文档内容
24.4 弧长和扇形面积
【提升训练】
一、单选题
1．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧 和 的夹角为120°， 长为 ，贴纸部分的
长为 ，则贴纸部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
贴纸部分的面积实际是扇形OAB和扇形OCD的面积差，可根据扇形的面积公式分别表示出两部分的面积，
进而可求出贴纸部分的面积．
【详解】
解：S=S -S = =25π（cm2），
扇形OAB 扇形OCD
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
2．如图， 中， ， ， ，点 从 点出发，沿 运动到点 停止，
过点 作射线 的垂线，垂足为 ，点 运动的路径长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
取 中点 ，连接 、 ，根据直角三角形的性质可得 ，则可确定
点Q的运动轨迹，再利用弧长的计算公式计算即可．
【详解】
解：取 中点 ，连接 、 ，
∵ 和 中， ，
∴ 在以 为圆心， 为直径的圆上，运动路径为 ， ，
∴ ，∴点 运动路径长为 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了弧长的计算问题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质，并确定点 运动的路径．
3．如图，在 中， ， ， ，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交
AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影
部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用勾股定理可求出AC的长，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠A+∠B=90°，根据S =S -S
阴影 △ABC 扇形
-S 即可得答案．
BEF 扇形ACD
【详解】
∵ ，
∴∠A+∠B=90°，
∵ ， ，
∴ =1，
∴S =S -S -S
阴影 △ABC 扇形BEF 扇形ACD= BC·AC-
= ×1×2-
=1- ，
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理及扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
4．如图，正六边形 的边长为2，以 为圆心， 的长为半径画弧，得 ，连接 ， ，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．
【详解】
解：过B点作AC垂线，垂直为G，根据正六边形性质可知， ，
∴ ，
∴S = ，
扇形
故选：A．
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．
5．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上
点A位置变化为A→A→A，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚
1 2
到A 位置时共走过的路径长为（ ）
2
A．10cm B． cm C． cm D． cm
【答案】C
【分析】
根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以∠ABA 为旋转角，顺时针旋转得到A；A 是由A 以C为旋
1 1 2 1
转中心，以∠ACA 为旋转角，顺时针旋转得到，由于∠ABA＝90°，∠ACA ＝60°，AB＝5cm，CA ＝
1 2 1 1 2 1
3cm，然后根据弧长公式计算即可．【详解】
解：点A以B为旋转中心，以∠ABA 为旋转角，顺时针旋转得到A A 是由A 以C为旋转中心，以
1 1， 2 1
∠ACA 为旋转角，顺时针旋转得到，
1 2
∵∠ABA＝90°，∠ACA ＝60°，AB＝ cm，CA ＝3cm，
1 1 2 1
∴点A翻滚到A 位置时共走过的路径长＝ （cm）．
2
故选：C．
【点睛】
本题考查了弧长公式以及旋转的性质，准确得到点A的运动轨迹是两段弧，是解题的关键．
6．如图， 是 的直径， 为半圆 的中点， 为弧 上一动点，连接 并延长，作
于点 ，若点 从点 运动到点 ，则点 运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】首先根据点 的轨迹，来确定点 的轨迹，确定轨迹为圆后，再利用弧长公式进行求解．
【详解】
解：由题意知点 的轨迹是圆，则点 的轨迹是以 为直径的圆上，以 为直径作圆，如下图：
要求点 运动的路径长，结合临界点法，当点 与 重合时，点 到点 处，当点 与 重合时，点
到点 处，
运动的路径长为 的长，
由已知：点 为半圆 的中点，
，
点 转过的圆心角为 ，
点 转过的圆心角也为 ，
即 对应的圆心角为 ，
根据弧长公式：
，
点 运动的路径长为： ，
故选：A．【点睛】
本题考查了动点的轨迹问题，解题的关键是：根据点 的轨迹，来确定点 的轨迹，确定为圆后，利用弧
长公式求解时，要去找到所求弧长所对应的圆心角即可．
7．如图， 是等腰直角三角形， ， ，把 绕点 按顺时针方向旋
转45°后得到 ，则线段 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，AB= AC=2 ，再根据旋转的性质得
∠BAB′=∠CAC′=45°，则点B′、C、A共线，利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面
积=S -S 进行计算即可．
扇形BAB′ 扇形CAC′
【详解】
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，AB= AC=2 ，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=45°，
∴点B′、C、A共线，
∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积
=S +S -S -S
扇形BAB′ △AB′C′ 扇形CAC′ △ABC
=S -S
扇形BAB′ 扇形CAC′= π．
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了
等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
8．如图， 内切于边长为2的正方形 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
正方形的面积减去圆的面积除以4即可求得答案．
【详解】
解：∵正方形的边长为2，
∴圆的半径为1，
∴阴影部分的面积： = ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算，解题的关键是了解阴影部分的面积的计算方法．9．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为 ，
，连接 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出
△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′=60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′中⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S -（S -S ）
△B′O′B 扇形O′OB △OO′B
=
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．如图，等边 的三个顶点都在 上， 是 的直径．若 ，则劣弧 的长是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，证明△AOB≌△AOC，得到∠BAO=∠CAO=30°，得到
∠BOD，再利用弧长公式计算．
【详解】
解：连接OB，OC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO=30°，
∴∠BOD=60°，
∴劣弧BD的长为 =π，
故选B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角∠BOD的度数．
11．如图，AB是半圆O的直径，AB＝10，以OB为边作平行四边形OBCE，若CE与半圆O相切于点C，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题目已知条件OB是⊙O的切线，利用切线的性质，连接OC，构造 ,又因为EC=CO,可得是等腰直角三角形，用等腰 面积减去45°扇形面积即可求出答案．
【详解】
