：
2
AF
FD FE
=
；
(2)【深入探究】如图1，当
2
n =
，
1
AD = 时，求BF 的长；
(3)【拓展延伸】如图2，将EAD 绕点E 按逆时针方向旋转一定角度（小于90）得到
EA D
△
，若F，A，
D三点共线，且点A 的对应点A满足A A
A B
⊥
，求n 的值．
【答案】(1)证明：∵
ABC
EAD
△
△
≌
，
∴
BAC
E
=
，即
FAD
E
= ，
又∵
AFD
EFA
=
，
∴AFD
EFA
∽
，
∴AF
FD
FE
AF
=
，
∴
2
AF
FD FE
=
；
(2) 2
3
(3)
2
1
+
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到
FAD
E
= ，结合
AFD
EFA
=
证明AFD
EFA
∽
，再利用相
似三角形的性质即可证明；
（2）根据题意得
1
BC
AD
=
= ，
2
AB
AC
AE
DE
=
=
=
=
，由AFD
EFA
∽
得到
1
2
AF
FD
AD
FE
AF
AE
=
=
=
，则
2
FE
AF
=
，
1
2
FD
AF
=
，再利用线段的和差列出关于AF 长的方程，求出
4
3
AF =
，即可求解BF 的长；
（3）连接A F
，设
1
BC
AD
=
= ，由（2）中的结论可得AB
AC
AE
DE
n
=
=
=
=
，根据旋转的性质得AE
A E
=
，
EA D
EAD
=
，则
EAA
EA A
=
，设
EA D
EAD
=
=
，导角可得
180
EAF
EA F
=
=
−
，则
FAA
FA A
=
，推出AF
A F
=
，再结合A A
A B
⊥
推出BF
A F
=
，则
1
1
2
2
AF
BF
AB
n
=
=
=
，再由
AFD
EFA
∽
得到
2
1
2
FE
nAF
n
=
=
，
1
1
2
FD
AF
n
=
=
，再利用线段的和差列出关于n 的方程，即可求解n
的值．
【详解】（1）略
（2）解：∵
ABC
EAD
△
△
≌
，
∴
1
BC
AD
=
= ，AB
AE
=
，AC
DE
=
，
∵AB
AC
nBC
=
=
，
2
n =
，
∴
2
AB
AC
AE
DE
=
=
=
=
，
由（1）得，AFD
EFA
∽
，
∴
1
2
AF
FD
AD
FE
AF
AE
=
=
=
，
∴
2
FE
AF
=
，
1
2
FD
AF
=
，
∴
3
2
2
DE
FE
FD
AF
=
−
=
=
，
解得
4
3
AF =
，
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∴
4
2
2
3
3
BF
AB
AF
=
−
=
−
=
，
即BF 的长为2
3 ；
（3）解：如图，连接A F
，
设
1
BC
AD
=
= ，
由（2）中的结论可得AB
AC
AE
DE
n
=
=
=
=
，
由旋转的性质得，AE
A E
=
，
EA D
EAD
=
，
∴
EAA
EA A
=
，
设
EA D
EAD
=
=
，
∵F，A，D三点共线，
∴
180
EA F
EA D
+
=
，
∴
180
EA F
=
−
，
∵AE
DE
=
，
∴
180
2
AED
=
−
，
∵
ABC
EAD
△
△
≌
，
∴
180
2
BAC
AED
=
=
−
，
∴
180
2
180
EAF
BAC
EAD
=
+
=
−
+
=
−
，
∴
EAF
EA F
=
，
∴
EAF
EAA
EA F
EA A
−
=
−
，即
FAA
FA A
=
，
∴AF
A F
=
，
∵A A
A B
⊥
，
∴
90
AA B
=
，
∴
90
FAA
FBA
+
=
，
90
FA A
FA B
+
=
，
∴
FBA
FA B
=
，
∴BF
A F
=
，
∴
1
1
2
2
AF
BF
AB
n
=
=
=
，
由（1）得，AFD
EFA
∽
，
∴
1
AF
FD
AD
FE
AF
AE
n
=
=
=
，
∴
2
1
2
FE
nAF
n
=
=
，
1
1
2
FD
AF
n
=
=
，
∴
2
1
1
2
2
DE
FE
FD
n
n
=
−
=
−
=
，
解得
2
1
n =
+ （负值已舍去），
∴n 的值为2
1
+ ．
20．（2026·四川眉山·中考真题）【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．
已知，如图1，ABC中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，
10
BC =
，点D 是BC 边上的动点（不与点B，C
重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90 得到线段AE ，连接DE ，CE ，DE 与AC 交于点F．
(1)【初步探究】如图1，在点D 的运动过程中，试探究CE 与BD 的数量关系，并说明理由．
(2)【深入探究】如图2，当点D 运动到
4
CD =
时，求EF 的长．
(3)【拓展延伸】如图3，点M 为ED 延长线上一点，且满足MC
MF
=
，当
(
)
1
BD
k k
DC =
时，求MD
DF 的值
（用含k 的式子表示）．
【答案】(1)CE
BD
=
，理由如下：
由旋转得
90 ,
DAE
AD
AE
=
=
∵
90
BAC
=
∴
DAE
BAC
=
∴
DAC
CAE
DAC
BAD
+
=
+
∴
CAE
BAD
=
∵AB
AC
=
∴
(
)
ABD
ACE SAS
≌
∴CE
BD
=
；
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(2) 6
13
5
(3)
1
1
k −
【分析】（1）证明
(
)
ABD
ACE SAS
≌
即可得证；
（2）先由勾股定理求解DE ，然后根据等腰直角三角形求解
,
AE AB ，再证明AEF
ABD
∽
得到EF
AE
BD
AB
=
即可；
（3）证明MCD
MEC
∽
即可得到
1
DM
DC
DC
CM
CE
BD
k
=
=
=
，则
1
DM
DM
FM
CM
k
=
=
，从而得解．
【详解】（1）略
（2）解：∵
10,
4
BC
CD
=
=
，
∴
6
BD
BC CD
=
−
=
，
∵
,
90
AB
AC
BAC
=
=
∴
45
B
ACB
=
=
∵ABD
ACE
≌
∴
6
CE
BD
=
=
，
45
ACE
B
= =
，
∴
45
45
90
DCE
ACB
ACE
=
+
=
+
=
∴
2
2
2
2
4
6
2 13
DE
DC
CE
=
+
=
+
=
，
在Rt ADE 中，AD
AE
=
，
∴
2
2
2
DE
AD
AE
AD
=
+
=
，
45
AED
ADE
=
=
∴
2
2
2 13
26
2
2
AD
AE
DE
=
=
=
=
，
同理可求
2
2
10
5 2
2
2
AB
AC
BC
=
=
=
=
∵
45
AEF
B
= =
，
90
EAF
BAD
DAF
=
=
−
∴AEF
ABD
∽
∴EF
AE
BD
AB
=
∴
26
6
5 2
EF =
解得
6 13
5
EF =
；
（3）解：由（1）可得，ABD
ACE
≌
∴
45
ECA
B
= =
∵MC
MF
=
，
∴
MCF
MFC
=
，
∴
FCD
MCD
ECF
FEC
+
=
+
∵
45
DCF
ECF
=
=
∴
MCD
MEC
=
∵
M
M
=
∴MCD
MEC
∽
∴DM
DC
DC
CM
CE
BD
=
=
∵
(
)
1
BD
k k
DC =
∴
1
DM
DC
DC
CM
CE
BD
k
=
=
=
∵CM
FM
=
，
∴
1
DM
DM
FM
CM
k
=
=
∴
1
1
DM
FD
k −
=
．
21．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与实践
【问题情境】在数学活动课上，老师让学生以“矩形”为主题，开展动点问题的研究．在矩形ABCD中，点E ，
F 分别是边AD ，BC 上的动点．
(1)【观察感知】如图1，当点E ，F 运动到AE
BF
=
时，连接AF ，BE ．求证：ABE
BAF
≌
．
(2)【探索发现】如图2，连接AC ，点M 是AC 上的一点，
1 2
