专题14相似三角形与锐角三角函数（5年汇编）（浙江专用）（原卷版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编

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专题14 相似三角形与锐角三角函数
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 相似三角形
判定与性质
2025·浙江·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江舟山·中考
2022·浙江温州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江金华·中考
2023·浙江杭州·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取约20 道真题，是本专
题题量最大的考点。其中2026 年省统考以"显示屏遮挡
产生盲区"的生活情境考查相似，并叠加全等与矩形。
题型覆盖选择、填空与解答题，分值3-12 分，难度跨
度大，基础题多为直接判定相似或利用相似求线段比
例，中档题则常与面积、比例线段、测量问题结合。该
考点的核心主线是"利用相似三角形对应边成比例求线
段或比例关系"，实际应用上大量出现在测量类情境（如
树高、旗杆、风车、镜面反射等），并借助相似与平行
线分线段成比例定理、重心性质、四点共圆、轴对称、
折叠等知识综合呈现。整体来看，本考点是浙江中考几
何考查的重点，预计未来省统考将继续以"相似＋实际
测量＋面积比例＋综合探究"为基本命题形态，并可能
保持较高的综合度。
考点02 锐角三角函
数与解直角三角形
2026·浙江·中考
2025·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取约20 道真题，其中2026
年、2025 年、2024 年省统考均连续设题，显示省统考
对本板块的高度重视。题型以解答题和选择题为主，分
值3-10 分，核心考查三类模型：一是直角三角形中的
边角关系直接计算，常以真实物品为背景；二是仰角、
俯角、方位角的实际测量问题，往往需要构造直角三角
形并结合参考数据换算；三是三角函数与圆、相似、面
积等知识的综合。整体上，本考点由"单一解直角"向"
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2023·浙江台州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江嘉兴·中考
情境建模＋多知识点综合"发展，预计未来省统考将继
续以真实情境中的仰俯角测量为核心，并可能融入函
数、几何最值等综合元素。
考点01
相似三角形判定与性质
1．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面݈
与一个显示屏ܣܤ的侧视图，墙面与地面垂直，用两根
等长的支架ܲܳ
和ܯܰ
连接墙面与显示屏，测得ܲ
ܯൌܳܰ
．
(1)证明：ܲܯצܳܰ
；
(2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架ܲܳ
ൌൌͲ cm，ܣܤൌൌ͹ cm，ܲܳ
٣݈，锦凌同学的眼睛ܱ
与显示屏底部
ܤ等高，眼睛到墙面݈
的距离ܱ
쳌ൌʹͲͲ cm，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区ܥ쳌．求ܥ쳌
的长度．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在ᇞܣܤܥ中，ܣܤൌܣܥ댳סܣᦙ䁡Ͳι，点쳌댳ܧ댳ܨ分别在边ܣܤ，ܤܥ댳ܥܣ
上，连接쳌ܧ댳ܧܨ댳ܨ쳌，已知点ܤ和点ܨ关于直线쳌ܧ对称．设
ܤܥ
ܣܤൌ݇
，若ܣ쳌ൌ쳌ܨ，则
ܥܨ
ܨܣൌ_________（结果
用含݇
的代数式表示）．
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3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点P 是ᇞܣܤܥ的重心，点D 是边ܣܥ的中点，ܲܧצ ܣܥ交ܤܥ于
点E，쳌ܨצ ܤܥ交ܧܲ
于点F，若四边形ܥ쳌ܨܧ的面积为6，则ᇞܣܤܥ的面积为（
）
A．15
B．18
C．24
D．36
4．（2023·浙江湖州·中考真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架ܧܨ
放在离树ܣܤ适当距离的水平地面上的点F 处，再把镜子水平放在支架ܧܨ上的点E 处，然后沿着直线ܤܨ
后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量ܤܨ，쳌ܨ，ܧܨ，观测者目高ܥ쳌的
长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知ܥ쳌٣ ܤ쳌于点D，ܧܨ٣ ܤ쳌于点F，ܣܤ٣ ܤ쳌于点B，ܤܨൌ㜷
米，쳌ܨൌʹ 米，ܧܨൌͲൌ米，ܥ쳌ൌൌ͹ 米，则这棵树的高度（ܣܤ的长）是______米．
5．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，ܣܤ为半圆ܱ
的直径，ܥ为ܤܣ延长线上一点，ܥ쳌切半圆于点쳌，
ܤܧ٣ ܥ쳌，交ܥ쳌延长线于点ܧ，交半圆于点ܨ，已知ܱ