解：设OE与⊙O的交点为F；
如图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴ ，
∵四边形OBCE为平行四边形，
∴ ,
∴∠COB=∠ECO=90°，∠EOC=∠OCB，
∵CO=OB,
∴∠OCB=45°，
∴∠EOC=45°，
∵ ,
∵S =S -S
阴影 △ECO 扇形COF
= ,
故选：A．
【点睛】
本题考查了切线的性质，扇形面积计算，等腰直角三角形的性质，利用切线的性质作辅助线，证明△ECO
是等腰直角三角形是解题的关键．12．如图，在扇形 中， ，半径 交弦 于点 ，且 ．若 ，则
阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过O作OE⊥AB于E，根据等腰三角形三线合一的性质求得∠AOE=60°，解直角三角形求得AE和OE，根
据勾股定理求出DE，再求出阴影部分的面积即可．
【详解】
解：过 作 于 ，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 ，
阴影部分的面积
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，扇形面积的计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则
图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n°，半径是r，那么这个扇形的面积= ．
13．在 中，已知 ， ， ．如图所示，将 绕点 按逆时针方
向旋转 后得到 ．则图中阴影部分面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出 ，在根据 求解即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∵ ，
∴AC=2BC=2，
∴ ，
∵ 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 ，
∴
∴
∴ ．
故选：B
【点睛】
本题考查了不规则图形面积的求法，熟记扇形面积公式，根据 求解是解
题关键．
14．如图，边长为 的等边三角形 内接于 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，交于点 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设 的半径为R，作 ，根据 求解即可．
【详解】
【点睛】
此题主要考查了与圆有关的阴影部分的面积，正确作出辅助线是解答此题的关键．
15．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
【答案】C
【分析】
根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母
线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为2 ，
∴圆锥的底面周长为4 π，
∵圆锥的高是8，∴圆锥的母线长为 ，
设扇形的圆心角为n°，
∴ ，
解得n=120．
答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等
于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
16．如图所示，矩形纸片 中， ，把它分割成正方形纸片 和矩形纸片 后，
分别裁出扇形 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长得到 2πr，解方程求出r，然后求得直径即可．
【详解】
解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r
根据题意得 2 πr，解得r＝1，
侧面积= ，
底面积=
所以圆锥的表面积= ，
故选：B．
【点睛】
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关
系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
17．如图，直线 与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平
行线交直线 于点Q， 绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部份）面积的最大
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意得 ，设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，利用扇形面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：如图，
根据旋转的性质， ，
∴ ，
则
，
∵点P在直线 上，点Q在直线 上，且PQ∥ 轴，
设P(a，2-2a)，则Q(a，3-a)，
∴OP2= ，
OQ2= ，
，设 ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴ 的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，扇形的面积公式，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题
需要的条件．
18．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 ，圆心角 ，则此圆锥高 的长度
是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】
设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆的周长，进而求得OA，最后用勾股定
理求出CA即可．
【详解】
解：设圆锥底面圆的半径为r
∵AC=6，∠ACB=120°
∴ ，即：r=OA=2在R△AOC中，OA=2，AC=6，
由勾股定理得， ．
故填： ．
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式、勾股定理等知识点，根据弧长公式和圆的周长公式求得OA是解答本题
的关键．
19．如图， 中， ， ，以 为直径的 交 于点 ，则 的长为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接OE，由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝70°，AD＝AB＝2，得出OA＝OD＝1，由圆周角与圆心角
定理求出∠AOE＝140°，再由弧长公式即可得出答案．
【详解】
连接OE，如图所示：
∵四边形 是平行四边形， ，∴∠OED＝∠D＝70°，
∴∠AOE＝2∠D＝140°，
∴ 的长= .
故选:C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质、弧长计算，根据平行四边形得到需要的边长及角度即可代入公式计算弧长．
20．如图，是古希腊数学家希波克拉底所研究的月牙问题，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为
的三条边，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以
AB为直径的半圆的面积．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=12，∠ACB=30°，
∴AB= BC=6，AC= ，
S =直径为AC的半圆的面积+直径为AB的半圆的面积+S -直径为BC的半圆的面积= π( )2+ π(
阴影 △ABC
)2+ AC×AB- π( )2
= π( )2+ π×62- π×122+ × ×6= π+ π- π+
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
21．如图，在半径1的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由勾股定理求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求值，即可．
【详解】
解：连接BC，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，∴BC＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝ ，
∴S =
扇形ABC
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论、扇形的面积计算方法．关键是利用所学的勾股定理以及扇形面积公式求值．
22．如图，在半径为 的圆形纸片中，剪一个圆心角为90º的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面
积为 （ ）