CM AM =
∶
∶，连接AF ，BE ，AF 与BE 相
交于点G ，连接GM ．当BE 平分
ABC
，AF 平分
BAC
时，且
2
AB
AC
BC
+
=
，试求出GM 与FC 的数
量关系，并说明你的理由．
(3)【问题拓展】如图3，当
2 3
AB =
，
8
BC = 时，作直线EF ，若直线EF 将矩形ABCD分成周长相等的两
部分，过点D 作DH
EF
⊥
于点H ，连接AH ．当矩形的边AD 与直线EF 的夹角成60时，请你直接写出
DAH
的正切值．（自行完成作图并作答）
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【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴
90
BAE
ABF
=
=
，
在ABE 和BAF 中
90
AE
BF
BAE
ABF
AB
BA
=
=
=
=
(
)
SAS
ABE
BAF
≌
；
(2)
2
3
MG
CF =
，理由如下：
如图，连接 CG ，过点 G 作 GH
BC
⊥
于点 H ，
BE 平分
ABC
、AF 平分
BAC
，且AF 与 BE 相交于点G ，
点G 是ABC 的内心，
点G 到ABC三边的距离相等
设GH
r
=
，
1
1
1
1
2
2
2
2
r AB
r AC
r BC
BC AB
+
+
=
，
即(
)
r AB
AC
BC
BC AB
+
+
=
，
∵
2
AB
AC
BC
+
=
∴
3
r
BC
BC AB
=
∴
3
AB
r
=
∴
3
:
:1
GH AB =
,
90
FHG
FBA
AFB
GFH
=
=
=
FGH
FAB
△
∽△
3:1
:
GF AF =
3:2
:
AG AF =
2:1
:
CM AM =
3:2
:
AM AC =
∵
GAM
FAC
=
GAM
FAC
∽
∴
2
3
MG
CF =
；
(3)
3
tan
3
23
DAH
=
或5
3
17
【分析】（1）根据矩形的性质可得
90
BAE
ABF
=
=
，结合已知条件根据
S
SA ，即可证明ABE
BAF
≌
；
（2）连接 CG ，过点 G 作 GH
BC
⊥
于点 H ，根据已知可得点G 是ABC 的内心，设GH
r
=
，根据三
角形的面积关系结合已知条件得出
3
AB
r
=
，即
3
:
:1
GH AB =
，证明
FGH
FAB
△
∽△
，GAM
FAC
∽
，根据
相似三角形的性质，即可得出结论；
（3）矩形的边AD 与直线EF 的夹角成60，分以下两种情况讨论，当点H 在AD 的上方，点H 在AD 的下
方时，分别画出图形，根据直线EF 将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点H 作HN
AD
⊥
，垂足为N ，
过点F 作FM
AD
⊥
，交AD 于点M ，设EN
x
=
，根据BC
AD
=
，建立方程，解方程求得x 的值，进而根据
正切的定义，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：理由如下：
矩形的边AD 与直线EF 的夹角成60，
分以下两种情况讨论
情况一：当
60
HED
=
，且点H 在AD 的上方时，如图1，
过点H 作HN
AD
⊥
，垂足为N ，连接
,
HA HD
90
HNE
=
30
EHN
=
设EN
x
=
2
EH
x
=
，
3
HN
x
=
DH
EF
⊥
，垂足为 H
90
DHE
=
30
HDE
=
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4
ED
x
=
，
直线EF 将矩形ABCD分成周长相等的两部分
4
BF
ED
x
=
=
过点F 作FM
AD
⊥
，交AD 于点M
90
AMF
=
四边形 ABFM 是矩形
4
BF
AM
x
=
=
2 3
AB =
2 3
MF
=
在Rt EFM 中，
90
EMF
=
60
MEF
=
，
30
MFE
=
2
ME
=
4
2 4
8
2
AD
AM
ME
ED
x
x
x
=
+
+
=
+ +
=
+
8
BC =
8
AD
=
8
2
8
x
+
=
解得：
3
4
x =
3
3
3
4
HN
x
=
=
23
4
2
4
AN
AM
ME
EN
x
x
=
+
+
=
+
+
=
3
tan
3
23
HN
DAH
AN
=
=
情况二：当
60
HED
=
，且点H 在AD 的下方时，如图2，
同情况一可得
4
2 4
8
2
AD
AM
ME
ED
x
x
x
=
−
+
=
−+
=
−
8
BC =
8
AD
=
8
2
8
x
−
=
解得
5
4
x =
5
3
3
4
HN
x
=
=
17
4
2
4
AN
AM
ME
EN
x
x
=
−
+
=
−
+
=
5
tan
3
17
HN
DAH
AN
=
=
综上所述，
3
tan
3
23
DAH
=
或5
3
17
22．（2026·湖北·中考真题）在Rt
ABC
△
中，
90
B
=
，将ABC绕点C 顺时针旋转（0
90
）得到
EDC
△
，使得AD
AE
=
．
(1)如图1，若AD
CE
∥
，DE 与AC 交于点F ，作AM
DE
⊥
，垂足为M ．
①证明：
ADM
CED
△
∽△
；
②求EF
DF 的值；
③若
3
AC = ，直接写出AB 的值．
(2)如图2，若
90
DAE
=
，直接写出AB
AC 的值．
【答案】(1)①证明：
CE
AD
∥
，
DEC
ADM
=
，
AM
DE
⊥
，
90
AMD
=
，
由旋转得，
90
EDC
B
= =
，
90
AMD
EDC
=
=
，
ADM
CED
△
∽△
；
49 / 83
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②2；③
3 10
4
AB =
(2) 2 5
5
【分析】（1）①由平行得
DEC
ADM
=
∠
∠
，由旋转得，
90
EDC
B
= =
，进而得
90
AMD
EDC
=
=
，
即可证明；
②由等腰三角形三线合一的性质得
1
2
EM
DM
DE
=
=
，由
ADM
CED
△
∽△
得
1
2
AD
DM
CE
ED
=
=
，再证明
ADF
CEF
△
∽△
，则
1
2
AD
DF
CE
EF
=
=
，即可得解；
③由旋转得，
3
AC
CE
=
= ，AB
DE
=
，由②可得
1
2
AD
DF
AF
CE
EF
CF
=
=
=
，进而可得到
2
CF =
，设DF
x
=
，
则
2
EF
x
=
，
3
DE
x
=
，在Rt CDF 和Rt
CDE
△
中，由勾股定理分别表示出CD，即可得关于x 的方程，即可
求解；
（2）过A 作AM
CD
⊥
交直线CD于M ，由AD
AE
=
，
90
DAE
=
，得到
45
ADE
AED
=
=
，则
45
ADM
DAM
=
=
，AM
MD
=
，设AM
MD
a
=
=
，CD
b
=
，则
2
DE
a
=
，再在Rt
CDE
△
和Rt ACM 中
根据AC
CE
=
列方程整理得到a
b
=
，则
5
AC
a
=
，代入AB
AC 计算即可．
【详解】（1）①略；
解：②∵AD
AE
=
，AM
DE
⊥
，
∴
1
2
EM
DM
DE
=
=
，
由①得
ADM
CED
△
∽△
，
∴
1
2
AD
DM
CE
ED
=
=
，
∵AD
CE
∥
，
∴
DAF
ECF
=
，
ADF
CEF
=
，
∴
ADF
CEF
△
∽△
，
∴
1
2
AD
DF
CE
EF
=
=
，
∴
2
EF
DF =
；
③由旋转得，
3
AC
CE
=
= ，AB
DE
=
，
由②可得
1
2
AD
DF
AF
CE
EF
CF
=
=
=
，
∴
2
3
CF
AC
=
，
∵
3
AC = ，
∴
2
2
3
CF
AC
=
=
，
设DF
x
=
，则
2
EF
x
=
，
3
DE
DF
EF
x
=
+
=
，
在Rt CDF 中，
2
2
2
2
4
CD
CF
DF
x
=
−
=
−
，
在Rt
CDE
△
中，
2
2
2
2
9
9
CD
CE
DE
x
=
−
=
−
，
∴
2
2
4
9
9
x
x
−
=
−
，
解得
10
4
x =
（负值已舍去），