ܣൌ
͵
ʹ，ܣܥൌൌ．如图ʹ，连接ܣܨ，ܲ
为线段ܣܨ上
一点，过点ܲ
作ܤܥ的平行线分别交ܥܧ，ܤܧ于点ܯ，ܰ，过点ܲ
作ܲ
ܪ٣ ܣܤ于点ܪ．设ܲ
ܪൌ〮，ܯܰ
ൌ㠸．
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(1)求ܥܧ的长和㠸关于〮的函数表达式．
(2)当ܲ
ܪᦙܲܰ
，且长度分别等于ܲ
ܪ，ܲܰ
，ܽ
的三条线段组成的三角形与ᇞܤܥܧ相似时，求ܽ
的值．
(3)延长ܲܰ
交半圆ܱ
于点ܳ
，当ܰܳ
ൌ
ൌൌ
Ͷ 〮െ͵ 时，求ܯܰ
的长．
6．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在四边形ܣܤܥ쳌中，ܣ쳌צ ܤܥ댳סܥൌͶൌι，以ܣܤ为腰作等腰直角
三角形ܤܣܧ，顶点ܧ恰好落在ܥ쳌边上，若ܣ쳌ൌൌ，则ܥܧ的长是（
）
A．ʹ
B．
ʹ
ʹ
C．2
D．1
7．（2023·浙江衢州·中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1 所示纸片中，סܣܥܤൌ䁡Ͳι ܣܥᦙܤܥ，
四边形ܣܥ쳌ܧ，ܥܤܨ⸴是正方形．过点ܥ，ܤ将纸片ܥܤܨ⸴分别沿与ܣܤ平行、垂直两个方向剪裁成四部分，
并与正方形ܣܥ쳌ܧ，ᇞܣܤܥ拼成图2．
（1）若cosסܣܤܥൌ
͵
Ͷ，ᇞܣܤܥ的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________．
（2）若ܲܳܤܳൌ
ൌ䁡
ൌൌ，则
ܤܭ
ܣܭൌ________．
8．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在Rt ᇞܣܤܥ中，סܣܥܤൌ䁡Ͳι，以其三边为边在ܣܤ的同侧作三个正
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方形，点ܨ在⸴ܪ上，ܥ⸴与ܧܨ交于点ܲ
，ܥܯ与ܤܧ交于点ܳ
．若ܪܨൌܨ⸴，则ܵ
四边形ܲ
ܥܳܧܵ
正方形ܣܤܧܨ
的值是（
）
A．
ൌ
Ͷ
B．
ൌ
ൌ
C．
͵
ൌʹ
D．
㜷
ʹൌ
9．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3 节课后，发现学习内容是
一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：
__________
10．（2022·浙江温州·中考真题）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M
在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片ܱ
ܣ댳ܱܤ，此时各叶片影子在点M 右侧成线
段ܥ쳌，测得ܯܥൌͺൌm댳ܥ쳌ൌൌ͵m，垂直于地面的木棒ܧܨ与影子ܨ⸴的比为2∶3，则点O，M 之间的距
离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．
11．（2022·浙江杭州·中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE
直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已
知B，C，E，F 在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m．
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12．（2022·浙江丽水·中考真题）一副三角板按图1 放置，O 是边ܤܥ䁠쳌ܨ㌳的中点，ܤܥൌൌʹcm．如图2，
将ᇞܣܤܥ绕点O 顺时针旋转㜷Ͳι，ܣܥ与ܧܨ相交于点G，则ܨ⸴的长是___________cm．
13．（2022·浙江绍兴·中考真题）将一张以AB 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩
下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四
边形纸片ܣܤܥ쳌，其中סܣൌ䁡Ͳι，ܣܤൌ䁡，ܤܥൌ͹，ܥ쳌ൌ㜷，ܣ쳌ൌʹ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长
不可能
．．．是（
）
A．
ʹൌ
ʹ
B．
Ͷൌ
Ͷ
C．10
D．
͵ൌ
Ͷ
14．（2022·浙江衢州·中考真题）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放
置成如图2 的位置，从矩的一端ܣ（人眼）望点ܧ，使视线通过点ܥ，记人站立的位置为点ܤ，量出ܤ⸴长，
即可算得物高ܧ⸴．令BG=x（m），EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则㠸关于〮的函数表
达式为（
）
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A．㠸ൌ
ൌ
ʹ 〮
B．㠸ൌ
ൌ
ʹ 〮൅ൌ㜷
C．㠸ൌʹ〮൅ൌ㜷
D．㠸ൌ
ൌͺͲͲ
〮
൅ൌ㜷
15．（2022·浙江金华·中考真题）如图是一张矩形纸片ܣܤܥ쳌，点E 为ܣ쳌中点，点F 在ܤܥ上，把该纸片
沿ܧܨ折叠，点A，B 的对应点分别为ܣԢ，ܤԢ，ܣԢܧ与ܤܥ相交于点G，ܤԢܣԢ的延长线过点C．若
ܤܨ
⸴ܥൌ
ʹ
͵，则
