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让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（基础）
撰稿：张晓新 审稿：杜少波
【考纲要求】
1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角
形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；
2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，
∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
B
c
a
A C
b
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 ；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 ；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即 .
同理 ； ； ．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的
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比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，
但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，
、 、 常写成 、 、 ．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时， ， ，tanA＞0．
考点二、特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45° 1
60°
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道
了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 ，则锐角 ．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、 、 的值依次为 、 、 ，而 、 、 的值的顺序
正好相反， 、 、 的值依次增大，其变化规律可以总结为：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
考点三、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
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(1)互余关系： ， ；
(2)平方关系： ；
(3)倒数关系： 或 ；
(4)商数关系： ．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算
时巧用这些关系式可使运算简便．
考点四、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
， ， ，
， ， .
④ ，h为斜边上的高.
要点诠释：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
考点五、解直角三角形的常见类型及解法
已知条件 解法步骤
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由 求∠A，
两直角边(a，b)
∠B=90°－∠A，
两
边
由 求∠A，
Rt△ABC
斜边，一直角边(如c，a)
∠B=90°－∠A，
∠B=90°－∠A，
锐角、邻边
(如∠A，b)
一直角边 ，
一
边 和一锐角 ∠B=90°－∠A，
锐角、对边
一
(如∠A，a)
角
，
∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A)
，
要点诠释：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素
是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为
边.
考点六、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数
量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图
形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问
题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
拓展：
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表示，则 ，如图，
坡度通常写成 = ∶ 的形式.
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(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，
如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向
PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目
标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：
东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的
是北偏西45°.
要点诠释：
1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画
出它的示意图.
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.
例如：
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3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，
进而根据条件选择合适的方法求解.
【典型例题】
类型一、锐角三角函数的概念与性质
1．如图，在4×4的正方形网格中，tanα=( )
(A)1 (B)2 (C) (D)
【思路点拨】把∠α放在一个直角三角形中，根据网格的长度计算出∠α的对边和邻边的长度.
【答案】B；
【解析】根据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切
的定义 ， 故选B.
【总结升华】本题考查锐角三角函数的定义及运用，可将其转化到直角三角形中解答，锐角的正弦为对边
比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
举一反三：
【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°,若AC=2BC，则sinA的值是( )
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(A) (B)2 (C) (D)
【答案】选C.因为∠C=90°， ，所以 .
类型二、特殊角的三角函数值
2．已知a＝3，且 ，以a、b、c为边长组成的三角形面积等于(
)．
A．6 B．7 C．8 D．9
【思路点拨】根据题意知 求出b、c的值，再求三角形面积.
【答案】A；
【解析】根据题意知 解得
所以a＝3，b＝4，c＝5，即 ，其构成的三角形为直角三角形，且∠C＝90°，
所以 ．
【总结升华】
利用非负数之和等于0的性质，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，
注意tan45°的值不要记错．
举一反三：
【变式】 计算： .
【答案】原式 .
3．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sinB·sinC的值．
【思路点拨】
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为求sin B，sin C，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是60°，若要使
其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B、C向CA、BA的延长线作垂线，即可顺
利求解．
【答案与解析】
解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E．
∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．
∴AD＝AB·cos60°＝10× ＝5；
BD＝AB·sin60°＝10× ＝ ．
又∵CD＝CA+AD＝10，
∴ ，
∴ ．
同理，可求得 ．
∴ ．
【总结升华】由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以
通过作垂线等方法将其置于直角三角形中．
举一反三：
【变式】如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了 个单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东
60°的方向上，则原来A的坐标为__________.(结果保留根号)．
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【答案】
类型三、解直角三角形及应用
【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例3】
4．在△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，AB＝ ，求∠BCA的度数和AC的长．
【思路点拨】
由于∠A是一个特殊角，且已知AB，故可以作AC边上的高BD(如图所示)，可求得 ．由于此
题的条件是“两边一对角”，且已知角的对边小于邻边，因此需要判断此题的解是否唯一，要考虑对边BC
与AC边上的高BD的大小，而 ，所以此题有两解．
【答案与解析】
解：作BD⊥AC于D．
(1)C 点在AD的延长线上．
1
在△ABC 中， ， ，
1
∴ ．
∴∠C＝60°．
1
由勾股定理，可分别求得 ， ．
∴AC＝AD+DC＝ ．
1 1
(2)C 点在AD上．
2
由对称性可得，∠BCD＝∠C＝60°，
2 1
．
∴∠BCA＝120°， ．
2
综上所述，当∠BCA＝60°时，AC＝6；当∠BCA＝120°时，AC＝3．
【总结升华】
由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一．
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【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例4】
5．如图所示，某船向正东航行．在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西
30°方向，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A，D两点间的
距离(结果保留根号)．
【思路点拨】
作CE⊥AD，用CE可以表示出AE、DE，根据AD的长，可以得到关于CE的方程，就可以求得CE的长．
【答案与解析】
解：作CE⊥AD于E，设CE＝x(海里)，
∵∠CAD＝∠CDA＝45°，
∴CE＝AE＝DE＝x．
在Rt△CEB中，∠CBE＝60°，BE＝DE-BD＝x-10．
∴ ．
解得 ．
∴AD＝2x＝(30+ )(海里)．
答：A，D两点间的距离为 海里．
【总结升华】
解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作
高线．
已知斜三角形中的SSS，SAS，ASA，AAS以及SSA条件，求三角形中的其他元素是常见问题，注意划归
为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图所示)：
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举一反三：
【变式】坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年)，为砖砌八角形十三层楼
阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、
皮尺、小镜子．
(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高．下图为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点
A，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角α＝35°，在点A和塔之间选择一点B，测出看塔顶(M)的仰角β＝
45°，然后用皮尺量出A，B两点间的距离为18.6m，量出自身的高度为1.6m．请你利用上述数据帮助小华
计算出塔的高度(tan35°≈0.7，结果保留整数)．
(2)如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP的长为am(如图所示)，你能否利用这
一数据设计一个测量方案?如果能，请回答下列问题：
①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：________________________；
②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据?
________________________________________________________.
【答案】
解：(1)设CD的延长线交MN于E点，MN长为x m，则ME＝(x-1.6)m．
∵β＝45°，
∴DE＝ME＝x-1.6．
∴CE＝x-1.6+18.6＝x+17．
∵ ，
∴ ，解得x＝45．
∴太子灵踪塔MN的高度为45m．
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(2)①测角仪、皮尺；
②站在P点看塔顶的仰角、自身的高度(注：答案不唯一)．
6．如图所示，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航
行，行至A点处测得P在它的北偏东60°方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东
45°方向，问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?
【思路点拨】
要得出有无触礁的危险，需求出轮船在航行过程中离点P的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比
较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险.
【答案与解析】
解：过P作PC⊥AB于C点，根据题意知：
AB＝9× ＝3，∠PAB＝90°-60°＝30°，
∠PBC＝90°-45°＝45°，∠PCB＝90°．
∴PC＝BC在Rt△APC中，
，
即 ．
∴ ＞3．
答：客轮不改变方向继续前进无触礁危险．
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【总结升华】
此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．
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