∴
3 10
3
4
AB
DE
x
=
=
=
；
（2）解：过A 作AM
CD
⊥
交直线CD于M ，
∵AD
AE
=
，
90
DAE
=
，
∴
45
ADE
AED
=
=
，
∴
45
ADM
=
，
∴
45
ADM
DAM
=
=
，
∴AM
MD
=
，
设AM
MD
a
=
=
，CD
b
=
，
∴
2
2
2
AD
AE
AM
MD
a
=
=
+
=
，CM
DM
CD
a b
=
+
=
+
，
∴
2
2
2
DE
AD
AE
a
=
+
=
，
在Rt
CDE
△
中，
(
)
2
2
2
2
2
2
CE
CD
DE
b
a
=
+
=
+
，
在Rt ACM 中，
(
)
2
2
2
2
2
AC
CM
AM
a
b
a
=
+
=
+
+
，
由旋转得，AC
CE
=
，
2
AB
DE
a
=
=
，
∴
2
2
AC
CE
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
b
a
a
b
a
+
=
+
+
，
展开整理得a
b
=
，
51 / 83
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∴
(
)
(
)
2
2
2
2
2
5
AC
a
b
a
a
a
a
=
+
+
=
+
=
，
∴
2
2 5
5
5
AB
a
AC
a
=
=
．
23．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动．
已知有公共顶点的矩形ABCD和矩形EBFG，
2
BA =
，
1
BE = ，BC
BF
k
BA
BE
=
=
．先将矩形EBFG的边BE ，BF
分别落在矩形ABCD的边BA ，BC 上，再将矩形EBFG绕点B 顺时针旋转，旋转角为，连接AE ，CF ．
(1)【问题初探】如图1，当
1
k = ，0
90
时，AEB
与
CFB
的数量关系是 ，AE 与CF 的数量关系是 ；
(2)【类比推理】如图2 ，当
3
k =
，0
90
时，试探究AE 与CF 的数量关系，请写出结论，并说明理
由；
(3)【深入探究】如图3，当
3
k =
，0
360
时，点M 为边BC 的中点，直线EG 交线段BC 于点N ，
若EN
MN
=
，则CF 的长为 ；
(4)【拓展延伸】如图4 ，当
3
k =
，0
90
时，过点E 作EQ
BC
⊥
，垂足为Q ，在线段BE 上取点P ，
使
2
3
BP
EQ
=
，连接AP ．若ABP 的面积为S ，则S 的取值范围是 ．
【答案】(1)
AEB
CFB
=
，AE
CF
=
(2)解：
3
CF
AE
=
，证明如下：
∵四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形，
∴
90
ABC
EBF
=
=
，
∴
ABC
EBC
EBF
EBC
−
=
−
，
∴
ABE
CBF
=
，
3
BC
BF
BA
BE
=
=
，
CBF
ABE
∽
，
3
CF
BC
AE
BA
=
=
，
3
CF
AE
=
；
(3)3或
21
(4)
1
0
3
S
【分析】（1）证明
(
)
ABE
CBF SAS
≌
，即可得到
AEB
CFB
=
，AE
CF
=
；
（2）证明CBF
ABE
∽
，得到
3
CF
BC
AE
BA
=
=
，则
3
CF
AE
=
；
（3）分两种情况：点E 在BC 上方和点E 在BC 下方，分别画出示意图，讨论求解即可；
（4）过点P 作PM
AB
⊥
于点M，证明
MPB
QBE
△
∽△
，推出
2
3
PM
EQ BQ
=
，根据(
)
2
0
BQ
EQ
−
，推
出
2
2
2EQ BQ
BQ
EQ
+
；由勾股定理得
2
2
2
21
1
BQ
EQ
BE
+
=
=
= ，则可证明
1
2
EQ BQ
，根据
1
2
2
3
S
AB PM
EQ BQ
=
=
可得答案．
【详解】（1）解：当
1
k = 时，则
1
BC
BF
k
BA
BE
=
=
= ，
∴
,
BC
BA BF
BE
=
=
，
∵四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形，
∴
90
ABC
EBF
=
=
，
∴
ABC
EBC
EBF
EBC
−
=
−
，
∴
ABE
CBF
=
，
∴
(
)
ABE
CBF SAS
≌
，
∴
AEB
CFB
=
，AE
CF
=
；
（2）略
（3）解：如图所示，当点E 在BC 上方时，连接AN ，过点B 作BT
AN
⊥
于点T，
∵
3
BC
BF
k
BA
BE
=
=
=
，
∴
3
2 3
BC
BA
=
=
；
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∵点M 为BC 的中点，
∴
1
3
2
BM
CM
BC
=
=
=
；
∵四边形EBFG是矩形，
∴
90
BEG
EGF
=
=
；
设EN
MN
x
=
=
，则
3
BN
BM
MN
x
=
−
=
−
，
在Rt
EBN
△
中，由勾股定理得
2
2
2
BN
EN
BE
=
+
，
∴(
)
2
2
2
3
1
x
x
−
=
+
，
∴
3
3
x =
，
∴
2 3
3
BN =
，
3
3
EN =
；
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
ABC
=
，
∴
2
2
4 3
3
AN
AB
BN
=
+
=
，
∵BT
AN
⊥
，
∴
1
1
2
2
ABN
S
AB BN
AN BT
=
=
△
，
∴1
2 3
1
4 3
2
2
3
2
3
BT
=
，
∴
1
BT = ，
∴
2
2
3
3
TN
BN
BT
=
−
=
，
∵
3
,
1,
3
BN
BN BE
BT
EN
TN
=
=
=
=
=
，
∴
(
)
SSS
BEN
BTN
≌
，
∴
BNE
BNT
=
∠
∠
，
∴E
N
T
、、
三点共线，即点E 与点T 重合；
∴
3
AE
AN
EN
=
−
=
，
由（2）得
3
3
CF
AE
=
=
；
如图所示，当点E 在BC 下方时，
∵四边形EBFG是矩形，
∴
90
BEG
EBF
=
=
∠
∠
，
∴
180
90
BEN
BEG
=
−
=
∠
∠
，
同理可得
3
3
EN =
，
∴
3
tan
3
EN
EBN
BE
=
=
∠
，
∴
30
EBN
=
；
如图所示，过点E 作ET
AB
⊥
交AB 的延长线于点T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
ABC
=
，
∴
180
90
30
60
EBT =
−
−
=
∠
，
∴
1
3
cos
,
sin
2
2
BT
BE
EBT
ET
BE
EBT
=
=
=
=
∠
∠
，
∴
5
2
AT
AB
BT
=
+
=
，
∴
2
2
7
AE
AT
ET
=
+
=
；
∵
90
ABC
EBF
=
=
，
∴
ABC
EBC
EBF
EBC
+
=
+
，
∴
ABE
CBF
=
，
又∵
3
BC
BF
k
BA
BE
=
=
=
，
∴
ABE
CBF
△
∽△
，
∴
3
CF
BC
AE
BA
=
=
，
∴
3
21
CF
AE
=
=
；
综上所述，CF 的长为3 或
21；
（4）解：如图4 所示，过点P 作PM
AB
⊥
于点M，
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∵
,
PM
AB EQ
BC
⊥
⊥
，
∴
90
PMB
BQE
=
=
∠
∠
，
∴
90
MBP
MPB
+
=
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
ABC
=
，
∴
90
MBP
QBE
+
=
∠
∠
，
∴
MPB
QBE
=
∠
∠
，
∴
MPB
QBE
△
∽△
，
∴PM
BP
BQ
BE
=
，
∴
BP BQ
PM
BP BQ
BE
=
=
，
∵
2
3
PB
EQ
=
，
∴
2
3
PM
EQ BQ
=
，
∵(
)
2
0
BQ
EQ
−
，
∴
2
2
2
0
BQ
EQ
EQ BQ
+
−
，
∴
2
2
2EQ BQ
BQ
EQ
+
；