A．π B． C．2π D．
【答案】A
【分析】
如图，根据∠BAC=90°，可确定BC是⊙O的直径，故OA=OB=OC= ，计算AB=AC=2，根据扇形面积
公式计算即可．
【详解】
如图，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC是⊙O的直径，∠ABC=∠ACB =45°，∴OA=OB=OC= ，AO⊥BC，
∴AB=AC= =2，
∴扇形面积为： =π．
故选A．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，90°的圆周角所对的弦是直径，等腰直角三角形的判定，灵活运用90°的圆周角所
对的弦是直径，计算出扇形的半径是解题的关键．
23．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕
为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据阴影部分的面积等于 即可得出结果；
【详解】
连接AD、DO，由折叠可知，
， ，∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ；
故答案选A．
【点睛】
本题主要考查了翻转变换和扇形的面积计算，准确计算是解题的关键．
24．如图，从一块半径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角是 的扇形 ，则此扇形围成的圆锥底
面圆的半径为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接 ，并作 于点D．由圆周角定理可求出 ，从而求出 ，且
．再根据含 角的直角三角形的性质，可求出 ，从而求出 ．由
题意易证 是等边三角形，即 ，最后由弧长公式即可求出 的长，最后根据圆锥
的性质即可求出此扇形围成的圆锥底面圆的半径的大小．
【详解】
如图，连接 ，并作 于点D．
∵ ，
∴ ，
∵OB=OC，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵AB=AC，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，∴设此扇形围成的圆锥底面圆的半径为r，
∴ ，
∴ ．
故选D．
【点睛】
本题考查圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，含 角的直角三角形的性质，弧长公式以及圆锥的底
面半径．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
25．如图，在 中，点 在优弧 上，将弧 沿 折叠后刚好经过 的中点 ．若 的半径
为5， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接AC、OB、OD、CD，作 于点F，作 于点E，由垂径定理可知 于点D，
由勾股定理可知OD的值，再利用折叠性质判断AC=DC，利用等腰三角形性质得出，再证明四边形ODFE为正方形，得到△CFB为等腰三角形，计算出弧AC所对圆
周角度数，进而得弧AC所对圆周角度数，再代入弧长公式可得弧长．
【详解】
解：连接AC、OB、OD、CD，作 于点F，作 于点E，
由垂径定理可知 于点D，
又
CA、CD所对的圆周角为 、 ，且
，△CAD为等腰三角形
又 四边形ODFE为矩形且OD=DF=
四边形ODFE为正方形故△CFB为等腰三角形，
所对的圆心角为
故选A．
【点睛】
本题考查了弧长的计算、圆的折叠的性质、圆周角定理和垂径定理，熟练掌握性质定理和弧长公式是解题
的关键．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以点A为圆心、AC的长为半径作 交AB于点E，
以点B为圆心、BC的长为半径作 交AB于点D，则阴影部分的面积为（ ）
A．π一2 B．2π﹣4 C．4π﹣8 D．2π﹣2
【答案】C
【分析】
空白处的面积等于△ABC的面积减去扇形BCD的面积的2倍，阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空
白处的面积即可得出答案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴S = ×4×4=8，
△ABCS ，
扇形BCD
S =2×(8-2π)=16-4π，
空白
S =S -S =8-16+4π=4π-8，
阴影 △ABC 空白
故选：C．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，等腰直角三角形的性质，明确空白处的面积等于△ABC的面积减去扇形BCD
的面积的2倍是解题的关键．
27．如图，等边△ABC边长为3，将△ABC绕AC上的三等分点O逆时针旋转60°得到△ ，其中点
B的运动轨迹为 ，图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别连接OB、 ，过O作OD⊥BC于点D，设 与BC交于点E，则有关系式：
，利用等边三角形的性质可分别求得 的面积，及四边形 的面积，易得 ，故有 ，利用直角三角形的
性质及勾股定理可求得OB的长，进而可求得扇形 的面积，最后可求得结果．
【详解】
如图，分别连接OB、 ，过O作OD⊥BC于点D，设 与BC交于点E
由题意得： 为等边三角形，且边长为3，易得其面积为 ； 为等边三角形，且边长为
1，易得其面积为 ； 为等边三角形，且边长为2，易得其面积为 ，所以四边形 的面
积为
由旋转的性质得： 为等边三角形， ，
∴
∴
∴∴
在Rt△OCD中，∠COD=90°-∠ACB=30°
∴
∴ ，
在Rt△ODB中，由勾股定理得
∴
∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，求图形的面积等知识，难点在于
将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差来解决，本题的解答有一定的难度．
28．如图，在矩形 中， 为对角线， ， ，以 为圆心， 长为半径画弧，
交 于点 ，交 于点 ，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图，连接 ，过 作 于点 ,此时根据直角三角形的性质求得 ， ，再
根据等边三角形判定得出 为等边三角形，进而将问题转化到新的三角形之中，利用勾股定理求得
，最终求阴影部分的面积转化为 求解即可．
【详解】
如下图，连接 ，过 作 于点 ,
在矩形 中，
∵ ， ， ，
∴ ， ,
又∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，故选：D．
【点睛】
本题考察了直角三角形的性质、勾股定理的应用、等边三角形的判定、割补法求面积、扇形面积计算等知
识点，综合性较强，属于选择题中的压轴题，灵活运用相关定理和性质是解题的关键．
29．如图，在 中， ，以 的中点D为圆心，作圆心角为 的扇形
，点C恰好在 上，设 ，当 由小到大变化时，图中两个阴影部分的
周长和（ ）
A．由小变大 B．由大变小 C．不变 D．先由小变大，后由大变小
【答案】D
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得出 ， ， ，
，根据全等三角形的判定推出 ，再用弧长公式，即可得出结论．
【详解】
解：如图．
， ， 为 的中点，， ， ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
图中两个阴影部分的周长和 的长
，
与 均为定值，而 ， ，
当 由小到达大变化时， 的长度由小变大，当 垂直 时达到最大，然后 长度变小，所以
图中两个阴影的周长和是由小变大再变小，
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，弧长公式等知识点，注意：①一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，②一条弧所对的圆心角是 ，半径为 ，那么这条弧的长度是 ．
30．如图，在正方形纸片 中，点M，N在 上，将纸片沿 折叠，折叠后使点A和点D
重合于点I， 的外接圆分别交 于点P，Q．若 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先证明 是等边三角形，得到 ，再根据折叠的性质推出 ，根据
内心的性质得到 ， ，过点 作 ，则OH平分BC，利用勾股定理求出
OB，再利用弧长公式计算即可．
【详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
由折叠知： ，
，∴ ， ，
∴ ，
∵圆 是 的外接圆，
∴点 是 的内心，
∴OB平分 ，OC平分 ，
∴ ， ，
过点 作 ，则OH平分BC．
则： ，
在 中： ，
由勾股定理得： ，即 ，
解得： ， （舍），
∴ ．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外接圆，内心的有关性质，弧长公式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用相关定理，掌握求弧长所需的条件．
