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第二十八章 锐角三角函数真题模拟题拔高训练
1．（2023年青海省西宁市中考数学真题）在 中， ， ， ，则 的
长约为 ．（结果精确到 ．参考数据： ， ， ）
【答案】
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∵ ,
∴ ，
则 ，
故选：
【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏
东 方向上，继续向东航行 到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西 方向上，求轮船在航行过
程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到 ）（参考数据： ， ，
， ， ， ）．
【答案】轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为
【分析】过点B作 于点D，则 ，进而得出 ， ，根据 ，得出 ，即可求解．
【详解】解：过点B作 于点D，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟
练掌握解直角三角形的方法和步骤．
3．（2023年江苏省镇江市中考数学真题）如图，将矩形 沿对角线 翻折， 的对应点
为点 ，以矩形 的顶点 为圆心、 为半径画圆， 与 相切于点 ，延长 交 于点 ，
连接 交 于点 ．
(1)求证： ．(2)当 ， 时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由切线的性质得 ，则 ，由矩形的性质得
，再由直角三角形两锐角互余得 ，根据对顶角相等和同圆的半径相
等得 ， ，然后由等角的余角相等得 ，最后由等角对等边得出结
论；
（2）由锐角三角函数得， ，得 ，由翻折得 ，由
得 ，再由矩形对边相等得 ，最后在 中解直角三
角形即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
∵ 与 相切于点E，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．（2）解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
由翻折可知， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题是四边形与圆的综合题，考查了矩形的性质、切线的性质、翻折的有关性质、锐角三角函数
的定义，正确作出辅助线，巧用解直角三角形是解答本题的关键．
4．（2023年四川省甘孜藏族自治州中考数学真题）如图，在 中， ，以 为直径的
交 边于点D，过点C作 的切线，交 的延长线于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）先根据圆周角定理得到 ．再根据切线的性质得到 ．然后利用等角的
余角相等得到 ；
（2）先证明 得到 ，则可证明 ，利用正切的定义，在 中有
，在 中有 ，所以 ，然后求出 的长，从而得到 的半径．
【详解】（1）证明：∵ 为 的直径，
∴ ．
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
5．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，已知 是 的直径， 是 的弦，点P是 外
的一点， ，垂足为点C， 与 相交于点E，连接 ，且 ，延长 交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据 ，得出 ，进而得出 ，易得 ，根据
，得出 ，则 ，即可求证 是 的切线；
（2）易得 ，则 ，根据 ，求出 ，
，则 ，根据勾股定理求出 ， ，进而求出 ，
最后根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，即 ，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴根据勾股定理可得： ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半
径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤．
6．（2023年江苏省镇江市中考数学真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个
端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
如图1是俯视图， 分别表示门框和门所在位置，M，N分别是 上的定点，
， 的长度固定， 的大小可变．(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时， ， ，求 的度数．
(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置 ．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)在门开合的过程中， 的最大值为______．（参考数据：
）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）在 中，利用锐角三角函数求得结果；
（2）以点O为圆心、 的长为半径画弧，与以点F为圆心、 的长为半径的弧交于点 ，连接
得出门 的位置；
（3）当 最大时， 的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时， 最大，
即当垂线段为OM即垂足为M时， 最大，故 的最大值为 ．
【详解】（1）解：在 中， ，
∴ ．
∴ ．
（2）门的位置 如图1中 或 所示．（画出其中一条即可）（3）如图2，连接 ，过点O作 ，交 的延长线于点H．
