文档内容
2020 年上海市青浦区中考数学一模试卷
答案解析版
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选
项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应高之比是（ ）
A. 1∶2； B. 1∶4； C. 1∶6； D. 1∶8．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比作答即可．
【详解】∵两个相似三角形对应边之比是1∶2，
又∵相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比，
∴它们的对应高之比是：1∶2，
故选：A.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比
都等于相似比．
2.如图，DE∥AB，如果CE∶AE =1∶2，DE=3，那么AB等于（ ）
A. 6； B. 9； C. 12； D. 13．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据比例的性质得CE∶CA =1∶3，根据平行线分线段成比例定理的推论，即可求得答案.
【详解】∵CE∶AE =1∶2，
∴CE∶CA =1∶3，
∵DE∥AB，∴
∵DE=3，
∴AB=3 DE=9
故选：B
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论及比例的性质，熟练运用“平行于三
角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成
比例”是解题的关键.
3.在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=1，AB=3，则下列结论正确的是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，由勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可.
【详解】
如图所示：
∵Rt△ABC中，∠C=90º，AC=1，AB=3，
∴ ,
∴故选：C
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练锐角三角函数的定义是解题的关键.
4.已知非零向量 、 ，且有 ，下列说法中，不正确的是（ ）
A. ； B. ∥ ； C. 与 方向相反； D. ．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行向量以及模的知识求解即可.
【详解】A.∵ ，表明向量 与 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴
，该选项不符合题意错误；
B. ∵ ，表明向量 与 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽
然 与 方向相反，但还是相互平行，∴ ∥ ，该选项不符合题意错误；
C. ∵ ，而 与 方向相反，∴ 与 的方向相反，该选项不符合题意错误；
D. ∵ 只表示数量，不表示方向，而 是两个矢量相加是带方向的，应该是
，该选项符合题意正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.
5.如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. ．
【答案】A
【解析】
【分析】
抓住已知条件：GE∥BD， GF∥AC，利用平行线分线段成比例以及中间比代换，对各选项
一一判断即可求解.
【详解】∵GE∥BD，∴
∵GF∥AC，∴
∴ ，A选项正确；
∵GE∥BD，∴
∵GF∥AC，∴
∴ ，B选项错误；
∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴
∴ ，C选项错误；
∵GE∥BD，∴ ，D选项错误；
故选：A
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用中间比是解题的关键.
6.抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，那么下
列结论中正确的是（ ）
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
A. ； B. ； C. ； D. ．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用待定系数法求得 的值，根据 的值即可求解.
【详解】∵x=-1时y=4；x=0时y=6；x=-2时y=0，
∴a−b+c＝4
c＝6
4a−2b+c＝0，
解得：a＝−1，b＝1，c＝6．
∴ ，故选：D
【点睛】本题考查的是二次函数的性质及用待定系数法求二次函数的解析式，先根据图表
列出关于 的方程组，求出 的值是解答此题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入
答题纸的相应位置]
7.已知 ，那么 的值为______．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据比例的性质，设 ，则 ，代入求解即可.
【详解】设 ，则 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了比例 性的质.
8.已知线段AB=2，P是AB的黄金分割点，且AP > BP，那么AP=______．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义 ，即可求得答案.
【详解】根据题意，设 ，则 ,依题意得： ，即：
化简得：
解得： (负值已舍)
故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，利用黄金分割的定义构建方程是解题的关键.
9.已知向量 与单位向量 方向相反，且 ，那么 =______（用向量 的式子表示）
【答案】-3 ．
【解析】
试题分析：由向量 与单位向量 方向相反，且| |＝3，根据单位向量与相反向量的知识，
即可求得答案．∵向量 与单位向量 方向相反，且| |＝3，
∴ =-3 ．
故答案为-3 ．
考点：平面向量．
10.如果抛物线 的顶点是它的最低点，那么 的取值范围是_______．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
由于原点是抛物线 的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定 的
范围．
【详解】∵原点是抛物线 的最低点，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点．
11.如果点A（-3， ）和点B（-2， ）是抛物线 上的两点，那么 __ ．
（填“ ”、“=”、“ ”）．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
先判断出抛物线开口方向，进而求出对称轴，利用函数的增减性即可求解．
【详解】∵二次项系数为1，
∴开口向上，
∵对称轴是直线： ，即 轴，
又∵
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，
明白开口向上、对称轴左侧，函数值随自变量增大反而减少的特征是解题的关键．
12.某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都
为 ，12月份的产值为 万元，那么 关于 的函数解析式是______．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据：现有量=原有量×(1+增长率 ,即可列方程求解．【详解】依题意得：
故答案为：
【点睛】考查了一元二次方程的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率 =现有量，
表示增长的次数．
13.在△ABC中，∠C=90°，如果tanB=2，AB=4，那么BC=______．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据tanB= ，得 ，结合AB=4，利用勾股定理即可求得答案.