ܣ쳌
ܣܤ
的值为（
）
A．ʹ ʹ
B．
Ͷ ൌͲ
ൌ
C．
ʹͲ
͹
D．
ͺ
͵
16．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在ᇞܣܤܥ中，ܣܤൌܣܥ댳סܤൌ͵㜷ι．分别以点ܣ，ܥ为圆心，大于
ൌ
ʹ ܣܥ
的长为半径画弧，两弧相交于点쳌，ܧ，作直线쳌ܧ分别交ܣܥ，ܤܥ于点ܨ，⸴．以⸴为圆心，⸴ܥ长为半径
画弧，交ܤܥ于点ܪ，连结ܣ⸴댳ܣܪ．则下列说法错误
．．的是（
）
A．ܣ⸴ൌܥ⸴
B．סܤൌʹסܪܣܤ
C．ᇞܥܣܪ؆ᇞܤܣ⸴
D．ܤ⸴ʹ ൌܥ⸴ڄ ܥܤ
17．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在ܴ
ݐᇞܣܤܥ和ܴ
ݐᇞܤ쳌ܧ中，סܣܤܥൌסܤ쳌ܧൌ䁡Ͳι，点A 在边쳌ܧ
的中点上，若ܣܤൌܤܥ，쳌ܤൌ쳌ܧൌʹ，连结ܥܧ，则ܥܧ的长为（
）
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A．ൌͶ
B．ൌൌ
C．4
D．ൌ͹
18．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上
的三个点A，B，C 都在横线上．若线段ܣܤൌ͵，则线段ܤܥ的长是（
）
A．
ʹ
͵
B．1
C．
͵
ʹ
D．2
19．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ᇞABC 中，点D，E，F 分别在边AB，AC，BC 上，连接DE，
EF，已知四边形BFED 是平行四边形，
쳌ܧ
ܤܥൌ
ൌ
Ͷ．
(1)若ܣܤൌͺ，求线段AD 的长．
(2)若ᇞܣ쳌ܧ的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．
20．（2022·浙江宁波·中考真题）
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(1)如图1，在ᇞܣܤܥ中，D，E，F 分别为ܣܤ댳ܣܥ댳ܤܥ上的点，쳌ܧצܤܥ댳ܤܨൌܥܨ댳ܣܨ交쳌ܧ于点G，求证：쳌⸴ൌܧ⸴．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接ܥ쳌댳ܥ⸴．若ܥ⸴٣ 쳌ܧ댳ܥ쳌ൌ㜷댳ܣܧൌ͵，求
쳌ܧ
ܤܥ的值．
(3)如图3，在
ܣܤܥ쳌中，סܣ쳌ܥൌͶൌι댳ܣܥ与ܤ쳌交于点O，E 为ܣܱ
上一点，ܧ⸴צܤ쳌交ܣ쳌于点G，ܧܨ٣ ܧ⸴
交ܤܥ于点F．若סܧ⸴ܨൌͶͲι댳ܨ⸴平分סܧܨܥ댳ܨ⸴ൌൌͲ，求ܤܨ的长．
考点02
锐角三角函数与解直角三角形
1．（2026·浙江·中考真题）如图，一辆高ܣܤ为0.54 米的智能摇杆车驶入夹角为ൌൌι的裂缝进行采样，
则智能车无法采样的距离ܤܥ为___________．（注：sinൌൌι ൎͲʹ㜷，cosൌൌι ൎͲ䁡͹，tanൌൌι ൎͲʹ͹）
2．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实
践方向．如图，在高速公路上，交警在A 处操控无人机巡查，无人机从点A 处飞行到点P 处悬停，探测到
它的正下方公路上点B 处有汽车发生故障．测得A 处到P 处的距离为ൌͲͲm，从点A 观测点P 的仰角为
ߙ댳cosߙൌͲ䁡ͺ，则A 处到B 处的距离为________m．
3．
（2024·浙江·中考真题）如图，在ᇞܣܤܥ中，ܣ쳌٣ ܤܥ，ܣܧ是ܤܥ边上的中线，ܣܤൌൌͲ댳ܣ쳌ൌ㜷댳tanסܣܥܤൌൌ．
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(1)求ܤܥ的长；
(2)求sinס쳌ܣܧ的值．
4．（2023·浙江杭州·中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700 多年前中国古代数
学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（ᇞ쳌ܣܧ댳ᇞܣܤܨ댳ᇞܤܥ⸴댳ᇞܥ쳌ܪ）和中间一个小正
方形ܧܨ⸴ܪ拼成的大正方形ܣܤܥ쳌中，סܣܤܨ〮סܤܣܨ，连接ܤܧ．设סܤܣܨൌߙ댳סܤܧܨൌߚ，若正方形ܧܨ⸴ܪ
与正方形ܣܤܥ쳌的面积之比为ൌ㈠㈸댳tanߙൌtanʹߚ，则㈸ൌ（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆ܤܥൌ
ʹܽ，
ܣܤൌ㌲，ܣܤ的最大仰角为ߙ.当סܥൌͶൌι时，则点ܣ到桌面的最大高度是（
）
A．ܽ൅
㌲
cosܽ
B．ܽ൅
㌲
sinߙ
C．ܽ൅㌲cosܽ
D．ܽ൅㌲sinߙ
6．（2023·浙江温州·中考真题）图1 是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2 由其主体图案
中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形ܥ쳌ܧܨ，使点D，E，F 分别在边ܱ
ܥ，ܱܤ，ܤܥ上，过点E 作ܧܪ٣ ܣܤ
于点H．当ܣܤൌܤܥ，סܤܱܥൌ͵Ͳι，쳌ܧൌʹ 时，ܧܪ的长为（
）
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A．͵
B．
͵
ʹ
C．ʹ
D．
Ͷ
͵
7．（2023·浙江宁波·中考真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和
铅锤自制了一个简易测角仪，如图1 所示．
