专题14相似三角形与锐角三角函数（5年汇编）（浙江专用）（答案版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编

1 / 34
学科网（北京）股份有限公司
专题14 相似三角形与锐角三角函数
5 年真题1 年模拟
考点01
相似三角形判定与性质
1．【答案】(1)证明：连接ܲ
�，如图1，
在ᇞܲ
䳌�和ᇞ�香ܲ
中，
׶ܲ
䳌ൌ香�，䳌�ൌܲ
香，ܲ�ൌ�ܲ，
׵ᇞܲ
䳌�، ᇞ�香ܲ
SSS ，
׵ ס䳌ܲ�ൌס香�ܲ，
׵ܲ
香צ 䳌�（内错角相等，两直线平行）．
（2）解：由题意，墙面݈
٣地面，ܣܤ٣ܱ
ܦ，ܲ䳌٣݈，ܦܤ٣݈，
׵ܲ
䳌צ ܦܤ，ܣܤצ ܥܦ，
׵ סܲ䳌ܤൌסܦܤ䳌ൌס䳌ܲܦൌ耀晦ι，
׵四边形ܲ
䳌ܤܦ是矩形，
׵ܲ
䳌ൌܤܦൌͳ晦，
又׶ סܣܱܤൌסܥܱܦ，סܥܦܱ
ൌסܣܤܱ
ൌ耀晦ι，
׵ᇞܱ
ܣܤ׽ᇞܱ
ܥܦ，
׵
ܣܤ
ܥܦൌܱ
ܤܱ
ܦ，
׶ ܣܤൌൌ͹，ܱܤൌܱ
ܦെܤܦൌͳ耀晦，
׵ ܥܦൌൌ͹ ൈ
ʹ晦晦
ͳ耀晦ൌ㜠晦，
2 / 34
学科网（北京）股份有限公司
׵ ܥܦ的长度为㜠晦cm．
2．݇
ʹ
ʹെ݇ʹ
3．B
4．4.1
5．
【详解】（1）解：如图1，连接ܱ
ܦ．
∵ܥܦ切半圆ܱ
于点ܦ，
∴ܱܦ٣ ܥܧ．
∵ܱܣൌ
͵
ʹ，ܣܥൌͳ，
∴ܱܥൌ
ൌ
ʹ，
∴ܥܦൌʹ．
∵ܤܧ٣ ܥܧ，
∴ܱܦצܤܧ，
∴
ܥܦ
ܥܧൌ
ܥܱ
ܥܤ，
即
ʹ
ܥܧൌ
ൌ
ʹ
Ͷ，
∴ܥܧൌ
ͳ㜠
ൌ．
如图2，סܣᦙܤൌסܧൌ耀晦ι，
∴ܣᦙצ ܥܧ．
∵香�צ ܥܤ，
∴四边形ܣܲ香ܥ是平行四边形，
3 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∴ܥ香ൌܲ
ܣൌܲ
ܪ
sinסͳ ൌܲ
ܪ
sinܥൌ
ݔ
͵
ൌ
ൌ
ൌ
͵ ݔ．
∵
香�
ܤܥൌ
香ܧ
ܥܧ，
∴
ݕ
Ͷ ൌ
ͳ㜠
ൌെൌ
͵ݔ
ͳ㜠
ൌ
，
∴ݕൌെ
ʹൌ
ͳʹ ݔt Ͷ．
（2）∵ܲ�ൌݕെͳ ൌെ
ʹൌ
ͳʹ ݔt ͵，ܲܪ൏ܲ
�，ᇞܤܥܧ三边之比为͵ǣͶǣൌ（如图2），
∴可分为三种情况．
i）当ܲ
ܪǣܲ�ൌ͵ǣൌ时，ܲ
�ൌ
ൌ
͵ܲ
ܪ，െ
ʹൌ
ͳʹ ݔt ͵ ൌ
ൌ
͵ ݔ，
解得ݔൌ
Ͷ
ൌ，
∴ܽ
ൌ
Ͷ
͵ ݔൌ
ͳ㜠
ͳൌ．
ii）当ܲ
ܪǣܲ�ൌͶǣൌ时，ܲ
�ൌ
ൌ
Ͷܲ
ܪ，െ
ʹൌ
ͳʹ ݔt ͵ ൌ
ൌ
Ͷ ݔ，
解得ݔൌ
耀
ͳ晦，
∴ܽ
ൌ
͵
Ͷ ݔൌ
ʹ͹
Ͷ晦．
iii）当ܲ
ܪǣܲ�ൌ͵ǣͶ 时，ܲ
�ൌ
Ͷ
͵ܲ
ܪ，െ
ʹൌ
ͳʹ ݔt ͵ ൌ
Ͷ
͵ ݔ，
解得ݔൌ
͵㜠
Ͷͳ，
∴ܽ
ൌ
ൌ
͵ ݔൌ
㜠晦
Ͷͳ．
（3）如图3，连接ܣ䳌，ܤ䳌，过点䳌作䳌ܩ٣ ܣܤ于点ܩ，
则סܣ䳌ܤൌסܣܩ䳌ൌ耀晦ι，䳌ܩൌܲ
ܪൌݔ，
∴ס䳌ܣܤൌסܤ䳌ܩ．
4 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∵�䳌ൌ
ͳൌ
Ͷ ݔെ͵，ܲ�ൌݕെͳ ൌെ
ʹൌ
ͳʹ ݔt ͵，
∴ܪܩൌܲ
䳌ൌ�䳌tܲ
�ൌ
ൌ
͵ ݔ．
∵ܣܪൌ
Ͷ
͵ ݔ，
∴ܣܩൌܣܪt ܪܩൌ͵ݔ，
∴tanסܤ䳌ܩൌtanס䳌ܣܤൌ
ݔ
͵ݔൌ
ͳ
͵，
∴ܤܩൌ
ͳ
͵ 䳌ܩൌ
ͳ
͵ ݔ，
∴ܣܤൌܣܩt ܤܩൌ
ͳ晦
͵ ݔൌ͵，ݔൌ
耀
ͳ晦，
∴ݕൌെ
ʹൌ
ͳʹ ݔt Ͷ ൌ
ͳ͹
ͺ ，即香�的长为
ͳ͹
ͺ ．
6．A
7．
9
ʹൌ
耀/ʹ
͹
耀
8．B
9．ʹ
10．
10
ͳ晦t
ͳ͵
11．9.88
12．͵ ͵ െ͵
13．A
14．B
15．A
16．C
17．D
18．C
19．
【详解】（1）∵四边形BFED 是平行四边形，
∴ܦܧצܤܥ，
∴ᇞܣܦܧ∽ᇞܣܤܥ，
∴
ܦܧ
ܤܥൌ
ܣܦ
ܣܤ，
5 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∵
ܦܧ
ܤܥൌ
ͳ
Ͷ，
∴
ܣܦ
ܣܤൌ
ͳ
Ͷ，
∴ܣܦൌ
ͳ
Ͷ ܣܤൌ
ͳ
Ͷ ൈͺ ൌʹ；
（2）∵四边形BFED 是平行四边形，
∴ܦܧצܤܥ，ܧᦙצܣܤ，DE=BF，
∴סܣܧܦൌסܧܥᦙ㠮סܧܣܦൌסܥܧᦙ，
∴ᇞܣܦܧ∽ᇞܧᦙܥ
∴ܵ
ᇞܣܦܧܵ
ᇞܧᦙܥൌ
ܦܧ
ᦙܥ
ʹ
，
∵
ܦܧ
ܤܥൌ
ͳ
Ͷ，DE=BF，
∴ᦙܥൌܤܥെܦܧൌͶܦܧെܦܧൌ͵ܦܧ，
∴
ܦܧ
ᦙܥൌ
ܦܧ
͵ܦܧൌ
ͳ
͵，
∴ܵ
ᇞܣܦܧܵ
ᇞܧᦙܥൌ
ܦܧ
ᦙܥ
ʹ
ൌ
ͳ
͵
ʹ
ൌ
ͳ
耀，
∵ᇞܣܦܧ∽ᇞܣܤܥ，
ܦܧ
ܤܥൌ
ͳ
Ͷ，
∴ܵᇞܣܦܧܵ
ᇞܣܤܥൌ
ܦܧ
ܤܥ
ʹ
ൌ
ͳ
Ͷ
ʹ
ൌ
ͳ
ͳ㜠，
∵ܵᇞܣܦܧൌͳ，
∴ܵᇞܧᦙܥൌ耀㠮ܵᇞܣܤܥൌͳ㜠，
∴ܵ