【详解】在△ABC中，∠C=90°，tanB=2，
∵ tanB= ，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确理解三角形函数的定义、熟练应用勾股定理，
是解答本题的关键．14.小明沿着坡度i=1∶2.5的斜坡前行了29米，那么他上升的高度是______米．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据垂直高度：水平宽度 ，可用未知数表示出垂直高度和水平宽度的值，进而可用
勾股定理求得垂直高度的值．
【详解】如图．
米， ．
设 米，则 米．
在 中， ，
即 ，
化简得： ，
解得： ．
∴上升高度是: 米．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坡度的定义以及直角三角形中三角函数值的计算以及勾股定理在直角
三角形中的运用，注意构造直角三角形，并借助解直角三角形的知识求解是关键.15. 已知点G是△ABC的重心，AB=AC=5,BC=8，那么AG=_____．
【答案】2.
【解析】
试题分析：根据题意画出图形，连接AG并延长交BC于点D，由等腰三角形的性质可得出
AD⊥BC，再根据勾股定理求出AD的长，由三角形重心的性质即可得出AG的长．
如图所示：连接AG并延长交BC于点D，
∵G是△ABC的重心，AB=AC=5，BC=8，
∴AD⊥BC，BD= BC= ×8=4，
∴AD= =3，
∴AG= AD= ×3=2．
故答案为2．
考点：三角形的重心．
16.如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB=3，AC=4，
那么cot∠AOE=______．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据O、E分别是AC、AD的中点，知 是中位线得 ，连接 ，根据
菱形的性质知AC与 垂直平分，在 中，根据勾股定理可求得 ，继而求得答案.
【详解】如图，连接 ，
在菱形ABCD中，O是AC的中点，
∴O也是对角线的交点，且AC与 垂直平分，
∵O、E分别是AC、AD的中点，
∴ ，
∴
在 中， ， ,
∴
∴cot∠AOE= cot
故答案为：
【点睛】本题考查了求角的正切余切函数，涉及的知识有：菱形的性质，中位线的性质以
及勾股定理，利用中位线的性质证得 是解题的关键.
17.在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如
图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与
△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为______．【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据小正方形的边长，分别求出 和 三边的长，然后判断它们是否对应成比
例，再用三角形面积公式求解即可.
【详解】如图，
∵ ，
∴
∵ ， ，
∴
∴
∴
∴
故答案为：1
【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公
式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.
18.已知，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，折叠矩形纸
片ABCD，折痕BM交AD边于点M，在折叠的过程中，如果点A恰好落在线段EF上，那
么边AD的长至少是______cm．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
根据折叠的性质知 ，在 中可求得 的长，即可获得答案.
【详解】如图，当点A恰好与点F重合时，边AD的长最短，
根据折叠的性质得： ，
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴ ，则 ， ，
在 中，
∴边AD的长至少是
故答案是：【点睛】本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、平行线的性质以及勾股定理，牢固掌握
矩形的性质、平行线的性质、勾股定理等几何知识点是基础，灵活运用是关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分） [请将解题过程填入答题纸的相应
位置]
19.计算： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
将特殊角的三角函数值代入，根据实数的运算法则求值即可.
【详解】原式=
=
= ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值、
熟练掌握实数的运算法则是解题的关键.
20.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，AE与BD交于点F，DE∶EC=2∶3．
(1)求BF∶DF的值；
（2）如果 ， ，试用 、 表示向量 ．【答案】(1)5∶2；（2）
【解析】
【分析】
(1)根据平行线分线段成比例定理以及比例的性质，即可求得答案；
（2）首先根据已知条件，求得 ，再根据向量的性质即可求得答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB，
∴ ．
∵DE∶EC =2∶3，
∴DC∶DE =5∶2，
∴AB∶DE =5∶2，
∴BF∶DF=5∶2．
（2）∵BF∶DF=5∶2，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、比例 的性质以及平面向
量的知识，根据比例的性质进行灵活变形是解题的关键．解题时要注意向量是有方向的．
21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=2，BC=3．点D为AC的中点，联结BD，过点
C作CG⊥BD，交AC的垂线AG于点G，GC分别交BA、BD于点F、E．
（1）求GA的长；
（2）求△AFC的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由∠ACB=90º，CG⊥BD，证得∠CBE =∠GCA，继而证得△BCD ∽△CAG，其对应
边成比例求得答案；
（2）由GA∥BC，求得 ，根据等高的两个三角形面积的比等于底边的比即可求
得答案.