(1)如图2，在ܲ
点观察所测物体最高点ܥ，当量角器零刻度线上ܣ，ܤ两点均在视线ܲ
ܥ上时，测得视线与
铅垂线所夹的锐角为ߙ，设仰角为ߚ，请直接用含ߙ的代数式示ߚ．
(2)如图3，为了测量广场上空气球ܣ离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点ܤ，ܥ分别测得气球ܣ
的仰角סܣܤ쳌为͵͹ι，סܣܥ쳌为Ͷൌι，地面上点ܤ，ܥ，쳌在同一水平直线上，ܤܥൌʹͲm，求气球ܣ离地面
的高度ܣ쳌．（参考数据：sin͵͹ι ൎͲ㜷Ͳ댳cos͵͹ι ൎͲͺͲ，tan͵͹ι ൎͲ͹ൌ）
8．（2023·浙江温州·中考真题）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背
景
素
材
某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度
ܯܰ（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在ܣ，ܤ，ܥ
三个位置观测，测倾仪上的示数如图3 所示．
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经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任
务
1
分析规划
选择两个观测位置：点_________和
点_________
获取数据
写出所选位置观测角的正切值，并量
出观测点之间的图上距离．
任
务
2
推理计算
计算发射塔的图上高度ܯܰ．
任
务
3
换算高度
楼房实际宽度쳌ܧ为ൌʹ 米，请通过
测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．
9．（2023·浙江嘉兴·中考真题）图1 是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才
能被识别），其示意图如图2，摄像头ܣ的仰角、俯角均为ൌൌι，摄像头高度ܱ
ܣൌൌ㜷Ͳcm，识别的最远水
平距离ܱ
ܤൌൌൌͲcm．
(1)身高ʹͲͺcm 的小杜，头部高度为ʹ㜷cm，他站在离摄像头水平距离ൌ͵Ͳcm 的点C 处，请问小杜最少需要
下蹲多少厘米才能被识别．
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(2)身高ൌʹͲcm 的小若，头部高度为ൌൌcm，踮起脚尖可以增高͵cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头
的仰角、俯角都调整为ʹͲι（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到Ͳൌcm，参考数据sinൌൌι ൎ
Ͳʹ㜷댳cosൌൌι ൎͲ䁡͹댳tanൌൌι ൎͲʹ͹댳sinʹͲι ൎͲ͵Ͷ댳cosʹͲι ൎͲ䁡Ͷ댳tanʹͲι ൎͲ͵㜷）
10．（2023·浙江台州·中考真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线ܥܣ，ܥܤ及在黑板上的投影图像
高度ܣܤ抽象成如图所示的ᇞܣܤܥ，סܤܣܥൌ䁡Ͳι．黑板上投影图像的高度ܣܤൌൌʹͲcm，ܥܤ与ܣܤ的夹角
סܤൌ͵͵͹ι，求ܣܥ的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin͵͵͹ι ൎͲൌൌ，cos͵͵͹ι ൎͲͺ͵，tan͵͵͹ι ൎͲ㜷͹）
11．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体
净化设备上增加一条管道ܣെ쳌െܥ，已知쳌ܥ٣ ܤܥ，ܣܤ٣ ܤܥ댳סܣൌ㜷Ͳι댳ܣܤൌൌൌm댳ܥ쳌ൌͶm，求管道ܣെ
쳌െܥ的总长．
12．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ᇞABC 中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC 重
合，另一边分别交AB，AC 于点D，E．点B，C，D，E 处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD 的长
为_________．
13．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，已知ᇞABC 内接于半径为1 的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则ᇞABC
的面积的最大值为（
）
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A．cosߠൌ൅cosߠ
B．cosߠൌ൅sinߠ
C．sinߠൌ൅sinߠ
D．sinߠൌ൅cosߠ
14．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α
为75°，梯子AB 长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．
（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，
tan75°≈3.73）
15．
（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知ܤܥൌ㜷m，סܣܤܥൌߙ，