ܤᦙܧܦൌܵ
ᇞܣܤܥെܵ
ᇞܧᦙܥെܵ
ᇞܣܦܧൌͳ㜠െ耀െͳ ൌ㜠．
20．
【答案】(1)
证明：∵ܦܧצ ܤܥ，
∴ᇞܣܦܩ׽ᇞܣܤᦙ㠮ᇞܣܧܩ׽ᇞܣܥᦙ，
∴
ܦܩ
ܤᦙൌ
ܣܩ
ܣᦙ㠮
ܧܩ
ܥᦙൌ
ܣܩ
ܣᦙ，
∴
ܦܩ
ܤᦙൌ
ܧܩ
ܥᦙ．
∵ܤᦙൌܥᦙ，
∴ܦܩൌܧܩ．
（2）解：由（1）得ܦܩൌܧܩ，
6 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∵ܥܩ٣ ܦܧ，
∴ܥܧൌܥܦൌ㜠．
∵ܣܧൌ͵，
∴ܣܥൌܣܧt ܥܧൌ耀．
∵ܦܧצ ܤܥ，
∴ᇞܣܦܧ׽ᇞܣܤܥ．
∴
ܦܧ
ܤܥൌ
ܣܧ
ܣܥൌ
ͳ
͵．
（3）解：如图，延长ܩܧ交ܣܤ于点M，连接ᦙ香，作香�٣ ܤܥ，垂足为N．
在
ܣܤܥܦ中，ܤܱ
ൌܦܱ㠮סܣܤܥൌסܣܦܥൌͶൌι．
∵ܧܩצ ܤܦ，
∴由（1）得香ܧൌܩܧ，
∵ܧᦙ٣ ܧܩ，
∴ᦙ香ൌᦙܩൌͳ晦，
∴סܧᦙ香ൌסܧᦙܩ．
∵סܧܩᦙൌͶ晦ι，
∴סܧ香ᦙൌͶ晦ι，
∴סܧᦙܩൌൌ晦ι．
∵ᦙܩ平分סܧᦙܥ，
∴סܧᦙܩൌסܥᦙܩൌൌ晦ι，
∴סܤᦙ香ൌͳͺ晦ι െסܧᦙ香െסܧᦙܩെסܥᦙܩൌ͵晦ι．
∴．在ܴ
ݐᇞᦙ香�中，香�ൌᦙ香sin͵晦ι ൌൌ㠮ᦙ�ൌᦙ香cos͵晦ι ൌൌ͵．
∵ס香ܤ�ൌͶൌι㠮香�٣ ܤ�，
∴ܤ�ൌ香�ൌൌ，
∴ܤᦙൌܤ�t ᦙ�ൌൌt ൌ͵．
7 / 34
学科网（北京）股份有限公司
考点02
锐角三角函数与解直角三角形
1．ʹ 米
2．Ͷ耀晦
3．
【详解】（1）解：在Rt ᇞܣܤܦ中，ܣܤൌͳ晦㠮ܣܦൌ㜠，
∴ܤܦൌ
ܣܤʹ െܣܦʹ ൌ
ͳ晦ʹ െ㜠ʹ ൌͺ，
在Rt ᇞܣܦܥ中，tanסܣܥܤൌ
ܣܦ
ܦܥൌͳ，
∴ܦܥൌ㜠，
∴ܤܥൌܤܦt ܦܥൌͺ t 㜠ൌͳͶ；
（2）∵ܣܧ是ܤܥ边上的中线，
∴ܤܧൌ
ͳ
ʹ ܤܥൌ͹，
∴ܦܧൌܤܦെܤܧൌͺ െ͹ ൌͳ，
∴ܣܧൌ
ܣܦʹ t ܦܧʹ ൌ
㜠ʹ t ͳʹ ൌ
͵͹，
∴sinסܦܣܧൌ
ܦܧ
ܣܧൌ
ͳ
͵͹ ൌ
͵͹
͵͹ ．
4．C
5．D
6．C
7．
【详解】（1）解：如图所示：
由题意知ܱ
ܦ٣ܲ
ܦ，
在Rt ᇞܱܲ
ܦ中，סܦൌ耀晦ι，则סܲ
t סܱܲ
ܦൌ耀晦ι，即ߙt ߚൌ耀晦ι，
׵ ߚൌ耀晦ι െߙ；
（2）解：如图所示：
8 / 34
学科网（北京）股份有限公司
׵ ܣܦ٣ ܤܦ，
在Rt ᇞܣܥܦ中，סܣܥܦൌͶൌι，由等腰直角三角形性质得到ܥܦൌܣܦ，
在Rt ᇞܣܤܦ中，סܣܤܦൌ͵͹ι，
由tanסܣܤܦൌtan͵͹ι ൌ
ܣܦ
ܤܦൌ
ܣܦ
ܥܦtʹ晦ൌ
ܣܦ
ܣܦtʹ晦，
即晦Ǥ͹ൌൌ
ܣܦ
ܣܦtʹ晦，
解得ܣܦൌ㜠晦m，
׵气球ܣ离地面的高度ܣܦൌ㜠晦m．
8．
【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．
规划一：
[任务1]选择点ܣ和点ܤ．
tanסͳ ൌ
ͳ
ͺ，tanסʹ ൌ
ͳ
Ͷ，tanס͵ ൌ
ͳ
͵，测得图上ܣܤൌͶmm．
[任务2]如图1，过点ܣ作ܣᦙ٣ 香�于点ᦙ，过点ܤ作ܤܩ٣ 香�于点ܩ，
则ᦙܩൌܣܤൌͶmm，设香ᦙൌݔሺmmሻ．
∵tanס香ܣᦙൌ
ݔ
ܣᦙൌ
ͳ
Ͷ，tanס香ܤܩൌ
ݔtͶ
ܤܩൌ
ͳ
͵，
∴ܣᦙൌͶݔ，ܤܩൌ͵ݔt ͳʹ．
∵ܣᦙൌܤܩ，
∴Ͷݔൌ͵ݔt ͳʹ
解得ݔൌͳʹ，
∴ܣᦙൌܤܩൌͶݔൌͶͺmm．
9 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∵tanסᦙܣ�ൌ
ᦙ�
Ͷͺ ൌ
ͳ
ͺ，
∴ᦙ�ൌ㜠mm，
∴香�ൌ香ᦙt ᦙ�ൌͳʹ t 㜠ൌͳͺmm．
[任务3 ]测得图上ܦܧൌൌmm，设发射塔的实际高度为݄
米．
由题意，得
ൌ
ͳʹ ൌ
ͳͺ݄，解得݄
ൌͶ͵Ǥʹ，
∴发射塔的实际高度为Ͷ͵Ǥʹ 米．
规划二：
[任务1]选择点ܣ和点ܥ．
tanסͳ ൌ
ͳ
ͺ，tanסʹ ൌ
ͳ
Ͷ，tanסͶ ൌ
ͳ
ʹ，测得图上ܣܥൌͳʹmm．
[任务2]如图2，过点ܣ作ܣᦙ٣ 香�于点ᦙ，过点ܥ作ܥܩ٣ 香�，交香�的延长线于点ܩ，则ᦙܩൌܣܥൌ
ͳʹmm，设香ᦙൌݔሺmmሻ．
∵tanס香ܣᦙൌ
ݔ
ܣᦙൌ
ͳ
Ͷ，tanס香ܥܩൌ
ݔtͳʹ
ܥܩൌ
ͳ
ʹ，
∴ܣᦙൌͶݔ，ܥܩൌʹݔt ʹͶ．
∵ܣᦙൌܥܩ，
∴Ͷݔൌʹݔt ʹͶ，解得ݔൌͳʹ，
∴ܣᦙൌܥܩൌͶݔൌͶͺmm．
∵tanסᦙܣ�ൌ
ᦙ�
Ͷͺ ൌ
ͳ
ͺ，∴ᦙ�ൌ㜠mm，
∴香�ൌ香ᦙt ᦙ�ൌͳʹ t 㜠ൌͳͺmm．
[任务3]测得图上ܦܧൌൌmm，设发射塔的实际高度为݄
米．
由题意，得
ൌ
ͳʹ ൌ
ͳͺ݄，解得݄
ൌͶ͵Ǥʹ．
∴发射塔的实际高度为Ͷ͵Ǥʹ 米．
9．
10 / 34