在Rt EBQ 中，由勾股定理得
2
2
2
21
1
BQ
EQ
BE
+
=
=
= ，
∴
2
2
2
1
EQ BQ
BQ
EQ
+
= ，
∴
1
2
EQ BQ
，
∵
1
1
2
2
2
2
2
3
3
S
AB PM
EQ BQ
EQ BQ
=
=
=
，
∴
2
1
1
3
2
3
S
=
，
又∵
0
S
，
∴
1
0
3
S
．
24．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，在ABC中，
5
8
AB
AC
BC
=
=
=
，
，点D 是BC 边上的一个动点，
连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转至线段AE ，使得
DAE
BAC
=
，连接CE
DE
、
．
(1)当AD
BD
=
时，求BD 的长；
(2)当ACD是等腰三角形时，求CD的长；
(3)当AD
AC
⊥
时，求DE 的长（用图2）．
【答案】(1) 25
8
(2)5，25
8 ，8．
(3)6
【分析】（1）如图：过A 作AF
BC
⊥
于F，易得
4
BF
FC
=
=
，
3
AF = ；设AD
BD
x
=
=
，则
4
DF
x
=
−，
在Rt ADF 中利用勾股定理列方程求解即可；
（2）分CD
AC
=
、AD
CD
=
、AC
AD
=
三种情况求解即可；
（3）如图：过A 作AH
BC
⊥
于G，由（1）可得：
5,
3,
3
AC
AG
CH
=
=
=
，设DH
z
=
，则
4
CD
z
= +
，利
用勾股定理列方程可求得
9
4
DH =
，进而得到
15
4
AD =
再证明ABC
ADE
∽
，最后利用相似三角形的性质求
解即可．
【详解】（1）解：如图：过A 作AF
BC
⊥
于F，
∵
5
8
AB
AC
BC
=
=
=
，
，
∴
1
4
2
BF
FC
BC
=
=
=
，
2
2
3
AF
AB
BF
−
=
=
，
设AD
BD
x
=
=
，则
4
DF
x
=
−，
在Rt ADF 中，
2
2
2
AD
DF
AF
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
4
3
x
x
−
=
+
，解得：
25
8
x =
，
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∴
25
8
BD =
．
（2）解：①当CD
AC
=
时，
∵
5
AC = ，
∴
5
CD = ；
②当AD
CD
=
时，由（1）可知：
5,
3,
4
AC
AG
CG
=
=
=
，
设AD
DC
y
=
=
，则
4
GD
y
−
=
，
在Rt ADG中，
2
2
2
AD
DG
AG
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
4
3
y
y
−
=
+
，解得：
25
8
y =
，
∴
25
8
CD =
；
③当AC
AD
=
时，点D 和点B 重合，即
8
CD
BC
=
= ．
综上，CD的长5，25
8 ，8．
（3）解：如图：过A 作AH
BC
⊥
于H，由（1）可得：
5,
3,
4
AC
AH
CH
=
=
=
，
设DH
z
=
，则
4
CD
z
= + ，
∵
2
2
2
2
2
AD
DH
AH
CD
AC
−
=
+
=
∴
(
)
2
2
2
2
3
4
5
z
z
+
=
+
−
，解得：
9
4
z =
，即
9
4
DH =
，
∴
2
2
2
2
9
15
3
4
4
AD
AH
DH
=
+
=
+
=
，
∵线段AD 绕点A 逆时针旋转至线段AE ，
∴AD
AE
=
，
∴
(
)
1 180
2
ADE
DAE
−
=
，
同理：
(
)
1 180
2
ABC
BAC
−
=
，
∴
ABC
ADE
=
，
∴ABC
ADE
∽
，
∴AB
BC
AD
DE
=
，
∴
5
8
15
4
DE
=
，
解得：
6
DE =
．
25．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，P 是以AB 为直径的
O 外一点，C 为
O 上的一点，PA 是
O 的
切线，BC
OP ，D 为OB 的中点，连接DP 交OC 于E ．
(1)求证：PC 是
O 的切线；
(2)若
2
OA=
，
4
PA =
．
①求BC 的长；
②求tan PEC
的值．
【答案】(1)证明：
PA为
O 的切线，
PA
OA
⊥
，
∴
90
PAO
=
，
∵BC
OP
∥
，
∴
,
AOP
B
COP
OCB
=
=
．
∵OB
OC
=
，
∴
B
OCB
=
，
∴
AOP
COP
=
．
∵在AOP 和COP 中，
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OA
OC
AOP
COP
OP
OP
=
=
=
∴
(
)
AOP
COP SAS
≌
，
∴
90
PCO
PAO
=
=
．
OC是
O 的半径，
PC
为
O 的切线．
(2)
4
5
5
①
=
BC
；②
24
tan
7
=
PEC
【分析】（1）由PA 为
O 的切线，得到
90
PAO
=
．根据平行线的性质得到
,
AOP
B
COP
OCB
=
=
，
结合
B
OCB
=
，得到
AOP
COP
=
，从而证明
(
)
AOP
COP SAS
≌
，因此
90
PCO
PAO
=
=
，即可
得证结论；
（2）①连接AC ，通过解直角三角形得到
5
cos
5
AO
AOP
OP
=
=
，因此
5
cos
cos
5
B
AOP
=
=
，由AB 是
O
的直径得到
90
ACB
=
，在Rt
ABC
△
中解直角三角形即可求解；
②方法一：取OC 的中点F ，连接DF ，则
1
1
2
OF
CF
OC
=
=
= ，根据AOP
COP
≌
得到
4
PA
PC
=
=
，根
据三角形中位线的性质得到DF
BC
∥
，
1
2 5
2
5
DF
BC
=
=
．证明DEF
PEO
∽
，得出
1
5
EF
DF
OE
OP
=
=
，进而
可求出CE，从而在Rt
PCE
△
中，根据正切的定义即可求解；
方法二：过点D 作DG
OC ，交PO的延长线于点G ．证明ODG
BOC
∽
，根据相似三角形的对应边成比
例求出
,
OG DG ，进而求出PG ．再证明POE
PGD
∽
，求出OE ，即可求出CE ，从而在Rt
PCE
△
中，根
据正切的定义即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：①连接AC ．
∵在Rt APO中，
2
OA=
，
4
PA =
，
∴
2
2
2 5
OP
OA
PA
=
+
=
，
2
5
cos
5
2 5
AO
AOP
OP
=
=
=
．
∵
B
AOP
=
，
∴
5
cos
cos
5
B
AOP
=
=
AB 是
O 的直径，
∴
2
4
AB
OA
=
=
，
90
ACB
=
．
∴
5
4 5
cos
4
5
5
BC
AB
B
=
=
=
．
②方法一：取OC 的中点F ，连接DF ，则
1
1
2
1
2
2
OF
CF
OC
=
=
=
= ．
AOP
COP
≌
，
∴
4
PA
PC
=
=
．
∵点
,
D F 分别为
,
OB OC 的中点，
DF
是
OBC
△
的中位线，
∴DF
BC
∥
，
1
2 5
2
5
DF
BC
=
=
．
∵BC
OP
∥
，
∴DF
OP ，
∴DEF
PEO
∽
，
∴
2 5
1
5
5
2 5
EF
DF
OE
OP
=
=
=
，
∴
1
1
6
6
EF
FO
=
=
，
7
6
CE
EF
CF
=
+
=
．
∴在Rt
PCE
△
中，
4
24
tan
7
7
6
PC
PEC
CE
=
=
=
．
方法二：过点D 作DG
OC ，交PO的延长线于点G ．
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ODG
BOC
=
．
∵BC
OP
∥
，
∴
GOD
B
= ，
∴ODG
BOC
∽
，
∴
1
2
OG
DG
OD
BC
OC
BO
=
=
=
∴
1
2
1
5,
1
2
5
2
OG
BC
DG
OC
=
=
=