则房顶A 离地面ܧܨ的高度为（
）
A．䁠Ͷ ൅͵sinߙ㌳m
B．䁠Ͷ ൅͵tanߙ㌳m
C．Ͷ ൅
͵
sinߙm
D．Ͷ ൅
͵
tanܽ
m
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16．（2022·浙江衢州·中考真题）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，ܣ，ܤ是两侧山脚的
入口，从ܤ出发任作线段ܤܥ，过ܥ作ܥ쳌٣ ܤܥ，然后依次作垂线段쳌ܧ，ܧܨ，ܨ⸴，⸴ܪ，直到接近ܣ点，
作ܣܬ٣ ⸴ܪ于点ܬ．每条线段可测量，长度如图所示．分别在ܤܥ，ܣܬ上任选点ܯ，ܰ，作ܯܳ
٣ ܤܥ，ܰܲ
٣ ܣܬ，
使得ܲܰܣܰ
ൌܳ
ܯ
ܤܯൌ݇
，此时点ܲ
，ܣ，ܤ，ܳ
共线．挖隧道时始终能看见ܲ
，ܳ
处的标志即可．
（1）ܥ쳌െܧܨെ⸴ܬൌ_______km．
（2）݇=_______．
17．（2022·浙江金华·中考真题）图1 是光伏发电场景，其示意图如图2，ܧܨ为吸热塔，在地平线ܧ⸴上的
点B，ܤԢ处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点ܣ댳ܣԢ 旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射
后到达吸热器点F 处．已知ܣܤൌܣԢܤԢ ൌൌm댳ܧܤൌͺm댳ܧܤԢ ൌͺ ͵m，在点A 观测点F 的仰角为Ͷൌι．
（1）点F 的高度ܧܨ为______m．
（2）设ס쳌ܣܤൌߙ댳ס쳌ԢܣԢܤԢ ൌߚ，则ߙ与ߚ的数量关系是_______．
18．（2022·浙江绍兴·中考真题）圭表（如图ൌ㌳是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪
器，它包括一根直立的标竿（称为“表” ㌳和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ㌳，
当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最
短的那一天定为夏至．图2 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表ܣܥ垂直圭ܤܥ，已知该市
冬至正午太阳高度角（即סܣܤܥ㌳为͵͹ι，夏至正午太阳高度角（即סܣ쳌ܥ㌳为ͺͶι，圭面上冬至线与夏至线之
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间的距离（即쳌ܤ的长）为4 米．
(1)求∠BAD 的度数．
(2)求表AC 的长（最后结果精确到0.1 米）．（参考数据：sin37°≈
͵
ൌ，cos37°≈
Ͷ
ൌ，tan37°≈
͵
Ͷ，tan84°≈
ൌ䁡
ʹ ）
19．（2022·浙江宁波·中考真题）每年的11 月9 日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防
灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB 可伸缩（最长可伸至20m），
且可绕点B 转动，其底部B 离地面的距离BC 为2m，当云梯顶端A 在建筑物EF 所在直线上时，底部B 到
EF 的距离BD 为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB 的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E 的正上方19m 处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否
伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
20．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴
对称图形，其示意图如图2．已知ܣ쳌ൌܤܧൌൌͲcm，ܥ쳌ൌܥܧൌൌcm，ܣ쳌٣ ܥ쳌，ܤܧ٣ ܥܧ，ס쳌ܥܧൌͶͲι．（结
果精确到0.1cm，参考数据：sinʹͲι ൎͲ͵Ͷ，cosʹͲι ൎͲ䁡Ͷ，tanʹͲι ൎͲ͵㜷，sinͶͲι ൎͲ㜷Ͷ，cosͶͲι ൎͲ͹͹，
tanͶͲι ൎͲͺͶ）
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(1)连结쳌ܧ，求线段쳌ܧ的长．
(2)求点A，B 之间的距离．
1．如图所示，已知正方形ܣܤܥ쳌是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的，延长ܤܪ交ܣ쳌于点
M．若ܣܯ㈠ܯ쳌ൌൌ㈠ʹ．则正方形ܧܨ⸴ܪ与正方形ܣܤܥ쳌的面积之比为（
）
A．ൌ㈠ൌ
B．ʹ㈠͵
C．ʹ㈠ൌ
D．͵㈠ൌ
2．如图1，点ܥ是以ܣܤ为直径的半圆上的一个动点，过点ܥ作ܥ쳌٣ ܣܤ于点쳌，ܧ是ܥ쳌的中点，连结ܣܥ，
ܤܧ．设ܣ쳌ൌ〮，ᇞܣ쳌ܥ的面积为㠸ൌ，ᇞܤ쳌ܧ的面积为㠸ʹ．函数㠸ൌ，㠸ʹ关于〮的图象如图2 所示，其中点ܲ
为两个图象的交点，则下列结论错误的是（
）
A．݉
ൌʹ
B．点ൌ댳
͵
ʹ 一定落在㠸ൌ函数图像上
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C．点ܲ
的坐标是
Ͷ
͵ 댳
ൌ
Ͷ
D．当ᇞܣ쳌ܥ׾ᇞܤ쳌ܧ时，〮ൌ
ͺ
͵