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：过点ܥ作ܱ
ܤ的垂线分别交仰角、俯角线于点ܧ，ܦ，交水平线于点ᦙ，如图所示，
在Rt ᇞܣܧᦙ中，tanסܧܣᦙൌ
ܧᦙ
ܣᦙ．
׵ ܧᦙൌܣᦙڄ tanͳൌι ൌͳ͵晦ൈ晦Ǥʹ͹ ൌ͵ൌǤͳሺcmሻ．
׶ ܣᦙൌܣᦙ㠮סܧܣᦙൌסܦܣᦙ㠮סܣᦙܧൌסܣᦙܦൌ耀晦ι，
׵ᇞܣܦᦙ، ᇞܣܧᦙ．
׵ ܧᦙൌܦᦙൌ͵ൌǤͳሺcmሻ．
׵ ܥܧൌܥᦙt ܧᦙൌͳ㜠晦t ͵ൌǤͳ ൌͳ耀ൌǤͳሺcmሻ，ܧܦൌʹܧᦙൌ͵ൌǤͳ ൈʹ ൌ͹晦Ǥʹሺcmሻ൐ʹ㜠ሺcmሻ，
׵小杜下蹲的最小距离ൌʹ晦ͺ െͳ耀ൌǤͳ ൌͳʹǤ耀ሺcmሻ．
（2）(2)能，理由如下：
过点ܤ作ܱ
ܤ的垂线分别交仰角、俯角线于点香，�，交水平线于点ܲ
，如图所示，
在Rt ᇞܣܲ香中，tanס香ܣܲ
ൌ
香ܲ
ܣܲ．
׵ 香ܲ
ൌܣܲ
ڄ tanʹ晦ι ൌͳൌ晦ൈ晦Ǥ͵㜠ൌൌͶǤ晦ሺcmሻ，
׶ ܣܲ
ൌܣܲ㠮ס香ܣܲ
ൌס�ܣܲ㠮סܣܲ香ൌסܣܲ�ൌ耀晦ι，
׵ᇞܣ香ܲ، ᇞܣ�ܲ．
׵ܲ
�ൌ香ܲ
ൌൌͶǤ晦ሺcmሻ，
׵ ܤ�ൌܤܲ
െܲ
�ൌͳ㜠晦െൌͶǤ晦ൌͳ晦㜠Ǥ晦ሺcmሻ．
11 / 34
学科网（北京）股份有限公司
小若垫起脚尖后头顶的高度为ͳʹ晦t ͵ ൌͳʹ͵ሺcmሻ．
׵小若头顶超出点N 的高度ͳʹ͵ െͳ晦㜠Ǥ晦ൌͳ͹Ǥ晦ሺcmሻ൐ͳൌሺcmሻ．
׵小若垫起脚尖后能被识别．
10．
【详解】解：在Rt ᇞܣܤܥ中，ܣܤൌͳʹ晦，סܤܣܥൌ耀晦ι，סܤൌ͵͵Ǥ͹ι，
∴ܣܥൌܣܤڄ tan͵͵Ǥ͹ι
ൎͳʹ晦ൈ晦Ǥ㜠͹
ൌͺ晦ǤͶ
ൎͺ晦cm ．
∴ܣܥ的长约为ͺ晦cm．
11．
【详解】解：如图：过点ܦ作ܦܧ٣ ܣܤ于点ܧ，
由题意，得ܤܧൌܥܦൌͶ，
∵ܣܤൌͳͳ，∴ܣܧൌ͹．
∵סܣൌ㜠晦ι，
∴ܣܦൌܣܧൊcos㜠晦ι ൌͳͶ．
∴ܣܦt ܥܦൌͳͺ m ．即管道ܣെܦെܥ的总长为ͳͺm．
12．
ʹ ͵
͵
13．D
14．
【详解】解：在RtᇞABC 中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，
∴BC=ABڄsin75°
≈3×0.97=2.91
≈2.9(m)．
答：梯子顶部离地竖直高度BC 约为2.9m．
12 / 34
学科网（北京）股份有限公司
15．B
16．
1.8
耀
ͳ͵
17．
9
ߙെߚൌ͹Ǥൌι
18．
【详解】（1）解：׶ סܣܦܥൌͺͶι，סܣܤܥൌ͵͹ι，
׵ סܤܣܦൌסܣܦܥെסܣܤܥൌͶ͹ι，
答：סܤܣܦ的度数是Ͷ͹ι．
（2）解：在Rt△ABC 中，tan͵͹ι ൌ
ܣܥ
ܤܥ，
∴ܤܥൌ
ܣܥ
tan͵͹ι．
同理，在Rt△ADC 中，有ܦܥൌ
ܣܥ
tanͺͶι．
∵ܤܦൌͶ，
∴ܤܥെܦܥൌ
ܣܥ
tan͵͹ι െ
ܣܥ
tanͺͶι ൌܤܦൌͶ．
∴
Ͷ
͵ ܣܥെ
ʹ
ͳ耀ܣܥൎͶ，
∴ܣܥൎ͵Ǥ͵（米）．
答：表AC 的长是3.3 米．
19．
【详解】（1）解：在Rt△ABD 中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB=
ܤܦ
cosൌ͵ι ൎ
耀
晦Ǥ㜠=15（m），
∴此时云梯AB 的长为15m；
（2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD 中，BD=9m，
∴AB=
ܣܦʹ t ܤܦʹ ൌ
ͳ͹ʹ t 耀ʹ ൌ
͵͹晦（m），
∵͵͹晦m＜20m，
13 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
20．
【详解】（1）解：如图2，过点C 作ܥᦙ٣ ܦܧ于点F，
∵ܥܦൌܥܧ，
∴ܦᦙൌܧᦙ，ܥᦙ平分סܦܥܧ．
∴סܦܥᦙൌסܧܥᦙൌʹ晦ι，
∴ܦᦙൌܥܦڄ sinʹ晦ι ൎൌൈ晦Ǥ͵Ͷ ൌͳǤ͹(cm)，
∴ܦܧൌʹܦᦙൌ͵ǤͶcm．
（2）解：如图3，连结ܣܤ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l 经过点C．
∴ܣܤ٣݈，ܦܧ٣݈，
∴AB∥DE．
过点D 作ܦܩ٣ ܣܤ于点G，过点E 作EH⊥AB 于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，
∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，
∴四边形DGCE 是矩形，
∴DE=HG，
14 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∴DG∥l，EH∥l，
∴סܩܦܥൌסܥܧܪൌ
ͳ
ʹ סܦܥܧൌʹ晦ι，
∵ܣܦ٣ ܥܦ，BE⊥CE，
