文档内容
28.1.2 余弦、正切
基础篇
一、单选题：
1．在 中，已知 ， ， ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．以上均不正确
【答案】B
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断 的形状，再根据三角函数的定义依次分析各项即可
【详解】∵
∴ 是直角三角形
∴ ， ，
故选：B
【点睛】直角三角形的判定和性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极
为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注
2．如图，在平面直角坐标系内，以坐标原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，其中A点坐标为 ，
为第一象限内圆上一点，连接OP，则 的值为（ ）
A．a B．b C． D．
【答案】A
【分析】由计算 可知，做 于点 ，再结合点的坐标和圆的半径相等，即可求解．
【详解】做 于点点 、点 在以 为圆心的圆上
点 在第一象限，且
故答案选：A．
【点睛】本题主要考查余弦值的求法、圆的性质等知识点，属于基础知识考查，难度不大．解题的关键是
掌握余弦值的求法．
3．如图，在 中， 于D，若 ， ，则 的值为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理证明 ，求 即可．
【详解】解：由勾股定理知， ，
∴ ，根据同角的余角相等， ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题利用了等角进行转换求解，考查三角函数，准确的计算是解决本题的关键．
4．在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】在直角 中，利用勾股定理即可求得 的长，然后根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】如图，
在直角 中， ， ，
∴ ，
则 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直
角三角形的边长的比．
5．如图， 是 的直径， ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同弧所对的圆周角相等， ，所以求出 ，即可．
【详解】解： 为 直径，
，
，
又 （同弧所对圆周角相等）
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理和三角函数的定义，关键在于发现： ，利用转化方法求解．
6．如图，在平面直角坐标系系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函数
在第一象限内的图象交于点 ，连接 ．若 ， ，则 的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2
【答案】C
【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B，
∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∵ ，
∴BD＝2，
∵tan∠BOC ，
∴ ，
∴OD＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
∵反比例函数y 在第一象限内的图象交于点B，
∴ ，
故选C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，根据正切值求边长，解题的关键是仔细审题，能
够求得点B的坐标．
7．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝ ，点D是AB边的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三
△
角形CDE，使∠CDE＝∠A，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据cosA＝ ，求出AB=3AC，由直角三角形斜边上的中线可得CD＝AD＝DB＝ AB，然后证明
△ECD∽△DAC，从而可得 ，整理即可得到解答．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝ ，
∴ ，即AB=3AC，
∵∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，
∴CD＝AD＝DB＝ AB，
∴∠A＝∠DCA，
∵∠CDE＝∠A，
∴∠DCA＝∠CDE，
∵△CDE是等腰三角形，CE=DE，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠ECD=∠A，
∴△ECD∽△DAC，∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定和性质，
熟练掌握直角三角形的性质，灵活选用相似三角形是解题的关键．
二、填空题：
8． 中， ， ，则 的值为______．
【答案】 ##
【分析】根据正切函数的定义，可用 表示 ，根据勾股定理，可得 表示 ，再根据余弦定理，
可得答案．
【详解】解：在 中， ，得 为斜边．
由 ，得 ．
在 中， ，由勾股定理，
得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了互为余角三角函数关系，利用正切函数的定义、勾股定理得出 表示 ， 表示
是解题关键．
9．已知 中， ， ， ，那么 的长是 ___________．
【答案】
【分析】根据余弦的定义：即邻边与斜边的比，进行解答即可．
【详解】在 中，
， ，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知余弦的定义是解本题的关键．
10．如图，在 中， ，点 在 上， ， ，则 的值是
______．
【答案】 ##
【分析】先由 ， ，得到 ，再由勾股定理求出 ，即可求出 的
值．
【详解】解： ， ，
，
，
由勾股定理得： ，
，
故答案为： ．
【点睛】考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记三角函数的定义及勾股定理是解题关键．
11．如图，在 中， ， ， ，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径画
弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交BC于点D，设 ，则 ________．【答案】
【分析】根据勾股定理，结合已知条件，可求得 ，再运用角的余弦的定义求得 ．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，在 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了锐角余弦的定义，准确理解角的余弦的定义是解题的关键．
12．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE＝α，cosα＝ ，AB＝4，AD长为_____．
【答案】
【分析】将已知角度的三角函数转换到所需要的三角形中，得到∠ADE=∠DCE=α，求出AC的值，再由勾
股定理计算即可．
【详解】∵∠ADC=∠AED=90°，∠DAE+∠ADE=∠ADE+∠CDE=90°∴∠DAE =∠CDE
又∵∠DCE+∠CDE=90°
∴∠ADE=∠DCE=α
∴cosα＝ =
又∵矩形ABCD中AB=CD=4
∴AC=
在 中满足勾股定理有
故答案为： ．
【点睛】本题考查了已知余弦长求边长，将已知余弦长转换到所需要的三角形中是解题的关键．
13．如图，点C在线段 上，且 ，分别以 为边在线段 的同侧作正方形
，连接 ，则 ___________．
【答案】 ##0.5
【分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：连接 ，
在正方形 中， ，∴ ，
∵ ，
∴设
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础
题型．
14．如图，在 中， ， ，点D是AB上一点，过D作DE⊥AB交BC于E，作
交BC于F．若AC＝AD＝3，则EF＝______．
【答案】
【分析】先求出∠B=30°，由此求出BD，DF，利用勾股定理求出BF，利用三角函数求出BE，由此得到答
案．
【详解】解：在 中，∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=6，
∵AD＝3，
∴BD=3，
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠C=90°，
∴ ，
∵DE⊥AB，∴∠BDE=90°，
∴ ，
∴EF=BE-BF= ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查勾股定理，锐角三角函数，直角三角形30度角的性质，熟记各定理是解题的关键．
三、解答题：
15．如图，已知 中， ， ， ，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、
．求线段 的长．
【答案】
【分析】过A作 ，在 中，因为 ， ，得到 ， ，在
中，由 ，得到 ，从而得到 ，再结合 垂直平
分 ，得到 ， ，在 中，根据 ，得到 ，进而根
据图形上线段关系得到 ．
【详解】过A作 ，垂足为点H，如图所示：在 中， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查三角函数求线段长问题，涉及含 角的直角三角形性质、正切函数、垂直平分线的性
质、余弦函数等知识，熟练掌握三角函数求线段长是解决问题的关键．
16．如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC= ，求：
(1)CD的长
(2)cosB的值
【答案】(1)4(2)
【分析】（1）直接在Rt ADC中根据正切的定义求解即可；
（2）先求出BD的长，再△利用勾股定理求出AB的长，最后根据余弦的定义求解即可．
（1）
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵在Rt△ADC中， ，
∴ ；
（2）
解：由（1）得CD=4，
∴BD=BC-CD=8，
在Rt△ABD中，由勾股定理得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出CD的长是解题的关键．
提升篇
1．如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，cos∠AOB= 反比例函数
在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则 AOF的面积等于（ ）
△
A．15 B．20 C．30 D．40
【答案】B【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a,通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上
点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出 ，
结合菱形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
设OA=a，
在Rt OAM中，∠AMO=90°，OA=a，cos∠AOB= ，
△
∴OM=OA•cos∠AOB= a，AM= = a，
∴点A的坐标为（ a， a）．
∵点A在反比例函数y= 的图象上，
∴ a× a=24，
解得：a=5 ，或a=-5 （舍去）．
∴OM=3 ，AM=4 ，OB=OA=5 ．
∵四边形OBCA是菱形，点F在边BC上，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出
．2．如图，在 中， ， ，将 绕顶点C旋转得到 ，且使得 恰好落在
AB边上， 与AC交于点D，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图（见解析），设 ，先根据余弦三角函数得出BE的长，再根据等腰三角形的三
线合一可得 的长，从而可得 的长，然后根据旋转的性质可得 ， ，最后根据相似
三角形的判定与性质可得 ，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点C作 于点E
在 中， ，
可设 ，则 ，
是等腰三角形
（等腰三角形的三线合一）
由旋转的性质可知， ，
在 中， ，即
解得在 和 中，
故选：B．
【点睛】本题考查了余弦三角函数、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点，
通过作辅助线，运用余弦三角函数求出BE的长是解题关键．