3．如图1，在ᇞܣܤܥ中，ܣܥൌܤܥ，סܥൌ䁡Ͳι．쳌是ܣܤ上一点，ܥ쳌的中垂线交ᇞܣܤܥ的边于点ܧ，ܨ．记
ܣ쳌ൌ〮，四边形ܥܧ쳌ܨ面积为㠸，利用数学软件画出㠸关于〮的函数图象如图2 所示，其中一个最高点ܯ
坐标为݉
댳ݐ，一个最低点ܰ
坐标为㈸댳ͺ ，下列选项正确的是（
）
A．݉
ൌʹൌ
B．㈸ൌͶ ʹ
C．ݐൌ͵ʹ ʹ െ͵ʹ
D．点͵댳
ൌ͹
ʹ 在该函数图象上
4．如图1，在ᇞܣܤܥ中，点쳌是边ܣܥ上的定点，点ܲ
从点쳌出发，依次沿쳌՜ ܣ՜ ܤ՜ ܥ՜ 쳌的路线
匀速运动，回到点쳌时停止．设点ܲ
运动的路程为〮，쳌ܲ
ʹ为㠸，则㠸关于〮的函数图象如图2 所示，其中
ܯ，ܰ
分别是所在曲线的最低点，下列选项错误的是（
）
A．ܣ쳌ൌʹͲ
B．点ܯ的纵坐标为144
C．ܤܥൌ
Ͷ
ൌܣ쳌
D．点㜷Ͷ댳͵㜷在该函数图象上
5．（2026·浙江温州·二模）某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2 米的
光伏板ܣܤ斜靠在竖直于地面的支架ܤܥ上，倾斜角为ߙ，为提高发电效率，将底端ܣ沿ܥܣ方向移动到点ܣԢ，
顶端ܤ向下滑动到点ܤԢ，此时倾斜角为ߚ，则顶端下降的垂直高度ܤܤԢ为（）
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A．ʹsinߚെʹsinߙ米
B．ʹsinߙെʹsinߚ米
C．ʹcosߚെʹcosߙ米
D．ʹcosߙെʹcosߚ米
6．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在菱形ܣܤܥ쳌与菱形ܧܨܲܳ
中，ܣܤൌܧܨ，且סܨܧܳ
ൌ סܤܣ쳌，点ܲ
在
射线ܣܥ上，点ܧ在直线ܣܥ上．菱形ܧܨܲܳ
沿射线ܣܥ平移，设点ܣ与点ܲ
的距离为〮Ͳ ൑〮൑ൌʹ ，菱
形ܣܤܥ쳌与菱形ܧܨܲܳ
重叠部分的图形面积为㠸．若㠸关于〮的函数图象如图2 所示，则下列选项正确的
是（
）
A．ܤ쳌ൌ㜷
B．sinסܥܣ쳌ൌ
ʹ
͵
C．当〮ൌ䁡时，㠸ൌ͵
D．当〮〮ൌ时，㠸〮
ൌ
͵
7．（2026·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线㠸ൌ〮൅㌲分别交〮轴，㠸轴于ܣ，ܤ两点，ܲ
为线段ܱ
ܤ上一点，且
ܤܱܲܲൌ
ൌ
͵，连接ܣܲ，将ܣܲ
绕点ܲ
逆时针旋转Ͷൌι交〮轴于点ܥ，若ܣ䁠െͶ댳Ͳ㌳，则ܥ
点坐标为（
）
A．െ
ൌ
ʹ 댳Ͳ
B．െ
͵
͹ 댳Ͳ
C．െ
͵
ͺ 댳Ͳ
D．െ
ʹ
ൌ댳Ͳ
8．（2026·浙江温州·二模）如图1，一个立方体箱子（侧面为正方形ܣܤܥ쳌）沿着足够长的斜坡从点ܧ向点
ܨ运动，过点ܥ作ܥܪ٣ ܧ⸴于点ܪ，设ܣܧ为〮，ܥܪെܧܪ的值为㠸，如图2，㠸关于〮的函数图象与〮轴
交于点ܲ
㜷댳Ͳ ，且经过点ܯൌൌ댳݉
．若tanסܨܧ⸴ൌ
͵
Ͷ．则下列选项正确的是（）
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A．݉
ൌെൌʹ
B．ܣܤൌͲͺ
C．点ൌ댳Ͳʹ 在该函数图象上
D．点ܰ
的纵坐标是2
9．（2026·浙江金华·二模）如图ൌ，在Rt ᇞܣܤܥ中，סܣܤܥൌ䁡Ͳι，ܣܤൌܤܥ，以ܣܥ中点ܱ
为圆心、ܱܣ
长为半径作弧ܣܤ．点쳌从点ܣ出发，沿弧ܣܤ及线段ܤܥ向终点ܥ运动．记쳌的运动路程为〮，ܱ쳌ൌ㠸，
㠸关于〮的函数图象如图ʹ 所示，图象过点ܲܽ
댳Ͷ ，则下列说法错误的是（
）．
A．点쳌在弧ܣܤ上运动时，㠸的图象为一条线段
B．当〮ൌʹπ时，点쳌运动到点ܤ
C．ܱ쳌的最小值为ʹ ʹ
D．ܽ
ൌʹπ ൅͵ ʹ
10．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形ܯܰܲܳ
内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形ܣܤܥ쳌
是原立方体的一个面，点ܧ，ܨ，⸴是原立方体的顶点，展开后点ܣ，ܧ，ܨ，⸴均在矩形ܯܰܲܳ
的边上，若
点ܥ，쳌，ܳ
在同一直线上，则tanסܣܧܯ的值是______．
11．（2026·浙江嘉兴·二模）如图ൌ，已知ᇞܣܤܥ中，סܣൌ㜷Ͳι，סܣܥܤൌ䁡Ͳι．点ܲ
是边ܣܤ上一动点，点ܳ
在边ܤܥ上，且סܥܲܳ
为定角．设ܣܲ
ൌ〮，ܤܳ
ൌ㠸，若㠸关于〮的函数图象如图ʹ 所示，则݉
的值是________．
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12．（2026·浙江·二模）如图，ܣܤܥ쳌的边ܣ쳌ൌ݇
，ܣܤൌʹ݇，סܤܣ쳌ൌͶൌι，ܧ是ܥ쳌边上的一点，将ᇞܥܤܧ
沿着ܤܧ翻折得到ܥ̵ ܤܧ，连接쳌ܥ̵ ，ܣܥ̵ ．
（1）若݇
ൌൌ，且点ܥ̵ 落在边ܥ쳌上时，则ᇞܣ쳌ܥ̵ 的面积为________；
（2）当ᇞܣ쳌ܥ̵ 面积最小时，则ܥܧ的长为_________．（用含݇
的式子表示）
13．（2026·浙江·模拟预测）如图，E 为矩形ܣܤܥ쳌对角线ܤ쳌上一动点，סܣܤ쳌ൌߙ．连接ܣܧ，将ܣܧ绕
点A 逆时针旋转ߙ后并延长，交射线ܤ쳌于点F，交射线ܥ쳌于点G．已知tanߙൌ
Ͷ
͵，则当
쳌⸴
ܥ쳌ൌ
ʹ
͵时，
쳌ܧ
쳌ܨൌ__________．
14．（2026·浙江舟山·一模）中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10 万元．为保障列车
运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在ൌͲι以内，某高铁线路需避开山体，在ܤ点处规划两处绕行方案：