∴סܦܣܤൌסܩܦܥൌʹ晦ι，סܧܤܪൌסܥܧܪൌʹ晦ι，
∴ܣܩൌܣܦڄ cosʹ晦ι ൎͳ晦ൈ晦Ǥ耀Ͷ ൌ耀ǤͶ cm 㠮ܤܪൌܤܧڄ cosʹ晦ι ൎͳ晦ൈ晦Ǥ耀Ͷ ൌ耀ǤͶ(cm)，
∴ܣܤൌܤܪt ܣܩt ܦܧൌʹʹǤʹcm．
1．A
2．C
3．C
4．C
5．B
6．C
7．B
8．C
9．D
10．
ͳ͵tͳ
ʹ
11．
ͳ
ʹ/晦Ǥൌ
12．
ʹെͳ
ʹ
ʹ
ʹ݇
13．
ͳ
ൌ或
ͳͳ
ൌ
14．
【详解】（1）解：如图：作ܥܭ٣ ܤᦙ，垂足为ܭ，
∵ܥܭ٣ ܣܭ，ܦܩ٣ ܣܭ，
15 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∴ܥܭצܦܩ，
又∵ܥܦצܩܭ，
∴四边形ܥܭܩܦ为矩形，
∴ܥܭൌܦܩൌ㜠㜠m ，
∴ܤܥൌ
ܥܭ
sin耀ι ൌ
㜠㜠
sin耀ι ൌͶͶ晦m ，
∴ܤܦൌ
ܦܩ
sin㜠ι ൌ
㜠㜠
sin㜠ι ൌ㜠㜠晦m ，
∴ܤܭൌ
ܥܭ
tan耀ι ൌ
㜠㜠
tan耀ι ൌͶͳʹǤൌm ，ܤܩൌ
ܦܩ
tan㜠ι ൌ
㜠㜠
tan㜠ι ൌ㜠晦晦m ，
∴ܥܦൌܭܩൌܤܩെܤܭൌͳͺ͹Ǥൌm ；
（2）方案一的造价更便宜，理由：
方案一造价：ͳ晦ൈܤܥt ܥܦൌͳ晦ൈͶͶ晦t ͳͺ͹Ǥൌൌ㜠ʹ͹ൌ（万元），
方案二造价：ͳ晦ൈͳǤͳ ൈܤܦൌͳ晦ൈͳǤͳ ൈ㜠㜠晦ൌ͹ʹ㜠晦（万元），
∵㜠ʹ͹ൌ൏͹ʹ㜠晦，
∴方案一的造价更便宜．
15．
【详解】（1）解：tan͹ʹι ൌtan ʹ͹ι t Ͷൌι
ൌ
tanʹ͹ιttanͶൌι
ͳെtanʹ͹ιڄtanͶൌι ൎ
晦Ǥൌtͳ
ͳെ晦Ǥൌൈͳ ൌ͵．
（2）补充证明：∴
ܥܧ
ܣܤൌ
ܥܧ
ͳ ൌtanߚ，
׵ ܥܧൌtanߚ，
׶
ܥᦙ
ܤܧൌ
ܥᦙ
tanߙൌtanߚ，
׵ ܥᦙൌtanߙڄ tanߚ，
∵四边形ܣܤܥܦ是矩形，
׵ ܣܤൌܥܦ，ܣܦൌܤܥ，ܣܤצܥܦ，
׵ ܣܦൌܤܧt ܥܧൌtanߙt tanߚ，סܣᦙܦൌסܤܣᦙൌߙt ߚ，
׵ ܦᦙൌܦܥെᦙܥൌܣܤെᦙܥൌͳ െtanߙڄ tanߚ，
׵ tan ߙt ߚൌtanסܣᦙܦൌ
ܣܦ
ܦᦙൌ
tanߙttanߚ
ͳെtanߙڄtanߚ．
16．
【详解】（1）解：如图，过点D 作ܦܩ٣ ܤᦙ于点G，过点A 作ܣܪ٣ ܦܩ于点H，
16 / 34
学科网（北京）股份有限公司
由题意可知סܪܩܤൌסܣܤܩൌסܣܪܩൌ耀晦ι，
׵四边形ܣܤܩܪ是矩形，
׵ סܪܣܤൌ耀晦ι，ܣܪൌܤܩ，
׵ סܦܣܪൌסܦܣܤെסܪܣܤൌͳʹ晦ι െ耀晦ι ൌ͵晦ι，
׶ ܣܦൌͺ晦m，
׵ ܣܪൌܣܦڄ cos͵晦ι ൌͺ晦ൈ
͵
ʹ ൌͶ晦͵ m ，ܦܪൌܣܦڄ sin͵晦ι ൌͺ晦ൈ
ͳ
ʹ ൌͶ晦m ，
׵ ܤܩൌܣܪൌͶ晦͵ ൎ㜠耀Ǥʹ m ，
׵ ᦙܩൌܤᦙെܤܩൎͳൌͺ െ㜠耀Ǥʹ ൌͺͺǤͺ m ，
׶ סܦᦙܤൌ㜠Ͷι，
׵ ܦܩൌᦙܩڄ tanסܦᦙܤൌᦙܩڄ tan㜠Ͷι ൎͺͺǤͺ ൈʹǤ晦ൌൌͳͺʹǤ晦Ͷ m ，
׵ ܣܤൌܪܩൌܦܩെܦܪൌͳͺʹǤ晦Ͷ െͶ晦ൌͳͶʹǤ晦Ͷ ൎͳͶʹ m ，
答：风电塔筒ܣܤ的高度为ͳͶʹm．
（2）解：如图，过点E 作ܧܲ
צ ܣܤ，ܣܲ
٣ ܣܤ，两线交于点P，过点E'作ܧԢ䳌٣ ܣܲ
于点Q，
同（1）可得ܧܲ
ൌͶ晦，סܧܣܲ
ൌ͵晦ι，
由题意可得ܧԢ䳌ൌͶ晦t ʹͶǤ͹ ൌ㜠ͶǤ͹，
在Rt ᇞܧԢ䳌ܣ中，sinסܧԢ䳌ܣൌ
ܧԢ䳌
䳌ܣൌ
㜠ͶǤ͹
ͺ晦ൎ晦Ǥͺͳ，
׵ סܧԢ䳌ܣൎൌͶι，
׵ סܧԢܣܧൌൌͶι െ͵晦ι ൌʹͶι，
17 / 34
学科网（北京）股份有限公司
׵叶片ܣܧ扫过的区域面积是
ʹͶ
͵㜠晦πͺ晦ʹ ൌ
ͳʹͺ晦
͵ π，
׵所有叶片扫过的区域面积是
ͳʹͺ晦
͵ π ൈ͵ ൌͳʹͺ晦π mʹ ．
17．
【详解】（1）解：׶射线ܱܺ
与ܱܻ
是סܣܱܤ的一对等角线，
׵ סܱܺ
ܥൌסܻܱ
ܥ，
׶ܱ
ܥ是סܣܱܤ的平分线，
׵ סܣܱܥൌסܤܱܥ，
׵ סܣܱܥെסܱܺ
ܥൌסܤܱܥെסܻܱ
ܥ，即סܣܱܺ
ൌסܤܱܻ
，
设סܣܱܺ
ൌסܤܱܻ
ൌݔ，则סܱܻܺ
ൌ㜠ݔ，
则ݔt ݔt 㜠ݔൌͺ晦，
解得ݔൌͳ晦，
׵ סܱܻܺ
ൌ㜠晦ι，
׵ סܣܱܻ
ൌסܣܱܺ
t סܱܻܺ
ൌ͹晦ι；
（2）①证明：׶ ܤܧ㠮ܤᦙ是סܣܤܥ的一对等角线，
根据（1）中可得סܣܤܧൌסܥܤᦙ，
׵ סܣܤܧt סܧܤᦙൌסܥܤᦙt סܧܤᦙ，即סܣܤᦙൌסܥܤܧ，
׶四边形ܣܤܥܦ为平行四边形，
׵ ܣܦצ ܤܥ，
׵ סܣܧܲ
ൌסܧܤܥൌסܣܤᦙ，
׶ ܣܲ
٣ ܤܧܣ䳌٣ ܤᦙ，
׵ סܤܣ䳌ൌ耀晦ι െסܣܤᦙ，סܧܣܲ
ൌ耀晦ι െסܣܧܲ，
׵ סܤܣ䳌ൌסܧܣܲ，
׵根据小丽的说法，可得ܣ䳌㠮ܣܲ
是סܤܣܦ的一对等角线；