二、填空题
31．如图，已知在扇形 中， ，半径 ．P为弧 上的动点，过点P作
于点M， 于点N，点M，N分别在半径 上，连接 ．点D是 的外
心，则点D运动的路径长为________．
【答案】
【分析】
依题意,点D运动的路径为绕点 旋转 的一段弧长，根据弧长公式计算即可．
【详解】
如图：连接
点D是 的外心四点共圆
为圆的直径
,
设点D运动的路径长为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，弧长公式，三角形的外心的性质，理解题意熟悉公式是解题的关键．
32．如图，已知半圆O的直径 ，将半圆O绕点A逆时针旋转，使点B落在点 处， 与半圆O交于点C，若弧BC的长为 ，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】
【分析】
连接OB，根据BC的弧长可求得∠BOC=90°，进而可得∠BAC=45°，利用 求解即可．
【详解】
解：连接OC，设∠BOC=n°，
∵弧BC的长为 ，半圆O的直径 ，
∴ ，解得：n=90，即∠BOC=90°，
∴∠BAC=45°，
∴根据旋转的性质得
= = = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查弧长公式、圆周角定理、扇形面积公式，熟记公式，掌握圆周角定理是解答的关键．
33．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝2：3，若⊙O半径为5，则 的长度是
______．
【答案】4π
【分析】
连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长
公式计算即可．
【详解】
解：连接OB、OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A：∠C=2：3，
∴∠A+ ∠A=180°，
∴∠A=72°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=144°，∴ 的长： =4π，
故答案为4π．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式
是解题的关键．
34．如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于
O，连接AO．则图中阴影部分的面积为___．（结果保留π）
【答案】
【分析】
根据圆周角定理得∠AOB=90°，再根据正方形的性质可证得AO=BO，进而可有 求解．
【详解】
解：∵AB为直径，
∴∠AOB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，∠BAD=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴AO=BO，
∴S=S，
1 2
∴ = =4π﹣8，
故答案为：4π﹣8．【点睛】
本题考查了圆周角定理、正方形的性质、三角形的内角和定理、等角对等边、扇形的面积、三角形的面积，
熟练掌握相关知识的性质和运用是解答的关键．
35．如图，从一块边长为 ， 的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以 为圆心的圆上（阴
影部分），且圆弧与 ， 分别相切于点 ， ，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半
径是__________．
【答案】
【分析】
先利用菱形的性质得到含30°角的直角三角形，再利用勾股定理求出AE，最后利用弧长公式求出弧长，弧
长即为圆锥底面圆的周长，再利用周长公式即可求半径．
【详解】
解：如图，连接AE，由切线性质可知：AE⊥BC，即∠AEB=90°；
∵菱形铁片上∠BAD=120°，
∴∠B=180°-120°=60°，∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE=2，
∴BE=1，
∵ ，
∴ ，
∴扇形的弧长为： ，
所以圆锥底面圆半径为： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等内容，解决本题的关键是
牢记相关性质与公式，本题需要学生理解扇形与圆锥的关系，蕴含了一定的空间想象思维，涉及到了数形
结合等思想方法．
三、解答题
36．如图，在 中， ，点 在 边上， 为 的半径， 是 的切线，切点为点 ， ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）如图，连接OD，根据切线性质可得∠ODB=90°，利用SSS可证明△OBC≌△OBD，可得
∠OCB=∠ODB=90°，即可得结论；
（2）由（1）的结论及AC=BC可得△ABC是等腰直角三角形，可得∠AOD=45°，根据平角的定义可得
∠COD=135°，根据S =2S -S 即可得答案．
阴影 △OBC 扇形COD
【详解】
如图，连接OD，
∵ 是 的切线，切点为点 ，
∴∠ODB=90°，
在△OBC和△OBD中 ，
∴△OBC≌△OBD，
∴∠OCB=∠ODB=90°，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．（2）∵∠OCB=90°， ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠AOD=45°，
∴∠COD=135°，
∵△OBC≌△OBD，
∴S =S ，
△OBC △OBD
∵ ， ，
∴ ，
∴S =2S -S =2× OC·BC- = ．
阴影 △OBC 扇形COD
【点睛】
本题考查切线的判定与性质、等腰直角三角形的性质及扇形面积，圆的切线垂直于经过切点的半径；经过
半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；熟练掌握相关性质及判定定理并熟记扇形面积公式是
解题关键．
37．如图，已知 是底角为30°的等腰三角形，B为AD上一点，以AB为直径的 恰好过点C．
（1）判断直线CD与 的位置关系，并说明理由；
（2）M为 下半圆上的一个动点，若在某一时刻满足 ，已知半径等于2，求弧AM的
长．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，结合题意，根据等腰三角形性质，得 ；再根据三角形外角、三角形内
角和性质、切线的性质计算，即可完成证明；
（2）根据圆直径所对圆周角为直角性质，得 ；通过角度计算，得 ，根据圆周
角和圆心角性质，得 ；再根据弧长公式计算，即可得到答案．
【详解】
（1）连接OC，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵OC为半径，
∴CD与圆O相切；
（2）连接OM∵AB为直径，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∵
∴弧 长 ．
【点睛】
本题考查了圆、三角形、弧长的知识；解题的关键是熟练掌握切线、等腰三角形、三角形外角、三角形内
角和、圆周角、圆心角、弧长计算的性质，从而完成求解．
38．如图1，四边形 内接于 ， 为直径，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 是 的切线， ，连接 ，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与 围成阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为 ．
【分析】
（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD= ，即可证明
∠CAD=∠ECB；
（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推出BC∥AO，即可
证明四边形ABCO是菱形；②先计算 ，再利用扇形的面积公式计算 ，
即可求得阴影部分的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC= ，
∵∠EBC+∠ABC= ，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD= ，
∴∠D+∠CAD= ，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC= ，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，∴∠OCE=∠E= ，
∴∠OCE+∠E=18 ，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD= AD=2，AC=2 ，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF= ，∴ ，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形
