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解直角三角形
1．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确
的是( A )
A．csinA＝a B．bcosB＝c
C．atanA＝b D．ctanB＝b
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，c＝2，则b的值等于( D )
A. B. C. D.
【解析】 ∵tanA＝＝，∴a＝，又∵a2＋b2＝c2，∴＋b2＝4，∴＝4，∴b＝.
3．如图28－2－1，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂
直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于( B )
A．m·sinα米 B．m·tanα米
C．m·cosα米 D.米
图28－2－1
图28－2－2
4．如图28－2－2，△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是( A )
A. B．12 C．14 D．21
5．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD为BC边上的高．则下列结论中，正确
的是( B )
A．AD＝AB B．AD＝AB
C．AD＝BD D．AD＝BD
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝2，则∠B＝__30°__．
【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形，由tanB＝＝＝，得∠B＝30°.
7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°，则a＝__12__，b＝__4__．
【解析】 本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由sinA＝，得a＝sinA·c＝×8＝12.
由∠A＝60°，得∠B＝30°，所以b＝c＝4.
8．等腰三角形底边长为2，底边上的高为3，则底角为__60°__．
【解析】 底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可求底角．
9．在△ABC中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形．
(1)已知∠A＝60°，b＝4，求a；
(2)已知a＝，c＝，求b；
(3)已知c＝28，∠B＝30°，求a；
(4)已知a＝2，cosB＝，求b.
解：(1)∵tanA＝，∴a＝b·tanA＝4·tan60°＝4×＝4；
(2)∵a2＋b2＝c2，
∴b＝＝＝；
(3)∵cosB＝，
∴a＝c·cosB＝28×＝14；
(4)∵cosB＝，∴c＝＝＝6.
又∵b2＝c2－a2，
∴b＝＝＝4.
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知a＝4，b＝8，求c.
(2)已知b＝10，∠B＝60°，求a，c.
(3)已知c＝20，∠A＝60°，求a，b.
解：(1)c＝＝＝4；
(2)a＝＝＝＝，c＝＝＝＝；
(3)a＝c×sinA＝20×＝10，b＝c×cosA＝20×＝10.
11．根据下列条件，解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b＝.
解：(1)∠A＝90°－∠B＝30°，c＝＝16，b＝a·tanB＝8；
(2)∠B＝90°－∠A＝45°，a＝b·tanA＝，c＝＝2.
图28－2－3
12．如图28－2－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝
2，解这个直角三角形．
解：∵∠C＝90°，AC＝，AB＝2，
∴sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°.
BC＝＝＝.
13．如图28－2－4，已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则
sin∠ABD＝( A )
图28－2－4
A. B. C. D.
14．如图28－2－5，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边
三角形．若AB＝2，求△ABC的周长(结果保留根号)．
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B ＝ 60°.在Rt△ABC中，∵cosB ＝，sinB ＝，
∴BC ＝ ＝＝4，
∴AC ＝BC·sinB ＝4×sin60°＝2，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝6＋2.
图28－2－5
图28－2－6
15．如图28－2－6，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB
＝20.求∠A的度数．
解：在Rt△BDC中，因为sin∠BDC＝，
所以BC＝BD×sin∠BDC＝10×sin45°＝10×＝10.
在Rt△ABC中，因为sinA＝＝＝，所以∠A＝30°.
16．如图28－2－7，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．
图28－2－7
第16题答图
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°.
∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.
∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝AC＝，
∴BD＝CD＝.由勾股定理得：AD＝＝3，
∴AB＝AD＋BD＝3＋.
17．某学校的校门是伸缩门(如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为
30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐
角度数从60°缩小为10°(如图③)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数
据：sin5°≈0.087 2，cos5°≈0.996 2，sin10°≈0.173 6，cos10°≈0.984 8)．图28－2－8
解：
如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD.
根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝
0．3米．
∵在菱形ABCD中，AB＝AD，
∴△BAD是等边三角形，
∴BD＝AB＝0.3米，
∴大门的宽是：0.3×20≈6(米)；
校门打开时，取其中一个菱形ABCD.
1 1 1 1
根据题意，得∠BAD＝10°，AB＝
1 1 1 1 1
0．3米．
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
1 1 1 1 1 1 1 1
∠BAO＝5°，
1 1 1
∴在Rt△ABO中，
1 1 1
BO＝sin∠BAO·AB＝sin5°×0.3＝
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0．02616(米)，
∴BD＝2BO＝0.05232米，
1 1 1 1
∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；
∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．
故校门打开了5米．