3．如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE， ，P是AD边上一动点，沿过
点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点 处，当 是直角三角形时，PD的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°，根据勾股定理求得AE，当△APD'是直角三
角形时，分两种情况①当∠AD'P＝90°时②当∠APD'＝90°时分类计算即可；
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝90°，
∵BC=6，E是BC的中点，∴BE＝3，
∵ ，
∴ ，
∴CD＝4，
在Rt△ABE中，AE ，
∵四边形ABCD是矩形，
，
由折叠可知，PD＝PD'，
设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x，
当△APD'是直角三角形时，
①当∠AD'P＝90°时，
∴∠AD'P＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAD'＝∠AEB，
∴△ABE∽△PD'A，
∴ ，
∴ ，
∴x ，
∴PD ；
②当∠APD'＝90°时，
∴∠APD'＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，
∴△APD'∽△EBA，
∴ ，
∴ ，∴x ，
∴PD ；
综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为 或 ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，牢固掌
握以上知识点并准确计算是解题的关键．
4．如图， 是 的直径， ， 与 相切于点 ， 若 ，则 的正切值为 ______．
【答案】2
【分析】根据切线长定理得到 ， ，根据切线的性质得到 ，证明
，根据平行线的性质得到 ， 根据正切的定义计算即可．
【详解】解：连接 ， ，
， 与 相切于点A、C，
， ， ，
，
是 的直径，
，
，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为：【点睛】本题考查的是切线的性质、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
5．如图所示， ， ， 于点B，点D是线段BC上一个动点，且 于点D，
，连接CE，则CE长的最小值是______．
【答案】3
【分析】在BC上截取 ，构造相似，可得出 ，过C点作CH⊥EQ可得出
即可求出CE的长
【详解】解：在BC上截取 ，则 ，
中， ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的角度固定不变，
∴CH为CE的最小值．
过C点作CH⊥EQ
∴∠CHQ=∠ABQ=90°∵
∴∠CQH=∠QAB
∴ ，
∵ ，
∴ ，
CE的最小值是3.
【点睛】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
20．如图所示，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限内的图象经过点
D，交BC于点E．若 ，则k的值为 ___________．
【答案】
【分析】由 ，可设 ，表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点
D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴设 ，
则 ，点D坐标为 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴点 ，
∵反比例函数 经过点D、E，
∴ ，
解得： 或 （舍），
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及
反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．
7．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE BD，交CB的延长线于点E．
(1)求证：AE=AC；
(2)若cos∠E= ，CE=12，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)矩形ABCD的面积为48
【分析】（1）由矩形的性质，可得AC=BD，AD BC，故可证四边形AEBD是平行四边形，从而得出
AC=AE的结论；
（2）首先根据等腰三角形的性质得到EB的长，然后利用锐角三角函数求得AE的长，从而利用勾股定理
求得AB的长,最后求得面积即可．
（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，AD BC，
又∵ ，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴BD=AE，
∴ AC=AE；
（2）
解：在矩形ABCD中，
∴AB⊥EC，
∵AE=AC，
∴EB=BC，
∵CE=12，
∴EB=6，
∵ ，
∴AE=10，
由勾股定理得： ．
∴矩形ABCD的面积为8×6=48．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．解此题的
关键是能灵活运用矩形的性质，以及能利用锐角三角函数求线段．
8．如图，AB为 的直径，点C在 上，过点C作 切线CD交BA的延长线于点D，过点O作
交切线DC于点E，交BC于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求OE的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理及切线的性质定理求出 ，由圆的半径相等求出
，利用平行线的性质求出 ，即可得到结论 ；
（2）由 ，求出 ， ，证明 即可求出
【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵ 为⊙O的直径，
∴ ．
∵DE是⊙O的切线，
∴ ，
∴ ，
∵OB，OC是⊙O的半径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
【点睛】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数，熟
练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．