②解：设סܣܤܧൌסܥܤᦙൌݔ，则סܣܤܥൌ͵ݔ，
׵ סܣܤᦙൌסܣܤܥെסܥܤᦙൌʹݔ，
׶ ܣܦצ ܤܥ，
׵ סܤܣܦൌͳͺ晦ι െ͵ݔ，
׵ סܤܣ䳌ൌ
ͳͺ晦ιെ͵ݔ
͵
ൌ㜠晦ι െݔ，
׶ סܣܤᦙt סܤܣ䳌ൌ耀晦ι，
18 / 34
学科网（北京）股份有限公司
׵ ʹݔt 㜠晦ι െݔൌ耀晦ι，
解得ݔൌ͵晦ι，
׵ סܣܤ䳌ൌʹݔൌ㜠晦ι，
在Rt ᇞܣܤܲ
中，ܣܲ
ൌܣܤڄ sinסܣܤܲ
ൌsin͵晦ι ڄ ܣܤൌ
ͳ
ʹ ܣܤ，
在Rt ᇞܣܤ䳌中，ܣ䳌ൌܣܤڄ sinסܣܤ䳌ൌsin㜠晦ι ڄ ܣܤൌ
͵
ʹ ܣܤ，
׵ ܣܲǣܣ䳌ൌ
ͳ
ʹܣܤ
͵
ʹ ܣܤൌ
͵
͵ ．
18．
【详解】（1）解：如图，在ܤܥ上取一点ܦ，使得ܤܦൌܣܦ，构造出等腰ᇞܣܤܦ，
可得ᇞܣܤܦ的外角סܣܦܥൌͶൌι，
设ܣܥൌܽ
，则ܣܦൌܤܦൌ
ʹܽ，ܦܥൌܽ
，
׵ tanʹʹǤൌι ൌ
ܣܥ
ܤܥൌܽ
ʹܽtܽൌ
ͳ
ʹtͳ ൌ
ʹെͳ
ʹtͳ
ʹെͳ ൌ
ʹ െͳ．
（2）tan
ߙ
ʹ ൌܽ
ʹtܾʹെܾܽ，过程如下
解：如图，延长ܥܤ至点ܧ，使得ܤܧൌܤܣ，连接ܣܧ，
则סܧൌ
ͳ
ʹ סܣܤܥൌ
ߙ
ʹ，
由题意得ܤܣൌܽ
ʹ tܾ
ʹ，
׵ ܧܥൌܽ
ʹ tܾ
ʹ tܽ，
׵ tan
ߙ
ʹ ൌ
ܣܥ
ܧܥൌܾܽ
ʹtܾʹtܽൌܾܽ
ʹtܾʹെܽܽ
ʹtܾʹtܽܽ
ʹtܾʹെܽ
ൌܽ
ʹtܾʹെܾܽ．
19．
【详解】（1）解：由科学原理可得，סܩܥܧൌסܣܥܤൌൌ͵ι ，
∵ܣܤ٣ ܧᦙ，סܣܤܥൌ͵͹ι，tanסܣܤܥൌ
ܣܥ
ܣܤ，
∴ܣܤൎ͵Ǥ㜠米，
19 / 34
学科网（北京）股份有限公司
答：杆ܣܤ的高度约为͵Ǥ㜠米．
（2）解：邻居移动前：香�צ ܧᦙ，
由科学原理可得，סܣܤܥൌסܪܤܣൌ͵͹ι ，
∵ܣܤ٣ ܧᦙ，
∴tanסܣܤܪൌ
ܣܪ
ܣܤ，
∴ܣܪൌܣܥൌʹǤ͹ 米，
邻居移动后（如图Ͷ）：
סܥܤܲ
ൌסܣܤܥt סܣܤܲ
ൌ͵͹ι t ͺι ൌͶൌι ，
由科学原理可得，סܥܤܲ
ൌסܪԢܤܲ
ൌͶൌι，
∴סܪԢܤܣൌൌ͵ι，סܣܪԢܤൌ͵͹ι，
∵ܣܤ٣ ܧᦙ
∴tanסܣܪԢܤൌ
ܣܤ
ܣܪԢ，
∴ܣܪԢ ൌͶǤͺ 米，
∴ܣܪԢ െܣܪൌʹǤͳ 米，
答：邻居移动的距离ܪܪԢ约为ʹǤͳ 米．
20．
【详解】（1）解：过点ܤ作ܤܦ٣ ܣܥ于点ܦ，
∵ܣܤൌܤܥ，סܣܤܥൌߙ，ܣܥൌͳǤ㜠，
20 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∴סܣܤܦൌ
ߙ
ʹ，ܣܦൌܥܦൌ晦Ǥͺ，
在Rt ᇞܣܤܦ中，tanסܣܤܦൌtan
ߙ
ʹ ൌ
ܣܦ
ܤܦൌ
晦Ǥͺ
ܤܦ，
∵tan
ߙ
ʹ ൌ
ͺ
ͳൌ，
∴
晦Ǥͺ
ܤܦൌ
ͺ
ͳൌ，
解得ܤܦൌͳǤൌ，
∴在Rt ᇞܣܤܦ中，סܣܦܤൌ耀晦ι，
∴ܣܤൌ
ܣܦʹ t ܤܦʹ ൌ
晦Ǥͺʹ t ͳǤൌʹ ൌͳǤ͹，
∴ܤܥൌܣܤൌͳǤ͹，
∴所需挡雨板的面积为ܵ
ൌܣܣͳ ൈܤܥൌ͵ ൈͳǤ͹ ൌൌǤͳ（平方米）．
（2）连接ܱ
ܤ，
若סܤܱ香ൌൌ͵ι，
∵ܤܦ与ܱ
香平行，
则在Rt ᇞܤܱܦ中，סܱܤܦൌൌ͵ι，
∴cosൌ͵ι ൌ
ܤܦܱ
ܤൌ
ͳǤൌܱ
ܤൌ晦Ǥ㜠，
∴ܱܤൌʹǤൌ，
∴ܱܦൌܱ
ܤʹ െܤܦʹ ൌ
ʹǤൌʹ െͳǤൌʹ ൌʹ，
∴ܱܣൌܱ
ܦെܣܦൌʹ െ晦Ǥͺ ൌͳǤʹ（米），
∴点A 离地面距离不能超过ͳǤʹ 米．
21．
【详解】（1）解：∵ᇞܣܤܥ是差直角三角形，סܣൌͳʹ晦ι，סܣെסܤൌ耀晦ι
∴סܤൌ͵晦ι，
∴sinܤൌsin͵晦ι ൌ
ͳ
ʹ；
21 / 34
学科网（北京）股份有限公司
（2）证明：׶ ܣܦ是ᇞܣܤܥ的平分线，
׵ סܤܣܦൌסܥܣܦ，
׶ סܤܦܣൌסܥt סܥܣܦൌ耀晦ι t סܥܣܦ，
׵ סܤܦܣൌ耀晦ι t סܤܣܦ，即סܤܦܣെסܤܣܦൌ耀晦ι
׵ᇞܣܤܦ是差直角三角形．
（3）解：如图，作ܣܧ٣ ܤܥ于ܧ，过点ܦ作ܦᦙ٣ ܤܥ交ܣܤ于ᦙ，
׶ ܣܤൌܣܥ，ܤܥൌͺ，
׵ ܤܧൌͳ
ʹ ܤܥൌͶ
׶在Rt ᇞܣܤܧ中，tanB ൌ
͵
Ͷ，
׵
ܣܧ
Ͷ ൌ
͵
Ͷ，
解得ܣܧൌ͵，
在Rt ᇞܣܤܧ中，由勾股定理得ܣܤൌൌ；
①当סܣܦܤെסܣܤܦൌ耀晦ι 时，סܣܦᦙൌסܣܦܤെסܤܦᦙൌסܣܦܤെ耀晦ι ൌסܣܤܦ，
׶ סܤܣܦൌסܦܣܤ，
׵ᇞܣܦᦙ∽ᇞܣܤܦ
׵
ܣܦ
ܣܤൌ
ܦᦙ
ܤܦ
׶ Rt ᇞܤܦᦙ中，tanܤൌ
ܦᦙ
ܤܦൌ
͵
Ͷ
׵
ܣܦ
ൌൌ
͵
Ͷ
解得，ܣܦൌ
ͳൌ
Ͷ
②当סܣܦܤെסܤܣܦൌ耀晦ι 时，סܣܦᦙൌסܣܦܤെסܤܦᦙൌסܣܦܤെ耀晦ι ൌסܤܣܦ，
׵ ᦙܦൌܣᦙ
׶ Rt ᇞܤܦᦙ中，tanܤൌ
ܦᦙ
ܦܤൌ
͵
Ͷ
设ܦᦙൌ͵ܽ，ܦܤൌͶܽ，
׵ ܤᦙൌ