方案一：设计䁡ι的拐角，即סܥܤܨൌ䁡ι，在ܥ点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即ܥܧצܤܨ；方案二：
设计㜷ι的拐角，即ס쳌ܤܨൌ㜷ι，在쳌点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线ܤ쳌
会经过一片沙地（即ܤ쳌为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%．
(1)若쳌ܧ与ܤܨ的距离쳌⸴为66 米，求线段ܤ쳌、ܤܥ、ܥ쳌的长．
(2)在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．
（参考数据：sin㜷ι ൎͲൌͲ，tan㜷ι ൎͲൌൌ，
sin䁡ι ൎͲൌൌ，tan䁡ι ൎͲൌ㜷）
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15．（2026·浙江温州·三模）某小组对两角和的正切公式tan ߙ൅ߚൌ
tanߙ൅tanߚ
ൌെtanߙڄtanߚ的证明产生浓厚兴趣．
【背景阐述】
已知：如图所示，在矩形ܣܤܥ쳌中，点ܧ在边ܤܥ上，连接ܣܧ，过点ܧ作ܧܨ٣ ܣܧ交ܥ쳌
边于点ܨ（点ܨ不与ܥ，쳌重合），连结ܣܨ．记סܤܣܧൌߙ，סܧܣܨൌߚ（其中ߙ，ߚ均为
锐角，且ߙ൅ߚᦙ䁡Ͳι）．
求证：tan ߙ൅ߚൌ
tanߙ൅tanߚ
ൌെtanߙڄtanߚ
证明：不妨设ܣܤൌൌ，
则在矩形ܣܤܥ쳌中，סܤൌסܥൌ䁡Ͳι．
故tanߙൌ
ܤܧ
ܣܤൌ
ܤܧ
ൌ，即ܤܧൌtanߙ．
因为ܧܨ٣ ܣܧ，所以סܣܧܤ൅סܥܧܨൌ䁡Ͳι．
因为סܣܧܤൌ䁡Ͳι െߙ，所以סܥܧܨൌߙ．
故ᇞܧܥܨ׾ᇞܣܤܧ，从而
ܧܥ
ܣܤൌ
ܥܨ
ܤܧൌ
ܧܨ
ܣܧ．
而在Rt ᇞܣܧܨ中，
ܧܨ
ܣܧൌtanߚ．
……
【特例探试】
(1)利用“两角和的正切公式”求tan͹ʹι的近似值．（参考数据：tanʹ͹ι ൎͲൌ）
【推理验证】
(2)根据上述推导，补充完整证明过程，求证：tan ߙ൅ߚൌ
tanߙ൅tanߚ
ൌെtanߙڄtanߚ．
16．（2026·浙江舟山·二模）图1 为坐落于舟山马目山的风车营地，风车、大桥、山海、日落所构成的和谐
画面吸引了众多游客，成为了网红打卡地．除了景色，这里的风电机组所提供的清洁能源也带动了绿色经
济发展，某学习小组查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计
参数．为测量其高度，他们选定了当风车停止转动时的位置，如图2，风电塔筒AB 垂直于地面，叶片AC
恰好与塔筒AB 重合，三个叶片均匀分布（即סܥܣ쳌ൌס쳌ܣܧൌסܧܣܥൌൌʹͲι）且长度均为80m，在距离塔
底（点B）158m 的点F 处有一测角仪（其高度忽略不计）测得叶片端点D 的仰角ס쳌ܨܤ为㜷Ͷι．
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(1)求风电塔筒ܣܤ的高度．（结果保留整数，参考数据：͵ ൎൌ͹͵，sin㜷Ͷι ൎͲ䁡Ͳ，cos㜷Ͷι ൎͲͶͶ，tan㜷Ͷι ൎ
ʹͲൌ）
(2)当叶片从图2 位置开始绕点A 沿顺时针方向第一次转动至图3 位置时，学习小组测量发现叶片端点E 的
离地高度增加了24.7m，求所有叶片在这段时间内扫过的区域面积．（结果保留π，参考数据：sinൌͶι ൎͲͺൌ，
cos͵㜷ι ൎͲͺൌ，tan͵䁡ι ൎͲͺൌ）
17．（2026·浙江杭州·一模）【综合与实践】
【定义理解】
设ܱ
ܥ是סܣܱܤ的平分线，若射线ܱܺ
댳ܱܻ
在סܣܱܤ的内部且关于ܱ
ܥ对称，则称ܱܺ
与ܱܻ
为סܣܱܤ的一对
等角线．小丽发现，若סܣܱܤ内部的两条射线ܱܺ
댳ܱܻ
满足סܣܱܺ
ൌסܤܱܻ
，则ܱܺ
与ܱܻ
就是סܣܱܤ的一对
等角线．
【初步应用】
(1)如图①，已知射线ܱܺ
与ܱܻ
是סܣܱܤ的一对等角线，סܣܱܺ
ൌ
ൌ
㜷סܱܻܺ
，若סܣܱܤൌͺͲι，求סܣܱܻ
的度数．
【探索发现】
(2)如图②，在平行四边形ܣܤܥ쳌中，ܤܧ댳ܤܨ是סܣܤܥ的一对等角线，分别交ܣ쳌댳쳌ܥ于点ܧ댳ܨ댳ܣܲ
٣ ܤܧ于点ܲ
，
ܣܳ
٣ ܤܨ于点ܳ
댳ܣܳ댳ܤܧ交于点⸴．
①求证：ܣܳ댳ܣܲ
是סܤܣ쳌的一对等角线．
②若סܣܤܧൌ
ൌ
͵ סܣܤܥ，סܤܣܳ
ൌ
ൌ
͵ סܤܣ쳌，求ܣܲ㈠ܣܳ
的值．
18．（2026·浙江丽水·二模）【阅读理解】
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如图1，在Rt ᇞܣܤܥ中，סܥൌ䁡Ͳι，סܤൌൌൌι，求tanൌൌι的值．
求解过程如下：在ܥܤ上取点쳌，使得ܤ쳌ൌܣ쳌，构造出等腰ᇞܣܤ쳌（如图2）．可得ᇞܣܤ쳌的外角סܣ쳌ܥൌ͵Ͳι，
设ܣܥൌܽ
，则ܣ쳌ൌܤ쳌ൌʹܽ，쳌ܥൌ
͵ܽ，
所以tanൌൌι ൌ
ܣܥ
ܤܥൌܽʹܽ൅͵ܽൌ
ൌ
ʹ൅͵ ൌ
ʹെ͵
ʹ൅͵
ʹെ͵ ൌʹ െ
͵．
【类比尝试】
(1)如图3，在Rt ᇞܣܤܥ中，סܥൌ䁡Ͳι，סܤൌʹʹൌι，类比上述解题过程求tanʹʹൌι的值．
【拓展应用】
(2)如图4，在Rt ᇞܣܤܥ中，סܥൌ䁡Ͳι，סܤൌߙ，ܤܥൌܽ
，ܣܥൌ㌲，用含ܽ
，㌲的代数式表示tan
ߙ
ʹ的值，并
写出推理过程．
19．（2026·浙江湖州·二模）【文化欣赏】汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，