【详解】（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠GCA=90°．
∵CG⊥BD，
∴∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，∴∠CBE =∠GCA．
又∵∠DCB=∠GAC= 90°，
∴△BCD ∽△CAG．
∴ ，
∴ ，∴ ．
（2）∵∠GAC+∠BCA=180°，
∴GA∥BC．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、三角形面积公
式，利用“等高的两个三角形面积的比等于底边的比”是解题的关键.
22.水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景
观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方
法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测
得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）.
（参考数据：sin20°≈034，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，
tan31°≈0.60）
【答案】11.7米．
【解析】
【分析】
根据正切的概念表示出BD、BC，根据题意列出方程，解方程即可.
【详解】由题意，得∠ABD=90°，∠D=20°，∠ACB=31°，CD=13．
在Rt△ABD中，
∵ ，
∴ ．
在Rt△ABC中，
∵ ，
∴ ．
∵CD =BD -BC，
∴ ．
解得 米．
答：水城门AB的高约为11.7米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的概念是解
题的关键．
23.已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点
F、G， ．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
【分析】
（1）由 及∠AFG=∠EFA，证得△FAG∽△FEA，结合 AE∥BC，证得
∠EBC =∠FAG，从证得结论；
（2）由（1）的结论得到 ，证得△CDG ∽△CAB，结合AE∥BC，证得
，继而证得结论.
【详解】（1）∵ ，
∴ ．
又∵∠AFG=∠EFA，
∴△FAG∽△FEA．
∴∠FAG=∠E．∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC．
∴∠EBC =∠FAG．
又∵∠ACD=∠BCG，
∴△CAD ∽△CBG．
（2）∵△CAD ∽△CBG，
∴ ．
又∵∠DCG=∠ACB，
∴△CDG ∽△CAB，
∴ ．
∵AE∥BC，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，灵活运用比例
的性质以及中间比是解题的关键.
24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB=∠ACB时，求点P的
坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于 轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点
为点D，点P关于x轴的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．
【答案】（1）（2，-1）（2）P（ ， ）．（3） ．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求得抛物线的表达式，利用顶点公式即可求得抛物线的顶点坐标；
（2）过点P作PN⊥x轴，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，由点B、C的坐标
得 为等腰直角三角形，利用等量代换证得∠OCA=∠PCM，利用这对角的正切函数
得到MC=3PM，设PM=a，则MC=3a，PN=3-a，得P（3a，3-a）代入抛物线的表达式，即
可求得答案；
（3）设D的坐标为（2， ），过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ的延
长线于点F，利用∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，证得∠EOD=∠QDF，再根据其正切函数
列出等式即可求得答案.
【详解】（1）∵A的坐标为（1，0），对称轴为直线x=2，∴点B的坐标为（3，0）将A（1，0）、B（3，0）代入 ，得
解得：
所以， ．
当x=2时，
∴顶点坐标为（2，-1） ．
（2）过点P作PN⊥x轴，垂足为点N．过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M．
∵∠CON=90°，∴四边形CONM为矩形．
∴∠CMN=90°，CO= MN．
∵ ，∴点C的坐标为（0，3）
∵B（3，0），
∴OB=OC．
∵∠COB=90°，
∴∠OCB=∠BCM = 45°，
又∵∠ACB=∠PCB，
∴∠OCB-∠ACB =∠BCM -∠PCB，即∠OCA=∠PCM．
∴tan∠OCA= tan∠PCM．∴ ．
设PM=a，则MC=3a，PN=3-a．
∴P（3a，3-a）．
将P（3a，3-a）代入 ，得
．
解得 ， （舍）．∴P（ ， ）．
（3）设抛物线平移的距离为m．得 ，
∴D的坐标为（2， ）．
过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ的延长线于点F．
∵∠OED=∠QFD=∠ODQ=90°，
∴∠EOD+∠ODE = 90°，∠ODE+∠QDF = 90°，
∴∠EOD=∠QDF，
∴tan∠EOD = tan∠QDF．
∴ ．∴ ．
解得 ．
所以，抛物线平移的距离为 ．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，涉及的知识有：待定系数法、矩形的判定和性
质、三角形函数等，综合性强，构建辅助线、正确表示出各点坐标是解题关键.
25.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=10，CD=4，AD=6．点P是线段BD上的
动点，点E、Q分别是线段DA、BD上的点，且DE=DQ=BP，联结EP、EQ．
（1）求证：EQ∥DC；
（2）如果△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，求线段BP的长；
（3）当BP=m（0