∵在门的开合过程中， 在不断变化，
∴当 最大时， 的值最大．
由图2可知，当 与 重合时， 取得最大值，此时 最大，
∴ 的最大值为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键．
7．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，
，四边形 ， 是正方形．过点 ， 将纸片 分别沿与 平行、
垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形 ， 拼成图2．（1）若 ， 的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 ．
（2）若 ，则 ．
【答案】 9 /
【分析】（1）在图1中，过 作 于 ，由 ，可得 ， ，故
，而 的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为
；
（2）标识字母如图，设 ，证明 ，可得 ，由 ，
有 ，即 ，可得 或 ，而 ， ，即可得到
答案．
【详解】（1）在图1中，过 作 于 ，如图：
，
，
，
，即 ，
，，
，即 ，
，
，
的面积为16，
，
，
，
纸片Ⅲ的面积为 ；
故答案为：9；
（2）如图：
，
，
设 ，则 ， ，
， ， ，
，
，
， ，，
，
，
，
解得 或 ，
当 时， ，这情况不符合题意，舍去；
当 时， ，
而 ， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角
函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．
8．（2023年西藏自治区中考数学真题）如图，已知 为 的直径，点C为圆上一点， 垂直于过点
C的直线，交 于点E，垂足为点D， 平分 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接 ，根据角平分线的定义有 ，根据圆周角定理有 ，
可得 ，进而有 ，进而可得 ，则有半径 ，问
题得证；（2）连接 ， ， ，利用勾股定理可得 ，进而有 ，
，根据 ，即 ，进而可得
，根据四边形 内接于 ，可得 ，即
，再在 中，可得 ．
【详解】（1）连接 ，如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）连接 ， ， ，如图，∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，即 ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，即 ，
∵在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，圆内接四边形的性质以及圆周角定理等知识，灵活
运用解直角三角形，是解答本题的关键．
9．（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）如图，在 中， ，点 是 的中点，将 沿
折叠得到 ，连接 .若 于点 ， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】取 中点 ，连接 ，取 中点 ，连接 ，作 于点 ．设 ，由折叠可
知 则 ，得到 ，从而推导出 ，由三角形中位线定理得到
，从而推导出 ，得到四边形 是正方形， ， ，最后利
用勾股定理解答即可．
【详解】解：取 中点 ，连接 ，取 中点 ，连接 ，作 于点 ．
∵ ， 为 的中点，
∴ ， ， ．
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，则 于点 ，
设 ，由折叠可知 则 ，
∵ ，
∴ ， ，
又由折叠得 ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
由折叠知 ， ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，即 ， ，
在 中， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性质等，
解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
10．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的
正方形恰好拼成对角互补的四边形 ，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰
和等腰 ，③和④分别是 和 ，⑤是正方形 ，直角顶点E，F，G，H分别
在边 上．
（1）若 ， ，则 的长是 cm．
（2）若 ，则 的值是 ．
【答案】 4 3
【分析】（1）将 和 用 表示出来，再代入 ，即可求出 的长；
（2）由已知条件可以证明 ，从而得到 ，设 ， ，
，用x和k的式子表示出 ，再利用 列方程，解出x，从而求出
的值．
【详解】解：（1）∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：4；
（2）设 ，
∵ ，
∴可设 ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
，
∵四边形 对角互补，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，
解得 ， （舍去），
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清
图中线段间的关系是解题的关键．1．（2023·山东青岛·校考模拟预测） 在方格纸中的位置如图所示，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求正切，找到格点 ，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵
∴ ，
故选：A．
2．（2023下·河北张家口·九年级张家口市第五中学校考期末）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角
为 ，叙述正确的是（ ）
A． 的值越大，梯子越陡
B． 的值越大，梯子越陡C． 的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与 的函数值无关
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减
小，逐一判断即可．
【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知 的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
陡缓程度与 的函数值有关，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．
3．（2023·河南周口·校联考模拟预测）如图，在 中， ， ．以 为圆心， 为半径
的 交 于点 ．点 在 上，连接 ， ，若 ，则 的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，根据圆周角定理得出 ，进而得出
，再根据 ，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，，
故选：B．
4．（2023·河北保定·统考二模）某小区打算在一块长 ，宽 的矩形空地中设置两排平行四边形倾斜
式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计），如图所示．已知规划的倾斜式
停车位每个车位长 ，宽 ，中间安全空间距离不小于 ，那么最多可以设置停车位（ ）
A．20个 B．10个 C．18个 D．9个
【答案】B
【分析】过点K作 ，交 的延长线于点H，求出 进一步求出 ，
从而求出一侧可设5个停车位，再乘以2即可得到结果．
【详解】解，如图，过点K作 ，交 的延长线于点H，
根据题意得，
由勾股定理得，
在 中，
∵
∴
∵
∴
∴在 中，
∴
∴
故取整数5，
∵另一侧与其对称，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，
灵活运用所学知识解决问题．
5．（2023·安徽·模拟预测）在 中， 为 边上的点，且 ，过
点 作 于点 ．若 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，证明 ，得出
， ，证明 ，得出 ，根据三角
函数定义求出 ．
【详解】解：如图，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，如图所示：
， ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质，解
题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
6．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点
为坐标原点，边 在 轴正半轴上， ，反比例函数 的图象经过点A，且交菱形对
角线 于点D， 轴于点 ，则 长为（ ）
A．1 B．3 C． D．【答案】C
【分析】设点A的坐标为 ，过A点作 轴，利用锐角三角函数和 即可求出m，根
据 ，设 ，根据点D经过反比例函数 ，即可求出n，进而求出答案．
【详解】解：设点A的坐标为 ，
过A点作 轴，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
或 （舍），
∴ ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵点D经过反比例函数 ，
，
或 （舍），
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，巧设未知数利用已知解析式是本题的
突破口．
二、填空题
7．（2023·山东青岛·校考模拟预测）如图，已知正方形 的边长为 ，如果将线段 绕着点 旋转
后，点 落在 的延长线上的 处，那么 为
【答案】 /
【分析】根据勾股定理求得 ，根据旋转的性质可得 ，进而勾股定理求得 ，根据正
弦的定义，即可求解．
【详解】解：∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
∵将线段 绕着点 旋转后，点 落在 的延长线上的 处，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求正弦，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．
8．（2023·广东梅州·统考二模）在 中， ，延长 至点 ，使线段
满足 ，则 ．
【答案】
【分析】根据 ，可求出 ， ， 的长，然后根据特殊角的
三角函数的计算方法即可求解．
【详解】解：根据题意，作图如下， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，且 ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查含 角的直角三角形的性质，特殊角的三角形函数值的计算方法，掌握以上知识
是解题的关键．
9．（2023·山东泰安·统考三模）如图所示，直线 与 轴相交于点 ，点 在直线上，点 在 轴上，且 是正三角形，记作第一个正三角形；然后过 做 与
直线 相交于点 ，点 在 轴上，再以 为边作正三角形 ，记作第二个正三角形；
同样过 作 与直线 相交于点 ，点 在 轴上，再以 边作正三角形 ，
记作第三个正三角形； 依此类推，则第 个正三角形的顶点 的横坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数的应用、正三角形的性质和解直角三角形有关计算，可设直线与 轴相交