= ，
∴
2 5
12 5
2 5
5
5
PG
PO
OG
=
+
=
+
=
．
∵DG
OC ，
∴POE
PGD
∽
，
∴PO
OE
PG
DG
=
，即
2 5
12
1
5
5
OE
=
，
∴
5
6
OE =
，
∴
5
7
2
6
6
CE
OC
OE
−
=
=
−
=
．
AOP
COP
≌
，
∴
4
PA
PC
=
=
．
∴在Rt
PCE
△
中，
4
24
tan
7
7
6
PC
PEC
CE
=
=
=
．
26．（2026·内蒙古·中考真题）综合与探究
问题情境：有一张边长为15 的正方形纸片ABCD，将一张腰长为9 的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶
点A 重合放置，记该三角形为AEF ．顶点E，F 分别在正方形的AB ，AD 边上，如图1．现将AEF 绕点
A 按逆时针方向旋转角，其中0
90
，得到
AE F
△
，连接BE，DF，如图2．
(1)初步探究：猜想线段BE与线段DF的数量关系，并说明理由；
(2)深入探究：在AEF 绕点A 按逆时针方向旋转过程中，当AE与BE互相垂直时，AE交EF 边于点M，
E F交AD 边于点N，如图3．
①求证NA NF
ND NE
=
；
②求
AEM
△
与
AFM
△
面积的比值．
【答案】(1) BE
DF
=
，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴
,
90
AB
AD
BAD
=
=
，
∵
,
90
AE
AF
EAF
=
=
，
∴由旋转可得，
,
90
AE
AF
E AF
=
=
，
∴
90
BAD
E AF
=
=
，
∴
BAE
DAF
=
，
∴
(
)
SAS
BAE
DAF
△
≌△
，
∴BE
DF
=
；
(2)①证明：∵AE
BE
⊥
，
∴
90
AE B
=
，
由（1）可得，
BAE
DAF
△
≌△
，
∴
90
AE B
AF D
=
=
，
∵
90
E AF
=
，
∴
180
E AF
AF D
+
=
，
∴AE
DF
∥
，
∴NA
NE
ND
NF
=
，
∴NA NF
ND NE
=
；
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②4
3
【分析】（1）证明
(
)
SAS
BAE
DAF
△
≌△
即可；
（2）①证明AE
DF
∥
，再由平行线分线段成比例定理求解即可；
②过点F 作FH
AF
⊥
交AE的延长线于点H ，先求出
2
2
12
BE
AB
AE
=
−
=
，然后证明
AFH
BE A
△
∽△
，
求出
27
4
FH =
，再由
AEM
HFM
△
∽△
，得到
4
3
EM
AE
FM
FH
=
=
，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：①略
②过点F 作FH
AF
⊥
交AE的延长线于点H ，
由题意得，
15,
9
AB
AE
AE
=
=
=
，
∵
90
AE B
=
，
∴
2
2
12
BE
AB
AE
=
−
=
，
∵正方形ABCD中，
90
BAD
=
，
∴1
3
90
2
= =
−，
∵
90
AFH
BE A
=
=
，
∴
AFH
BE A
△
∽△
，
∴FH
AF
AE
BE
=
，
∴
9
9
12
FH =
，
∴
27
4
FH =
，
∵
90
HFD
BAD
=
=
，
∴FH
AE
∥
，
∴
AEM
HFM
△
∽△
，
∴
9
4
27
3
4
EM
AE
FM
FH
=
=
=
，
∴
4
3
AFM
AEM
S
E
M
S
M
F
=
=
△
△
，
即
AEM
△
与
AFM
△
面积的比值为4
3 ．
27．（2026·陕西·中考真题）问题探究
(1)如图①，AD 是ABC的角平分线，若
:
3:2
ABD
ACD
S
S
=
，则
:
AB AC 的值为_________；
(2)如图②，在ABC中，AB
AC
=
，
80
BAC
=
，点D ，E 在边BC 上．若
2
BE CD
AB
=
，求
DAE
的度
数；
问题解决
(3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路
将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄
水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道．
如图③所示，四边形ABCD区域为农田，AQ ，DP 为小路，小路的出口P ，Q 分别在农田边界AB ，BC 上，
AQ 与DP 相交于点M ，点M 为蓄水池，点B 为水源接入口，BM 为地下输水管道．根据种植需求，ADP
区域与ABQ 区域的面积之比为25:36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM 最短．
已知AD
BC ，AB
BC
⊥
，
400 m
AD =
，
480 m
AB =
，
720 m
BC =
，请你帮助该村计算在满足种植需求的
情况下，当地下输水管道BM 最短时，四边形MQCD 区域的面积．（结果精确到
2
1m ．小路的宽，蓄水池的
大小均忽略不计）
【答案】(1) 3
2
(2)50
(3)
2
155077m
【分析】（1）过点D 作
,
DE
AB DG
AC
⊥
⊥
，垂足为点
,
E G ，根据角平分线性质定理得到DE
DG
=
，再由
三角形面积公式求解即可；
（2）证明
ABE
DCA
△
△
∽
，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可；
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（3）先证明
DAP
ABQ
△
∽△
，得到
90
AMD
=
，取AD 的中点E ，连接
,
ME BE ，则
1
2
AE
AD
=
，则点M
的轨迹为以E 为圆心，AD 为直径的一段圆弧，EM
AE
=
，故当点,
,
B M E 三点共线时，BM 取得最小值，
过点M 作MF
AD
⊥
交
,
AD BC 于点
,
F G ，然后由
AEM
QBM
△
∽△
，求出QB ，MF ，再证明四边形AQCD
是平行四边形，最后由
AQCD
AMD
MQCD
S
S
S
=
−
四边形
求解．
【详解】（1）解：过点D 作
,
DE
AB DG
AC
⊥
⊥
，垂足为点
,
E G ，
∵AD 是ABC的角平分线，
∴DE
DG
=
，
∴
1
3
2
1
2
2
ABD
ACD
AB
DE
S
S
AC
DG
=
=
△
△
，
∴
3
2
AB
AC =
；
（2）解：∵
80 ,
BAC
AB
AC
=
=
，
∴
180
50
2
BAC
B
C
−
=
=
=
，
∵
2
BE CD
AB
=
，
∴BE CD
AB AC
=
，
∴BE
AB
AC
CD
=
，
∴
ABE
DCA
△
△
∽
，
∴
BEA
CAD
=
，
∴
BEA
EAC
CAD
EAC
−
=
−
，
∴
50
C
DAE
=
=
；
（3）解：∵AB
BC
⊥
，
∴
90
ABC
=
，
∵AD
BC ，
∴
180
90
BAD
ABC
=
−
=
，
∴
1
400
25
2
1
480
36
2
ADP
ABQ
AD
AP
S
AP
S
BQ
AB
BQ
=
=
=
△
△
，
∴
5
6
AP
BQ =
，
∵
400
5
480
6
AD
AB =
=
，
∴AP
AD
BQ
AB
=
，
∵
90
DAP
ABQ
=
=
，
∴
DAP
ABQ
△
∽△
，
∴
ADP
BAQ
=
，
∴
90
ADP
MAD
BAQ
MAD
BAD
+
=
+
=
=
，
∴
90
AMD
=
，
取AD 的中点E ，连接
,
ME BE ，则
(
)
1
200 m
2
AE
AD
=
=
，
∴点M 的轨迹为以E 为圆心，AD 为直径的一段圆弧，
200m
EM
AE
=
=
，
∵BM
ME
BE
+
，
∴BM
BE
ME
−
，
∴当点,
,
B M E 三点共线时（M 在线段BE 上），BM 取得最小值，如图：
过点M 作MF
AD
⊥
交
,
AD BC 于点
,
F G ，