ܤܦʹ t ᦙܦʹ ൌൌܽ
∵ܤᦙൌܣܤെܣᦙൌܣܤെܦᦙൌൌെ͵ܽ
22 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∴ൌܽ
ൌൌെ͵ܽ
解得：ܽ
ൌ
ൌ
ͺ
׵ ܤܦൌ
ൌ
ʹ，
׵ ܦܧൌܤܧെܤܦൌͶ െ
ൌ
ʹ ൌ
͵
ʹ
由勾股定理得ܣܦൌ
ܣܧʹ t ܦܧʹ ൌ
͵ʹ t
͵
ʹ
ʹ
ൌ
͵ ൌ
ʹ ，
综上所述，ܣܦൌ
ͳൌ
Ͷ 或
͵ ൌ
ʹ
22．
【详解】（1）解：菱形ܣܤܥܦ，
∴ܣܦצ ܤܥ，
∴סܥܤܣൌסܪܣܤԢ，
∵ܤܥ与ܤԢܥԢ关于直线ܧᦙ对称，
∴四边形ܤܥܭܧ和四边形ܤԢܥԢܭܧ也关于直线ܧᦙ对称，如图，
∴ܤԢܧൌܤܧ,סܥܤܣൌסܣܤԢܪ，
∴סܣܤԢܪൌסܪܣܤԢ，
∵ܤܧൌʹܣܧ，
∴ܤԢܧൌʹܣܧ，
∴ܣܤԢ ൌܣܧ，
∵ܣܧൌܣܪ，
∴ܣܤԢ ൌܣܪ，
在ᇞܣܤԢܪ中，
∴סܣܤԢܪൌסܣܪܤԢ，
∵סܣܤԢܪൌסܪܣܤԢ，
∴סܣܤԢܪൌסܣܪܤԢ ൌסܪܣܤԢ，
23 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∴סܪܣܤԢ ൌ㜠晦ι，
∵סܤܣܦt סܪܣܤԢ ൌͳͺ晦ι，
∴סܤܣܦൌͳͺ晦ι െסܪܣܤԢ，
∴סܤܣܦൌͳͺ晦ι െ㜠晦ι ൌͳʹ晦ι．
（2）解：当点ܥ与对应点ܥԢ重合时，ܤܥ与ܤԢܥԢ关于直线ܧᦙ对称
∴ܧᦙ为ܤܤԢ垂直平分线，
∴סܤܧܥൌ耀晦ι，ᇞܤܧܥ和ᇞܤܧᦙ为直角三角形，
∴ᇞܥܤܧ، ᇞܥܤԢܧ，
∴ܤԢܧൌܤܧ，ܥܤԢ ൌܥܤ，
∵ܤܧൌʹܣܧ，设ܣܧൌܽ
，
∴ܤԢܧൌܤܧൌʹܽ，
∴ܤܤԢ ൌͶܽ，ܣܤൌܣܦൌܦܥൌܤܥൌ͵ܽ，
在Rt ᇞܤܧܥ中，ܤܧൌʹܽ，ܤܥൌ͵ܽ，根据勾股定理得ܧܥൌ
ܤܥʹ െܤܧʹ，
∴ܧܥൌ
耀ܽʹ െͶܽʹ ൌ
ൌܽ，
∵菱形ܣܤܥܦ，
∴ܣܤצ ܦܥ，
∴סܣܤܦൌסܥܦܤ，
∴ᇞᦙܤܧ∽ᇞᦙܦܥ，ᇞܩܤܤԢ ∽ᇞܩܦܥ，
∴
ܤᦙ
ܦᦙൌ
ܧᦙ
ܥᦙൌ
ܤܧ
ܦܥ，
ܩܤ
ܩܦൌ
ܩܤԢ
ܩܥൌ
ܤܤԢ
ܦܥ，
∵ܧܥൌ
ൌܽ，
∴
ܧᦙ
ൌܽെܧᦙൌ
ʹܽ
͵ܽ，
解得ܧᦙൌ
ʹ
ൌ
ൌܽ，
在ܴ
ݐᇞܤܧᦙ,ܧᦙൌ
ʹ
ൌ
ൌܽ,ܤܧൌʹܽ，根据勾股定理得ܤᦙൌ
ܤܧʹ t ܧᦙʹ，
∴ܤᦙൌ
Ͷܽʹ t
Ͷ
ൌܽ
ʹ ൌ
ʹ
ൌ
͵晦ܽ，
∵
ܤᦙ
ܦᦙൌ
ܤܧ
ܦܥ，
∴
ܤᦙ
ܤܦെܤᦙൌ
ʹ
͵，
∴ܤܦൌ
͵晦ܽ，
24 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∵
ܩܤ
ܩܦൌ
ܤܤԢ
ܦܥ，
∵ܩܦൌܤܦെܩܤ，
∴
ܩܤ
ܤܦെܩܤൌ
ܤܤԢ
ܦܥ，
∴
ܩܤ
͵晦ܽെܩܤൌ
Ͷܽ
͵ܽ，
解得ܩܤൌ
Ͷ
͹
͵晦ܽ，
∵ᦙܩൌܩܤെܤᦙ，
∴ᦙܩൌ
Ͷ
͹
͵晦ܽെ
ʹ
ൌ
͵晦ܽ
ൌ
㜠
͵ൌ
͵晦ܽ，
连接菱形对角线ܣܥ交ܤܦ于点ܱ
，如图，
∴ܣܥ٣ ܤܦ，ܱܤൌܱ
ܦൌ
ͳ
ʹ ܤܦൌ
͵晦
ʹܽ
，ܱܣൌܱ
ܥൌ
ͳ
ʹ ܣܥ，
在ܴ
ݐᇞܣܱܤ中，ܣܤൌ͵ܽ，ܱܤൌ
͵晦
ʹܽ
，根据勾股定理得ܱ
ܣൌ
ܣܤʹ െܱ
ܤʹ，
∴ܱܣൌ
耀ܽʹ െ
͵晦ܽ
Ͷ
ʹ
ൌ
㜠
ʹܽ
，
∴ܣܥൌ
㜠ܽ，
∴菱形ܣܤܥܦ面积ܵͳ ൌ
ͳ
ʹ ܣܥ൉ܤܦൌ
ͳ
ʹ
㜠ܽൈ
͵晦ܽ
ൌ͵ ൌܽʹ，
∴ᇞܥᦙܩ面积ܵʹ ൌ
ͳ
ʹ ᦙܩ൉ܱܥൌ
ͳ
ʹ ൈ
㜠
͵ൌ
͵晦ܽൈ
㜠
ʹܽ
ൌ
耀ൌ
͵ൌܽ
ʹ，
∴ᇞܥᦙܩ与菱形ܣܤܥܦ的面积之比ܵʹܵ
ͳ ൌ
耀ൌ
͵ൌܽ
ʹ
͵ ൌܽʹ ൌ
͵
͵ൌ．
（3）解：设סܣܤܥൌߙ，
∵ܣܧൌͳ，ܤܧൌʹܣܧ，
∴ܤܧൌʹ，ܣܤൌ͵，
设סܣܤܥൌߙ，
∵ܤԢܧൌܤܧൌʹ，
∴ܣܤԢ ൌͳ，
25 / 34
学科网（北京）股份有限公司
在ᇞܣܤԢܪ中，过点ܪ作ܪ�٣ ܣܤԢ交ܣܤԢ于点�，
∴ܣ�ൌ
ͳ
ʹ，
∵סܣܤܥൌסܤԢܣܦൌߙ，
∵cosסܤԢܣܦൌcosߙൌ
ͳ
ʹ
ܣܪ，
∴ܣܪൌ
ͳ
ʹcosߙ，
∴ܦܪൌܣܦെܣܪൌ͵ െ
ͳ
ʹcosߙ，
∵ᇞܪܤԢܣ∽ᇞܪܥԢܦ，
∴
ܣܤԢ
ܥԢܦൌ
ܣܪ
ܦܪ，
∴
ͳ
ܥԢܦൌ
ͳ
ʹcosߙ
͵െ
ͳ
ʹcosߙ
，
∴ܥԢܦൌ㜠cosߙെͳ，
∵ᇞܩܦܥԢ ∽ᇞܩܤܤԢ，
∴
ܩܥԢ
ܩܤԢ ൌ
ܦܥԢ
ܤܤԢ，
∵ܩܤԢ ൌܤԢܥԢ െܩܥԢ，
∴ܩܤԢ ൌ͵ െܩܥԢ，
∴
ܩܥԢ
͵െܩܥԢ ൌ
㜠cosߙെͳ
Ͷ
，
解得ܥԢܩൌ͵ െ
Ͷ
ʹcosߙtͳ，
∴ܦܪെܥԢܩൌ͵ െ
ͳ
ʹcosߙെ͵ െ
Ͷ
ʹcosߙtͳ ൌ
Ͷ
ʹcosߙtͳ െ
ͳ
ʹcosߙ，
设ݕൌܦܪെܥԢܩ，cosߙൌݔ，
∴ݕൌܦܪെܥԢܩൌ
Ͷ
ʹݔtͳ െ
ͳ
ʹݔ，整理得ݕൌ
㜠ݔെͳ
