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28.2.1 解直角三角形
基础篇
一、单选题：
1．在 中， ， ， ，下列四个选项，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出 的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】解：如图，根据勾股定理得： ，
∴ ， ， ， ，
∴C正确，A、B、D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键．
2．在Rt 中， ，如果 ， ，那么AC的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】如图：在Rt 中，AC ．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系．
3．如图，菱形 中，对角线 ， ， ．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由菱形的性质得出 ， ， ，由勾股定理求出 ，根据锐角
三角函数的定义可得出答案．
【详解】解：如图， 与 交于点 ，
四边形 是菱形， ， ，
， ， ，
，
， ， ，
故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是本题的关键．
4．如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点 ，则线段 的
长为（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【分析】过点 作 的垂线，垂足分别为 ，在 ， 中，求得 的长，进而证
明 是等腰三角形，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 的垂线，垂足分别为 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选:B．【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角
形划分为直角三角形．
5．如图，在 中， 于D，如果 ，E为 的中点，那么
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ， 求出 长度，再由勾股定理求出 ，再由勾股定理求出 ，由直角三
角形斜边上的中线等于斜边一半可得 ，即 ．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵E为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法，掌握直角三角形斜边上的中
线长度等于斜边的一半．6．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 的图象上，第二象限的点B在反比例函数 的图
象上，且 ，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作 轴于C， 轴于D，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到 ，再根据
正切的意义得到 ，接着证明 ，利用相似三角形的性质得
，所以 ，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【详解】解：作 轴于C， 轴于D，如图，
则 ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
而 ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 （k为常数， ）的图象是双
曲线，图象上的点 的横纵坐标的积是定值k，即 ．也考查了相似三角形的判定与性质．
7．将矩形纸片 ，按如图所示的方式向上折叠，当折痕 与 边的夹角为 ， 时，
图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形对边平行的性质与折叠的性质推出 ，得到 ，过点F作 ，
结合矩形 角的性质推出四边形 是矩形，得到 ，根据正弦定义推出
，根据三角形面积公式求出阴影部分面积 ．
【详解】∵矩形 中， ，
∴ ，
由折叠知， ，
∴ ，
∴ ，
过点F作 于点G，
则 ，∵ ，
∴四边形DAGF是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形折叠，正弦，三角形面积等，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，折叠性
质，正弦定义，三角形面积公式．
二、填空题：
8．在 中， ， ， ，则 ___________．
【答案】
【分析】根据正切的定义得 ，则可设 ，利用勾股定理计算出 ，可
求出t，即可．
【详解】解：如图，∵ ，
∴设 ，
∴ ，
∵ ，
∴
解得： ，
即 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角
形．
9．已知在 中， 、 是锐角，且 ， ， ，则 的面积等于 __
．
【答案】220
【分析】过点 作 的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中 ， 和 的长，
用三角形的面积公式求出三角形的面积．
【详解】解：如图：
过点 作 的垂线，垂足为点 ．
，
设 ， ，
，
可设 ， ，
，，
，
由 ，得 ，
则
故 ．
故答案是：220
【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键．
10．如图：两张宽度都为 的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重
叠（阴影）部分的面积表示为 _____．
【答案】
【分析】过点 作 于点E．由题意即得出四边形 为菱形，从而得出 ，
．再根据正弦的定义可求出 ，最后由菱形的面积公式计算即可．
【详解】如图，过点 作 于点E．
由题意可知四边形 为菱形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，解直角三角形．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关
键．
11．如图，点 ， ，点 是 一点，若 ，则 的面积为______．
【答案】3
【分析】根据点 和点 的坐标，得到 和 的长度，根据角相等，得到正切值相等，再得到 长度，
最后求出 的面积．
【详解】解：由题意可知，
， ， ，
，
，
，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查坐标与图形性质和三角函数的定义，掌握锐角正切三家函数的定义是关键．
12．如图，线段 与 相切于点C，连接 、 ， 交 于点D，已知 ，
，则图中阴影部分的面积为_______ ．【答案】
【分析】连接 ．由切线的定义得 ，由等腰三角形“三线合一”得 ，
利用勾股定理求出 ，进而求出 ；计算出 的正切值，求出 ，进而求出 ，再求
出扇形的面积，则阴影部分的面积等于 的面积减去扇形的面积．
【详解】解：如图，连接 ．
线段 与 相切于点C，
，
， ，
，
在 中， ，
，
．
，
，
，．
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查扇形的面积公式，等腰三角形的性质，切线的定义，勾股定理，特殊角的三角函数等，
涉及知识点较多，难度不大，解题的关键是得出阴影部分的面积等于 的面积减去扇形的面积．
13．如图，反比例函数 在第一象限的图象上一点 ， 在 轴上，点 的纵坐标为1，若
， 的面积是 ，则 的值是______．
【答案】
【分析】作 轴于点H，则 ，由 的面积是 可得 长，再由 可得
，解直角三角形 即可解得 ，从而求出点E的坐标，进而求解．
【详解】解：作 轴于点H，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E在反比例函数 的图象上，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及解直角三角形
的方法．
14．如图，△ABC中， ，垂足H在BC边上，如果 ， ， ，那么 ___
（用含 和 的式子表示）．
【答案】
【分析】先在 中由 求出 ，再在 中由 求出 ．
【详解】∵ ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，在 中， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形，准确的选择合适的三角函数是解题的关键．
三、解答题：
15．如图，在 中，已知 ， ， ，解这个直角三角形．
【答案】 ， ，
【详解】
解：在 中，
∵ ， ， ，
∴
∵
∴
∴
16．如图， 是锐角三角形， ， ， ，求 和 的值．【答案】 ，
【分析】过 作 于点 ，利用面积公式求出高 的长，从而求出 、 的长，再根据勾股
定理求出 的长，之后直接解直角三角函数求 和 即可．