面积的求法是解答此题的关键．
39．如图，在平行四边形 中，点A、B、D三个点在⊙ 上， 与⊙ 交于点F，连结 并延
长交边 于点E，点E恰好是 的中点．
（1）求证： 是⊙ 的切线．
（2）若 ，
①求 的长．
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）① ，②
【分析】（1）根据垂径定理可得 ，再结合平行四边形的性质推出 ，即可得证；
（2）①由平行四边形的性质以及垂径定理可推出 ， ，然后在
中分别求出 ， ，从而得出结论；②连接 ， ， ，然后根据
求解即可．
【详解】
（1）由题意，根据垂径定理 ，
∵四边形 平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 是⊙ 的切线；
（2）如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；②如图，连接 ， ， ，
由题意， ，
由①可知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ , 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
由①可知， ， ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，∴阴影部分的面积 ．
【点睛】
本题考查证明圆的切线，垂径定理，以及与扇形相关的阴影部分面积计算问题，掌握证明切线的方法，熟
记扇形的面积计算是解题关键．
40．如图，在 中， ， 与 ， 分别相切于点E，F， 平分 ，
连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， 的半径是1，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）过点 作 于点 ，连接 ，先根据圆的切线的性质可得 ，再根据角平分线的
定义可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）设 分别交 于点 ，连接 ，先根据圆的切线的性质、矩形的判定与性质可得
，从而可得 ，再利用勾股定理可得 ，然后根据直角三角形全等的判定定理与
性质可得 ，从而可得 ，最后根据图中阴影部分的面积等于
即可得．
【详解】
证明：（1）如图，过点 作 于点 ，连接 ，
与 相切于点 ，
，
平分 ，
，
在 和 中， ，
，
，
是 的半径，
又 ，
是 的切线；
（2）如图，设 分别交 于点 ，连接 ，
的半径是1，，
与 相切于点 ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
则图中阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握
圆的切线的判定与性质是解题关键．
41．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径 与母线 长之比为 ．制作这种外包装
需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 ， ．将扇形 围成圆锥时， ，
恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角 的大小
（2）若圆锥底面圆的直径 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留 ）
【答案】（1） =90°；（2）S =（100- ）cm2．
阴影
【分析】
（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求 弧长，利用弧长公式求 即可；
（2）由 ， =90°，可得 ABC为等腰直角三角形，由 可求BD=CD=AD=10cm，
△
利用三角形面积公式求S = ，利用扇形面积公式求 ，利用面积差求S 即可．
△BAC 阴影
【详解】
解：（1）设ED=x，则AD=2x，
∴ 弧长 ，
∴ ，
∴ =90°；（2）∵ED=5cm，
∴AD=2ED=10cm，
∵ ， =90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵ ，
∴BD=CD=AD=10cm，
∴BC=BD+CD=20cm，
∴S = cm2，
△BAC
∴ ，
∴S = S - =（100- ）cm2．
阴影 △BAC
【点睛】
本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握
圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键．
42．如图， 是 的直径， 为 上一点（ 不与点 ， 重合）连接 ， ，过点 作
，垂足为点 ．将 沿 翻折，点 落在点 处得 ， 交 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）【分析】
（1）连接OC，先证明∠CDA=90°，根据折叠的性质和圆的半径相等证明OC AE，从而求出
∠ECO=90°，问题得证；
（2）连接 ，过点 作 于点 ，证明四边形OCEG为矩形，求出 ， ，
，进而求出 ，∠COF=30°，分别求出矩形OCEG、△OGF、扇形COF面积，即可求出
阴影部分面积．
【详解】
解：（1）如图，连接OC，
∵ ，
∴∠CDA=90°，
∵ 翻折得到 ，
∴∠EAC=∠DAC，∠E=∠CDA=90°，
∴∠EAD=2∠DAC，
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA
∴∠COD=2∠OAC，
∴∠COD=∠EAD，
∴OC AE，
∴∠ECO=180°-∠E=90°，
∴OC⊥EC，
∴ 是 的切线；
（2）如图，连接 ，过点 作 于点 ，
∵∠E=∠ECO=90°，
∴四边形OCEG为矩形．∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点 ，OA=OF=2，
∴ ，∠FAO=∠AFO=30°，
∵OC AE，
∴∠COF=∠AFO=30°，
∴矩形OCEG面积为 ，
△OGF面积为 ，
扇形COF面积为
∴阴影部分面积=矩形OCEG面积-△OGF面积-扇形COF面积= ．
【点睛】
本题为圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积等知识，综合性较强，熟练掌握相关定理
并根据题意添加辅助线是解题的关键．43．将一物体（视为边长为 米的正方形 ）从地面 上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点
与斜面 上的点 重合，先将该物体绕点 按逆时针方向旋转至正方形 的位置，再将其
沿 方向平移至正方形 的位置（此时点 与点 重合），最后将物体移到车厢平台面
上．已知 ， ，过点 作 于点 ， 米， 米．
（1）求线段 的长度；
（2）求在此过程中点 运动至点 所经过的路程．
【答案】（1） 米；（2）4米．
【分析】
（1）利用直角三角形FGH即可求解；
（2）连接AA，则必过点D，分别求出AA 和 的长，即可求出点A经过的路程．
1 2 1 1 2
【详解】
解：（1）∵MG∥PQ，
∴∠FGM=∠FBP=30°．
∴在 中，
（米）．（2）连接AA，则必过点D，且四边形ABGA 是矩形．
1 2 1 1 2
∴AA=BG=BF-GF= （米）．
1 2
∵四边形ABCD和四边形ABC D 都是正方形，
1 1 1
∴AB=AB，∠ABC =∠ABC=90°．
1 1 1
∴∠ABA=180°-∠ABC -∠FBP=180°-90°-30°=60°．
1 1 1
∴ （米）．
∴在整个运动过程中，点A运动至A 的路程为：
2
（米）．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、矩形和正方形的性质、平移和旋转的性质等知识点，熟知旋转和平移的性
质是解题的关键．
44．如图，在 中， ， ，以点 为圆心， 为半径的圆交 的延
长线于点 ，过点 作 的平行线，交 于点 ，连接 ．（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ，求弧 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OB，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得
，再证明 可得 即可；
（2）先求出∠COD，然后再运用弧长公式计算即可．
【详解】
（1）证明：连接
∵ ，
∴
又∵
∴
∴
∴又∵
∴
∴
又∵点 在 上
∴ 是 的切线；
（2）∵
∴
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．
45．如图， 是 的直径， 是 的切线，切点为 ，点 为直径 右侧 上一点，连接
并延长 ，交直线 于点 ，连接 ．（1）尺规作图：作出 的角平分线，交 于点 ，连接 （保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①求证： ．