于 点．通过求交点 、 的坐标可求 根据题意得 、 、 都是等腰三
角形，且腰长变化有规律，在正三角形中求高即可求出第 个正三角形的顶点 的纵坐标，再求横坐标即
可．
【详解】解：如图，设直线与 轴相交于 点，分别作 ， ， 垂直于 轴，垂足分别为 ， ，
，令 ，则 ；令 ，则 ，
， ，
，
，
是正三角形，
，
，
，
第一个正三角形的高 ；
同理可得：第二个正三角形的边长 ，高 ，
第三个正三角形的边长 ，高 ，
第四个正三角形的边长 ，高 ，
，
第 个正三角形的边长 ，高 ，
第 个正三角形顶点 的纵坐标是 ，当 时，
，
，
第 个正三角形的顶点 的横坐标为 ，
第 个正三角形的顶点 的横坐标为 ．
故答案为： ．
10．（2023·安徽·模拟预测）如图， 的半径为 ， ，则阴影部分的面积是 ．（结果保
留 ）
【答案】
【分析】过点O作 于点H，连接 ，求出 的长和 的度数，根据 即可求
出答案．
【详解】解：如图所示，过点O作 于点H，连接 ，∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了垂径定理、扇形面积、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，
求出 的长和 的度数是解题的关键．
11．（2023·广东东莞·三模）若三个边长为1的正方形按如图的方式放在 内，其中 为直角，
D，E两点都是正方形的顶点，点D在 边上，点E在线段 上，则斜边 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形，证得
是解题的关键．
根据余角的性质得到 ，证明 ，再根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得出 ，得到 ，得到
，求得 ，于是得到结论．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为： ．
12．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形 中， ， ，对角线 、 相交
于点 ，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】过 作 ，由菱形 ， ，得到 为 平分线，求出 ，
在 中，利用 角所对的直角边等于斜边的一半，得到 ，故 ，求
出 的最小值即为所求最小值，当 、 、 三点共线时最小，求出即可．
【详解】解：过 作 ，
菱形 ， ，
， ，即 为等边三角形， ，
在 中， ，
，
当 、 、 三点共线时，取得最小值，
， ，
，在 中， ，
则 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是
解本题的关键．
13．（2023·广东茂名·统考二模）如图，在 中， ，点 在边 上， ，将
沿 折叠， 的对应边 交 于点 ，连接 ．若 ，则 的长为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理
等知识点，过点 作 于点 ，先证明 是等边三角形，再证 ，得出
， ，由折叠的性质可得 ，利用三角函数求得 的长，
进而得点 与点 重合，从而求得 的长，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是
解此题的关键．
【详解】解：过点 作 于点 ，，
∵将 沿 折叠， 的对应边 交 于点 ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴点 与点 重合，
，
故答案为： ．三、解答题
14．（2023·福建漳州·统考一模）如图 ，M是 边上一点．
(1)尺规作图：在 上求作一点P，使 ；
(2)利用（1）中的图形，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据三角函数的意义作 ，再根据外角定理作 的角；
（2）根据三角函数的意义求解．
【详解】（1）解：如图：点P即为所求；
（2）解：设 ，
由作图得： ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握直角三角形的性质及三角函数的意义是解题的关键．
15．（2023·海南三亚·统考二模）某中学数学兴趣小组借助无人机测量一条河的宽度 ．如图所示，一架
水平飞行的无人机在 处测得正前方河流的左岸 处的俯角为 ，无人机沿水平线 方向继续飞行60米
至 处，测得正前方河流右岸 处的俯角为 ，线段 的长为无人机距地面的铅直高度，点 、 、在同一条直线上，其中 ， 米．
(1)填空： 度， 度；
(2)求无人机的飞行高度 ；
(3)求河流的宽度 ．（结果保留根号）
【答案】(1)60，30
(2)无人机的飞行高度为180米
(3)河流的宽度 为 米．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题．
（1）根据仰角、俯角的概念、平行线的性质解答；
（2）根据正确的定义计算，得到答案；
（3）过点 作 于点 ，根据正切的定义求出 ，进而求出 ．
【详解】（1）解： ，
，
∵ ，
， ，
故答案为：60，30；
（2）解：在 中， 米， ，
则 （米 ，
答：无人机的飞行高度为180米；
（3）解：如图，过点 作 于点 ，则 米， 米，
在 中， ，
则 （米 ，
米，
米，
米，
答：河流的宽度 为 米．
16．（2023·广东广州·校考一模）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ．
(1)尺规作图：过点 作 的垂线，垂足为 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）以点 为圆心，大于 到 的距离为半径，画弧交 的延长线于两点，再分别以这两点
为圆心，大于两点距离的一半为半径画弧，相交于一点，连接该点与点C所在的直线，交 延长线于点