ʹݔtͳ ʹݔ，
ʹݔt ͳ ʹݔ൉ݕൌ㜠ݔെͳ，整理得Ͷݕݔʹ t ʹݕെ㜠ݔt ͳ ൌ晦关于ݔ的一元二次方程，
∵ݕ要有最大值，方程要有实数根，
26 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∴Δ ൌܾ
ʹ െͶܽ䁩ൌʹݕെ㜠ʹ െͶ ൈͶݕൈͳ ൒晦，
∴ݕʹ െͳ晦ݕt 耀൒晦，
∴ݕെͳ
ݕെ耀൒晦，
∴ݕെͳ ൑晦
ݕെ耀൑晦或ݕെͳ ൒晦
ݕെ耀൒晦，
∴ݕ൑ͳ 或ݕ൒耀，
∵晦ι ൏ߙ൏ͳͺ晦ι，即晦ι ൏סܣܤܥ൏ͳͺ晦ι，
∴cosߙ൏ͳ，
∴ݔ൏ͳ，
∴ݕൌ
Ͷ
ʹݔtͳ െ
ͳ
ʹݔ൒耀不符合题意舍去，
∴ݕ൑ͳ，
∴ݕൌܦܪെܥԢܩ最大值为ͳ．
23．
【详解】（1）解：∵ᇞܣܤܥ是等边三角形，
∴סܤܣܥൌסܣܥܤൌ㜠晦ι，ܣܤൌܣܥൌܤܥൌͶ，
∵ܦ是ܤܥ边上的中点，
∴ܣܦ٣ ܤܥ，סܥܣܦൌ
ͳ
ʹ סܤܣܥൌ͵晦ι，
∴סܣܦܥൌ耀晦ι，
∵ܥᦙ为סܣܥܤ的平分线，
∴סܣܥᦙൌסܤܥᦙൌ͵晦ι，
∴סܣܥᦙൌסܥܣܦ，
∴ܣᦙൌܥᦙ，
在Rt ᇞܥܦᦙ中，סܤܥᦙൌ͵晦ι，סܣܦܥൌ耀晦ι，
∴ܦᦙൌ
ͳ
ʹ ܥᦙൌ
ͳ
ʹ ܣᦙ，
∴
ܣᦙ
ܣܦൌ
ʹ
͵，
∵线段ܧᦙ绕点ܧ顺时针旋转ͳʹ晦ι得到线段ܧܩ，
又∵点ܧ与点ܥ重合，
∴ܥᦙൌܥܩ，סᦙܥܩൌͳʹ晦ι，
∴סܥᦙܩൌסܥܩᦙൌ
ͳͺ晦ιെסᦙܥܩ
ʹ
ൌ͵晦ι，
27 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∵סܥᦙܩൌ͵晦ι ൌסܤܥᦙ，
∴ᦙܲ
צ ܤܥ，
∴סܣᦙܲ
ൌסܣܦܥ㠮סܣܲᦙൌסܣܥܦ，
∴ᇞܣᦙܲ
∽ᇞܣܦܥ，
∴
ܣܲ
ܣܥൌ
ܣᦙ
ܣܦൌ
ʹ
͵，
∴ܣܲ
ൌ
ʹ
͵ ܣܥൌ
ͺ
͵；
（2）证明：如图，在射线ܣܦ上取点ܪ，使得סܣܧܪൌͳʹ晦ι，作ܧܫ٣ ܣܪ于点ܫ，
∵ᇞܣܤܥ是等边三角形，D 是ܤܥ边上的中点，
∴סܤܣܦൌסܥܣܦൌ͵晦ι，
∵סܣܧܪൌͳʹ晦ι，
∴סܪൌͳͺ晦ι െסܣܧܪെסܥܣܦൌ͵晦ι，
∴סܪൌסܥܣܦൌסܤܣܦ，
∴ܣܧൌܧܪ，ܣܤצ ܧܪ，
∴סܣ香ᦙൌסܪܧᦙ，
∵ܧܫ٣ ܣܪ，
∴ܣܫൌܪܫൌ
ͳ
ʹ ܣܪ，סܣܫܧൌ耀晦ι，
在Rt ᇞܣܧܫ中，ܣܫൌܣܧڄ cosסܥܣܦൌܣܧڄ cos͵晦ι ൌ
͵
ʹ ܣܧ，
∴ܣܪൌʹܣܫൌ
͵ܣܧ，
∵线段ܧᦙ绕点ܧ顺时针旋转ͳʹ晦ι得到线段ܧܩ，
∴ܧᦙൌܧܩ，סᦙܧܩൌͳʹ晦ι，
∵סᦙܧܩൌסܣܧᦙt סܣܧܩൌͳʹ晦ι，סܣܧܪൌסܣܧᦙt סܪܧᦙൌͳʹ晦ι，
∴סܣܧܩൌסܪܧᦙൌסܣ香ᦙ，
28 / 34
学科网（北京）股份有限公司
在ᇞܣܧܩ和ᇞܪܧᦙ中，
ܧܩൌܧᦙ
סܣܧܩൌסܪܧᦙ
ܣܧൌܧܪ
，
∴ᇞܣܧܩ، ᇞܪܧᦙSAS ，
∴סܧܣܩൌסܪൌסܤܣܦ，ܣܩൌܪᦙ，
∵סܣܩ�ൌסܣܧܩ，
∴סܣܩ�ൌסܣ香ᦙ，
在ᇞܣܩ�和ᇞܣ香ᦙ中，
סܣܩ�ൌסܣ香ᦙ
סܧܣܩൌסܤܣܦ
ܣ�ൌܣᦙ
，
∴ᇞܣܩ�، ᇞܣ香ᦙAAS ，
∴ܣ香ൌܣܩൌܪᦙ，
∴ܣܪൌܪᦙt ܣᦙൌܣ香t ܣᦙ，
∵ܣܪൌ
͵ܣܧ，
∴ܣ香t ܣᦙൌ
͵ܣܧ；
(3)证明：如图，过点ᦙ分别作ܣܤ、ܣܥ的垂线，垂足为ܬ、ܭ，
∵ᇞܣܤܥ是等边三角形，
∴סܤܣܥൌ㜠晦ι，
∴סܣ香ܧൌͳͺ晦ι െסܣܧᦙെסܤܣܥൌͳʹ晦ι െߙ，
∵点ܦ为ܤܥ的中点，
∴ܣܦ平分סܤܣܥ，
∵ᦙܬ٣ ܣܤ，ᦙܭ٣ ܣܥ，
∴ᦙܬൌᦙܭ，סᦙܬ香ൌסᦙܭܧൌ耀晦ι，
在Rt ᇞᦙܬ香中，ᦙܬൌᦙ香ڄ sinסܣ香ܧൌᦙ香ڄ sin ͳʹ晦ι െߙ，
在Rt ᇞᦙܭܧ中，ᦙܭൌܧᦙڄ sinסܣܧᦙൌܧᦙڄ sinߙ，
29 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∴ܧᦙڄ sinߙൌᦙ香ڄ sin ͳʹ晦ι െߙ，
∴
ܧᦙ
香ᦙൌ
sin ͳʹ晦ιെߙ
sinߙ
．
24．
【详解】（1）解：∵当点ܧ与点ᦙ重合时，ܣܧൌܤᦙ．
∴ܣܧൌܤܧൌ
ͳ
ʹ ܣܤൌ
ൌ
ʹ，
∵סܣܤܥൌ耀晦ι，
∴tanסܧܥܤൌ
ܤܧ
ܤܥൌ
ൌ
ʹ ൊͶ ൌ
ൌ
ͺ，
又∵ܥܧ平分סܤܥܦ，即סܧܥܦൌסܧܥܤ，
∴tanסܧܥܦൌtanסܧܥܤൌ
ൌ
ͺ．
（2）解：①过点ܦ作ܦܪ٣ ܧܥ，垂足为ܪ，延长ܥܧ交ܦܣ延长线于香，如图͵ െͳ，
∵ܣܤൌൌ，ܧᦙൌ
ൌ
͵，ܣܧൌܤᦙ，
∴ܣܧൌܤᦙൌ
ͳ
ʹ ൈሺൌെ
ൌ
͵ ሻൌ
ൌ
͵，
∴ܤܧൌ
ͳ晦
͵ ，
∵סܣܤܥൌ耀晦ι，ܣܦצ ܤܥ，
∴סܧܥܤൌס香，ܧܥൌ
ܤܧʹ t ܤܥʹ ൌ
ሺ
ͳ晦
͵ ሻʹ t Ͷʹ ൌ
ʹ
͵
㜠ͳ，
∴tanס香ൌtanסܧܥܤൌ
ܤܧ
ܤܥൌ
ͳ晦
͵
Ͷ ൌ
ൌ