【详解】过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查三角函数，注意辅助线的添加法和面积公式，解直角三角形公式的灵活应用．
17．如图，在 中， ， ， ，求 长．【答案】
【分析】过点A作 ，构造两个直角三角形，再利用三角函数解直角三角形即可求得BC的长度．
【详解】解：过点A作 ，垂足为
在 中， ，
，
在 中，
长为
【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，掌握利用三角函数求线段长度的方法是解决本题的关键．
提升篇
1．如图，点E是矩形 中 边上一点， 沿 折叠为 ，点F落在 上．若
，则 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知 ，故可设 ，则 ．再根据折叠的性质可知
， ， ，从而可求出 ．又易证 ，即得出
，即又可设 ，则 ．根据勾股定理可求出 ，从而可求出
，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】∵ ，
∴ ．
设 ，则 ．
由折叠的性质可知 ， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
设 ，则 ．∵ ，即 ，
∴ （舍去负值），
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．
2．如图，在 中， ，点O在 上，经过点A的 与 相切于点D，交
于点E，若 则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点O作 ，可得 ，可得四边形 是矩形，进而可得
，在 和 中，利用锐角三角函数的定义求出 和 的长，最后根据面积
公式，进行计算即可解答．
【详解】解：连接 ，过点O作 ，垂足为F，∴ ，
∵ 与 相切于点D，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴阴影部分面积 的面积 扇形 的面积
，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形，三角形和扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结
合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．如图，已知正方形 ，延长 至点E使 ，连接 ， ， 与 交于点N，取 得
中点F，连接 ， ， 交于 于点M，交 于点O，则下列结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】证明 ，根据相似三角形的性质列出比例式，得到 ，故①正确；由直角三
角形的性质可得 ，即可得 ，故②错误；通过证明 ，可得 ，
作 于G，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出 ，可求 ，故③正
确；根据三角形的面积公式计算，可判断④正确，设 ， ，可求 ， ，可得
，故⑤正确；即可求解．
【详解】解：∵四边形 为正方形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，故①正确；
如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，故②错误；
∵ ， ，F是 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图，作 于G，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵F是 的中点，
∴ ，∴ ，故④正确；
∵ ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
故选C．
【点睛】本题是四边形综合题，考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性
质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．在△ABC中， ，AC＝2 ，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为 _____．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论：当AD在△ABC的内部时，当AD在△ABC的外部时，即可求解．
【详解】解：如图，当AD在△ABC的内部时，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在 中，∠ACD＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AC＝2 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，∴AB=4，
∴ ，
∴ ；
如图，当AD在△ABC的外部时，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在 中，∠ACD＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AC＝2 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴AB=4，
∴ ，
∴ ；
综上所述，BC的长为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
5．如图，在 中，D为BC上一点，连接 ，将 沿着 翻折得到 ，E点恰好在
边上且 ，若 ， ，则线段 ___________；【答案】
【分析】过 作 交 的延长线于 ，得到 ，设 ， ，根据折叠的性
质得到 ， ，求得 ，得到 ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过 作 交 的延长线于 ，
，
，
，
，
设 ， ，
将 沿着 翻折得到 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
6．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点
F，若AD=6cm，则∠EAD的正弦值为_____．
【答案】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，再根据折叠的方法可得 ABC≌△AEC， ADF≌△CEF，进
而可得到可知AE=AB=8cm,CE=BC=AD=6cm,再设AF=x,则EF=DF=（△8-x）cm,在Rt AD△F中利用勾股定理
△
可得 ，求得AF的长，再通过勾股定理求得DF的长，最后可得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=6cm,
∴BC=AD=6cm,
∵AB=8cm,
∴ ,
矩形纸片沿直线AC折叠，则 ABC≌△AEC，∠E=∠B=90°，
∵四边形ABCD为矩形， △
∴AD=BC=CE，∠D=∠B=90°，
∴∠E=∠D=90°，
又∵∠AFD=∠EFC，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
可知AE=AB=8cm,CE=BC=AD=6cm,
设AF=x,则EF=DF=（8-x）cm,在Rt ADF中，
△ ，
即： ，
解得x= ．
∴AF= ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质、折叠的对称性、勾股定理及三角形的全等的性质及解直角三角形，
关键是掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．
7．如图，以 的边 上一点O为圆心， 为半径的 经过B点与 交于D点，连接 ，已知
， ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求 ；
(3)设 为 的平分线， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质，以及 即可求出 ，进而求出 ；
（3）根据角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余以及三角形内角和定理可得 ，进而求出
，再根据相似三角形的性质求出 ，由勾股定理求出 ，进而求出半径即可．
【详解】（1）∵
∴
∵ 是 的直径，
∴ ，即
又∵
∴
即
∵ 是 的半径，
∴ 是⊙ 的切线；
（2）∵
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴
（3）如图，过点A作 ，交 的延长线于点N，
∵ 平分∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵ 平分
∴
∴
在 中，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查切线的判定，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方
法，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