②若 半径为2，当 的长为______时，四边形 是正方形．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②π
【分析】
（1）利用尺规作图，作出∠COD的角平分线，交CA于点E；
（2）①证明△OCE≌△ODE（SAS），由全等三角形的性质得出∠ODE=∠OCE=90°，得出∠CAD=∠ADE，
则可得出结论；
②由弧长公式可求出∠BOD=90°，由正方形的判定定理可得出结论．
【详解】
解：（1）如图，
（2）①证明：连接DE，
由（1）可知∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，
∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
∵∠CAD+∠OBD=∠ADE+∠ODB=90°，∠OBD=∠BDO，
∴∠CAD=∠ADE，∴DE=AE；
②解：当 的长为π时，四边形OCED是正方形．
∵ 的长为π，
∴ ＝π，
∴∠BOD=90°，
∵∠OCE=90°，
∴OD∥CE，
∵OE平分∠DOC，
∴∠DOE=∠COE=45°，
∴OC=CE，
又∵OD=OC，
∴OD=CE，
∴四边形OCED是正方形．
故答案为π．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，切线的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，正
方形的判定，弧长公式，解决本题的关键是掌握切线的的性质．
46．如图，在平面直角坐标系中，以线段 为直径作 ，与 轴相交于 两点，在第一
象限内的圆上存在一点 ，使得 为等边三角形．（1）求 过点 的切线 的函数关系式；
（2）求由线段 、劣弧 围成的图形面积．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）分别求出点E和点D的坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）用 即可求出由线段 、劣弧 围成的图形面积．
【详解】
解：（1）∵
∵AB是 的直径
∴
是等边三角形，
，
∵直线l是 的切线，
，
又
∴∵OA=2，AC=3
∴
∴
作 于点 ，
是等边三角形，
∴
在 中，
∴
又
∴
设直线l的解析式为
把E（-1，0）， 代入得，解得，
∴函数关系式： ；
（2）∵
∴
∴
又
∴由线段 、劣弧 围成的图形面积 ．
【点睛】
此题主要考查了图形与坐标，圆的切线的性质，待定系数法求函数关系式，不规则图形面积的计算等知识，
求出DH的长是解答此题的关键．
47．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点 ， ， 的
坐标分别为 ， ， ．（1）将 向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度，画出平移后得到的 ，并直接
写出点 的坐标；
（2）将 绕着原点 逆时针旋转90°后得到 ．
①画出旋转后的 ；
②点 旋转到点 所经过的路径长为______个单位长度．
【答案】（1）作图见解析；点 的坐标为 ；（2）①作图见解析；② ．
【分析】
（1）根据平移的性质作出图形，然后根据图像求解即可；
（2）①根据旋转的性质作出图形即可；②连接 ， ，利用网格求出 ，然后根据旋转角是90°，
求出弧长即可．
【详解】
解：（1）如图示， 即为所求的三角形，由图像可知，点 的坐标为
（2）①如图示， 即为所求的三角形．②如图示，连接 ， ，则点 旋转到点 所经过的路径长是 ，且旋转角是90°
∴
则，
【点睛】
本题考查了平移作图和旋转作图，求弧长等知识点，能准确做出旋转后得图形是解题的关键．
48．如图，在⊙O中，直径AB＝24，点C、D在⊙O上，AB与CD交于点E，CE＝ED，OH⊥BD，垂足为
点H，DF交BA延长线于点F，∠CDF＝2∠B．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若FD＝BD，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，易证∠CDF＝∠FOD，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，即可得∠CDO+∠FOD=90°，所以∠CDF+∠COD=90°，由此即可证得DF是⊙O的切线；
（2）已知FD＝BD，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠F，再由∠FOD＝2∠B，∠FOD+∠F=90°，即可求得
∠B=∠F=30°，∠FOD=60°；在Rt△ODH中，∠ODH=30°，OD=12，可得OH=6，DH= ，根据
即可求得图中阴影部分的面积．
【详解】
（1）连接OD，
∵∠FOD＝2∠B，∠CDF＝2∠B，
∴∠CDF＝∠FOD，，
∵CE＝ED，AB为直径，
∴AB⊥CD，
∴∠CDO+∠FOD=90°，
∴∠CDF+∠CDO=90°，
即∠ODF=90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵FD＝BD，
∴∠B＝∠F，
∵AB为直径，AB=24，
∴OD=12，
∵∠FOD＝2∠B，∠FOD+∠F=90°，
∴∠B=∠F=30°，∠FOD=60°，
∵DO=BO，
∴∠B＝∠ODH=30°，
在Rt△ODH中，∠ODH=30°，OD=12，∴OH=6，DH= ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理，熟练运用相关定理进行证明是解决问题的关键．
49．如图， 是⊙O的直径， 是⊙O上一点， 平分 ，过点 作 交 延长线于
点 ．
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACO，推出AD OC，根据平行线的性质得到
∠OCD=90°，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）求出∠OEA=∠EOC=60°，由扇形的面积公式可得出答案．
【详解】
（1）连接 ，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD OC，
∴∠OCD+∠D=180°，
∵
∴∠CDA=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）连接CE，OE，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
和 为等边三角形
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
50．如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点分别是A(−1，4)，B(−3，2)，C(−2，1)．
（1）请画出 关于原点 的中心对称图形 ；
（2）请画出将 绕点 逆时针旋转90°后得到的 ；
（3）在（2）的条件下，求点 旋转到点 所经过的路线长（结果保留 ）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）利用中心对称的性质，分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可；
1 1 1
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A、B 即可得到△ABC；
2 2 2 2（3）利用（2）的结论，再根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）如图所示， 为所求；
（2）如图所示， 为所求；
（3）∵A(−1，4)， C(−2，1)，
∴ ，
∵ ，
∴点A旋转到点 所经过的路线长为 ．
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的
关键．
51．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长
线与直线AE交于C点．
（1）求证：点D为BC的中点；（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2－AF2＝4CE•EA；
（3）若 ＝ ，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【分析】
（1）连接OD、ED为⊙O切线，由切线的性质知：OD⊥DE；根据垂直于同一直线的两条直线平行知：
OD∥AC；由于O为AB中点，则点D为BC中点．
（2）连接BF，AB为⊙O直径，根据直径对的圆周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根据垂直于同一直线
的两条直线平行知ED∥BF由平行线的性质知，由于点D为BC中点，则点E为CF中点，所以CA2-AF2=