则见四邻矣”，意思是利用杆上挂的平面镜和盆内水面（抽象为平面镜）的反射，就能从水盆里看见院外的
景象（如图ൌ）．
【科学原理】入射光线ܱܳ
经平面镜ܻܺ
反射得反射光线ܱܴ
（ܱܲ
٣ܻܺ
），则סܱܴܲ
ൌסܱܲܳ
（如图ʹ）．
【综合实践】小桐春假探望爷爷时，在院内作了实践探究：如图͵，杆ܣܤ٣地平线ܧܨ（ܣ为墙角），杆顶
ܤ悬一平面镜ܯܰ
ܯܰ
צ ܧܨ，院外的邻居（点ܪ）先经平面镜ܯܰ
的点ܤ处反射，再经水盆的水
面中心ܥ处反射后，恰被院内的小桐（观测点为⸴）看到．现测得：ܥܣൌʹ͹ 米，ס⸴ܥܧൌൌ͵ι．
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【数学理解】
(1)求杆ܣܤ的高度．
(2)如图Ͷ，保持水盆和观测点的位置不变，将平面镜ܯܰ
绕点ܤ逆时针旋转ͺι，邻居沿射线ܣܪ方向移动
到ܪ̵ 处，经ܤ，ܥ两处反射后，小桐恰好观测到邻居，求邻居移动的距离ܪܪ̵ ．
（参考数据：sin͵͹ι ൎͲ㜷，cos͵͹ι ൎͲͺ，tan͵͹ι ൎͲ͹ൌ）
20．（2026·浙江·二模）【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置．
【生活情境】如图①是安装在外墙上的挡雨棚．矩形ܤܤൌܥൌܥ为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架ܤܥ、ܣܤ、ܤൌܥൌ
及ܣൌܤൌ的端点ܣ、ܥ、ܣൌ、ܥൌ固定在外墙上，ܣܣൌ、ܤܤൌ，ܥܥൌ与ܱܱ
ൌ平行，ܣܣൌൌ͵ 米．图②是其侧面示意
图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为53°（סܤܲܯൌൌ͵ι）．安装挡雨棚时需考虑：在一般风
力下，确保雨滴不落在墙面ܱܱ
ൌܥൌܥ（不包括ܱܱ
ൌ）上．
【数学活动】数学学习小组通过研究支架ܣܤ、ܤܥ的长度，支架端点ܣ、ܥ的距离以及支架ܣܤ与ܤܥ的夹
角ߙ（סܣܤܥൌߙ），对雨棚进行了重新设计．（参考数据：sinൌ͵ι取0．8，cosൌ͵ι取0．6）
图③是某小组的设计示意图，其中ܣܤൌܤܥ，tan
ߙ
ʹ ൌ
ͺ
ൌൌ，ܣܥൌൌ㜷米．
【问题解决】
(1)请求出该小组设计的雨棚所需挡雨板的面积．
(2)在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面ܱܱ
ൌܥൌܥ（不包括ܱܱ
ൌ）上，在安装该小组所设计的雨棚时，点ܣ
离地面距离不能超过多少米？
21．（2026·浙江杭州·二模）定义：若一个三角形存在两个内角之差为䁡Ͳι，则称这个三角形为“差直角三角
形”．例如，在ᇞܣܤܥ中，סܣൌൌൌͲι，סܤൌʹͲι，סܥൌൌͲι，满足סܣെסܤൌ䁡Ͳι，所以ᇞܣܤܥ是“差直角
三角形”．
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(1)若ᇞܣܤܥ是差直角三角形，סܣൌൌʹͲι，则sinܤ的值为．
(2)如图1，在Rt ᇞܣܤܥ中，סܥൌ䁡Ͳι，ܣ쳌是ᇞܣܤܥ的角平分线，求证：ᇞܣܤ쳌是差直角三角形．
(3)如图2，在ᇞܣܤܥ中，ܣܤൌܣܥ，ܤܥൌͺ，tanܤൌ
͵
Ͷ，点D 是边ܣܤ上一动点（ܤ쳌ᦙܥ쳌），若ᇞܣܤ쳌是
差直角三角形，求ܣ쳌的长度．
22．（2026·浙江·二模）在菱形ܣܤܥ쳌中，点ܧ在ܣܤ上，且ܤܧൌʹܣܧ，如图1，过点ܧ的直线ܧܨ，交对
角线ܤ쳌于点ܨ，ܤܥ与ܤԢܥԢ关于直线ܧܨ对称，点ܤ的对应点ܤԢ在ܤܣ的延长线上，ܤԢܥԢ分别交对角线ܤ쳌、
边ܣ쳌于点⸴、ܪ．
(1)当ܣܧൌܣܪ时，求סܤܣ쳌的度数．
(2)如图2，当点ܥ与对应点ܥԢ重合时，求ᇞܥܨ⸴与菱形ܣܤܥ쳌的面积之比．
(3)已知ܣܧൌൌ，ܥԢ⸴与쳌ܪ的长度随סܣܤܥ的变化而变化，求쳌ܪെܥԢ⸴的最大值．
23．（2026·浙江·一模）在等边ᇞܣܤܥ中，ܣܤൌͶ，쳌是ܤܥ边上的中点，ܧ，ܨ分别是线段ܣܥ，ܣ쳌上任
意一点，连接ܧܨ，将线段ܧܨ绕点ܧ顺时针旋转ൌʹͲι得到线段ܧ⸴，连接ܨ⸴、ܣ⸴，ܧܨ的延长线交射线ܣܤ
于点ܯ．
(1)如图1，当点ܧ与点ܥ重合，若ܥܨ为סܣܥܤ的平分线，ܨ⸴交ܣܥ于点ܲ
，求ܣܲ
的长；
(2)如图2，若ܰ
为线段ܣܥ上一点，且סܣ⸴ܰ
ൌסܣܧ⸴，ܣܨൌܣܰ，求证：ܣܯ൅ܣܨൌ
͵ܣܧ；
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(3)如图3，设סܣܧܨൌߙ͵Ͳι ᦙߙᦙ䁡Ͳι ，求证：
ܧܨ
ܯܨൌ
sin ൌʹͲιെߙ
sinߙ
．
24．（2026·浙江温州·二模）如图1，在四边形ܣܤܥ쳌中，ܣ쳌צ ܤܥ，סܣܤܥൌ䁡Ͳι，ܣܤൌൌ，ܤܥൌͶ，ܥܧ
平分סܤܥ쳌，交ܣܤ于点ܧ，点ܨ在ܣܤ上，且ܣܧൌܤܨ．
(1)如图2，当点ܧ与点ܨ重合时，求tanסܧܥ쳌的值．
(2)如图3，点⸴在射线ܣ쳌上，且点ܧ在点ܨ上方时，连结쳌ܧ，ܨ⸴．
①当ܧܨൌ
ൌ
͵时，求ܣ쳌的长．
②若ܣ쳌൅ܣ⸴ൌൌ，求쳌ܧ൅ܨ⸴的最小值．
25．（2026·浙江台州·二模）如图1，在菱形ܣܤܥ쳌中，对角线ܣܥൌʹ ͵，ס쳌ܣܤൌ㜷Ͳι，P 是射线ܣ쳌上
一点，连接ܤܲ，ᇞܤܲܳ
与ᇞܤܲܣ关于ܤܲ
对称．
(1)求ܣܤ的长．
(2)当ܤܳ
٣ ܣܤ时，求证：ܲܳ
צ ܣܥ．
(3)如图2，当直线ܲܳ
与ܣܥ相交时，记交点为E．
①当点P 在边ܣ쳌上，且ܲܳ
٣ ܣܤ时，求ܣܲ
的长．
②连接ܤܧ，当ܤܧ取得最小值时，求ܣܧ的长．