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第 28 章 锐角三角函数（知识清单+典型例题）
【知识导图】
【知识清单】
一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助
线来构造直角三角形.
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，
其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
【例1】（2023·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在 中，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】（2022·黑龙江哈尔滨·九年级校考专题练习）在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，
则锐角A的三角函数值（ ）
A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍
C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小
二、特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°【例2】（2023下·广东茂名·九年级统考期中）计算：
三、解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ；
（4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【例3】（2023·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校考期中）如图1，在 中， ，
，将 绕点 逆时针旋转，得到 ，旋转角为 ，连接 交 于点 ．(1)如图2，当 时，求证： ；
(2)在旋转过程中，
①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
②连接 ，当 为直角三角形时，求 的值．
四、仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【例4】（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，一学生站在A处，利用无人机测量大楼 的高度，
无人机在空中点 处，测得点 与地面上A点， 点处俯角分别为 和 ，且 ，
， .（点A， ， ， 在同一平面内）
(1)求无人机 到地面的距离；
(2)若 ，求大楼 的高度.（结果精确到 ）（参考数据： ， ）
【变式】（2023·浙江杭州·九年级校考期中）小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机 看建筑物顶部 的仰角为 ，看底部 的俯角为 ，无人机 到该建
筑物 的水平距离 为 米，求该建筑物 的高度．（结果保留根号）
五、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i= ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
【例5】（2023·福建泉州·九年级统考期中）如图，在一坡度 的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了
米，则木箱升高了 米．
【变式】（2023·上海松江·九年级校考阶段练习）已知斜坡的坡角为 ，坡度为 ，小明沿该斜坡行走，
上升了20米，则他行走的路程是 米．
六、方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．
【例6】（2023·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分
布如图所示，经测量，点 均在点 的正北方向且 米，点 在点 的正西方向，且
米，点 在点A的南偏东 方向且 米，点 在点A的东北方向．（参考数据：
）
(1)求道路 的长度（结果保留根号）；
(2)若甲从A点出发沿 的路径去点 ，与此同时乙从点 出发，沿 的路径去点 ，在两人
速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位）
【变式】（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习）如图，一艘轮船航行到 处时，灯塔 在船的北偏东
的方向，轮船从 处向正东方向航行 后到达 处，此时灯塔 在船的正北方向，求此时 处与灯塔
的距离（结果保留根号）．七、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求
边，或通过公共边相等，列方程求解.
【例7】（2023·山东济南·九年级统考期中）如图，在高楼前 点测得楼顶的仰角为 ，向高楼前进 米
到 点，又测得仰角为 ，已知该高楼的高度为 米，则 米．
【变式】（2022·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为
、底部C处的俯角为 ，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离 为80米．该建筑物的高度
（精确到1米）．[参考数据： ， ， ]
八、解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【例8】（安徽省亳州市2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题）一船自西向东航行，在 得
到消息，在其北偏东53°方向，距离30海里的点 处，测得有一暗礁群在以点 为圆心， 海里为半径
的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险?说明理由．（参考数据： ，
， ， ）
【变式】（2023·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图为挖掘机某工作时刻的示意图，挖掘机的
底座高 米，大臂由 和 两部分构成，其中 米， 米， 与 的固定夹角，
，此时测得大臂的前部 与 的夹角 ，小臂 与地面 的夹角
．（参考数据： ， ， ， ）．
(1)求点C到地面 的距离．（结果精确到 米）
(2)已知挖掘机A正前方 米外为禁止施工路段，请通过计算说明此时控掘机挖掘的地方是否为禁止施工路
段？（结果精确到 米）核心素养提升
1. 转化思想
1．（2023·重庆沙坪坝·九年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的
高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面 的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为 ，
无人机D测得教学楼 顶端点C处的俯角为 ，又经过人工测量测得操控者A和教学楼 之间的距离
为 ，点A，B，C，D都在同一平面上．
(1)求此时无人机D与教学楼 之间的水平距离 的长度（结果保留根号）；
(2)求教学楼 的高度（结果取整数）．（参考数据： ， ， ，
）
2. 数形结合思想
2．（2023·广东茂名·九年级校考阶段练习）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口 处，测得正前方旗
杆顶部 点的仰角为37°，旗杆底部 点的俯角为45°，求国旗 高多少米？（参考数据： ，， ）
3. 方程思想
3．（2023·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图，从水平面看一山坡上竖直的通讯铁塔 ，在点A处测
得塔顶端点P的仰角是 ，向前走9米到达点B处（ 米），此时测得塔顶端点P和塔底端点C的
仰角分别是 和 ．求该铁塔 的高度．（结果精确到0.1米；参考数据： ， ）
4. 数学建模思想
4．（2023·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲
山 处的位置向乙山 处拉电线．已知甲山上 点到 的垂直高度 米；乙山 的坡比为 ，
乙山上 点到河边 的距离 米，从 处看 处的俯角为 ．（ 在同一平面内，参
考值： ）(1)求乙山 处到河边 的垂直距离；
(2)求河 的宽度（结果保留整数）．
中考热点聚焦
热点1.特殊角的三角函数值
1．（2023·四川甘孜·统考中考真题）(1)计算： ；
热点2.解直角三角形
2．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点 ，
，点C在x轴负半轴上，连接 ， ，若 ，以 为边作等边三角形 ，则点C
的坐标为 ；点D的坐标为 ．热点3.仰、俯角问题
3．（2023·山东青岛·统考中考真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某
校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为 ，点O是
的中点， 是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上， ， ．该校学生在D处
测得电池板边缘点B的仰角为 ，在E处测得电池板边缘点B的仰角为 ．此时点A、B与E在一条直
线上．求太阳能电池板宽 的长度．（结果精确到 ．参考数据： ， ，
， ）热点4.方向角问题
4．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C
位于码头A北偏东 方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西 方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘
测发现位于码头A北偏东 方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油
管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
热点5.坡角、坡度问题
5．（2023·湖北·统考中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形
，斜面坡度 是指坡面的铅直高度 与水平宽度 的比．已知斜坡 长度为20米，
，求斜坡 的长．（结果精确到米）（参考数据： ）
热点6.与解直角三角形相关的综合性问题
6．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）一酒精消毒瓶如图1， 为喷嘴， 为按压柄， 为伸缩连杆，和 为导管，其示意图如图2， ， ， ．当按压柄 按压
到底时， 转动到 ，此时 （如图3）．
（1）求点 转动到点 的路径长；
（2）求点 到直线 的距离（结果精确到 ）．
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