∵
90
BAD
=
，
∴
( )
2
2
2
2
200
480
520 m
BE
AE
AB
=
+
=
+
=
，
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∴此时
( )
520
200
320 m
BM
BE
EM
=
−
=
−
=
，
∵AD
BC ，MF
AD
⊥
，
∴MG
BQ
⊥
，
∴四边形ABGF 是矩形，
∴
( )
480 m
FG
AB
=
=
，
∵AD
BC ，
∴
AEM
QBM
△
∽△
，
∴AE
EM
MF
QB
MB
MG
=
=
，
∴200
200
320
480
MF
QB
MF
=
=
−
，
∴
320
QB =
，
2400
13
MF =
，
∴
( )
720 320
400 m
CQ
BC
QB
AD
=
−
=
−
=
=
，
∵AD
BC ，
∴四边形AQCD 是平行四边形，
∴
AQCD
AMD
MQCD
S
S
S
=
−
四边形
，
(
)
2
1
2400
2016000
400 480
400
155077 m
2
13
13
=
−
=
，
答：当地下输水管道BM 最短时，四边形MQCD 区域的面积为
2
155077m ．
28．（2026·四川甘孜·中考真题）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对
边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形AFDE 是平行四边形，
CE
AF
k
AE
BF
=
=
．
【初步感知】
(1)如图1，连接BD ，CD，则1
2
3
++= 度；
【变化探寻】
(2)如图2，
10
AB =
，
15
AC =
，固定点D ，当k 为何值时，在移动点B 的过程中，始终有
AEF
与
B
相等．
【深入探究】
(3)如图3，固定点D ，若移动点B 到点B，则点C 随之移动到点C．
①判断线段CC与BB的位置关系与数量关系，并说明理由；
②在点B 处安装一支描图针，在点C 处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2 的等腰直角三角
形
1
L 描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形
2
L ，求图形
2
L 的面积．（用含k 的代数式表示）
【答案】(1)180
(2)
9
4
k =
(3)①BB
CC
∥
，
1
BB
CC
k
=
，理由如下：
如图，连接
,
BC B C
，
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同（1）可得
180
BDF
EDF
CDE
+
+
=
∴
,
,
B C D ，
,
,
B D C
三点共线，
∵F D
A C
∥
，
∴B F D
B A C
∽
，
∴
1
B D
B F
DC
A F
k
=
=
，
∵FD
AC
∥
，
∴
1
BD
BF
DC
AF
k
=
=
，
1
BD
B D
DC
DC
k
=
=
，
又∵
BDB
CDC
=
，
∴BB D
CC D
∽
，
∴
DBB
DCC
=
，
1
BB
BD
CC
DC
k
=
=
，
∴BB
CC
∥
，
1
BB
CC
k
=
；
②
2
2k ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得
,
AE
DF AF
DE
=
=
，
AED
AFD
=
，根据CE
AF
k
AE
BF
=
=
可得
CE
ED
k
DF
FB
=
=
，进而证
CED
DFB
△
∽△
，可得1
C
=
，又
2
CED
=
，可得1
2
3 180
++=
；
（2）设AE
DF
x
=
=
，BF
y
=
，则CE
kx
=
，AF
DE
ky
=
=
，证明EDC
AEF
∽
，得出
2
x
k
y
=
，证明
BFD
BAC
∽
得出
3
2
x
y =
，即可求解；
（3）①连接
,
BC B C
，证明B FD
B A C
∽
，BB D
CC D
∽
，根据相似三角形的性质，即可得出结论；
②依题意，
1
L 与
2
L 是关于点D 的位似图形，且位似比为1
k ，则面积比为
2
1
k ，求得
1
L 的面积，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形AFDE 是平行四边形，
∴
,
AE
DF AF
DE
=
=
，
AED
AFD
=
，AE
FD
∥
，
180 ,
180
AED
CED
AFD
DFB
+
=
+
=
°
°，
CED
DFB
=
，
∵CE
AF
k
AE
BF
=
=
，
∴CE
ED
k
DF
FB
=
=
，
∴
CED
DFB
△
∽△
，
∴1
C
= ，
∵AE
DF
∥
，
2
CED
=
，
∵
3 180
C
CED
+
+=
，
∴1
2
3 180
++=
；
（2）解：∵四边形AFDE 是平行四边形，
∴
,
AE
DF AF
DE
=
=
，FD
AC
∥
，
设AE
DF
x
=
=
，BF
y
=
，则CE
kx
=
，AF
DE
ky
=
=
，
∵
A
A
= ，
AEF
B
=
，
∴
AEF
ABC
∽
，
∵DE
AF
∥
，
∴
,
EDC
B
DEC
A
=
= ，
∴
EDC
AEF
=
，
∴EDC
AEF
∽
，
∴AE
AF
DE
EC
=
，
即x
ky
ky
kx
=
，
∴
2
x
k
y
=
，
∵FD
AC
∥
，
∴BFD
BAC
∽
，
∴AC
DF
AB
BF
=
，
∵
10
AB =
，
15
AC =
，
∴
15
3
10
2
x
y =
=
，
∴
2
9
4
x
k
y
=
=
，
∴当
9
4
k =
时，在移动点B 的过程中，始终有
AEF
与
B
相等．
（3）①略
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②由①可得
1
B D
DC
k
=
，
依题意，
1
L 与
2
L 是关于点D 的位似图形，且位似比为1
k ，则面积比为
2
1
k ，
∵等腰直角三角形
1
L 的边长为2 ，面积为1
2 2
2
2
=
，
∴图形
2
L 的面积为
2
2k ．
29．（2026·贵州·中考真题）小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下：
【动手操作】如图①，在直线l 的两侧有两点A ，B ，小红要在直线l 上确定一点P ，使AP
BP
+
最短．
(1)请帮小红确定点P 的位置，并画出图形；
(2)解决该问题的依据是________；
【问题探究】
(3)如图②，在四边形ABCD中，点E 是边BC 的中点，点F 是对角线BD 上一个动点，连接EF ，CF ，
30
DBC
=
，
2 3
BC =
，当EF
CF
+
的值最小时，求线段EF 的长；
【拓展延伸】
(4)如图③，在四边形ABCD中，AD
BC ，BD
CD
=
，CE
BD
⊥
，垂足为E ，
2
A
ADB
=
，
1
AD = ，
3
AB =
，
若点P 是线段BC 垂直平分线上的一个动点，连接BP ，EP ．确定点P 的位置使BPE 周长最小，并求出该
周长的最小值．
【答案】(1)如图①，点P 即为所求；
(2)两点之间线段最短
(3)1
(4) 4 3
4 6
3
+
【分析】（1）连接AB 与直线l 的交点即为点P ；
（2）依据为两点之间线段最短；
（3）过点C 作BD 的对称点T ，CT 交BD 于点S ，连接
,
FT ET ，ET 交BD 于点Q ，则EF
CF
TF
EF
TE
+
=
+
，
故当点F 与点Q 重合时，EF
CF
+
取得最小值，如图，连接ES ，然后证明FE
BC
⊥
，再解Rt BEF 即可；
（4）过点D 作DF
BC
⊥
于点F ，过点C 作CM
AB
∥
交AD 的延长线于点M ，先判断点P 在直线DF 上，
连接
,
,
PE PB PC ，确定BPE 周长的最小值为BE
CE
+
，先证明
MCD
DCB
△
∽△
，再利用DBF
CBE
∽
求
解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：过点C 作BD 的对称点T ，CT 交BD 于点S ，连接