（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF，将CF=2CE代入即可得出所求的结论．
（3）由于 ＝ 则弧AD是半圆ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；连接DA，可知等腰三
角形 OAD为等边三角形，则有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得
△
EA= r，ED= r，则有S =S -S ，从而可求得阴影部分的面积．
阴影 梯形AODE 扇形AOD
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵ED为⊙O切线，
∴OD⊥DE；
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC；
∵O为AB中点，
∴D为BC中点；
（2）证明：连接BF，∵AB为⊙O直径，
∴∠CFB=∠CED=90°；
∴ED∥BF；
∵D为BC中点，
∴E为CF中点；
∴CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）
=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；
∴CA2-AF2=4CE•AE；
（3）解：∵ ＝ ，
∴∠AOD=60°；
连接DA，可知 OAD为等边三角形，
△
∴OD=AD=r，
在Rt△DEA中，∠EDA=30°，
∴EA= r，ED= r，
∴S =S -S =
阴影 梯形AODE 扇形AOD．
【点睛】
本题考查了切线的性质、平行线的判定和性质、直角三角形的性质、平方差公式、圆周角定理、等边三角
形的判定和性质以及梯形和扇形的面积计算方法等知识．
52．已知：点D是△ABC的边AC上一点，tanC＝1，cos∠ADB＝ ，⊙O经过B，C，D三点．
（1）若BD＝4，求阴影部分图形的面积；
（2）若AD＝2CD＝4，求证：AB为⊙O的切线．
【答案】（1） ；（2）见解析
【分析】
（1）连接 ， ，由圆周角定理得出 ，由扇形的面积公式及三角形面积公式可得出答
案；
（2）过点 作 于点 ，设 ，则 ，求出 ，得出 ，
证明 ，得出 ，证出 ，则可得出结论．
【详解】
解：（1）连接 ， ，，
，
，
，
，
， ，
．
（2）证明：过点 作 于点 ，设 ，则 ，
，
，
，
，
，，
，
又 ，
，
即 ，
，
，
，
又 ，
，
，
是半径，
为 的切线．
【点睛】
本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点，熟
练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
53．如图AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4 ，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】（1）见解析；（2）【分析】
（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠CEA，∠FAO=∠FEO，根据余角的性质得到
∠CEA=90°，由切线的判定定理即可得到结论；
（2）设OF=x，由直角三角形的性质得出OA=2OF=2x，由勾股定理的(2 )2+x2＝2x2，解得x=2，得出
OA=4，求出S 和S ，即可得出答案．
△EAO 扇形EAO
【详解】
（1）证明：连接OE，
∵AC＝EC，OA＝OE，
∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAE+∠EAO＝90°，
∴∠CEA+∠AEO＝90°，
即∠CEO＝90°，
∴OE⊥CD，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：设OF＝x，
∵∠OAF＝30°，OF⊥AF，
∴OA＝2OF＝2x，
在Rt△OEF中，由勾股定理得： ，
解得x＝2，
∴OA＝4，∴ ，
∵∠AOE＝120°，AO＝4；
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了切线的判定，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积的计算等知识，正确的识别
图形是解题的关键．
54．如图， 为 的直径， ，点A为 的中点， ，连结 ， ．
（1）求证： ．
（2）求图中弓形阴影部分的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠COA，根据弧、弦、圆心角的关系得到 ，结合
OA=OD证明 ，可得OC∥AD；（2）连接AC，证明 与 均为等边三角形，推出 ，求出△ABC的面积，再
根据 即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接AC，
∵ ， ，
∴ 与 均为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴
．
【点睛】
本题考查了弧、弦、圆心角的关系，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基础
知识，将弓形AD的面积和弓形AC的面积进行转化．
55．如图， 是半圆的直径，弦 ，过 点作圆 的切线 ，与 延长线相交于点 ，连
接 、 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当 时，求围成阴影部分图形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，根据等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定定理证
明结论；（2）根据弧长公式求出 的长，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：（1）证明：连接 ，
是圆 的切线，
，
由圆周角定理得， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2） ，
， ，
，
的长 ，
围成阴影部分图形的周长 ．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
56．如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上不同于 、 两点的任意一点， 是半圆 上一动点，与 相交于点 ， 是半圆 所在圆的切线，与 的延长线相交于点 ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ， ．求 ；（答案保留 ）
（3）若 ， 为 的中点，点 从 移动到 时，请直接写出点 移动的长度．（答案保留
）
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】
（1）由直径所对的圆周角是直角可得 ，再根据 证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质得 ，得 ，由 是半圆 所在圆的切线得
，可求 ，连接 ，得 ，再根据扇形面积计算公式求解即可；
（3）根据“点 移动的长度是以 为直径的圆的周长一半”求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵ 是半圆 的直径
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ．∵ ，由（1）知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是半圆 所在圆的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
（3）连接OH,
∵H是AC中点，则OH⊥AC,
故H在以AO为直径的圆上运动，
当点 在 点时，点H与点O重合，
当点C在A点时，点H与点A重合，
所以，点 移动的长度是以 为直径的圆的周长一半，
即L= ．
【点睛】
此题主要考查了与圆有关的计算，熟练掌握扇形面积计算公式和弧长公式是解答此题的关键．57．如图，已知 是 的直径，点D，C是圆上的两个点，且 ，直线 于点E．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据圆周角定理可知 ，根据平行线的判定可知 ，根据根据垂直的判定和
切线的判定定理即可求证结论；
（2）连结 ， ，根据外角定理和等边三角形的判定可得 是等边三角形，含30°角的直角三角
形的性质可得： ，根据切线的性质和角的和差可得 ，进而可得：
， ，根据切割法可得： ，代入数据即可求解．
【详解】
（1）证明∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，且 是直径，∴ 是 的切线．
（2）解 连结 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴
．
【点睛】
本题考查切线的判定及其性质、含30°角的直角三角形判定及其性质、等边三角形的判定及性质、扇形面
积的计算公式，解题的关键是熟练掌握所学知识．
58．在 中， ．将边 绕点C顺时针旋转到 ，记，连结 ，取 的中点F，射线 ， 交于点A．
（1）填表：如图1，当 时，根据下表中 的值，分别计算 的度数．
（2）猜想 与 的数量关系，并说明理由．
（3）应用：如图2，当 时，请求出 从 逐渐增加到 的过程中，点A所经过的路径长．
【答案】（1）填表见解析；（2）当 时， ；当 时，
；答案见解析；（3） ．
【分析】
（1）当 时，根据等腰三角形的性质，得 和 是等腰三角形，则可求得
， ，利用
，最后根据三角形内角和求得： ；当时， ， ，
，利用三角形外角性质得 ；
（2）当 时，同（1）可求得： ， ，得
，则 ；当
时， ， ，
，利用三角形外角性质得 ；
（3）由（2）可得： 则 ，可知点A所经过的路径是一条
弧 ，以 为边画等边三角形 ，则点O是弧 的圆心，根据同弧所对圆心角等于圆周角的2
倍，求得： 再证 是等边三角形，则可以得到 ，则可得 ，
即可得： ．
【详解】
解：（1）如图:当 ， 时，
∵边 绕点C顺时针旋转到
∴
∴
∵
∴
∵点F是 的中点
∴
∴
∴
综上所述，当 ， 时，
同理，当 ， 时，
当 ， 时，
∵边 绕点C顺时针旋转到
∴
∴
∵∴
∵点F是 的中点
∴
∴
∴
故：
（2）当 时，如图：
∵边 绕点C顺时针旋转到
∴
∴
∵
∴
∵点F是 的中点
∴
∴
∴即：当 时， ，
当 时，如图所示：
∵边 绕点C顺时针旋转到
∴
∴
∵
∴
∵点F是 的中点
∴
∴
∴
即：当 时，
综上所述：当 时， ；当 时，（3）由（2）可得：∵
∴
∴点A所经过的路径是一条弧
如图，以 为边画等边三角形 ，
则点O是弧 的圆心
当 时， ，则
∵
∴ 是等边三角形
∴
∴
∵
∴ ．
【点睛】
本题考查了旋转、等腰三角形、圆的性质、弧长、内角和和外角性质的综合应用，解答此题的关键利用性
质找到角与角之间关系，此题综合性较强，属于较难的题型．
59．如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l 上，OA边与直线l 重合，然后将三
1 1
角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O 处，点B运动到了点B 处；小慧又
1 1
将三角形纸片AOB 绕B 点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A 处，点O 运动到了点O 处（即顶
1 1 1 1 1 2
点O经过上述两次旋转到达O 处）．
2
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO 和弧
1OO，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l 围成的图形面积等于扇形
1 2 1
AOO 的面积、△AOB 的面积和扇形BOO 的面积之和．
1 1 1 1 1 2
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l 上，OA边与直线l 重合，然后
2 2
将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O 处（即点B处），点C运动到了
1
点C 处，点B运动到了点B 处；小慧又将正方形纸片AOC B 绕B 点按顺时针方向旋转90°，……，按上
1 1 1 1 1 1
述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中
所形成的图形与直线l 围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
2
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是 ？
【答案】（1） ； ； ；（2）41次
【分析】
（1）根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可；
（2）利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出 π=10× π+ π，即
可得出旋转次数．
【详解】
解：（1）如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO 、
1
弧OO 以及弧OO，
1 2 2 3
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l 围成图形的面积为：
2
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
．
（2）∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10× π+ π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转．
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式，分别求出旋转3，4，5次旋转的路径是解
决问题的关键．
60．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1） 是边长为3的等边三角形，E是边 上的一点，且 ，小亮以 为边作等边三角形
，如图1，求 的长；（2） 是边长为3的等边三角形，E是边 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，
如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3） 是边长为3的等边三角形，M是高 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，
如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形 的边长为3，E是边 上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B
为顶点作正方形 ，其中点F、G都在直线 上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B
重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．
【答案】（1）1；（2）3；（3） ；（4） ；
【分析】（1）由 、 是等边三角形， ， ， ，可证
即可；
（2）连接 ， 、 是等边三角形，可证 ，可得 ，又点
在 处时， ，点 在A处时，点 与 重合．可得点 运动的路径的长 ；
（3）取 中点 ，连接 ，由 、 是等边三角形，可证 ，可得
．又点 在 处时， ，点 在 处时，点 与 重合．可求点 所经
过的路径的长 ；
（4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的 上运动，由四边形
ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理 即，可求 ，点G所经过
的路径长为 长= ，点H所经过的路径长为 的长 ．
【详解】
解:（1）∵ 、 是等边三角形，
∴ ， ， ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（2）连接 ，
∵ 、 是等边三角形，
∴ ， ， ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又点 在 处时， ，点 在A处时，点 与 重合．
∴点 运动的路径的长 ；
（3）取 中点 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ 、 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又点 在 处时， ，点 在 处时，点 与 重合，
∴点 所经过的路径的长 ；
（4）连接CG ,AC ，OB，
∵∠CGA=90°，
∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的 上运动，
∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，
∴∠COB=90°，设OC=x，
由勾股定理 即 ，∴ ，
点G所经过的路径长为 长= ，
点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧 上运动，
点H所经过的路径长为 的长度，
∵点G运动圆周的四分之一，
∴点H也运动圆周的四分一，
点H所经过的路径长为 的长= ，
故答案为 ； ．
【点睛
本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，
掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解
题关键．