㜠，cosס香ൌcosסܧܥܤൌ
ܤܥ
ܧܥൌ
Ͷ
ʹ
͵ 㜠ͳ ൌ
㜠㜠ͳ
㜠ͳ ，
∴在Rt ᇞܣܧ香中，ܣ香ൌ
ܣܧ
tanס香ൌ
ൌ
͵ ൊ
ൌ
㜠ൌʹ，
30 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∴香ܧൌ
ܣܧʹ t ܣ香ʹ ൌ
ሺ
ൌ
͵ ሻʹ t ʹʹ ൌ
㜠ͳ
͵ ，
∴ܥ香ൌ香ܧt ܥܧൌ
㜠ͳ
͵ t
ʹ 㜠ͳ
͵
ൌ
㜠ͳ，
又∵ܥܧ平分סܤܥܦ，即סܧܥܦൌסܧܥܤ，
∴סܧܥܦൌסܧܥܤൌס香，
∴ܦ香ൌܥܦ，
∵ܦܪ٣ ܥܧ，
∴香ܪൌ
ͳ
ʹ 香ܥൌ
㜠ͳ
ʹ ，
∴在Rt ᇞܦܪ香中，ܦܪൌ香ܪtanס香ൌ
㜠ͳ
ʹ ൈ
ൌ
㜠ൌ
ൌ㜠ͳ
ͳʹ ，
香ܦൌ
香ܪ
cosס香ൌ
㜠ͳ
ʹ ൊ
㜠㜠ͳ
㜠ͳ ൌ
㜠ͳ
ͳʹ，
∴ܣܦൌ香ܦെܣ香ൌ
㜠ͳ
ͳʹ െʹ ൌ
͵͹
ͳʹ，
②延长ܥܤ到ܭ，使ܭܤൌܣܦ，连接ᦙܭ、ܩܭ，作ܩ�٣ ܤܥ垂足为�，如图͵ െʹ，
∵ܣܦצ ܤܥ，סܣܤܥൌ耀晦ι，
∴סܣൌסᦙܤܭൌ耀晦ι，
又∵ܣܧൌܤᦙ，
∴ᇞܣܦܧ، ᇞܤܭᦙSAS ，
∴ᦙܭൌܧܦ，
∵ᦙܭt ᦙܩ൒ܭܩ，
∴ܦܧt ᦙܩ൒ܭܩ，
当ܭ、ᦙ、ܩ三点公共线时，等号成立，ܦܧt ᦙܩ取最小值，最小值为ܭܩ，
如图͵ െ͵ 所示，当ܣܦൌܣܧ时，
31 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∵סܣൌ耀晦ι，
∴סܣܧܦൌͶൌι，
∴ܣܦൌܣܧൌܤᦙ，
又∵ܣܤൌܣᦙt ܤᦙൌܣᦙt ܣܧൌܣᦙt ܣܦൌൌ，ܣܦt ܣܩൌൌ
∴ܣᦙൌܣܩ，
∴סܣᦙܩൌͶൌι，
又∵ᇞܣܦܧ، ᇞܤܭᦙ，
∴סܭᦙܤൌͶൌι，
∴סܣᦙܭt סܭᦙܤൌסܣᦙܭt סܣᦙܩൌͳͺ晦ι，
∴ܭ、ᦙ、ܩ三点公共线．
∵�ܩ٣ ܤܥ，
∴四边形ܣܤ�ܩ是矩形，
∴�ܩൌܣܤൌൌ，ܣܩൌܤ�，
∵ܣܩt ܣܦൌൌ，
∴�ܭൌܤ�t ܭܤൌܣܩt ܣܦൌൌ，
∴ܭܩൌ
ܭ�ʹ t �ܩʹ ൌ
ൌʹ t ൌʹ ൌൌʹ．
∴ܦܧt ᦙܩ的最小值为ൌʹ．
25．【详解】（1）解：如图，连接ܤܦ交ܣܥ于ܱ
，
32 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∵在菱形ܣܤܥܦ中，对角线ܣܥൌʹ ͵，סܦܣܤൌ㜠晦ι，
∴ܣܤൌܤܥൌܥܦൌܣܦ，ܣܥ٣ ܤܦ，ܱܣൌܱ
ܥൌ
͵，ᇞܣܤܦ是等边三角形，
∴סܤܣܱ
ൌסܦܣܱ
ൌ͵晦ι，
∴ܣܤൌ
ܣܱ
cos͵晦ι ൌ
͵
͵
ʹ
ൌʹ.
（2）证明：如图，记ܤ䳌与ܣܥ的交点为ܭ，
∵ܤ䳌٣ ܣܤ，
∴סܣܤܭൌ耀晦ι，
׶ סܤܣܱ
ൌ͵晦ι，
∴סܣܭܤൌ㜠晦ι，
由对折可得：ס䳌ൌסܦܣܤൌ㜠晦ι，
∴סܣܭܤൌס䳌，
∴ܲ䳌צܣܥ.
（3）解：①记ܤ䳌与ܣܦ的交点为ܶ
，ܲ䳌与ܣܤ的交点为ܴ
，
当点P 在边ܣܦ上，且ܲ
䳌٣ ܣܤ时，
∴ס䳌ܲܶ
ൌסܣܴܲ
ൌ耀晦ι െ㜠晦ι ൌ͵晦ι，
由对折可得：סܲ䳌ܤൌסܲܣܤൌ㜠晦ι，סܣܤܲ
ൌס䳌ܤܲ，
∴סܲܶ
䳌ൌ耀晦ι ൌסܲܶ
ܤൌסܴܲ
ܤ，
∵ᇞܣܤܦ为等边三角形，
∴ܣܶ
ൌܦܶ
ൌ
ͳ
ʹ ܣܦൌ
ͳ
ʹ ܣܤൌͳ，
∵ܤܲ
ൌܤܲ，
33 / 34
学科网（北京）股份有限公司
∴ᇞܲ
ܤܴ، ᇞܲ
ܤܶ
AAS ，
∴ܲܶ
ൌܴܲ
，
设ܣܴ
ൌ〮，则ܣܲ
ൌʹ〮，ܴܲ
ൌ
ܣܲ
ʹ െܣܴ
ʹ ൌ
͵〮，
∴ܲܶ
ൌܴܲ
ൌ
͵〮，
∴ʹ〮t
͵〮ൌͳ，
解得：〮ൌʹ െ
͵，
∴ܣܲ
ൌʹ〮ൌͶ െʹ ͵；
②如图，作ܧ关于ܲ
ܤ的对称点�，连接ܤ�，
结合①同理可得：סܲ䳌ܤൌסܲܣܤൌ㜠晦ι，ס䳌ܲܶ
ൌסܣܴܲ
，סܲܤ䳌ൌסܲܤܣ，
∵סܤܶܲ
ൌסܲ䳌ܤt ס䳌ܲܶ
，סܴܲ
ܤൌסܲܣܤt סܣܴܲ
，
∴סܲܶ
ܤൌסܴܲ
ܤ，
∵ܲܤൌܲ
ܤ，
∴ᇞܲ
ܤܴ، ᇞܲ
ܤܶ
AAS ，
∴ܴܲ
ൌܲܶ
，ܧ的对称点�在ܲܶ
上，ܤ�ൌܤܧ，
∴当ܤ�٣ ܣܦ时，ܤ�最小，ܤܧ最小，
此时ܤܧൌܤ�ൌܣܤڄ cos͵晦ι ൌ
͵，
过ܧ作ܧ香٣ ܣܤ于香，设ܧ香ൌ݊
，而סܥܣܤൌ͵晦ι，
∴ܣܧൌʹ݊，ܣ香ൌ
͵݊，
∴ܤ香ൌʹ െ
͵݊，
∴݊
ʹ t ʹ െ
͵݊
ʹ ൌ
͵
ʹ，
解得：݊
ൌ
͵t ʹ
ʹ
（舍去），或݊
ൌ
͵െʹ
ʹ
，
∴ܣܧൌʹ݊
ൌ
͵ െ
ʹ；
如图，当ܲ
在ܦ的上方时，作ܧ关于ܲ
ܤ的对称点�，连接ܤ�，
34 / 34
学科网（北京）股份有限公司
同理可得：此时ܤܧൌܤ�ൌ
͵时最小，过ܧ作ܧ香٣ ܥܤ于香，设ܧ香ൌ݊
，
同理可得：ܥܧൌ
͵ െ
ʹ，
此时ܣܧൌܣܥെܥܧൌʹ ͵ െ
͵ െ
ʹ ൌ
͵ t
ʹ，
综上：当ܤܧ取得最小值时，ܣܧ的长为͵ െ
ʹ或͵ t
ʹ.