,
FT ET ，ET 交BD 于点Q ，
∴CS
BD
⊥
，FT
FC
=
，
∴EF
CF
TF
EF
TE
+
=
+
，
∴当点F 与点Q 重合时，EF
CF
+
取得最小值，如图，连接ES ，
∵CS
BD
⊥
，点E 为BC 中点，
30
DBC
=
，
∴
1
1
2 3
3
2
2
BE
ES
EC
BC
=
=
=
=
=
，
90
60
BCS
DBC
=
−
=
，
∴
ESC为等边三角形，
∴SE
SC
ST
=
=
，
∴
60
SEC
SCE
ESC
=
=
=
，
∵
,
C T 关于BD 对称，
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∴CS
TS
=
，
∴ST
ES
=
，
∴
T
SET
=
，
∵
T
SET
ESC
+
=
，
∴
30
SET
T
=
=
，
∴
90
TEC
SET
SEC
=
+
=
，
∴FE
BC
⊥
，
∴
3
tan
3
1
3
EF
BE
DBC
=
=
= ；
（4）解：如图，过点D 作DF
BC
⊥
于点F ，过点C 作CM
AB
∥
交AD 的延长线于点M ，
∵DB
DC
=
，
∴
,
BF
CF
DBC
DCB
=
=
，
∴DF 垂直平分BC ，
∴点P 在直线DF 上，
连接
,
,
PE PB PC ，
∴PB
PC
=
，
∴PE
PB
PE
PC
CE
+
=
+
，
∴当点P 在CE上时，PE
PB
+
取得最小值即为CE，
∵
BPE
C
BE
PE
PB
=
+
+
△
，BE 不变，
∴BPE 周长的最小值为BE
CE
+
，
∵
,
AD
BC CM
AB
∥
∥
，
∴四边形ABCM 是平行四边形，
∴
3
CM
AB
=
=
，
A
BCM
=
，BC
AM
=
，
∵AD
BC ，
∵
,
ADB
DBC
MDC
DCB
=
=
，
∴
ADB
DBC
MDC
DCB
=
=
=
，
设
ADB
DBC
MDC
DCB
=
=
=
=
，
∵
2
A
ADB
=
，
∴
2
A
BCM
=
=
，
∴
DCM
BCM
DCB
=
−
=
，
∴
MDC
MCD
DCB
DBC
=
=
=
，
∴
3
MD
MC
=
= ，
MCD
DCB
△
∽△
，
∵
1 3
4
BC
AM
AD
DM
=
=
+
= + =
，
∴MC
DC
DC
CB
=
，
∴3
4
CD
CD =
，
解得
2 3
CD =
（舍负），
∴
2 3
BD =
，
∵
1
1
4
2
2
2
BF
CF
BC
=
=
=
=
，
∴
2
2
2 2
DF
CD
CF
=
−
=
，
∵CE
BD
⊥
，
∴
90
DFB
CEB
=
=
，
∵
DBF
CBE
=
，
∴DBF
CBE
∽
，
∴DB
DF
BF
CB
CE
BE
=
=
，
∴2 3
2 2
2
3
4
2
CE
BE
=
=
=
，
∴2 2
2
3
2
CE
BE
+
=
+
，
∴
4 3
4 6
3
CE
BE
+
+
=
，
∴BPE 周长的最小值4 3
4 6
3
+
．
30．（2026·云南·中考真题）如图，
O 是ABC的外接圆，AB 是
O 的直径．点P 在BA 的延长线上，且
2
PC
PA PB
=
．点E 在AC 的延长线上．线段BE 的中点M 与点C 、点P 在同一条直线上．线段OM 与
O
相交于点D ，与线段BC 相交于点N ．DH
AB
⊥
于点H ，线段DH 与线段BC 相交于点F ，连接OF ．记
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OFD
△
的面积为
1S ，OFH 的面积为
2
S ．
(1)求证：直线PC 是
O 的切线；
(2)若
2 21
AB =
，
6 6
BE =
，求线段PA 的长；
(3)观察，探究，发现与证明：
以下三个结论：
1
2
S
S
，
1
2
S
S
=
，
1
2
S
S
，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
【答案】(1)证明：如图1，连接OC ，
∵
2
PC
PA PB
=
，
∴PC
PA
PB
PC
=
，
又∵
P
P
= ，
∴PCB
PAC
∽
，
∴
PCA
PBC
=
，
∵AB 是
O 的直径，OA
OC
=
，
∴
90 ,
ACB
OAC
OCA
=
=
，
∴
90
PBC
OAC
PCA
OCA
OCP
+
=
+
=
=
，
又∵OC 是
O 的半径，
∴直线PC 是
O 的切线；
(2)14 21
11
(3)
1
2
S
S
，证明如下：
如图2，连接BD ，
∵O 为AB 的中点，点M 是BE 的中点，
∴OM 是ABE 的中位线，
∴
//
OM AE，
∴
90
ACB
ONB
=
=
，
∵DH
AB
⊥
，
∴
90
OHD
=
，
∴
90
ODF
DOH
OBF
DOH
+
=
+
=
，
∴
ODF
OBF
=
，
∵OD
OB
=
，
∴
ODB
OBD
=
，
∴
ODB
ODF
OBD
OBF
−
=
−
，即
BDF
DBF
=
，
∴DF
BF
=
，
在Rt BFH 中，
90
BHF
=
，BF
BH
，
∴DF
BF
FH
=
，
∵
1
2
1
1
,
2
2
OFD
OFH
S
S
DF OH S
S
FH OH
=
=
=
=
，
∴1
1
2
2
DF OH
FH OH
，即
1
2
S
S
．
【分析】
（1）连接OC ，根据题意证得PCB
PAC
∽
，得
PCA
PBC
=
，再由AB 是
O 的直径，OA
OC
=
，
证得
90
OCP
=
即可证得结论；
（2）首先证得
90
ABE
=
，然后，证得PCO
PBM
∽
，得
21
14
6
3 6
CO
PC
BM
PB
=
=
=
，再由（1）知
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14
6
PC
PA
PB
PC
=
=
，设
14
PA
x
=
，则
6
PC
x
=
，由
2
PC
PA PB
=
，得
18 14
7
PB
x
=
，再由PB
PA
AB
−
=
，得
7 6
11
x =
，最后代入x 值可求得PA 的长；
（3）连接BD ，首先证得OM 是ABE 的中位线，得OM
AE ，进而得
90
ACB
ONB
=
=
，然后由DH
AB
⊥
得
90
OHD
=
，证得
ODF
OBF
=
，再由OD
OB
=
得
ODB
OBD
=
，得
BDF
DBF
=
，进而得
DF
BF
FH
=
，最后由
1
2
1
1
,
2
2
OFD
OFH
S
S
DF OH S
S
FH OH
=
=
=
=
可证得结论．
【详解】（1）略
（2）解：∵O 为AB 的中点，
2 21
AB =
，
∴
21
AO
BO
=
=
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
BCE
=
=
，
∴
90
PCA
BCM
+
=
，
又∵点M 是线段BE 的中点，
6 6
BE =
，
∴
3 6
CM
BM
EM
=
=
=
，
∴
CBM
BCM
=
，
由（1）知
PCA
PBC
=
，
∴
90
PCA
BCM
PBC
CBM
ABE
+
=
+
=
=
，
∴
90
OCP
PBM
=
=
，
又∵
P
P
= ，
∴PCO
PBM
∽
，
∴
21
14
6
3 6
CO
PC
BM
PB
=
=
=
．
由（1）知
14
6
PC
PA
PB
PC
=
=
，
设
14
PA
x
=
，则
6
PC
x
=
，
∵
2
PC
PA PB
=
，即(
)
2
6
14
x
x PB
=
，
∴
18 14
7
PB
x
=
，
∵PB
PA
AB
−
=
，即18 14
14
2 21
7
x
x
−
=
，解得
7 6
11
x =
，
∴
7 6
14 21
14
11
11
PA =
=
；
（3）略
31．（2026·湖北武汉·中考真题）下图是由小正方形组成的6 6
网格，每个小正方形的顶点叫作格点，ABC
的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超过五条．
(1)如图1，先在AB 上画点D ，使