即可；（2）根据已知条件及菱形的对角线互相垂直平分性质，得到 的值，再利用勾股定理求得
，再利用等角的正弦值相等 ，即可求出 的值，由菱形
的四边相等可得 的值，然后根据余弦公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，CE为所作；
（2）解： 四边形 为菱形， ， ，
， ， ， ，
在 中， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握垂线的尺规作图法， “菱
形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角”等菱形的性质，锐角三角函数公式是解本题关键．
17．（2023·辽宁·模拟预测）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，交 的延
长线于点E，连接 ， ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，再根据等腰三角形三线合一的性
质得出结论；
（2）由圆周角定理结合已知可得 ，设 ，则 ，求出 ，
然后在 中，利用勾股定理构建方程求出x即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： （负值已舍去），
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，正切的定义，勾股定理的应用等知识，作
出合适的辅助线，灵活运用相关性质定理进行推理论证是解题的关键．
18．（2023·四川成都·模拟预测）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图 是装订机的底座，
是装订机的托板 始终与底座平行，连接杆 的 点固定，点 从 向 处滑动，压柄 绕着转轴
旋转．已知压柄 的长度为 ， ， ．
(1)当托板与压柄的夹角 时，如图①点 从 点滑动了 ，求连接杆 的长度．
(2)如图②，当点 从①中的位置又向 处滑动了 ，求压柄 从①的位置旋转了多少度？
（参考数据： ， ，
【答案】(1)
(2)53度
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义．
（1）作 于 ，利用锐角三角函数和勾股定理即可解决问题；
（2）由题意可得 ，然后利用勾股定理的逆定理即可解决问题．【详解】（1）如图①，作 于 ，
在 中， ， ， ，
， ，
， ．
， ，
，
．
答：连接杆 的长度为 ；
（2）由题意可知： ，
，
， ，
， ，
，
，
，
压柄 从①的位置旋转了53度．
19．（2023·江苏泰州·统考二模）如图， 是 的内接三角形，点 、 分别在直径 、弦 上，
点 在线段 的延长线上，连接 ．(1)请从下列三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．
① ；② ；③ 是 的切线；
你选择的补充条件是______，结论是______；（填写序号）
(2)在（1）的条件下，若 ， ， ，求 的半径．
【答案】(1)补充条件是①②，结论是③，理由见解析；
(2)半径长是 ．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到 ， ，由对顶角的性质得到
，由直角三角形的性质即可推出 ，即可证明问题；
（2）作 于 ，由 ，得到 ，由三角形内角和定理得到 ，因此
，得到 ，即可求出 ，由勾股定理求出 ，由
，求出 的长，得到 的长，由 ，即可求出 ，得到圆的半径长．
【详解】（1）解：补充条件是 ，结论是 ，理由如下：
连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，半径 ，
是 的切线；
（2）作 于 ，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长是 ．
【点睛】本题考查勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，切线的判定，关键
是由等腰三角形的性质，直角三角形的性质推出 ；由锐角的正切求出 长，由
和 ．20．（2023·山东青岛·统考一模）如图，已知 和 中， ，
， ，B、C、D共线．动点P从D点出发沿 向B点运动；动点Q从B点出发沿
BA向A点运动；速度均为 ，当Q点到达A点时，P，Q两点停止运动，过P点作DE的垂线，垂足为
M点，连接 ，解答下列问题：
(1)当 时，求t的值；
(2)设 的面积为 ，求S与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使得点Q在 的垂直平分线上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据 得 ，从而得出 ；
（2）可推出 ，从而 ，进而得出S的函数关系式；
（3）作 于G，作 于H，可推出当 时， ，即Q在PM的垂
直平分线上，可表示出 ， ， ，从而列出方程 ，
进一步得出结果．
【详解】（1）∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
经检验符合题意；
（2）如图1，
作 于G，
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
（3）如图2，
存在 ，使得点Q在 的垂直平分线上，理由如下：
作 于G，作 于H，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
当 时，即Q在 的垂直平分线上，
∵ ，BQ＝t，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴当 时，点Q在 的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的知识，全等三角形的判定和性质，函数解析式，平行线间的距离，矩
形的判定和性质等知识，解决问题的关键是找出合适的数量关系来衡量位置关系．