45
BCD
=
，再画点A 关于点D 的对称点E ；
(2)如图2，P 是边AC 与网格线的交点，先将AB 平移到FP （P 是点B 的对应点），再在FP 上画点G ，使
BGP
APF
=
．
【答案】(1)如图：点D、点E 即为所求．
(2)如图：点FP 、点G 即为所求．
【分析】（1）如图1：取格点F 使得
,
90
BF
BC
FBC
=
=
，连接CF 与AB 相交于点D；利用等腰直角三角
形可知
45
BCD
=
，即点D即为所求；取格点H，使得GH
CF
∥
且
,
AF
FG
=
利用相似三角形可知AD
DE
=
，
则点A、点E 关于点D 对称，即点E 即为所求；
（2）设每个小正方形边长为1，如图：2 先将点A 向右平移2.5 ，再向上平移1 得到点F，连接FP 即为所
求；先作AB 的垂直平分线交AC 于H，则AH
BH
=
，即
BAH
ABH
=
；又AB
PF
∥
，则
,
BAH
APF
APF
BGP
=
=
，则
APF
BGP
=
，即点G 即为所求．
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【详解】（1）解：∵
,
90
BF
BC
FBC
=
=
，
∴BCF 是等腰直角三角形，
∴
45
BCD
=
，即点D 即为所求；
如图：由作图过程以及网格可得：
,
AF
FG
=
GH
CF
∥
，
∴AFD
AGE
∽
，
∴
1
2
AD
AF
AE
AG
=
=
，
∴AD
DE
=
，
∴点A、点E 关于点D 对称，即点E 即为所求；
（2）解：设每个小正方形边长为1，如图2：由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知：点B 向右平
移2.5 ，再向上平移1 得到点P，
∴同理由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知将点A 向右平移2.5 ，再向上平移1 得到点F，连接PF
即为所求；
∴AB
PF
∥
，
如图2：过D 作DI 垂直于格线，则四边形DIOL是矩形
由格点图知，L 为AP 中点，
则由平行线分线段成比例定理可知D 为AB 中点，
∴
1
1
2
2
DL
BP
=
=
，
1
2
OI
DL
=
=
，
同理J 为NK 中点，E 为NM 中点，
∴
1
1
2
2
JE
KM
=
=
，
∴
1
1
3
4
2
2
IE
AP
=
+
+
=
=
，
1
2
OI
DL
=
=
，
∵
,
90
DI
BP
APB
DIE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABP
FDI
≌
，
∴
DEI
PAB
=
，
∵
ALD
OLE
=
，
∴
90
ADL
LOE
=
=
，
∵AD
BD
=
，
∴DE 是AB 的垂直平分线，且交AC 于H，
∴AH
BH
=
，
∴
BAH
ABH
=
，
∵AB
PF
∥
，
∴
,
BAH
APF
ABH
BGP
=
=
，
∴
APF
BGP
=
，即点G 即为所求．
32．（2026·湖北武汉·中考真题）将正方形ABCD的边CD绕点D 逆时针旋转得到DE ，连接AE 交边CD于
点F ，DG 平分
CDE
交AE 于点G ，连接CG 、CE．
(1)如图1，求证：CGE是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明
DAE
DEG
DCG
=
=
）．
(2)如图2，连接BD 交AE 于点H ，求证：
2
AF AE
AH AG
=
．
(3)如图3，点K 在线段AE 上，
1
2
AK
CG
=
，连接CK ．若
4
AB =
，直接写出CK 的最小值．
【答案】(1)证明：∵DG 平分
CDE
，
∴
CDG
EDG
=
，
∵正方形ABCD的边CD绕点D 逆时针旋转得到DE ，
∴AD
CD
DE
=
=
，
∵DG
DG
=
，
∴
(
)
SAS
DCG
DEG
≌
，
∴CG
EG
=
，
DEG
DCG
=
，
∵AD
CD
DE
=
=
，
∴
DAE
DEG
=
，
∴
DAE
DCG
=
，
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∵
AFD
CFG
=
，
∴
90
CGF
ADF
=
=
，
∴
90
CGE
=
，
∴CGE是等腰直角三角形．
(2)证明：由（1）证得DCG
DEG
≌
，
90
CGE
=
，
∴
(
)
1 360
90
135
2
CGD
EGD
=
=
−
=
，
∴
180
180
135
45
AGD
EGD
=
−
=
−
=
，
∴
45
AGD
ADB
=
=
，
又∵
DAG
FAD
=
，
∴ADH
AGD
∽
，
∴AD
AH
AG
AD
=
，即
2
AD
AH AG
=
① ，
如图：过 D 作 DM
AE
⊥
于 M ， 则
90
AMD
ADF
=
=
，
∵
DAM
FAD
=
，
∴ADM
AFD
V
V
∽
，
∴AD
AM
AF
AD
=
，即
2
AD
AM AF
=
② ，
∵AD
DE
=
，DM
AE
⊥
，
∴
1
2
AM
EM
AE
=
=
，
∴
2
1
2
AD
AM AF
AE AF
=
=
由①②两式得，
1
2
AH AG
AE AF
=
，即
2
AF AE
AH AG
=
．
(3) 34
2
−
【分析】（1）先利用正方形的性质证明
(
)
SAS
DCG
DEG
≌
可得CG
EG
=
，
DEG
DCG
=
，再证明
90
CGE
=
，即可证明结论；
（2）由（1）证得DCG
DEG
≌
，
90
CGE
=
，证明ADH
AGD
∽
可得AD
AH
AG
AD
=
，即
2
AD
AH AG
=
① ；如图：过 D 作 DM
AE
⊥
于 M ， 则
90
AMD
ADF
=
=
，证明ADM
AFD
V
V
∽
可得AD
AM
AF
AD
=
，
即
2
AD
AM AF
=
② ；利用等腰三角形的性质可得
1
2
AM
EM
AE
=
=
，即
2
1
2
AD
AM AF
AE AF
=
=
，最后
结合①②即可证明结论；
（3）如图：取 AD 中点 M ， 连接 KM ． 即
1
2
AM
AD =
，可证AKM
EGD
∽
得
135
AKM
EGD
=
=
；
再说明K 点在以 O为 圆心， OA 为半径的圆上运动， 当 K 点运动到 OC 上时， 即 O、K 、C 三
点共线时， CK 取得最小值
min
CK
OC
OK
=
−
．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图：取 AD 中点 M ， 连接 KM ． 即
1
2
AM
AD =
，由（1）可得CG
EG
=
，
∵
1
2
AK
CG
=
，
∴
1
2
AK
EG
=
∴
1
2
AK
EG =
，
∴
1
2
AM
AK
AD
EG
=
=
，
∵AD
DE
=
，
∴
KAM
GED
=
，
1
2
AM
AK
DE
EG
=
=
∴AKM
EGD
∽
，
∴
135
AKM
EGD
=
=
，
∴ K 点在以 O 圆心， OA 为半径的圆上运动，
当 K 点运动到 OC 上时， 即 O、K 、C 三点共线时， CK 取得最小值
min
CK
OC
OK
=
−
．
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如图：过 O 作 OH
BC
⊥
于 H ， 交 AD 于 P ，在圆O 上取一点N，连接
,
AN MN ，则四边形MKAN
是圆O 的内接四边形，
∴
180
AKM
ANM
+
=
，
∵
135
AKM
=
，
∴
180
45
ANM
AKM
=
−
=
，
∴
2
90
AOM
ANM
=
=
，
∵
1
1
2
2
2
AM
AD
AB
=
=
=
，
∴
1
1
2
AP
OP
AM
=
=
= ，
∴
2
2
2
OK
OA
AP
OP
=
=
+
=
，
1 4
5
OH
OP
PH
=
+
= +
=
，
4 1 3
CH
BC
BH
=
−
= −= ，
∴
2
2
5
3
34
OC =
+
=
，
∴
34
2
CKmin
OC
OK
=
−
=
−
，
∴ CK 的最小值为34
2
−
．
